Ответы пишите в третий
столбец. Оцените себя на листе опроса
6.Актуализация темы и цели
урока. Слайд 5.
- Ребята,
я назову понятие, а вы скажете какой термин будет в паре: дифференцирование и…
(интегрирование) Какие это действия? (взаимно обратные).
Итак,
тема урока «Интеграл. Вычисление интеграла». Запишите число и тему урока
-
Послушаем краткое сообщение Лилии. Слайд
6.
- Интеграл,
интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы
математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур,
в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.
Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей
дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века
до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать
фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь
(объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных
кусочков.
Во
второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием
математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским
физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они
создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно
вычислять интегралы.
---Сегодня
мы будем следовать естественноисторическому развитию математики, и искать тот
самый скрытый порядок в хаосе…
7.Изучение
нового материала.
На прошлом
уроке мы с вами ввели понятие криволинейной трапеции и получили интегральную
сумму для вычисления площади криволинейной трапеции.
Сегодня
продолжим эту работу.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
-Знак интеграла ∫ по- моему напоминает элементы татарского орнамента. Давайте
посмотрим.
-Ну,
теперь запомните знак интеграла и наш урок.
- Посмотрим рисунки 90и 91 из учебника.
- Таким,
образом, задача о нахождении площади криволинейной трапеции сводится к
вычислению интеграла. В этом состоит смысл определенного интеграла.
-
Вывод: Интеграл- это площадь. Или площадь криволинейной трапеции – это
определенный интеграл, т. к. площадь имеет конкретное значение.
Аналогично
с помощью интеграла решаются и многие другие геометрические и физические
задачи. Примеры физических задач будут рассмотрены в §5.
-Запишите с помощью
интеграла площади фигур, изображенных на рисунке.
Слайд 8.
Выделите подынтегральную
функцию; пределы интегрирования.
Обратная
задача:
как изобразить криволинейную трапецию, если задан интеграл?
Пример (Изобразить криволинейную
трапецию) Слайд 9.
Итак, интеграл -
это площадь криволинейной трапеции. (Запишите в
тетрадях).
Если умеем
вычислять площадь, то научимся вычислять интеграл.
Пример –
интеграл через площадь.
1.Прототип
В8 ЕГЭ
Этот
интеграл можно вычислить, используя геометрический смысл определенного
интеграла.
Наводящие
вопросы:
Данный
интеграл – это площадь фигуры, ограниченной … графиком какой функции?
На каком
промежутке мы должны рассматривать эту функцию?
Найдем
площадь прямоугольной трапеции. Как находится площадь трапеции?
Т.о.
интеграл равен 10.
2.Вычислить
интеграл , используя геометрический смысл
определенного интеграла.
Наводящие
вопросы:
Данный
интеграл – это площадь фигуры, ограниченной … графиком какой функции?
Постройте
график этой функции у = х.
На каком
промежутке мы должны рассматривать эту функцию?
Найдем
площадь полученной фигуры. Как находится площадь прямоугольного треугольника?
Какого
знака функция на заданном промежутке? Т.о. интеграл равен -2.
Обобщение. Слайд 10.
Если
функция произвольная, то условимся брать площадь фигуры, расположенной выше оси
x, со
знаком «+», а ниже оси x – со
знаком «– », тогда интегралом от функции f будем считать сумму площадей
частей, взятых с указанными знаками.
Формула Ньютона-Лейбница.
Интегральная
сумма дает приближенное значение интеграла.
Вычисление
пределов интегральных сумм оказалось трудоемким процессом, как вы видели.
Экскурс в историю.
Сообщение Динары.
Архимед
сумел вычислить некоторые площади и объемы, фактически находя пределы
интегральных сумм для квадратической функции. Потребовалось более полутора
тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли развитие и были доведены до уровня
интегрального исчисления.
Символ
интеграла был введен Г.Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением
латинской буквы S(первой
буквы слова summa). Слово
интеграл придумал Я.Бернулли (1690 г.) Оно происходит от латинского integro, которое
означает «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Действительно
операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой
получена подынтегральная функция. Обозначение определенного интеграла ввел
К.Фурье (1768-1830гг.), но пределы интегрирования ввел Эйлер.
