Исследовательская работа "Магические квадраты"

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с. Борискино-Игар

муниципального района Клявлинский

Самарской области

Исследовательская работа по теме:

«Магические квадраты»

Окружной конкурс «Интеллект  творчество фантазия».

Секция математика

Работу выполнил: Кошкин Валерий Владимирович

 ученик 8 класса

 ГБОУ СОШ с. Борискино-Игар

                  Научный руководитель: Плохова Елена Владимировна,

                                           учитель математики

г. Похвистнево

2014г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение  ________________________________________________________2-4

Глава 1. Магический квадрат  ________________________________________5-7

1.1. Что такое «Магический квадрат»?  ________________________________5

1.2. История появления магических квадратов  _________________________5-6

1.3. Магический квадрат 3·3  ________________________________________6-7

Глава 2. Способы составления магических квадратов  ___________________7-10

     2.1. Магические квадраты нечетного порядка  _______________________7-8

        1.  Метод достроения  __________________________________________7-8                       

         2.Метод А. Лубера  ____________________________________________8

     2.2.  Магические квадраты четного порядка  _________________________ 8

        1. Четно-четные квадраты  ______________________________________8-9

        2. Четно-нечетные квадраты  ____________________________________9-10

Глава 3. Латинские квадраты и их применение  _________________________10-12

Глава 4. Судоку  ___________________________________________________11

      4.1 Феномен Судоку ____________________________________________11

      4.2 Правило игры  ______________________________________________11-12

      4.3. Разновидности  _____________________________________________12

Глава 5. Магический квадрат Пифагора: насколько он магический  ________12-16

Заключение  ______________________________________________________16-17

Список использованной литературы  _________________________________18

Высшее назначение математики – находить

 порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер

ВВЕДЕНИЕ

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной... Оказалось, что, располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой.

                                        Е.Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана      (рисунок 1-приложения

В своей работе я рассмотрел  вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей - магических квадратов.

Само понятие «магические квадраты» содержит тайну, загадку, а после знакомства с историей и некоторыми свойствами этих квадратов, возникает желание продолжать исследование.

Я  постараюсь отразить самые яркие, важные, интересные факты из теории и практики составления магических квадратов. При этом передо мной раскрывались любопытные математические свойства предмета исследования.

В ходе исследовательской  работы я не только расширил свои знания по данной теме и повысил свои вычислительные навыки,  но и научился составлять магический квадрат Пифагора, с помощью которого можно познать характер человека, состояние его здоровья, потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки. 

Во время летних каникул мне часто приходилось решать кроссворды. В одном журнале меня заинтересовала задача на логическое мышление - заполнение магического квадрата. Необходимо было  заполнить квадрат числами от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел  по столбцам, по строкам и по диагоналям была одинакова.

Как это сделать, я не знал, поэтому решил обратиться за помощью к папе. Мы перебирали различные варианты, и, наконец, задача решена.  И вот мой квадрат заполнен. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Я предположил, что существует специальный прием, который помогает быстро заполнить магический квадрат. Так же  задачу на составление магического квадрата мне пришлось решать участвуя в математической олимпиаде. Времени так же потрачено было много. Это и побудило меня заняться данной работой.

Передо мной встала проблема: а действительно ли они магические и как они появились?

 Я решил провести своё исследование.

Цель исследования:  выяснить различные способы составления магических квадратов и  изучить области их применения.

В связи с вышесказанным, поставил перед собой следующие задачи

·         познакомиться с историей появления магических квадратов;

·         выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;

·         выявить области применения  магических квадратов;

·         провести исследование и подтвердить или опровергнуть утверждение Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения.

Актуальность моего исследования заключается в умение составлять магические квадраты, повышать и развивать интерес к новым загадочным головоломкам, к предмету математики и истории ее развития,  развивать любознательность и логическое мышление.

Гипотеза:  Если  существуют способы заполнения магических квадратов, то изучив их, я  смогу составить магический квадрат любого порядка.

При выполнении работы я пользовался следующими методами:

• поисковый метод (использование справочной и учебной литературы, а также  информационных ресурсов глобальной сети Интернет);
• практический метод (составление магических квадратов на основе полученных знаний);
• исследовательский метод (составление психологического портрета личности по квадрату Пифагора).
• анализ полученных в ходе исследования данных.

Объект исследования: магические квадраты.

