Исследовательская работа на тему "Линейные уравнения с параметрами" (8 класс)

          Линейные уравнения с параметром

Оглавление

I. Введение. 3

II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным. 4

III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром. 6

IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид  8

V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром. 10

Заключение. 17

 VI. Список использованной литературы………………………………..….18

 

 

 I. Введение       

          Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами курса  математики. Чаще всего они встречаются в заданиях повышенной сложности, а также ученики довольно часто сталкиваются с такими заданиями на ОГЭ и ЕГЭ. В прошлом году только 13,4 % девятиклассников смогли выполнить  задание 23 части С. На следующий год  нам тоже предстоит сдавать  ОГЭ, а данная тема вызывает наибольшее затруднение. Именно поэтому мы выбрали эту тему.

 Цель

   Изучение решения линейных уравнений  с параметрами.

Задачи

1.Познакомиться с понятием параметра.

2.Изучить общий принцип и метод решения линейных уравнений с параметрами.

3.Рассмотреть различные виды уравнений с параметрами.

4.Научиться решать уравнения с параметрами.

Актуальность

       Тема «Решение и исследование уравнений с параметрами» присутствует в материалах ОГЭ и Единого государственного экзамена. Данная тема является одной из самых трудных в курсе алгебры.. Совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться.

   Предмет исследования: линейные уравнения с параметром.

   Объект исследования: алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.

II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным

            Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др. В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов. Так, уравнение +   =    с параметрами а, b и с определяет совокупность всех окружностей; уравнение +   = 1 – всех единичных окружностей; уравнение   +   =    – совокупность концентрических окружностей с центром в начале координат. Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется уравнение с параметром.

            Определение.    Уравнение вида Аx=В , где А и В зависят от параметра, то есть А=А(а), В=В(а) называется линейным уравнением с параметром а.

          Замечание. Уравнение, которое с помощью тождественных преобразований сводится к уравнению Аx=В, также называется линейным.

            Более примитивно линейное уравнение с параметром определяется  как уравнение, в запись которого, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами.

            В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи:

   1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения;

   2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения урав- нения удовлетворяют заданным требованиям.

   В качестве примера рассмотрим уравнение

1)  Пусть, тогда уравнение примет вид 

Решим его:

                

                

          

2)  Пусть , тогда уравнение примет вид , решением которого является любое действительное значение .

3)  Пусть , тогда уравнение примет вид . Решив его, получим, что . В этом случае уравнение не имеет решения.

Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения

параметра .

          Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром это значит :

     - найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;

     - найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и  параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

  Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:  

При решении линейных уравнений с параметром

сначала его нужно привести к виду, удобному для исследования

(стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром),

выполнив ряд преобразований, потом следует определить контрольные

значения параметра, т.е. те значения, при которых коэффициент при  

обращается в ноль. Эти значения разбивают множество значений параметра на несколько множеств, которые необходимо исследовать.

III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром

1.          

         Ответ: при   корней нет, при

2.       

           Ответ: при   корней нет, при

3.  

       

       

        Ответ: при   корней нет,

                    при  .

4.    

       

       

       Ответ: при   корней нет,

                                  при  .

5.  

       

       

       Ответ: при   корней нет,

                    при  .

6.  

                     Ответ:  при

                                      при

7.  

                       Ответ:  при

                                      при

8.  

                            Ответ:  при

                                      при

9.  

                            Ответ:  при

                                      при

10.           

1) 

2) 

3) 

                           Ответ:  если , то корней нет

                                      если ,

                                      если

11.           

              

           т. е.  и       контрольные значения параметра.

          1) При 

         2)

         3) При

                           Ответ:  если , то корней нет

                                      если ,

                                      если

IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид

 – стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром

Пример 1:

                   Ответ:  если                          

если 

  Пример 2:

 

При

При

              Ответ:  при

                       при

                               при

Пример 3:

              Ответ:  при

                       при

                       при

V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром

Схема решения уравнений, приводимых к линейным :

1)                Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2)                Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3)        Привести уравнение-следствие к виду  и решить его.

4)                Исключить значения параметра, когда найденный корень принимает значения, при которых уравнение теряет смысл.

5)                Записать ответ.

Пример 1:

  

 

 

                        контрольное значение параметра.

1) При        =>      => x – любое число

2) При    

Ответ: при  

             при  

Пример 2:

  

          

          

1)       

2)       

3)         

Ответ:  при , корней нет

                                      если ,

                                      при

Примеры решений уравнений, содержащих параметр в знаменателе:

Пример 1:

ОДЗ:

при

Ответ: при   решений нет;

при          

Пример 2:

 

 

 

Умножим уравнение на :

         Ответ:  при

                   при

                   при   

Пример 3:

ОДЗ:

При

Ответ: При         нет решений

При x

Пример 4:

  

 

Умножим уравнение на :

         Ответ:  при

                   при

                   при   

Примеры решений уравнений, содержащих и параметр и переменную в знаменателе

Пример 1:

 

Умножим уравнение на :

Исключим те a, при которых :

         Ответ:  при

                   при

                   при   

    Пример 2:

  

         => при  

         

                

               

          

г)Найдём m при :

Ответ: Если      

Если   x-любое

Если        

 Пример 3:

При m=1 не имеет смысла

При   

Найдём m при которых

               

Ответ: при        уравнение не имеет смысла

При                  

Заключение

          В заданиях ГИА и ЕГЭ постоянно встречаются линейные уравнения и неравенства с параметрами. Познакомившись с подобными уравнениями, мы заинтересовались этой темой. Разбираться и решать эти уравнения было очень интересно и познавательно.

         Мы изучили общий принцип и метод решений линейных уравнений с параметром, рассмотрели различные виды уравнений и научились их решать.

Надеемся, что наша научная работа поможет нам и нашим сверстникам в решении трудных задач.

Список использованной литературы:

1.Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.  Сборник задач по алгебре 8-9. М.: Просвещение, 2001.

2.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.; Харьков: Илекса; Гимназия, 2003.

3.Полякова Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами. М.: Илекса; 2010.

4.Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. СПб.; «Петроглиф»,2006.

Краткое описание документа:

В данной работе рассмотрен общий принцип и метод решений линейных уравнений с параметрами, разобраны примеры решений различных линейных уравнений с параметрами.