Использование проблемной технологии на уроках математики. Формирование диалектико-материалестического мышления школьников как основы их мировоззрения.

Урок по алгебре и начала анализа в 11 классе по учебнику С.М.Никольского.

Тема: Первообразная

Цель: Ввести понятие первообразной для функции y=f(x), уяснить ее физический и геометрический смысл, учить догадываться, проводить доказательство гипотез, учить составлять конспект.

Тип: Школьная лекция.

Ход урока.

I Организационный момент

II Актуализация опорных знаний

1. Понятие обратной задачи.

          1) Решить уравнение: х²-5х+6=0

          Обратная задача: составить уравнение по его корням: х=2, х=3.

          2) Построить график функции: y = х²+1.

          Обратная задача: составить уравнение функции, заданной графиком.

Сравниваем с понятием обратной теоремы, в чем сущность?

Сравниваем задачи, выделяем общее в их структуре (устно)

          3) Парность действий в математике

          ( + ) → ( - )

          ( • ) → ( : )

          у' → f(x)

          Противоположность в диалектике.

Применение аналогии для выдвижения гипотезы. Так как все известные нам действия имеют обратные, естественно поискать обратное и для дифференцирования.

2. Коллективная постановка проблемы: Есть ли обратное действие дифференцированию и какие задачи к нему приводят?

Ориентир: Нужно вспомнить все о прямом действии (дифференцировании)

3. Припоминание основных сведений о производной.

Повторение сути, физического и геометрического смысла производной. Что нам известно о прямом действии? (с этого начнем решение проблемы)

y=f(x); - скорость изменения функции.

В физике — мгновенная скорость (сравнение со средней скоростью)

В геометрии — тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох

Пример:

→→(a=V'(t)=g)

Зная закон движения точки, можно определить V'(t), а'(t).

Сформулируем обратную задачу для  t (устно) а(t)→V(t)→S(t)

В физике решают эту задачу зная закон скорости или ускорения, находят закон движения, скорости.

III Мотивация учебной деятельности

1. Краткий рассказ о корректировке движения космического корабля. (связь с практикой, роль математики в выборе профориентации, подготовка к выбору профессии)

2. Итог: сформулирована практическая задача, обратная дифференцированию.

IV Совместное планирование учебной деятельности

Разработать, изучить математический аппарат для ее решения (математика на службе других наук, практика — одна из движущих сил развития науки, воспитание диалектического мировоззрения. Один из источников развития науки: жизнь ставит задачи — наука должна их решать.)

V Изучение нового материала

Введение понятия первообразной.

1. Определение: F(x) – первообразная функции y=f(x), если F'(x)=f'(x), x∈ [a;b]

Второй этап решения проблемы: знакомство с теорией вопроса.
Пример: S(t) – первообразная для V(t), V(t) – первообразная  для a(t).

Действие нахождения первообразной — интегрирование.

Решение упражнений на применение понятия первообразной.

2. Геометрическое истолкование нахождения первообразной. Вспомним геометрическую суть производной, определение первообразной. Учащиеся сами ищут ответ ориентир.

3. Применение теории к практике. Отыскание первообразных (угадывание, доказательства)

Пример: у=х. Найти первообразную.

1) Вспоминаем, какая функция имеет данную производную.

2) Восстанавливаем первообразную по ее производной  у=х→

4. Анализ своей мыслительной деятельности при отыскании первообразных, отделение существенных связей и отношений. Осознание всеми последовательности рассуждений (составляем коллективно)

5. Доказательство гипотезы (идея: применить способ проверки по определению производной)

Выработка практических навыков:

6. Обобщение по индукции (сравнить, найти общее, существенные связи; в первообразной степенной функции показатель увеличивается на 1, а в знаменателе появляется множитель, равный показателю, обобщить, сделта математическую запись)

(гипотеза)

7. Доказательство: что и требовалось доказать

VI Закрепление материала

1. Устно: Верна ли запись?

(у=sinx) <=> (F(x)=-cosx)

(у=cosx) <=> (F(x)=sinx)

2. Как понимать эти записи? (Подчеркиваем наличие единства двух противоположностей)

3. Задачи на доказательство того, что функция F(x) есть первообразная для f(x) на заданном промежутке.

Пример:

4. Как мыслить? Ориентир: припомним решали ли похожую задачу? Сравниваем в чем отличие, общее? На какой теоретический материал сослаться при выборе способа решения (доказательства)?

Для всех х∈(0; +∞)

VII Самоконтроль

Отрабатываем общий подход: приступая к решению новой задачи, вспоминаем, не было ли раньше похожей ситуации, применяем аналогию, накапливать и ценить свой опыт решения задач.

VIII Дифференцированное домашнее задание №6.1 (устно), №6.2 (б, г, е), №6.5 (б), творческое задание для функции f(x) найти ту первообразную, график которой проходит через точку А f(x)=х³, A (-2; 3); f(x)=sinx, A

IX Подведение итога урока. Выделить главное в материале. Что нужно точно знать?