Предмет исследования: процесс развития теории магических квадратов, свойства, практическое применение.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники, что такое магические квадраты, а так же Судоку. Был  проведен устный опрос. Было опрошено 30 человек относительно Магических квадратов. Опрос показал, что 3 человека знают и могут дать определение магического квадрата; 18 – слышали о магических квадратах; остальные 9 – понятия не имеют о чём идёт речь.

Относительно Судоку было опрошено 34 ученика:  этот опрос показал, что 12 человек знают  что такое Судоку и решают, при чём среди них 5 – имеют оценку "5" по математике, 4 – "4", и 3 – "3"; 13 человек знают, что такое Судоку, но не решают их, 9 не знают, что такое Судоку и  соответственно не решают. Этот опрос показал, что нынешняя молодёжь довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Глава 1   Магические квадраты

1.1 Что такое «магический квадрат»?

Магическим квадратом n-го порядка называ­ется квадратная таблица размером n х n, за­полненная натуральными числами от 1 до n², суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают маги­ческие квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоя­щих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.

1.2.  История появления магических квадратов

Говорить люди умели раньше, чем научились фиксировать сказанное. И простейшие вычисления с использованием условных единиц в виде пальцев, палочек, камешков, узелков появились ещё до того, как люди смогли записать это. Но доказательно судить о том, что и когда научился делать человек в своём развитии, мы можем только на основе дошедших до нас вещественных и письменных источников.

Точно можно утверждать, что история магических квадратов начинается в древнем Китае. В ранних литературных сочинениях, написанных там ещё до нашей эры, появляются упоминания о некой схеме «ло-шу», которые «мудрые берут за образец». Изображение магического квадрата в виде связанных кружков встречается в более позднем трактате мыслителя Чжу Си.

Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рисунок2 -приложения) и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному. Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим магический квадрат 3·3 (рисунок 3-приложения).

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В средние века магические квадраты приобрели необычайную популярность. В XI в. о них узнали в Индии, а затем в Японии. Им была посвящена обширная литература. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия» (рисунки 4,5-приложения).

Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Еще более замечательным является магический квадрат 4-го порядка, найденный в индийской надписи XI в. до н.э. (рисунок 6- приложения).

Этот квадрат сохраняет свойство быть магическим и после того, как его строки одна за другой перемещаются сверху вниз или столбцы аналогично перемещаются слева направо. Иными словами, если сделать ковер из этих квадратов, то, вырезав любую его часть из 4 строк и 4 столбцов, получаем снова магический квадрат.

Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43·43, содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, еще многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

В IX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

1.3. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3·3

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Можно попробовать перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезет — вы получите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400 000 перестановок в этом квадрате, 9х8х7х6х5х4х3х2х1.

Гораздо интереснее составить такой магический квадрат с помощью рассуждений. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате три строки. Значит, в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45 : 3 = 15. Но тогда, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел тоже должна быть равна 15.

Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9: 9+5+1, 9+4+2, 8+6+1, 8+5+2, 8+4+3, 7+6+2, 7+5+3, 6+5+4.

Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах четыре раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах три раза (строка, столбец, диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырех мест, должно встречаться в суммах только два раза (строка и столбец).

Поскольку в полученных суммах четыре раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы.

Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они должны стоять в углах таблицы, причем так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали (2+5+8=15), а 4 и 6—на другой. Продолжая рассуждения, можно построить магический квадрат.

Существует единственный магический квадрат 3·3, так как остальные магические квадраты 3·3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 90° или на 180° (рисунок 7- приложения).

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9). С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Например, существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 000 000 магических квадратов порядка 5. В ходе своей работы, я пришел к выводу, что магических квадратов 2 · 2 не существует. Квадрат размером 2·2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная была бы равна 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям, но никак не одновременно.

Глава 2. Способы составления магических квадратов.

Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата:

·     нечетными, то есть состоять из нечетного числа клеток,

·     четно-четные, то есть порядок равен удвоенному четному;

·     четно-нечетные, то есть порядок равен удвоенному нечетному.

2.1 МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА

1. Метод достроения

Сначала исходный (пустой) квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом 0, а достроенные ячейки - символом * (рисунок8-приложения).

Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке. Результат заполнения показан на рисунке 9-приложения.

Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного (закрашенного) квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного (закрашенного) квадрата на число клеток, равное порядку квадрата – в данном случае на 5 клеток. Таблица переносов имеет следующий вид:

1 - вниз под 13	2 - вниз под 14	6 - вниз под 18
21 - вправо за 13	22 - вправо за 14	16 - вправо за 8
5 - влево перед 13	4 - влево перед 12	10 - влево перед 18
25 - вверх над 13	24 - вверх над12	20 - вверх над 8

     Освободившиеся ячейки, заполненные символом *, должны быть исключены. Оставшиеся внутренние ячейки, заполненные натуральными  числами, образуют магический квадрат, представленный  следующей  таблицей  5x5: (рисунок 10-приложения). Сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.