Так
интегрировались, суммировались идеи и открытия. Вычисление определенного
интеграла было сведено к формуле Ньютона-Лейбница, названной в честь
математиков, впервые использовавших связь дифференцирования и интегрирования.
-Формула
Ньютона-Лейбница гласит, что интеграл равен приращению
первообразной. Запишите формулу в тетрадь. =F(b)-F(a),
Где F(x) – любая
первообразная для функции f(x) на отрезке [ а; в ] .
Как
получить геометрически эту формулу, желающие могут прочитать на страницах
учебника140-141.
Эта формула позволяет во многих случаях
просто вычислять определённый интеграл. Но пользоваться ей лучше в таком виде:
Если F(b)-F(a)=
F(x)|ab
, то
= F(x)|ab = F(b)-F(a)
А теперь
вычислим (сама) по формуле Ньютона-Лейбница интеграл из
лабораторной работы и вы убедитесь какой метод легче.
5. Закрепление
изученного материала. Решение примеров, используя формулу Ньютона-Лейбница.
1. 1. (Динара, остальные в тетрадях.)
2. ( Руслан, остальные в
тетрадях).
3. Дополнительно: №16 (1-самостоятельно (ответ 9)), (3-на доске (ответ3/8)).
№18 (1,3).
8.Самостоятельная работа в листах опроса (если останется время).
(решение в
тетрадях, на листах опроса только ответы)
Вариант I.
1.
Запишите с помощью
интеграла площадь фигуры, изображенной на рисунке: 1
Вычислите
определенные интегралы: 2. 3. .
Ответы:
1в: 1) 2) 1; 3) 8.
2в: 1) 2) 1; 3) 1,5.
Подсчет
баллов на листах опроса.
6.Рефлексия
деятельности. Подведем итог урока.
Что нового
вы сегодня узнали на уроке? И для чего можно использовать эти знания?
(Площадь
криволинейной трапеции находится с помощью интеграла.
Интеграл
вычисляется с помощью формулы с помощью формулы Ньютона-Лейбница (если удастся
найти первообразную) или с помощью интегральных сумм (если не удается найти
первообразную).
Проанализируйте
свою деятельность на уроке и оцените свою работу.
Выведите
средний балл ваших оценок и положите листы на край стола.
Не менее 18 баллов
– оценка «5» От 6 до 12 баллов - оценка «4» При 6 баллах - оценка «3» Меньше 6
баллов – оценка «2» .
Поднимите
руки те,
кому
было трудно понять, но интересно изученное на уроке.
Кому было понятно, но остались вопросы?
Кому
было все понятно?
Количество
поднятых рук подсчитывается. Кто понял, это хорошо. Кому было не все понятно,
еще раз, обьясним на следующем уроке.
- Ребята!Поработайте
дома с конспектом урока и выполните домашнее задание (на листочках) по
выбранному вами уровню. До свидания! Всем спасибо!
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
1. № 15(2,6),
18 (2,4), 19 (6).
2. Без
вычислений запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
До
свидания! Всем спасибо!
Лист
опроса ученика
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару
"функция-её первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Лист
опроса ученика __________________________ .
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару
"функция-её первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Лист
опроса ученика ______________________________ .
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару
"функция-её первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Лист
опроса ученика __________________________ .
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару
"функция-её первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Лист
опроса ученика ______________________________ .
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару
"функция-её первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Лист
опроса ученика __________________________ .
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару
"функция-её первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Лист
опроса ученика ______________________________ .
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару "функция-её
первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Лист
опроса ученика __________________________ .
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару
"функция-её первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Лист
опроса ученика ______________________________ .
№
задания
|
Взаимно обратные
операции
|
Найдите первообразную
|
Найдите пару
"функция-её первообразная"
|
Самостоятельная работа
|
1
|
|
|
а - , д - ,
в - , м -
,
ж - , л -
,
и - .
|
1.
2.
3.
