Графическое решение квадратных уравнений

• 1 слайд

  Графическое решение
  
  Квадратных уравнений.
  Выполнила: Темникова А.Е.
  Педагог математики
  

• 2 слайд

  Немного истории
  Еще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
  Диофант Александрийский,
  Аль- Хорезми
  
  
  .
  
  
  Евклид Омар Хайям
  
  Решали уравнения
  геометрическими и
  графическими способами
  

• 3 слайд

  Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов:
  ax2 + bx +c = 0
  ax2 = -bx – c
  ax2 + c = - bx
  a(x + b/2a)2 = ( 4ac - b2 )/4a
  Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0
  

• 4 слайд

  Алгоритм графического решения квадратных уравнений
  Ввести функцию f(x), равную левой части и g(x) , равную правой части
  Построить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости
  Отметить точки пересечения графиков
  Найти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ
  

• 5 слайд

  Способы графического решения квадратного уравнения
  ах² + bх + с = 0
  
  
  
  
  
  
  Способ поcтрое-
  ния параболы y=ах² +bx+c
  Способ поcтрое-
  ния прямой
  у= bx+c и параболы у = ах²
  Способ поcтрое-
  ния прямой
  у= bx и параболы у = ах²+с
  Способ выделе-ния полного квадрата
  I
  II
  III
  (a)
  (b)
  Способ поcтрое-
  ния прямой
  у= с и параболы у = ах²+ bx
  (в)
  

• 6 слайд

  «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.
  
  

• 7 слайд

  Графическое решение квадратного уравнения
  
  Иллюстрация на одном примере
  

• 8 слайд

  Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
  Способ 1
  Построить график функции y=ax2+bx+c
  Найти точки пересечения графика с осью абсцисс
  

• 9 слайд

  Решить уравнение
  1 способ
  Построим график функции у =
  График-парабола, а=1>0,ветви вверх.
  Вершина ( )
  
  
  =-
  Х ο = 1
  (1; -4)-вершина
  3. Ось параболы
  4. Дополнительные точки:
  х
  у
  1
  -4
  0
  -1
  2
  3
  0
  -3
  -3
  0
  Корнями уравнения являются
  абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0.
  Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3.
  -1
  1
  -1
  3
  х
  3
  о
  у
  

• 10 слайд

  Алгоритм построения параболы
  найти координаты вершины; провести ось параболы;
  отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках;
  провести параболу через полученные точки.
  

• 11 слайд

  Пусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0
  а = 1>0, ветви вверх
  Координаты вершины x۪۪ ο =-b/2a; x۪۪ ο =1 .
  y ο = 1² - 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4)
  Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1
  Построить по таблице график y=x2 -2x -3
  
  Примеры графического решения квадратных уравнений
  3
  -1
  Решение уравнения x2-2x –3=0
  Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ
  
  у=x2 – 2x -3
  

• 12 слайд

  Графический способ решения квадратных уравнений
  
  
  Квадратное уравнение имеет два равных корня
  Квадратное уравнение не имеет корней
  Квадратное уравнение имеет два различных корня
  

• 13 слайд

  Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
  Способ 2(а)
  Построить графики функции y=ax2 и у = bx+ с
  Найти абсциссы точек пересечения графиков.
  

• 14 слайд

  x2 – 2x – 3 =0
  Представим в виде x2 = 2x +3
  Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3
  Построим на одной координатной плоскости графики функций
  y=x2 и y= 2x + 3
  3
  -1
  Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
  

• 15 слайд

  2 способ
  Преобразуем уравнение
  к виду
  Построим в одной системе координат графики функций
  -это парабола
  -это прямая
  х
  у
  0
  1
  3
  5
  3
  -1
  3
  Корнями уравнения являются
  абсциссы точек пересечения: -1 и 3
  Корнями уравнения являются
  абсциссы точек пересечения: -1 и 3
  

• 16 слайд

  4 x2 – 4x + 1 =0
  Представим в виде 4x2 = 4x -1
  
  
  1). Построим графики функций:
  у = 4 x2 , у = 4x - 1
  2). Строим параболу у = 4 x2
  а = 4, ветви вверх
  хο = - ; хο= 0; ; уο= 0.
  