2. Метод А.де ла Лубера (французского геометра 17 в.)

Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рисунок11-приложения). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается. Сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.

2.2 МАГИЧЕКИЕ КВАДРАТЫ ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

1 Четно- четные квадраты

 Порядок которого равен степени числа 2

Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.

Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются диагональные элементы (например, символом *). Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева направо и сверху вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. Результат заполнения недиагональных элементов квадрата 8-го порядка показан на рисунке 12-приложения.

Отмеченные на шаге 1 диагональные элементы квадрата заполняют пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа налево и снизу вверх, а числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены. Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260 (рисунок 13-приложения).

Метод Раус – Бола

Он начинается с того, что квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Затем выполняются перестановки чисел в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим. Сначала рассмотрим случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом четного порядка. Такой квадрат называется «четный – четный», Для примера возьмем квадрат 8го порядка. Правила построения четно-четного магического квадрата таковы:

Разделить заполненный числами от 1 до 64 квадрат на четыре равных квадрата порядка 4.

 В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить 2 (8=2·2·2) клетки (всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок.

Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.

Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки.

После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260 (рисунки 14-15-приложения).

2.Четно- нечетные квадраты

Диагональный метод.

Рассмотрим теперь  случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом нечетного порядка. Такие квадраты называются «четно – нечетными».

  Построение четно-нечетного магического квадрата производится аналогично построению четно-четного квадрата, но в этом случае применяется три типа перестановок чисел в клетках. Для примера возьмем квадрат 10·10.

 Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии.(рисунок 16-приложения)

В левом верхнем квадрате порядка 5 выделить 3 группы клеток, пометив их знаками + (голубой цвет), - (желтый цвет) и * (розовый цвет) соответственно. В каждой строке и каждом столбце нужно выделить по 2 [10=2·5=2·(2·2+1)]  клетки первой группы.  Их можно расставить по главной диагонали и на ломаной диагонали. Клеток второго и третьего типа надо выделить по одной в каждой строке и каждом столбце. В качестве клеток второй и третьей групп можно взять клетки, расположенные на двух других ломаных диагоналях (рисунок 17-приложения).

Для клеток первой группы находим симметричные клетки относительно вертикальной оси, помечаем их тоже знаком + (голубой цвет), т. е. клеток, отмеченных знаком + (голубых)  будет10 (рисунок 18-приложения).

Содержимое каждой таких отмеченных клеток обмениваем с содержимым соответствующей ей центрально-симметричной клетки

Содержимое каждой из 5 клеток, отмеченных знаком минус (желтый цвет), обмениваем с содержимым симметричной относительно горизонтальной оси клетки (рисунок19-приложения).

Содержимое каждой из 5 клеток третьей группы, отмеченной * (розовый цвет) обмениваем с содержимым симметричной относительно вертикальной оси клетки (рисунок 20-приложения).

После этих перестановок получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505.

Глава 3. Латинские квадраты и их применение

Латинским квадратом называется квадрат n· n  клеток, в которых написаны числа от 1, до n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рисунке 21-приложения изображены два таких квадрата 3·3. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными (рисунок 22-приложения). Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

Впервые задачу отыскания ортогональных латинских квадратов поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 · 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6·6 не существует. В 1959 г. с помощью  ЭВМ  были  найдены  сначала  ортогональные квадраты 10·10, потом 14·14, 18 ·18, 22 ·22. А затем было показано, что для любого n , кроме 6, существуют ортогональные квадраты n · n.

1. Шифрование текстов

Шифруемый текст вписывали в магические квадраты нужного размера в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения.

Пример магического квадрата и его заполнения сообщением показан на рисунке 23-приложения.

ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО

Шифртекст, получаемый при считывании содержимого правой таблицы по строкам, имеет вид: ОИРМ ЕОСЮ ВТАЬ ЛГОП.

2.Агротехника

Пусть требуется испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем нужно учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный участок земли на 16 делянок. Первый сорт пшеницы посадили на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт - на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т.д. (на рис. сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка (на рис. этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры, стоящие в клетках рисунка, пусть означают : первая - количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на участок, а вторая - количество вносимого удобрения второго вида. Эти числа на 1 меньше чисел в ортогональных латинских квадратах. Заметим, что реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида (рисунок24-приложения).

