Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Интеграл. Вычисление интеграла, 11 класс

Интеграл. Вычисление интеграла, 11 класс

  • Математика

Название документа Презентация « Интеграл. Вычисление интеграла».ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

«Интеграл. Вычисление интеграла.» Урок алгебры и начал анализа в 11-м классе...
«Высшее назначение математики… состоит в том, чтобы находить скрытый порядок...
1. Давайте разберёмся, если функция задается в виде многочлена третей степени...
 8.Решим задачу из ЕГЭ. Первообразная. Задание В8
Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума. Отметим на рисунке...
9.На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией?
1.Изобразите на оси Оx пределы интегрирования, выбрав масштаб: π/2 - это 10 к...
1.Взаимно-обратные операции
1.Взаимно-обратные операции
а-д и-к д-б	 ж-г в-м л-з м-е Ответы:
Вычисление площади криволинейной трапеции С помощью интегральной суммы: 1.аMN...
С помощью интеграла: 5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точ...
Татарский орнамент Татарский орнамент (ленточный)
Узоры татарские, татарские орнаменты Изделия с начинкой придают татарской кух...
Вывод: Интеграл- это площадь. Площадь криволинейной трапеции – это определенн...
-Запишите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунке. Выделит...
Обратная задача: как изобразить криволинейную трапецию, если задан интеграл?
Прототип В8 ЕГЭ
у=х
Обобщение. Если функция произвольная, то условимся брать площадь фигуры, расп...
Исаак Ньютон (1643 -1727) Готфрид Вильгельм ЛЕЙБНИЦ (1646-1716) =F(x) = F(b)...
 1. 2.
 Ответы: 1в: 1) ; 2)1; 3) 8. 2в: 1) 2)1; 3) 8.
Итоги урока Для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции f sn при n стремит...
Лист опроса ученика Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 1...
Домашнее задание по уровням. Дома прочитать §3 на стр. 137-141. Решите самост...
1 из 36

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 «Интеграл. Вычисление интеграла.» Урок алгебры и начал анализа в 11-м классе
Описание слайда:

«Интеграл. Вычисление интеграла.» Урок алгебры и начал анализа в 11-м классе Учитель: Жамалетдинова Г.А.

№ слайда 2 «Высшее назначение математики… состоит в том, чтобы находить скрытый порядок
Описание слайда:

«Высшее назначение математики… состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает» (Норберт Винер)

№ слайда 3 1. Давайте разберёмся, если функция задается в виде многочлена третей степени
Описание слайда:

1. Давайте разберёмся, если функция задается в виде многочлена третей степени, то какую степень имеет производная этой функции? А первообразная? 2. Для какой функции производная совпадает с самой функцией? 3. Производные каких функций равны 1, x, x2 4. Вспомним, какая функция называется первообразной для заданной функции на заданном промежутке? 5. Если F(x) –первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой? 6.Какая из двух функций является первообразной другой: 5x4 и x5+11? Почему? 7. Вспомним понятие криволинейной трапеции

№ слайда 4  8.Решим задачу из ЕГЭ. Первообразная. Задание В8
Описание слайда:

8.Решим задачу из ЕГЭ. Первообразная. Задание В8

№ слайда 5 Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума. Отметим на рисунке
Описание слайда:

Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума. Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:

№ слайда 6 9.На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией?
Описание слайда:

9.На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией?

№ слайда 7 1.Изобразите на оси Оx пределы интегрирования, выбрав масштаб: π/2 - это 10 к
Описание слайда:

1.Изобразите на оси Оx пределы интегрирования, выбрав масштаб: π/2 - это 10 клеток. 2.Изобразите в этой системе координат график данной функции. 3.Разбейте на 10 равных частей промежуток интегрирования. Какова длина одной десятой части промежутка? 4.Вычислите по таблице Брадиса значение синуса на правых концах промежутков. 5.Вычислите интегральную сумму с помощью калькулятора. Лабораторная работа на приближенное вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=0, х=п/2, осью Ох и графиком функции у=sinх с помощью интегральной суммы.