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
Общее количество
баллов:
|
Оценка:
|
Общее количество баллов 20.18 – 20 баллов – оценка «5»,
13 - 17 баллов - оценка «4»,
9 - 12 - оценка
«3», меньше 9 баллов – оценка «2».
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
3. № 15(2,6),
18 (2,4), 19 (6).
4. Без
вычислений запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
_____________________________________________________________________________________________
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
5. № 15(2,6),
18 (2,4), 19 (6).
6. Без
вычислений запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
_____________________________________________________________________________________________
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
7. № 15(2,6),
18 (2,4), 19 (6).
8. Без
вычислений запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
9. № 15(2,6),
18 (2,4), 19 (6).
10. Без вычислений
запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
_____________________________________________________________________________________________
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
11. № 15(2,6), 18
(2,4), 19 (6).
12. Без вычислений
запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
_____________________________________________________________________________________________
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
13. № 15(2,6), 18
(2,4), 19 (6).
14. Без вычислений
запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
15. № 15(2,6), 18
(2,4), 19 (6).
16. Без вычислений
запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
_____________________________________________________________________________________________
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
17. № 15(2,6), 18
(2,4), 19 (6).
18. Без вычислений
запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
_____________________________________________________________________________________________
Домашнее задание
по уровням.
Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1). № 14(2), 16 (2,4), 17(2,4).
2)
Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
19. № 15(2,6), 18
(2,4), 19 (6).
20. Без вычислений
запишите, чему равен интеграл
Указание:
используйте график функции y=
Каким
свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью
интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью
интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью
интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью
интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью
интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью
интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
Вычисление площади
криволинейной трапеции
С помощью
интегральной суммы:
1. аMNв-
криволинейная трапеция.
2. Разобьем
отрезок [ а;в ] на n равных
частей и через точки деления проведем прямые, перпендикулярные оси Ох.
3.Рассмотрим трапецию с основанием [xk-1 ; xk ]
:
SAPKB ≈ SAP1K1B=f(ck) ∆x k
∆xk =xk - xk-1
4.SаMNв≈ f(c1)
∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆xk
+ … +f(cn) ∆xn (*) -
Это
интегральная сумма функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Но эта формула даёт лишь приближённое
значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
С помощью
интеграла:
5.В курсе анализа доказано, что при увеличении числа точек деления отрезка [ а;
в ], т.е. ∆x k → 0, сумма SаMNв≈ f(c1) ∆x1 + f(c2) ∆x2 +… +f(ck) ∆x k + …
+f(c n) ∆x n стремится
к некоторому числу, т.е. имеет предел. Этот предел называется интегралом от
функции f(x) на
отрезке [ а; в ] и обозначают так (читается « Интеграл от а до в эф
от икс дэ икс»).
Если на отрезке [
а; в ] f(x) > 0,
то
SаMNв = ,
где f(x) –
подынтегральная функция,
слагаемое
интегральной суммы f(x)dx –
подынтегральное выражение,
a и b – пределы
интегрирования, нижний и верхний.
Сообщение Лилии.
- Интеграл,
интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы
математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур,
в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.
Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей
дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века
до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать
фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь
(объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных
кусочков.
Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим
развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему
английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г.
Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по
которым можно вычислять интегралы.
_____________________________________________________________________________________
Экскурс в историю.
Сообщение Динары.
Архимед
сумел вычислить некоторые площади и объемы, фактически находя пределы
интегральных сумм для квадратической функции. Потребовалось более полутора
тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли развитие и были доведены до уровня
интегрального исчисления.
Символ
интеграла был введен Г.Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением
латинской буквы S(первой
буквы слова summa). Слово
интеграл придумал Я.Бернулли (1690 г.) Оно происходит от латинского integro, которое
означает «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Действительно
операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой
получена подынтегральная функция. Обозначение определенного интеграла ввел
К.Фурье (1768-1830гг.), но пределы интегрирования ввел Эйлер.
Так
интегрировались, суммировались идеи и открытия. Вычисление определенного
интеграла было сведено к формуле Ньютона-Лейбница, названной в честь
математиков, впервые использовавших связь дифференцирования и интегрирования.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.