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике. 

Глава 4. Судоку

4.1. Феномен Судоку

Судоку — это головоломка - пазл с числами, ставшая в последнее время очень популярной. Судоку активно публикуют газеты и журналы разных стран мира, сборники судоку издаются большими тиражами. Решение судоку - популярный вид досуга. Судоку - головоломка, получившая огромную популярность совсем недавно. Эта головоломка появилась в американских журналах в конце 70-х годов, в 80-х прижилась в Японии, где получила большое распространение.  В 2004 году судоку начали печатать английские газеты, откуда судоку - мания перекинулась на Европу и в Австралию. Наконец, в 2005 году эта головоломка триумфально вернулась в США, завершив свой "кругосветный тур". В настоящее время издается множество специализированных журналов и сборников, книг и руководств по их решению, многие газеты печатают судоку наряду с кроссвордами и задачами по шахматам и бриджу (рисунок 25-приложения).

4.2. Правило игры

Ее правила предельно просты: дан квадрат из 81 клетки, который в свою очередь состоит из 9 квадратов по 9 клеток. Нужно расставить в клетках числа от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке и столбце большого квадрата, а также внутри каждого из малых квадратов 3х3 числа не повторялись. Часть клеток в начале заполнена, остальное нужно заполнить самостоятельно, используя логику и трезвый расчет.

4.3. Разновидности

В последнее время появились и более сложные модификации, чем 9 на 9 клеток. Существуют судоку с размерами 15×15 или даже 16×16, предназначенные для опытных игроков. Кроме того, есть судоку, в которых не указываются отдельные цифры, а только суммы цифр в группах клеток; то есть, само поле разбивается на прямоугольные блоки разных размеров и указывается сумма цифр входящих в каждый блок. Для детей используются судоку меньших размеров, например, 2 на 2.

Глава 5. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ПИФАГОРА:НАСКОЛЬКО ОН МАГИЧЕСКИЙ.

Великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат, с индивидуальными числами.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере.. Итак, моя дата рождения 8.10.1999. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей):8+1+1+9+9+9=37. Далее складываем цифры результата:3+7=10. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 37-16=21. И вновь складываем цифры последнего числа: 2+1=3. Осталось сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм:37+21=58, 10+3=13. Получили числа 8.10.1999, 37, 10, 21, 58, 13 и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д.  Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом: (рисунок26-приложения). То есть я: диктатор; чувствителен к изменениям в атмосфере; имеет смысл искать себя в науках, особенно точных; могу правильно рассчитывать ситуацию, извлекать из нее максимальную пользу; чем больше работаю, тем больше получаю в последствии; развито чувство долга, всегда есть желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким; очень умен, к учению не прикладываю усилий, прекрасный собеседник.

Ячейки квадрата (рисунок 27- приложения) означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1- законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 –  «золотая середина». Характер спокойный, покладистый,    коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.

Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 – знак экстрасенса.

Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно  точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 – здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие  к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка

Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют  свою  жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они  наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих   начинаний.   При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Я провел исследование, и выяснял насколько утверждение Пифагора верно. Для этого я составил магические квадраты на моих одноклассников. Всего 21 человек. Затем мы  подсчитали, на сколько процентов качества, показанные в магическом квадрате, совпадают с представлениями каждого из них о себе. Результаты исследования представлены в таблице и диаграмме (рисунок 28-29-приложения).

Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка – природа. На основании полученных результатов можно сделать вывод, что не следует слепо верить всему магическому. Может быть некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики. Работая над проблемой заполнения квадратов, я пришел к выводу, что общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы.

Я систематизировал изученный материал и представил его в виде следующей схемы:

Используя один из этих методов можно заполнить квадрат любого размера. Я составил  8 квадратов разного размера от 3·3 до10·10.

В результате работы я подтвердил гипотезу о том, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.

Ближайшие родственники магических квадратов - латинские квадраты нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В данной работе приведен пример постановки такого эксперимента в агротехнике. Так же я выяснил, что латинские квадраты применяются при шифровании текстов.

