Исследовательская работа по математике "Без калькулятора как без рук"

МОУ «СОШ ст. Тарханы Саратовского района Саратовской области»

Исследовательская работа по математике

на тему

«Без калькулятора как без рук?»

работу подготовили

учащиеся  6 класса

МОУ «СОШ ст. Тарханы

Саратовского района

Саратовской области»

Дорогайкина Екатерина,

Демидова Александра,

Конюшенко Кристина,

Черкас Виктория.

Руководитель:

учитель математики

Подосинникова Л.В.

Содержание

Введение…………………………………………………………………

1. История счета………………..…………………………………….…

2. Приемы вычислений…………………………………………………

2.1. Быстро складываем и вычитаем.

2.2. Быстро умножаем.

2.3. Быстро делим.

Заключение………………………………………………………….…..

Список литературы…………………………………………………….

Введение

  Мы достаточнобыстро определились с выбором темы исследовательской работы.Нам всегда было интересно, какими методами пользуются учителя математики при проверки тетрадей, при объяснении нового материала, когда приходится произвести быстрый расчёт.

Определённые приёмы быстрого счёта, предложенные на уроках, давались легко, но чем дальше мы познаём математику, тем больше хочется узнать о том, как можно еще использовать быстрый счёт на более сложных числах.

Каждый наблюдал ситуацию, когда человек мучается, с тем чтобы правильно отсчитать сдачу, или пробует высчитать среднее арифметическое своих оценок, или мучается вычислением в столбик сложного примера на контрольной работе, когда вот - вот прозвенит звонок.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос. Было опрошено 20 учащиеся 5-7 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы. Из двадцати опрошенных  только 5 учащихся назвали прием умножения двузначного числа на 11.

Приёмов рациональных вычислений в учебниках практически нет. Сложные формулы и алгоритмы школьной программы всё дальше и дальше уводят нас, учеников, от простых, понятных навыков устного счёта.

Целью нашей  работы: изучить нестандартные приемы вычислений и научиться применять некоторые способы быстрого счета, когда нет в распоряжении таблиц и калькулятора. 

Для этого необходимо

--используя литературу, изучить виды приемов быстрого счета,

-выбрать из них наиболее интересные и доступные обычному шестикласснику

- пользуясь освоенными приемами устных вычислений, проверить их в действии.

Актуальность проблемы: В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

Идеи устного счета не новы, но основательно забыты благодаря развитию современных технологий. Так что новое, это, как говориться, – хорошо забытое старое.

Незаметно для себя мы утрачиваем навыки быстрого и точного счета и порой с большим опозданием понимаем, что это наше слабое место. Однако, умение быстро считать в уме является неоспоримым преимуществом и достоинством того, кто таковым умением обладает. Человек, легко оперирующий цифрами, никогда не окажется обманутым при расчетах. Но самое главное, способности к вычислениям постоянно будут поддерживать в хорошей форме и развивать его умственные способности, что особенно важно в период обучения. Мы  считаем, что необходимо знать технику быстрых вычислений и уметь применять их в практической деятельности.

В данной работе мы описываем краткую историю искусства счета; разбираем нестандартные приемы вычислений. Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и других предметов, которые изучаются в школе. Приемы устного счета нужно повторять систематически. Нижеперечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на ум "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях. Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счете, помогут научиться хорошо, считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырех и пятизначные числа. Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил, очень долго и утомительно тренироваться.

Наша задача

-изучить историю счета;

-познакомиться с приемами устного счетапри  работе с двузначными, и  с трехзначными числами;

- оформить альбом «Приемы быстрого счета»

История счета.

Наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить и обменивать вещи, продукты, делать запасы. Так человек постепенно учился считать. Для счета использовали пальцы рук, ног, камешки и другие предметы. Позже появились изображения чисел. Одним из первых способов «записи» чисел, были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке. Сейчас мы пользуемся арабскими цифрами, нам это привычно и удобно. Люди научились складывать и вычитать, умножать и делить, причем способы вычислений не всегда были удобны и понятны.

В древней литературе упоминаются такие способы умножения, как «загибанием», «ладьей», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие.

Есть люди-счетчики, умеющие быстро считать в уме. Они могут мгновенно умножить и делить числа, знают наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, и удивляют различными феноменальными способностями устного счета. Как ранее, так и сейчас существовали и существуют люди обладающие феноменальными способностями к счету. Такие как, Андре Ампер. Карл Фридрих Гаусс, Роман Семенович Левитан, Юзеф Зиновьевич Приходько, Иноди, ШакунталаДеви, Олег Степанов и многие другие. А также и многие люди, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме, на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты.

Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман, Яков Трахтенберг и другие. Известна необычная история создания целой системы повышения быстроты счета. Она создана была в годы второй мировой войны профессором математики Яковым Трахтенбергом.

Во время Второй мировой войны Трахтенберг стал узником нацистского концентрационного лагеря. В заключении разработал свою арифметическую систему, так называемый метод Трахтенберга. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Позже с помощью своей жены он бежал в Швейцарию, где  продолжил разработку своего метода.