  По шаблону строим параболу
  3). Строим прямую у = 4x - 1
  
  
  -1
  0
  1
  3
  1
  0,5
  Корнем уравнения является
  абсцисса точки пересечения: 0,5
  -1
  -1
  у
  х
  

• 17 слайд

  Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
  Способ 2 (b)
  Преобразовать уравнение к виду
  ax2+с = bx
  Построить:
  параболу y = ax2+с и прямую y = bx
  Найти абсциссы точек пересечения
  графиков функции.
  

• 18 слайд

  x2 – 2x – 3 =0
  Представим в виде x2 –3 = 2x
  Пусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x
  Построим на одной координатной плоскости графики функций
  y=x2 –3 и y =2x
  
  -1
  3
  Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
  y=x2 –3
  y =2x
  

• 19 слайд

  x2 – 4x + 5 =0
  Представим в виде x2 +5 = 4x
  Пусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x
  Построим на одной координатной плоскости графики функций
  y=x2 +5 и y =4x
  Точек пересечения параболы с прямой нет
  Ответ: корней нет
  y=x2 +5
  y =4x
  y
  x
  о
  

• 20 слайд

  Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
  Способ 2(в)
  Построить графики функции
  y=ax2 + bx и у = с
  Найти абсциссы точек пересечения графиков.
  

• 21 слайд

  x2 – 2x – 3 =0
  Представим в виде x2 – 2x = 3
  Пусть f(x)= х² - 2х и g(x)=3
  Построим на одной координатной плоскости графики функций
  y= х² - 2х и y=3
  -1
  
  3
  
  Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
  y=3
  y= х² - 2х
  y
  х
  о
  2
  -1
  3
  

• 22 слайд

  Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
  Способ 3
  (выделение полного квадрата)
  Преобразовать уравнение к виду
  a(x+l)2 = m
  Построить:
  параболу y = a(x+l)2 и прямую y = m
  Найти абсциссы точек пересечения графиков функций.
  

• 23 слайд

  Выделение квадрата двучлена.
  x2 – 2x + 1 = 3 + 1
  ( x –1)2=4.
  x2 – 2x = 3
  ( x –1)2 - 4 = 0
  ( x –1)2 - 2² = 0
  ( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0
  ( x –3 ) ( x + 1 ) = 0
  x –3 = 0
  x + 1 = 0
  x = 3
  x = - 1
  

• 24 слайд

  x2 – 2x – 3 =0
  Представим в виде (x –1)2=4
  Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4
  Построим на одной координатной плоскости графики функций
  y= (x –1)2 и y=4
  -1
  
  3
  
  Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
  y=4
  y= (x –1)2
  

• 25 слайд

  Решите графически уравнение
  Группа А
  Группа С
  Группа В
  х² + 2х – 8= 0
  4х² - 8х + 3= 0
  3х² + 2х – 1= 0
  

• 26 слайд

  Сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух?
  

• 27 слайд

  Решить графически уравнение
  

• 28 слайд

  Как решить уравнение?
  Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения.
  Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.
  

• 29 слайд

  Решить графически уравнение
  

• 30 слайд

  Построить график функции
  

• 31 слайд

  Построить график функции
  

• 32 слайд

  Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций
  

• 33 слайд

  Построить график функции
  Корни уравнения:
  точки пересечения
  параболы с осью ОХ
  

• 34 слайд

  Решить графически уравнение
  Корни уравнения:
  точки пересечения
  параболы и прямой
  

• 35 слайд

  Решить графически уравнение
  Корни уравнения:
  точки пересечения
  параболы и прямой
  

• 36 слайд

  Итог
  Познакомились:
  с графическим методом решения квадратных уравнений;
  с различными способами графического решения квадратных уравнений.
  закрепили знания по построению графиков различных функций.
  

• 37 слайд

  Заключительное слово учителя:
  «Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»
  

• 38 слайд

  Желаю удачи !