Изучая магические квадраты, я обнаружил еще один занимательный квадрат - квадрат Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности. Мною было проведено исследование, насколько магический квадрат Пифагора  соответствует реальным качествам человека. В эксперименте участвовал 21 человек. При анализе результатов, я выяснил, что его магические свойства совпадают на 25%  - у 3 учащихся; на 50% - у 7 учащихся; на 75% - у 5 учащихся; на 100% - у 3 учащихся; не совпадают совсем – у 3 учащихся. На основе этого я сделал вывод: не следует слепо верить всему магическому. Может быть некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.
         Я считаю, что  материалы моей работы с элементами исследования можно использовать при подготовке к олимпиадам по математике,  на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения своего познавательного кругозора, развития логического мышления.

 По результатам проведённого мною исследования и полученного материала можно сделать следующие выводы:

1. Магический квадрат - древнекитайского происхождения;

2 У чисел есть своя собственная жизнь и свои законы;

3. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка;

4. У каждого квадрата свои свойства и тайны;

5. Построение магических квадратов является интересным и увлекательным занятием и одновременно служит хорошей гимнастикой для ума, а так же способствует большему интеллектуальному развитию учащихся;

6 .Судоку развивает мышление и логику в каждом из нас. Проведенные исследования доказали улучшение памяти, мышления, а также препятствие развитию и даже излечение заболеваний связанных с головным мозгом! (таких, как болезнь Альцгеймера) Поэтому, ученые рекомендуют ежедневно решать головоломки судоку.

Список литературы и источники интернет:

1.         Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.:  Просвещение, 1999. 

2.            Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3

3.            Энциклопедический словарь юного математика: Сост. Э – 68 А. П. Савин – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.

4.            Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4

5.            www.gamesday.ru/2668-sudoku-yaponskie-golovolomki.html

6.            http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/posapr/zadanpo/kvadrat.htm 

7.             http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/print.htm

8.            Судоку №5 · 11.03.2009 · Выпускается ИД "Бурда"

9.            Судоку №19 · 23.09.2009 · Выпускается ИД "Бурда"

10.         Шарыгин И. Ф. Шевкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку.- М.: ГАЛАС, 1993.

• 1 слайд

  Пронинский филиал ГБОУ СОШ с. Борискино-Игар
  Исследовательская работа по математике:
  «МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ»
  Выполнил: ученик 8 класса
  Кошкин Валерий Владимирович
  Научный руководитель: Плохова Елена
  Владимировна
  

• 2 слайд

  Проблема:
  а действительно ли они магические и как они появились?
  Цель исследования: 
  выяснить различные способы составления магических квадратов и изучить области их применения.
  

• 3 слайд

  Задачи:
  познакомиться с историей появления магических квадратов;
  выяснить различные способы составления магических квадратов и изучить области их применения;
  выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;
  провести исследование и подтвердить или опровергнуть утверждение Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения.
  

• 4 слайд

  Актуальность
  моего исследования заключается в умение составлять магические квадраты, повышать и развивать интерес к новым загадочным головоломкам, к предмету математики и истории ее развития, развивать любознательность и логическое мышление.
  
  

• 5 слайд

  Гипотеза
  Я думаю, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.
  
  

• 6 слайд

  Методы исследования:
  поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
  практический метод составления магических квадратов на основе полученных знаний;
  исследовательский метод при работе с магическим квадратом Пифагора.
  анализ полученных в ходе исследования данных.
   
  

• 7 слайд

  Объект исследования:
  Магические квадраты
  Предмет исследования:
  процесс развития теории магических квадратов, свойства, практическое применение.
  

• 8 слайд

  Историческая справка
  Известно, что история магических квадратов начинается в древнем Китае. Схема «ло-шу», которые «мудрые берут за образец».
  В XI в. о них узнали в Индии, а затем в Японии. Им была посвящена обширная литература.
  Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия»
  

• 9 слайд

  Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.
  

• 10 слайд

  МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ,
  квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу
  

• 11 слайд

  Какие квадраты существуют?
  Минимальный нетривиальный случай имеет порядок n = 3. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой.
  

• 12 слайд

  МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3·3
  Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).
  

• 13 слайд

  Магические квадраты
  а)нечётные (метод достроения, метод А.де ла Лубера);
  б)чётно-четные(порядок которого равен степени числа 2, метод Раус-Бола);
  чётно-нечётные (диагональный метод).
  

• 14 слайд

  25
  20
  24
  15
  19
  23
  10
  14
  18
  22
  5
  9
  13
  17
  21
  4
  8
  12
  16
  3
  7
  11
  2
  6
  1
  Метод достроения
  

• 15 слайд

  25
  20
  24
  15
  19
  23
  10
  14
  18
  22
  5
  9
  13
  17
  21
  4
  8
  12
  16
  3
  7
  11
  2
  6
  1
  Метод достроения
  

• 16 слайд

  Метод А.де ла Лубера (французского геометра 17 в.)
  