№ слайда 8 1.Взаимно-обратные операции
Описание слайда:

1.Взаимно-обратные операции

№ слайда 9 1.Взаимно-обратные операции
Описание слайда:

1.Взаимно-обратные операции

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15
Описание слайда:

№ слайда 16
Описание слайда:

№ слайда 17 а-д и-к д-б	 ж-г в-м л-з м-е Ответы:
Описание слайда:

а-д и-к д-б ж-г в-м л-з м-е Ответы:

№ слайда 18 Вычисление площади криволинейной трапеции С помощью интегральной суммы: 1.аMN
Описание слайда:

Вычисление площади криволинейной трапеции С помощью интегральной суммы: 1.аMNв- криволинейная трапеция. 2.Разобьем отрезок [ а; в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох. 3.Рассмотрим трапецию с основанием [x k-1 ; x k ] : SAPKB ≈ SAP1K1B = f(ck) ∆x k ∆x k = x k - xk-1 4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 f(c2) ∆x2 f(ck) ∆ x k +…+ f( c n) ∆ x n (*) Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а; в ]. + +…+ +…+

№ слайда 19 С помощью интеграла: 5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точ
Описание слайда:

С помощью интеграла: 5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k 0, сумма SаMNв ≈ f(c1) ∆x1 f(c2) ∆x2 f(ck) ∆ x k +…+ f( c n) ∆ x n (*) стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»). + +…+ + , где f(x) – подынтегральная функция, слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение, a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний. Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то SаMNв =

№ слайда 20 Татарский орнамент Татарский орнамент (ленточный)
Описание слайда:

Татарский орнамент Татарский орнамент (ленточный)

№ слайда 21 Узоры татарские, татарские орнаменты Изделия с начинкой придают татарской кух
Описание слайда:

Узоры татарские, татарские орнаменты Изделия с начинкой придают татарской кухне особое своеобразие Композиция татарского орнамента

№ слайда 22
Описание слайда:

№ слайда 23
Описание слайда:

№ слайда 24
Описание слайда:

№ слайда 25 Вывод: Интеграл- это площадь. Площадь криволинейной трапеции – это определенн
Описание слайда:

Вывод: Интеграл- это площадь. Площадь криволинейной трапеции – это определенный интеграл, т. к. площадь имеет конкретное значение.

№ слайда 26 -Запишите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунке. Выделит
Описание слайда:

-Запишите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунке. Выделите подынтегральную функцию; пределы интегрирования

№ слайда 27 Обратная задача: как изобразить криволинейную трапецию, если задан интеграл?
Описание слайда:

Обратная задача: как изобразить криволинейную трапецию, если задан интеграл?

№ слайда 28 Прототип В8 ЕГЭ
Описание слайда:

Прототип В8 ЕГЭ

№ слайда 29 у=х
Описание слайда:

у=х

№ слайда 30 Обобщение. Если функция произвольная, то условимся брать площадь фигуры, расп
Описание слайда:

Обобщение. Если функция произвольная, то условимся брать площадь фигуры, расположенной выше оси x, со знаком «+», а ниже оси x – со знаком «– », тогда интегралом от функции f будем считать сумму площадей частей, взятых с указанными знаками.

№ слайда 31 Исаак Ньютон (1643 -1727) Готфрид Вильгельм ЛЕЙБНИЦ (1646-1716) =F(x) = F(b)
Описание слайда:

Исаак Ньютон (1643 -1727) Готфрид Вильгельм ЛЕЙБНИЦ (1646-1716) =F(x) = F(b) – F(a). в a

№ слайда 32  1. 2.
Описание слайда:

1. 2.

№ слайда 33  Ответы: 1в: 1) ; 2)1; 3) 8. 2в: 1) 2)1; 3) 8.
Описание слайда:

Ответы: 1в: 1) ; 2)1; 3) 8. 2в: 1) 2)1; 3) 8.

№ слайда 34 Итоги урока Для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции f sn при n стремит
Описание слайда:

Итоги урока Для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции f sn при n стремится к некоторому числу , который называют интегралом функции f от а до b и обозначают так

№ слайда 35 Лист опроса ученика Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 1
Описание слайда:

Лист опроса ученика Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4», 9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2». № задания Взаимно обратные операции Найдите первообразную Найдите пару "функция-её первообразная" Самостоятельная работа 1 а - , д - , в - , м - , ж - , л - , и - . 1. 2. 3. 2 3 4 5 Количество баллов Общее количество баллов: Оценка:

№ слайда 36 Домашнее задание по уровням. Дома прочитать §3 на стр. 137-141. Решите самост
Описание слайда:

Домашнее задание по уровням. Дома прочитать §3 на стр. 137-141. Решите самостоятельно задания любого уровня. Уровень 1 (на «3»). 1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4). 2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Уровень 2 (на «4», « 5»). 1.№ 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6). 2.Без вычислений запишите, чему равен интеграл Указание: используйте график функции y= Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение. До свидания! Всем спасибо!