Приемы вычислений.

Быстро складываем и вычитаем

Первый прием.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Например: 334 + 768 = (334 + 6) + (768 - 6) = 340 + 762 = 1102

Второй прием.

 Если к вычитаемому и уменьшаемому прибавить (или отнять) одно и то же количество единиц, то разность не изменится.

Например: 345 - 229 = (345 + 5) - (229 + 5) = 350 - 234 = 116

Третий прием.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Например: 654 + 348 = (654 + 348 + 2) - 2 = (654+350)-2=1004 - 2 = 1002

Быстро умножаем

Нужна ли нам таблица умножения? Если вы отлично знаете таблицу умножения, это хорошо. Если забыли, или никогда не знали, воспользуйтесь таким способом счета.

Например, нужно узнать, сколько будет 9 умножить на 7.

Записываем пример таким способом: 

Ответ 63 мы получили путем несложных вычислений. А именно. Записав пример 9х7, проводим над ним прямую линию и над каждой цифрой вписываем, сколько не хватает до 10. Над 9 пишем 1, над 7 пишем 3. Первой цифрой ответа будет разница между числами нижней строки и верхней строки по диагонали. 9-3= 6, 7-1=6 – для вычисления можно брать любую пару – ответ всегда будет один и тот же. Итак, мы вычислили, что первой цифрой ответа будет 6. Теперь вычисляем вторую цифру. Для этого умножаем цифры верхней строки 1х3=3. Наш пример решен: 9х7=63.

Немного по-иному находитсяпроизведение двузначных чисел.

К примеру, вам нужно узнать, сколько будет 12х14.

= 160+8=168 

В нижней строке записываем пример 12х14. В верхней строке пишем, на сколько эти числа больше 10. Получаем 2 и 4. Складываем числа по диагонали. Получаем 12+4=16, 14+2=16. Мы получили 16 десятков, ведь наши исходные цифры больше десяти. Поэтому 16 умножаем на 10. 16х10=160 . Осталось только умножить верхние числа 2х4=8 и прибавить полученную цифру к ответу.

Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например: 34·1,5=34+17=51;

146·1,5=146+73=219.

Забавное умножение на 9.

 Умножение на 9 это просто!

 Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, используем руки.Допустим, нам надо умножить 3 на 9. Чтобы вычислить ответ, надо найти палец под номером 3 и поднять его. А затем посмотреть, сколько пальцев осталось лежать справа и слева. Количество пальцев слева от поднятого пальца (в нашем случае их 2) — это десятки, количество пальцев справа (у нас это 7) — это единицы. Итого, получаем — 2 и 7, ответ. 27.

Совсем необязательно использовать пальцы, можно также использовать 10 тетрадных клеточек или 10 нарисованных палочек.

Умножение на 4.

 Это очень просто и, с первого взгляда, очевидно, но несмотря на это не все догадываются в нужный момент. Чтобы умножить любое число на 4, нужно умножить его на 2, а потом снова умножить на 2:

25*4=25*2*2=50*2=100

Умножение на 5, 50, 25 и 125.

Умножая число Х на эти числа, удобно пользоваться следующими правилами:

X * 5 = X * 10 : 2 (число надо умножить на 10 и разделить на 2)

X * 50 = X * 100:2 (число надо умножить на 100 и разделить на 2)

X * 25 = X * 100:4 (число надо умножить на 100 и разделить на 4)

X * 125 = X * 1000:8 (число надо умножить на 1000 и разделить на 8)

Например: 42 * 5 = 42 * 10 : 2 = 420 : 2 = 210

26 * 50 = 26 * 100 : 2 = 2600 : 2 = 1300

42 * 25 = 42 * 100 : 4 = 4200 : 4 = 1050

78 * 125 = 78 * 1000 : 8 = 78000 : 8 = 9750

А чтобы умножить число на 0,5,0,25,0,125 надо эти числа разделить на 2, на 4, на 8.

Например:98*0,5=98:2=49

124*0,25=124:4=31

                168*0,125=168:8=21

Похожее умножение на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно взять это число и разделить на 2. Если результат целое число, то приписатьв конце 0, если нет, отброситьостаток, и приписать в конце 5.

Например:1248*5=(1248/2)_(0 или 5)=624_(0 или 5)=6240 (результат деления на 2 целое число)

4469*5=(4469/2)_(0 или 5)=(2234.5)_(0 или 5)=22345 (результат деления на 2 число с остатком)

Умножаем на 11 двузначное число

 Все мы знаем, как быстро умножить число на 10, нужно лишь добавить ноль в конце, но знаете ли вы, что есть фишка как легко умножить двузначное число на 11?Возьмите двузначное число, которое нужно умножить на 11 и представьте между его двумя цифрами место. Допустим, нам нужно умножить 63 на 11, 6_3 Теперь сложите первую и вторую цифру этого числа и поместите в это место: 6_(6+3)_3.Наш результат умножения готов:

63*11=693

Если же результат сложения первой и второй цифры двузначное число, вставить только вторую цифру, а к первой цифре исходного числа прибавить единицу:

79*11=

7_(7+9)_9

(7+1)_6_9

Ответ: 79*11=869

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

Умножение на 11 трехзначного числа

Чтобы умножить трехзначное число Х на 11:

1. Произведение будет четырехзначным. Цифра тысяч в произведении - это цифра сотен числа.

