Исследовательская работа Квадрат Пирсона для решения задач на смеси и сплавы

Любому завороженному  математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать математические теоремы для решения сложных задач. «В математике нет царских путей» но я решила найти легкий  способ решения. Для этого мы с моим учителем решили изучить квадрат Пирсона. В моей работе я рассмотрела задачи на сплавы и смеси, которые на взгляд учащихся старших классов  являются  сложными. В  данной работе расскажем о способе решения задач на концентрацию веществ, который предложил английский математик и статистик Карл (Чарльз) Пирсон.

Актуальность: умение решать задачи на сплавы и смеси помогут мне повысить знания  по математике, по химии и пригодятся  на ЕГЭ.

Объект исследования:  задачи на сплавы и смеси.   

Предмет исследования: «квадрат Пирсона» при решении задач на сплавы и смеси.

 Цель исследования:    показать и раскрыть суть способа решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона».

Задачи:

-изучить квадрат Пирсона, подобрав необходимую литературу;

-выбрать проблемные задачи, после опроса учеников старших классов;

-проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, анализ.

Гипотеза:  для решения задач на смеси  и сплавы существует простейший метод решения - «квадрат Пирсона».

1. Карл Пирсон (1857-1936) - английский математик, биолог, статистик, философ, член Лондонского королевского общества (с 1896). Родился в Лондоне. Окончил Кембриджский университет. Учился в Гейдельбергском и Берлинском университетах. С 1884 по 1911—профессор прикладной математики и механики Лондонского университетского колледжа.

Этот способ имеет ещё два названия: химики называют этот способ метод креста или конверт Пирсона.

2. Квадрат Пирсона.

Ключевые слова: квадрат Пирсона, смеси, растворы, сплавы.

Обозначения:                                                                                                      m₁ –массовая доля I раствора (вещества),

m₂ - массовая доля II раствора(вещества),

m - искомая массовая доля растворенного вещества в растворе,

Х₁-процентное содержание 1 вещества,

Х₂-процентное содержание 2 вещества,

R-процентное содержание полученного вещества, после концентрации. 

3.Задачи для решения мы взяли из образовательного портала «Решу ЕГЭ», профильная математика, прототипы задании текстовые задачи, задачи на смеси и сплавы.

7. Задание 11 № 99571

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 5

8. Задание 11 № 99572

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 17

9. Задание 11 № 99573

Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ:21

11. Задание 11 № 99575

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Ответ: 100

12. Задание 11 № 99576

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Ответ: 9

Задача из жизни.

 Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров воды нужно добавить к 60 литрам морской воды с 45% содержанием?

4. Практическая часть. Решение задач.

7. Задание 11 № 99571

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ:5

8. Задание 11 № 99572

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 17

9. Задание 11 № 99573

Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ:21

11. Задание 11 № 99575

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Ответ: 100

12. Задание 11 № 99576

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Ответ: 9

Задача из жизни.

 Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров воды нужно добавить к 60 литрам морской воды с 45% содержанием?

Заключение.

         Для решения задач на концентрацию существует оригинальный метод решения - «квадрат Пирсона». Как и все методы решений, «квадрат Пирсона» имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен нам, ученикам. Также «квадрат Пирсона» полезен для домохозяек, чтобы получать нужную концентрацию уксуса или сиропа. Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, «квадрат Пирсона» не поможет. Немецкий физик 18-го столетия Лихтенберг сказал: «То, что вы были вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость». Поэтому я решила исследовать метод решения задач на смеси и сплавы, используя «квадрат Пирсона», чтобы в дальнейшем использовать этот метод в подготовке к ОГЭ и  ЕГЭ.

     Изучив тему, мы провели опрос учащихся 9-11 классов в виде небольшой анкеты (Приложение 1). Результаты показали, что некоторые учащиеся умеют решать задачи на смеси и сплавы  другими способами, а квадрат Пирсона никому не знаком.

     Надеюсь, что моя работа найдет практическое применение для подготовки учащихся к экзаменам.

    Считаю, что цели и задачи исследовательской работы полностью реализованы.

Список литературы:

1.     Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.

2.     Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ (сайт Гущина)

3.     Интернет- ресурсы.

Приложение 1

Анкета

Вопросы:

1. Решаете ли вы задачи на уроках математики и химии задачи на смеси и сплавы?            

                                                                                                                     Да Нет

2.Умеете ли вы решать задачи на смеси и сплавы ?                             Да Нет                                                                   

3.Легко ли вам решать задачи на смеси и сплавы?                               Да Нет                                                

4. Знаком ли вам квадрат Пирсона?                                                       Да Нет

Результаты опроса:

Класс	Количество опрошенных	1 вопрос	2 вопрос	3 вопрос	4 вопрос
		Ответили - Да
9	10	5	8	0	1
10	15	9	3	0	0
11	9	4	3	2	0
Итого:	34	18	14	2	1