Название документа Урок « Интеграл. Вычисление интеграла».docx

Поделитесь материалом с коллегами:



«Высшее назначение математики … состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает». (Норберт Винер — американский учёный, выдающийся математик и философ, основоположник кибернетики и теории искусственного интеллекта)

План открытого урока по математике на тему:

« Интеграл. Вычисление интеграла»

Цели урока:

  1. образовательная: введение понятия определенного интеграла, формулы Ньютона- Лейбница, показать, как вычисляются интегралы;

  2. развивающая: развитие логического мышления, умения обобщать и систематизировать знания;

  3. воспитывающая: воспитание познавательного интереса к математике, к истории ее развития.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование урока: компьютер, листы опроса, таблица первообразных, портреты и высказывания математиков, калькулятор.

План урока:

  1. Организационный момент (1 мин).

  2. Сообщение темы и цели урока (1 мин).

  3. Работа по повторению ранее изученного материала (устный счет). Мозговой штурм (3-5мин).

  4. Проверка домашнего задания (4 мин).

  5. Математический диктант (5-7мин).

  6. Актуализация темы и цели урока (3 мин).

  7. Объяснение новой темы (15-20 мин).

  8. Закрепление темы (+ самостоятельная работа?) (10-15 мин).

  9. Рефлексия (3 мин).

  10. Домашнее задание(1 мин).

Ход урока.

  1. Орг. момент. Приветствие. Слайд 1.

Здравствуйте, садитесь!

Ребята! У нас сегодня на уроке присутствуют гости, которые вместе с нами узнают, что такое интеграл, формулу Ньютона- Лейбница, и как вычисляются интегралы.

. Все готовы к уроку? Хорошо, молодцы!

  1. Сообщение темы и цели урока.

Тема нашего сегодняшнего урока « Интеграл. Вычисление интегралов».

Прочитать эпиграф. (Вернемся к эпиграфу чуть позже)

Цель нашего урока: обьяснить, что такое интеграл, узнать знаменитую формулу Ньютона- Лейбница и как вычисляются интегралы.





  1. Работа по повторению ранее изученного материала (устный счет). Мозговой штурм.

-А пока повторим ранее изученный материал.

  1. Давайте разберёмся, если функция задается в виде многочлена третей степени, то какую степень имеет производная этой функции (вторую)? А первообразная (четвертую)?

  2. Для какой функции производная совпадает с самой функцией?

  • Производные каких функций равны 1 (х), x (x2 /2), x2 (x3 /3)?

  1. Вспомним, какая функция называется первообразной для заданной функции на заданном промежутке (Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке. если для всех x из этого промежутка F’(x)=f(x))?

  2. Какая из двух функций является первообразной другой: 5x4 и x5+11? Почему ? (т.к. (x5+11)’= 5x4 )

6.Решим задачу из ЕГЭ. Первообразная. Задание В8.

На рисунке изображён график функции hello_html_2e526f6.png, одной из первообразных некоторой функции hello_html_a5f4085.png, определённой на интервале hello_html_m2f0a2a94.png. Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения hello_html_m9d38d2e.png на отрезке hello_html_2a298c4d.png .



hello_html_2f6080fa.png


Решение: hello_html_716f3c46.png .Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума.

Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:

hello_html_m4220ed9c.png


Точки экстремума («холмики» и «впадинки») выделены красным цветом. На

отрезке hello_html_2a298c4d.pngих 10. Ответ: 10.

7.Вспомним понятие криволинейной трапеции.

8.На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией?


hello_html_m79f0fe78.png

( б, г)

  1. Проверка домашнего задания.

На прошлом уроке начали лабораторную работу на приближенное вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=0, х=П/2, осью Ох и графиком функции у=sinх с помощью интегральной суммы, и дома вы должны были вычислить эту площадь.

hello_html_576718de.png






Лабораторная работа:

  1. Изобразите на оси Оx пределы интегрирования, выбрав масштаб:

π/2 - это 10 клеток.

  1. Изобразите в этой системе координат график данной функции.