2. Цифра сотен произведения - это цифра сотен Х плюс цифра десятков Х.

3. Цифра десятков произведения - это цифра десятков Х плюс цифра единиц Х.

4. Цифра единиц произведения - это цифра единиц числа Х.

Например: 245 * 11=?

2 - цифра тысяч произведения, 2 + 4 = 6 - цифра сотен произведения,

4 + 5 = 9 - цифра десятков произведения,

5 - цифра единиц произведения.

Т.е.  2_(2+4)_(4+5)_5    Ответ: 245 * 11 = 2695

В случае, если сумма двух цифр больше 9, то от суммы отнимается 10 и получившаяся разность записывается вместо суммы, а к старшему (соседнему слева) разряду прибавляется 1.

Например: 489 *11 = ?

4 - цифра тысяч произведения, 4+8 = 12. 12-10 = 2.

2 - цифра сотен произведения.

К разряду тысяч прибавляем 1: 4+1 = 5.

8+9 = 17. 17-10 = 7.

7 - цифра десятков произведения.

К разряду сотен прибавляем 1: 2+1 = 3.

9 - цифра единиц произведения. 489 *11 = 5379

Умножение двузначного числа на 101.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

Т.к. 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

Умножение на число, состоящее только из цифр 9

Допустим, нужно умножить 154 на 999 (99, 9999 или любое другое число из девяток). Вычисляем так: 154 х 999 = 154 х (1000 -1) = 154000 - 154 = 153999 - 153 = 153846

Примечание. Обрати внимание на 154000-154 = 153999 - 153. Это не обязательный шаг, но еще один способ сделать вычисления проще. Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10 .

Число десятков любого из множителей умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел, после чего к первому результату приписать второй справа.

Например: 303 * 307:

1 шаг: 30 * (30 +1) = 900 + 30 = 930

2 шаг: 3 * 7 = 21

Записываем первый результат, а справа - второй: 93021 9

Умножение больших чисел

Если вам нужно перемножить большие числа в уме и одно из них четное, то вы можете воспользоваться методом упрощения множителей, уменьшая четное число в два раза, а второе увеличивая в два раза:

 32*125 это 16*250 это 8*500 это 4*1000=4000

Быстро делим

Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:

Например: 720:45=(720:9):5=80:5=16,

9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.

Деление на 5

Разделить большое число на 5 устно очень просто.

Нужно умножить число на 2 и сместить запятую на один знак назад:

175/5 :Умножаем на 2: 175*2=350 Смещаем на один знак: 35.0 = 35

1244/5 :Умножаем на 2: 1244*2=2488; Смещаем на один знак: 248.8

Деление на 5, 50, 25

 При делении числа Х на эти числа удобно иметь в виду, что:

X : 5 = X *2 :10 (умножить на 2 и разделить на10);

X : 50= X * 2 : 100 (умножить на 2 и разделить на100);

X : 25 = X * 4 : 100 (умножить на 4 и разделить на100)

Например: 75 : 5 = 75 * 2 : 10 = 150 : 10 = 15

4350 : 50 = 4350 * 2 : 100 = 8700 : 100 = 87

8600 : 25 = 8600 * 4 : 100 = 34400 : 100 = 3

Возведение в квадрат двузначных чисел, начинающихся цифрой 5 илиоканчивающихся цифрой 5.

Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся на 5, надо: к 25 прибавить число единиц и к полученному результату приписать справа квадрат единиц.

Например:56²=(25+6)(6²)=3136

59²=(25+9)(9²)=3481

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо: умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, после полученного произведения приписать 25.

Например: 45²=(4*5)(25)=2025

75²=(7*8)(25)=5625

Заключение

Уже не представляете свою жизнь без калькулятора? Очень зря, ученые доказали, что люди, регулярно считающие в уме, застрахованы от старческого маразма и раннего слабоумия. Так что практикуйтесь чаще. Способность считать быстро в уме надо развивать, независимо от его математических способностей, хотя бы, для того чтобы не стать жертвой обмана в магазине или на рынке.

Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с вычислениями, является владение культурой счета. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности. В следующем году мы продолжим практическую часть нашей работы.

 Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить «хитрых» приемов. В заключение подчеркнем, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений. Вот так простые устные упражнения на каждом уроке могут развить каждого из нас. И конечно помогут нам успешно сдать предстоящие экзамены. Нужно только стараться и усердно работать!

Список литературы

1.     «Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов

2.     «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева

3.     «Задачи математических олимпиад» И.Л. Бабинская

4.     «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин,Е.С.Канин

5.     «Мир чисел» Г.И. ЗубелевичВ.И.Ефимов

6.     «Тысяча проблемных задач по математике» Л.М. Лоповок

7.     «Логические основы математики» А.Д.Гетманова