• 17 слайд

  Магические квадраты четного порядка
  Четно четные
  Рассмотрим квадрат порядка 8, 2*4
  

• 18 слайд

  1
  63
  62
  4
  5
  59
  58
  8
  56
  10
  11
  53
  52
  14
  15
  49
  48
  18
  19
  45
  44
  22
  23
  41
  25
  39
  38
  28
  29
  35
  34
  32
  33
  31
  30
  36
  37
  27
  26
  40
  24
  42
  43
  21
  20
  46
  47
  17
  16
  50
  51
  13
  12
  54
  55
  9
  57
  7
  6
  60
  61
  3
  2
  64
  

• 19 слайд

  Метод Раус – Бола
  

• 20 слайд

  Метод Раус – Бола
  

• 21 слайд

  Латинским квадратом
  называется квадрат n·n клеток, в которых написаны числа от 1, до n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. Изображены два таких квадрата3*3. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.
  

• 22 слайд

  Л. Эйлер.
  Впервые задачу отыскания ортогональных латинских квадратов поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 * 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»
  Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6*6 не существует
  Портрет 1753 г.,
  

• 23 слайд

  ПРИМЕНЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ И ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
  Шифруемый текст вписывали в магические квадраты нужного размера в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения.
  

• 24 слайд

  Кодирование информации.
  Пример магического квадрата и его заполнения
  
  ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО
  
  

• 25 слайд

  Агротехника
  Пусть требуется испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем нужно учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений.
  

• 26 слайд

  Судоку
  Судоку— это головоломка - пазл с числами, ставшая в последнее время очень популярной.
  

• 27 слайд

  Магический квадрат Пифагора.
  Изучая магические квадраты, я обнаружил еще один занимательный квадрат - квадрат Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности по дате его рождения.
  Но нельзя слепо верить всему магическому.
  
  
  

• 28 слайд

  Цифра, которая встречается только один раз (или не встречается вообще), говорит о том, что человеку в данной области необходимо приложить некоторые усилия, чтобы улучшить ситуацию.
  Две одинаковые цифры свидетельствуют о том, что это качество развито у него сильнее, чем у большинства людей. Это - его изюминка, козырь.
  Три и более одинаковых цифр - показатель самой яркой черты характера, доминирующей и определяющей жизненную позицию.
  

• 29 слайд

  Расшифровка цифр:
  
  1 - личностные характеристики.
  2 - эмоциональная сфера.
  3 - гармония между чувством и разумом, некая точка равновесия. Эта характеристика не имеет отрицательного значения.
  4 - выживаемость в экстремальных ситуациях.
  5 - интуиция, шестое чувство. Умение разбираться в людях.
  6 - логическое мышление.
  7 - талант, понимаемый как умение делать что-то значительно лучше окружающих.
  8 - целеустремленность, сила воли.
  9 - способность к обучению, постижению материала и применению его на практике.
  

• 30 слайд

  Квадрат Пифагора на моем примере
  То есть я: диктатор; чувствителен к изменениям в атмосфере; имеет смысл искать себя в науках, особенно точных; могу правильно рассчитывать ситуацию, извлекать из нее максимальную пользу; чем больше работаю, тем больше получаю в последствии; развито чувство долга, всегда есть желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким; очень умен, к учению не прикладываю усилий, прекрасный собеседник.
  

• 31 слайд

  Выводы
  Магический квадрат - древнекитайского происхождения;
  У чисел есть своя собственная жизнь и свои законы;
  Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка;
  У каждого квадрата свои свойства и тайны;
  Построение магических квадратов является интересным и увлекательным занятием и одновременно служит хорошей гимнастикой для ума, а так же способствует большему интеллектуальному развитию учащихся;
  Судоку развивает мышление и логику в каждом из нас.
  

• 32 слайд

  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКИ ИНТЕРНЕТ
  Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1999. 
  Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3
  Энциклопедический словарь юного математика: Сост. Э – 68 А. П. Савин – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.
  Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4
  www.gamesday.ru/2668-kakuro-sudoku-yaponskie-golovolomki.html
  http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/posapr/zadanpo/kvadrat.htm 
  http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/print.htm
  Судоку №5 · 11.03.2009 · Выпускается ИД "Бурда"
  Судоку №19 · 23.09.2009 · Выпускается ИД "Бурда"
  Шарыгин И. Ф. Шевкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку.- М.: ГАЛАС, 1993.