  2. Разбейте на 10 равных частей промежуток интегрирования. Какова длина одной десятой части промежутка?

  3. Вычислите по таблице Брадиса значение синуса на правых концах промежутков.

Вычислите интегральную сумму с помощью калькулятора.

- Давайте проверим, какие получились у вас ответы. У всех разные ответы, но ≈1.


Решение:



























- Как вы видите, вычисление площади криволинейной трапеции оказалось трудоемким процессом. И интегральная сумма дает приближенное значение площади.

5.Математический диктант.


Древнегреческий поэт Нивей говорил, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед. Работаем самостоятельно.

В листах опроса напишем математический диктант. Пишем только ответ и сразу поднимаем ручку. За каждый ответ 1 балл (На доске последовательно пишутся задания, дожидаясь, пока будут подняты большинство рук.)







Задание 1. Слайд 3.

Напишите для каждой операции взаимно обратную операцию.

Ответы пишите в первый столбец.




- На листе опроса внизу пишите количество полученных баллов.


Задание 2. Слайд 2

-Ответы пишите во второй столбец.

Найдите первообразную функции: y=5; y=2x; y=3x2; y=cosx; y=1/x.

Ответы на обороте доски: 5x; x2; x3; sinx; lnx│.

Оцените себя на листе опроса.

-Можно ли считать только данные ответы верными? (Нет). Почему? (Для каждой функции ее первообразная определяется неоднозначно).

-Как называется это множество всех первообразных? ( F(x)+С, где С- любая постоянная).

-Ответы пишите во второй столбец.

-Оцените себя на листе опроса.

Задание 3.

Графики, изображенные на рисунке, разбейте на пары «функция – ее первообразная». Слайд 4.

Ответы:

а - д,

д - б,

в - м,


м - е,


и - к,

ж – г,


л – з.


Ответы пишите в третий столбец. Оцените себя на листе опроса









6.Актуализация темы и цели урока. Слайд 5.

- Ребята, я назову понятие, а вы скажете какой термин будет в паре: дифференцирование и… (интегрирование) Какие это действия? (взаимно обратные).

Итак, тема урока «Интеграл. Вычисление интеграла». Запишите число и тему урока

- Послушаем краткое сообщение Лилии. Слайд 6.

- Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков.

Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.

---Сегодня мы будем следовать естественноисторическому развитию математики, и искать тот самый скрытый порядок в хаосе…

7.Изучение нового материала.


На прошлом уроке мы с вами ввели понятие криволинейной трапеции и получили интегральную сумму для вычисления площади криволинейной трапеции.

Сегодня продолжим эту работу.



Вычисление площади криволинейной трапеции














С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.



С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.

-Знак интеграла ∫ по- моему напоминает элементы татарского орнамента. Давайте посмотрим.

-Ну, теперь запомните знак интеграла и наш урок.


- Посмотрим рисунки 90и 91 из учебника.

- Таким, образом, задача о нахождении площади криволинейной трапеции сводится к вычислению интеграла. В этом состоит смысл определенного интеграла.

- Вывод: Интеграл- это площадь. Или площадь криволинейной трапеции – это определенный интеграл, т. к. площадь имеет конкретное значение.


Аналогично с помощью интеграла решаются и многие другие геометрические и физические задачи. Примеры физических задач будут рассмотрены в §5.

-Запишите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунке.

Слайд 8.

Выделите подынтегральную функцию; пределы интегрирования.





Обратная задача: как изобразить криволинейную трапецию, если задан интеграл?


Пример hello_html_75675ade.gif (Изобразить криволинейную трапецию) Слайд 9.


Итак, интеграл - это площадь криволинейной трапеции. (Запишите в тетрадях).

Если умеем вычислять площадь, то научимся вычислять интеграл.

Пример – интеграл через площадь.

1.Прототип В8 ЕГЭ

hello_html_bf7edc5.png

Этот интеграл можно вычислить, используя геометрический смысл определенного интеграла.

Наводящие вопросы:

Данный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной … графиком какой функции?

На каком промежутке мы должны рассматривать эту функцию?

Найдем площадь прямоугольной трапеции. Как находится площадь трапеции?

Т.о. интеграл равен 10.


2.Вычислить интеграл hello_html_75675ade.gifhello_html_75675ade.gif, используя геометрический смысл определенного интеграла.

Наводящие вопросы:

Данный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной … графиком какой функции?

Постройте график этой функции у = х.

На каком промежутке мы должны рассматривать эту функцию?

Найдем площадь полученной фигуры. Как находится площадь прямоугольного треугольника?

Какого знака функция на заданном промежутке? Т.о. интеграл равен -2.

Обобщение. Слайд 10.

Если функция произвольная, то условимся брать площадь фигуры, расположенной выше оси x, со знаком «+», а ниже оси x – со знаком «– », тогда интегралом от функции f будем считать сумму площадей частей, взятых с указанными знаками.




Формула Ньютона-Лейбница.

Интегральная сумма дает приближенное значение интеграла.

Вычисление пределов интегральных сумм оказалось трудоемким процессом, как вы видели.




Экскурс в историю. Сообщение Динары.


Архимед сумел вычислить некоторые площади и объемы, фактически находя пределы интегральных сумм для квадратической функции. Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли развитие и были доведены до уровня интегрального исчисления.

Символ интеграла был введен Г.Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением латинской буквы S(первой буквы слова summa). Слово интеграл придумал Я.Бернулли (1690 г.) Оно происходит от латинского integro, которое означает «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Действительно операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Обозначение определенного интеграла ввел К.Фурье (1768-1830гг.), но пределы интегрирования ввел Эйлер.

Так интегрировались, суммировались идеи и открытия. Вычисление определенного интеграла было сведено к формуле Ньютона-Лейбница, названной в честь математиков, впервые использовавших связь дифференцирования и интегрирования.


-Формула Ньютона-Лейбница гласит, что интеграл равен приращению первообразной. Запишите формулу в тетрадь. hello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif=F(b)-F(a),

Где F(x) – любая первообразная для функции f(x) на отрезке [ а; в ] .

Как получить геометрически эту формулу, желающие могут прочитать на страницах учебника140-141.


Эта формула позволяет во многих случаях просто вычислять определённый интеграл. Но пользоваться ей лучше в таком виде: Если F(b)-F(a)= F(x)|ab , то

hello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif= F(x)|ab = F(b)-F(a)


А теперь вычислим (сама) по формуле Ньютона-Лейбница интеграл из лабораторной работы hello_html_7f93fdf7.gifи вы убедитесь какой метод легче.


  1. Закрепление изученного материала. Решение примеров, используя формулу Ньютона-Лейбница.


  1. hello_html_75675ade.gif1hello_html_75675ade.gif. (Динара, остальные в тетрадях.)


2. ( Руслан, остальные в тетрадях).


3. Дополнительно: №16 (1-самостоятельно (ответ 9)), (3-на доске (ответ3/8)).

18 (1,3).















8.Самостоятельная работа в листах опроса (если останется время).

(решение в тетрадях, на листах опроса только ответы)

Вариант I.

  1. Запишите с помощью интеграла площадь фигуры, изображенной на рисунке: 1hello_html_m56dce35b.png

Вычислите определенные интегралы: 2.hello_html_m4acf905c.gifhello_html_m4acf905c.gif 3. hello_html_m46b92e5b.gif.

hello_html_m363ec29c.gif


Вариант II.

1.Запишите с помощью интеграла площади фигуры, изображенной на рисунке:

hello_html_11a078cc.png



Вычислите определенные интегралы:

2. hello_html_m168ddd3e.gifhello_html_m168ddd3e.gif

3. hello_html_65560466.gifhello_html_65560466.gif.

Ответы: 1в: 1) hello_html_1ab6da21.gifhello_html_1ab6da21.gif 2) 1; 3) 8.


2в: 1) hello_html_4c02d7dd.gifhello_html_4c02d7dd.gif 2) 1; 3) 1,5.

Подсчет баллов на листах опроса.












6.Рефлексия деятельности. Подведем итог урока.

Что нового вы сегодня узнали на уроке? И для чего можно использовать эти знания?

(Площадь криволинейной трапеции находится с помощью интеграла.

Интеграл вычисляется с помощью формулы с помощью формулы Ньютона-Лейбница (если удастся найти первообразную) или с помощью интегральных сумм (если не удается найти первообразную).


Проанализируйте свою деятельность на уроке и оцените свою работу.

Выведите средний балл ваших оценок и положите листы на край стола.

Не менее 18 баллов – оценка «5» От 6 до 12 баллов - оценка «4» При 6 баллах - оценка «3» Меньше 6 баллов – оценка «2» .

Поднимите руки те,

кому было трудно понять, но интересно изученное на уроке.

Кому было понятно, но остались вопросы?

Кому было все понятно?

Количество поднятых рук подсчитывается. Кто понял, это хорошо. Кому было не все понятно, еще раз, обьясним на следующем уроке.


- Ребята!Поработайте дома с конспектом урока и выполните домашнее задание (на листочках) по выбранному вами уровню. До свидания! Всем спасибо!

Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.

Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.

До свидания! Всем спасибо!

Лист опроса ученика

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».




Лист опроса ученика __________________________ .

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».




Лист опроса ученика ______________________________ .

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».






Лист опроса ученика __________________________ .

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».




Лист опроса ученика ______________________________ .

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».



Лист опроса ученика __________________________ .

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».




Лист опроса ученика ______________________________ .

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».





Лист опроса ученика __________________________ .

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».




Лист опроса ученика ______________________________ .

задания

Взаимно обратные операции

Найдите первообразную

Найдите пару "функция-её первообразная"

Самостоятельная работа

1



а - , д - ,

в - , м - ,

ж - , л - ,

и - .




1.

2.

3.

2



3



4



5



Количество баллов





Общее количество баллов:

Оценка:

Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5», 13 - 17 баллов - оценка «4»,

9 - 12 - оценка «3», меньше 9 баллов – оценка «2».





Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.



_____________________________________________________________________________________________


Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.



_____________________________________________________________________________________________




Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.










Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.



_____________________________________________________________________________________________


Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.



_____________________________________________________________________________________________




Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.





Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.



_____________________________________________________________________________________________


Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.



_____________________________________________________________________________________________




Домашнее задание по уровням.

Решите самостоятельно задания любого уровня.


Уровень 1 (на «3»).

1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).

2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.


Уровень 2 (на «4», « 5»).

    1. 15(2,6), 18 (2,4), 19 (6).

    2. Без вычислений запишите, чему равен интеграл hello_html_613c2192.gifhello_html_613c2192.gif

Указание: используйте график функции y=hello_html_3b32ae7d.gifhello_html_3b32ae7d.gif

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.









Вычисление площади криволинейной трапеции






С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.

Вычисление площади криволинейной трапеции






С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.



Вычисление площади криволинейной трапеции






С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.



Вычисление площади криволинейной трапеции






С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.



Вычисление площади криволинейной трапеции






С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.



Вычисление площади криволинейной трапеции






С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.



Вычисление площади криволинейной трапеции






С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.



Вычисление площади криволинейной трапеции






С помощью интегральной суммы:



    1. аMNв- криволинейная трапеция.

    2. Разобьем отрезок [ а;в ] на n равных частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.

3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ] :


SAPKBSAP1K1B=f(ck) ∆x k

xk =xk - xk-1

4.SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk + … +f(cn) ∆xn (*) -


Это интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].



Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

С помощью интеграла:


5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а; в ], т.е. ∆x k0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + … +f(c n) ∆x n стремится к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от функции f(x) на отрезке [ а; в ] и обозначают так hello_html_m13162b8a.gifhello_html_7d7556a4.gifhello_html_7d7556a4.gif (читается « Интеграл от а до в эф от икс дэ икс»).

Если на отрезке [ а; в ] f(x) > 0, то


SаMNв = hello_html_7d7556a4.gif,

где f(x) – подынтегральная функция,

слагаемое интегральной суммы f(x)dx – подынтегральное выражение,

a и b – пределы интегрирования, нижний и верхний.





Сообщение Лилии.

- Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков.

Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.









_____________________________________________________________________________________







Экскурс в историю. Сообщение Динары.


Архимед сумел вычислить некоторые площади и объемы, фактически находя пределы интегральных сумм для квадратической функции. Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли развитие и были доведены до уровня интегрального исчисления.

Символ интеграла был введен Г.Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением латинской буквы S(первой буквы слова summa). Слово интеграл придумал Я.Бернулли (1690 г.) Оно происходит от латинского integro, которое означает «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Действительно операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Обозначение определенного интеграла ввел К.Фурье (1768-1830гг.), но пределы интегрирования ввел Эйлер.

Так интегрировались, суммировались идеи и открытия. Вычисление определенного интеграла было сведено к формуле Ньютона-Лейбница, названной в честь математиков, впервые использовавших связь дифференцирования и интегрирования.



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 01.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров276
Номер материала ДБ-310648
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх