Исследовательская работа по математике "Четырехмерное пространство:фантастика или реальность" (11 класс)

Российская Федерация

Ханты-Мансийский автономный округ- Югра

(Тюменская область)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

САРАНПАУЛЬСКАЯ  СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

628148 ул. Вокуева, 12 с.п.Саранпауль Ханты-Мансийского автономного округа, Тюменской области, Березовского района

Тел.45-888 Факс 45-890

(Исследовательская работа)

Автор: Артеева Анастасия,

ученица 11А класса.

Руководитель:

Петренко А.В.,

учитель математики

Саранпауль - 2007

Содержание.

1. Введение ………………………………………………………………………………………… 3

А) Актуализация……………………………………………………………………………………. 3

Б)  Проблема………………………………………………………………………………………… 6

В)  Гипотеза………………………………………………………………………………………… 6

Г) Цель и задачи…………………………………………………………………………………… 6

2. Гиперсфера и гипершар ……………………………………………………………………… 6

А) Определение гиперсферы и ее аналитическая модель……………………………………… 7

Б) Динамическая модель гиперсферы…………………………………………………………… 9

В) Изображение гиперсферы. …………………………………………………………………… 10

Г) Гипершар. Гиперобъем гипершара…………………………………………………………… 10

Д) Объем границы гиперсферы…………………………………………………………………. 13

3. Гиперконус и гиперцилиндр ………………………………………………………………. 14

4. Заключение ………………………………………………………………………………….. 19

5. Использованная литература ………………………………………………………………. 23

Во всем мне хочется дойти

До самой сути…

Б. Пастернак.

1. Введение.

А) Актуализация

Тема многомерности пространства, в котором мы живем, давно уже привлекала внимание людей своей таинственностью и неизученностью. Такую аномалию как Бермудский треугольник многие ученые связывают с многомерностью, считая, что исчезновение предметов связано с переходом в другое пространство.

В настоящее время многомерность понимается как четырехмерность, то есть существование наряду с обычными тремя пространственными измерениями (нагляднее всего их можно представить себе как смещения в трех направлениях: вверх-вниз, вперед-назад и влево-вправо) и еще одного, четвертого. За это новое измерение чаще всего принимают время. Это имело известные основания, поскольку в начале века появилась теория относительности с ее понятием единого пространственно-временного континуума. Более сложным для понимания является  четырехмерное пространство, где четвертой координатой является не время (что себе легко представить), а тоже пространственная координата. Вообще время – понятие придуманное, на Земле мы отмеряем его по оборотам планеты, а в космосе этого нет. У фантастов время, как правило, представляется именно как пространственная категория, то есть по нему перемещаются (машина времени), заглядывая как в прошлое, так и в будущее. Предсказатели способны видеть будущее, значит, будущее уже существует одновременно с настоящим.

Главная трудность в наглядном описании геометрии четырехмерного пространства связана с тем, что представить себе его нельзя. Это невозможно, поскольку требует от нас кроме естественных трех направлений (о них уже говорилось: направления вперед-назад, влево-вправо и вверх-вниз) представить себе движение в "четвертом" направлении, но такое, при котором в трех естественных направлениях движения не происходит.

Рис. 1

На рисунке 1 представлена игра футболистов в четырехмерном пространстве, где четвертая координата время изображена с помощью цвета.

Иными словами, для нас, существ трехмерных, точка будет видна неподвижной, а на самом деле она будет двигаться в "четвертом" направлении. Единственный метод, который может здесь помочь, - это метод аналогий. Будем исходить из того, что наш привычный трехмерный мир "вложен" в четырехмерное пространство, что легко описать словами, но представить себе нельзя. Но зато ничего не стоит представить себе аналогичную, но элементарно простую ситуацию: двухмерный мир, "вложенный" в трехмерный. Хотя бы лист бумаги, находящийся в привычном для нас трехмерном пространстве.

Пусть теперь этот лист бумаги будет тем двухмерным "пространством", на котором живут некие "плоские" существа, могущие ползать по листу: плоские существа, ползающие по плоскому листу, - аналогия нас, трехмерных организмов, перемещающихся в трехмерном пространстве. Пусть этот лист будет безграничным, а по его обеим сторонам ползают эти самые плоские существа: одни с верхней стороны листа, другие - с нижней. Совершенно очевидно, что, сколько бы они ни ползали, верхние никогда не встретятся с нижними, хотя они могут быть бесконечно близки друг к другу, ведь их все равно будет разделять бесконечно тонкая толщина непроницаемого листа. Таким образом, каждую точку листа надо будет считать дважды - как принадлежащую верхней и как принадлежащую нижней стороне. Естественно, что на верхней стороне листа могут происходить одни, а на нижней - другие события, причем эти события не будут мешать друг другу, поскольку они сдвинуты относительно друг друга хотя и на бесконечно малую величину, но в "непостижимом" для плоских существ направлении - перпендикулярно поверхности листа. Эта "непостижимость" обусловлена для плоских существ тем, что последние никогда в своей жизни в таком направлении не перемещались и перемещаться не могут.

Рис. 2

Листа Мебиуса.

Теперь представим такую поверхность, которую можно создать из перекрученного листа бумаги. В середине прошлого века немецкий астроном и геометр Август Мебиус  провел опыт. Он обнаружил, что на перекрученном листе ленты линия прошла по обеим сторонам, хотя  его карандаш не отрывался от бумаги. Оказывается, у перекрученного кольца имеется только одна сторона. Так была выведена модель односторонней поверхности.

Две стороны одного листа позволяют по аналогии представить себе одновременное существование в некотором месте, хотя бы в комнате, обычного и мистического пространства. В первом живут и действуют люди, а во втором, например, ангелы. И те, и другие существуют в своих трехмерных пространствах и действуют, не мешая друг другу, поскольку эти два пространства "сдвинуты" относительно друг друга хотя и на бесконечно малую величину, но в непостижимом для людей "четвертом" направлении (напомним сделанное выше предположение, что наше обычное пространство "вложено" в четырехмерное). И в этом случае каждую точку подобной условной комнаты надо будет считать дважды - как принадлежащую мистическому и одновременно обычному пространству. Здесь полная аналогия с плоским листом, вложенным в трехмерное пространство. Ведь можно для полноты аналогии условиться, что верхняя сторона листа является мистической, а нижняя - обычной поверхностью.

Эти аналогии можно продолжить. Хотя плоские существа, находящиеся на верхней поверхности листа, никогда не встретят ползающих по нижней, они могут знать друг о друге и даже взаимодействовать. Например, если верхние обладают свойствами магнитов, а нижние - железных опилок. Более того, если в исключительных случаях какому-то верхнему плоскому существу будет дана возможность "просочиться" на нижнюю сторону листа, то оно получит возможность "явиться" нижним существам "из ничего". Очевидно, что описанное совершенно аналогично  появлению НЛО неизвестно откуда, а также влиянию ангелов на жизнь людей и их способности в исключительных случаях являться им. Последнее можно представить себе как бесконечно малое смещение ангела в "четвертом" направлении, переводящее его из трехмерного мистического в трехмерное обыденное пространство.

В литературе, в основном научной и фантастической, другие пространства называются параллельными мирами.

Например, Герберт Уэллс в 1895 году в рассказе "Дверь в стене" впервые написал о параллельном мире. Чтобы попасть в него, достаточно открыть зеленую дверь в белой стене на обычной городской улице. За дверью - прекрасный сад и другая, счастливая жизнь.

  Хорхе Луис Борхес в 1944 написал рассказ "Сад расходящихся тропок". В рассказе мир устроен так: "Он верил в бесчисленность временных рядов, в растущую головокружительную сеть расходящихся, сходящихся и параллельных времен... Стоит герою любого романа очутиться перед несколькими возможностями, как он выбирает одну из них, отметая остальные".

  Филипп Дик в романе "Человек в высоком замке" 1962 года впервые написан в жанре "параллельной истории". Гитлер побеждает во второй мировой войне, а Германия и Япония оккупируют США.

Аркадий и Борис Стругацкие, классики советской фантастики, использовали идею "другого пространства" для скачков через пространство обычное: в мире будущего Стругацких на улицах стоят кабинки нуль-транспортировки. В романе "Жук в муравейнике", написанном в 1979 году, родители главного героя погружаются на звездолете "Тьма" в черную дыру: "...с точки зрения землянина, они, конечно, все равно что мертвы".

Писатели – фантасты, не имея научного обоснования,  предполагают, что окружающие нас вещи и предметы в другом пространстве выглядят по-другому,  то есть меняют свою форму.

Так, например, в рассказе Рея Брэдбери ребенок, родившийся в другое измерение, выглядит как маленькая голубая пирамидка, а его родители  при переходе в это измерение принимают форму параллелепипеда и цилиндра. Но так ли это может быть в действительности?

Б) Проблема.

Как в четырехмерном пространстве  выглядят привычные для нас  геометрические тела?

Как их изобразить на листе бумаги?

В) Гипотеза.

Я предполагаю, что геометрические тела: конус, цилиндр, шар - имеют в четырехмерном пространстве совершенно другую форму, не доступную для нашего понимания, представляя  собой гиперконус, гиперцилиндр, гипершар(гиперсферу).

Г) Цель.

Исследовать геометрические тела четырехмерного пространства: гиперконус, гипершар, гиперцилиндр, изучить их свойства и построение.

Задачи.

1. Рассмотреть гипершар, гиперцилиндр, гиперконус, изучить их свойства и построение.

2. Изучить тему многомерности пространства в научной и фантастической литературе, искусстве.

2.  Гиперсфера и гипершар.

В четырехмерном пространстве как и в трехмерном, существуют геометрические тела - аналоги трехмерным: цилиндру, конусу и шару –гиперсфера, гиперцилиндр и гиперконус.

Рассмотрим гиперсферу и гипершар.

Чтобы познать свойства гиперсферы, будем исполь­зовать методы системного анализа для построения ее моделей. Модель гиперсферы будет считаться правиль­ной, если с ее помощью мы будем верно описывать свойства четырехмерной сферы. При построении мо­дели гиперсферы будем использовать метод аналогии и закономерности фигур низших размерностей.

В теоремах об объеме границ гиперсферы и гипе­робъеме гипершара выведем формулы для вычисления соответствующих величин. Покажем приме­нение полученных формул для вычисления объема границы гиперсферы и гиперобъем гипершара для конкретных числовых данных.

А) Определение гиперсферы и ее аналитическая модель.

Определение.

Гиперсферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек четырехмерного простран­ства, расположенных на данном расстоянии от дан­ной точки. Данная точка называется центром гипер­сферы, а данное расстояние — радиусом гиперсферы. Радиусом гиперсферы будем называть также и лю­бой отрезок, соединяющий центр гиперсферы с ее произвольной точкой.

Для того чтобы иметь представление о гиперсфе­ре, необходимо познать ее свойства. Некоторые свой­ства гиперсферы уже следуют из ее определения. Но для более полного изучения ее свойств будем исполь­зовать метод моделирования. Постараемся рассмот­реть гиперсферу с различных точек зрения, то есть построить ее всевозможные модели.

      Аналитическая модель гиперсферы

Получим уравнение гиперсферы в декартовой си­стеме координат, заданной в четырехмерном простран­стве. Пусть А (а; Ь; с; d) — центр гиперсферы, а В(х; у; z; t) — произвольная ее точка. В четырехмерном пространстве каждая точка однозначно опреде­ляется четырьмя координатами. По определению ги­персферы расстояние от ее центра до любой точки гиперсферы есть величина постоянная, равная ради­усу гиперсферы. Имеем АВ=R.

Расстояние между двумя точками С(x₁; y₁; z₁; t₁) и О(х₂; у₂ ;z₂; t₂ ) вычисляется по формуле

 (1)

Подставив в формуле расстояния между двумя точками координаты точек А(а; Ь; с; d) и В(х; у; z;t) , учитывая, что АВ = R и, возводя левую и правую час­ти равенства в квадрат, получим уравнение гиперс­феры с центром в точке А(а; Ь; с; d) и радиусом R.

(2)

К данной формуле можно прийти, рассматривая уравнение аналогичных фигур в пространствах низ­ших размерностей. В трехмерном пространстве урав­нение трехмерной сферы имеет вид:

        (3)

В двумерном пространстве (на плоскости) уравне­ние окружности (двумерной сферы) записывается в виде:

(4)

Даже в одномерном пространстве (на прямой) мож­но зависать соответствующую формулу для одномер­ной сферы:

  (5)

Геометрически одномерная сферы состоит из двух точек, расположенных на равном расстоянии от точ­ки А (а) — центра одномерной сферы.

Если центр гиперсферы находится в начале коор­динат, то есть в точке О(0; 0; 0; 0), то уравнение ги­персферы имеет более простой вид:

 (6)

Используя уравнение гиперсферы, можно решать различные задачи на принадлежность точки гипер­сфере, на нахождение ее внутри или вне гиперсферы, находить точки пересечения с другими геометриче­скими фигурами.

В качестве примера использования уравнения ги­персферы рассмотрим следующую задачу.

Дана гиперсфера с центром в точке А(2; 3; 4; 1) и радиусом R = 6. Требуется определить местоположе­ние точек В(3; 8; 5; 4), С(2; 10; 4; 9) и D(4; б; 5; 2) по отношению к гиперсфере.

Запишем уравнение данной гиперсферы

   (*)

Подставив координаты точки В(3; 8; 5; 4) в дан­ное уравнение, получим:

(3 - 2)² + (8 - 3)² + (5 - 4)² + (4 - 1)² = 6².

Произведем вычисления: 1² + 5² + 1² + З² = 6².

  В итоге получим 36 = 36 — верное равенство, сле­довательно, точка В(3; 8; 5; 4) принадлежит гипер­сфере.

Подстановка координат точки С(2; 10; 4; 9) в ле­вую часть уравнения (*) даст следующий результат:

(2 - 2)² + (10 - З)² + (4 - 4)² + (9 - 1)²  = 0² + 7² + 0² + 8² = 113 > 36.

Следовательно, точка С(2; 10; 4; 9) лежит вне ги­персферы.

Аналогично, подстановка координат D(4; 5; 5; 2)в левую часть уравнения (*) приведет к результату:

(4 - 2)² + (5 - З)² + (5 - 4)² + (2 - 1)² -= 2² + 2² + 1²+ 1² = 10<36.

Следовательно, точка D(4; 5; б; 2) лежит внутри гиперсферы.

Б) Динамическая модель гиперсферы

Аналитическая модель гипесферы позволяет оп­ределять аналитические свойства гиперсферы. Нас больше интересует геометрическая форма гиперсфе­ры. Гиперсфера — фигура четырехмерная, поэтому увидеть ее всю со всех сторон человек не может. В трехмерном пространстве мы можем видеть только часть гиперсферы — сечение гиперсферы с трехмер­ным пространством. Что бы мы наблюдали, если бы в трехмерное пространство начала входить гиперсфе­ра? Обратимся к аналогии. Как воспринимали бы трехмерную сферу разумные существа, находящиеся в плоскости? Пусть трехмерная сфера начинает втор­гаться в их плоский мир. Вначале они увидели бы точку, которая, превратившись в окружность, будет продолжать увеличивать свой радиус. Когда радиус окружности станет равным радиусу трехмерной сфе­ры, окружность начнет уменьшаться, превратившись в точку, а затем исчезнет совсем.

Изобразить это наглядно можно в виде кадров по­следовательных сечений сферы с плоскостью через равные интервалы времени (рис. 3).

 

                       •                                                                                                •

 Рис. 3

Аналогичную картину можно наблюдать, если в наше трехмерное пространство начнет входить четы­рехмерная сфера. В некоторой точке трехмерного про­странства появится точка, которая потом превратит­ся в сферу, постоянно увеличивающуюся в радиусе. После того как радиус трехмерной сферы станет рав­ным радиусу четырехмерной сферы, трехмерная сфе­ра начнет уменьшаться и, превратившись в точку, исчезнет совсем. Видя такую картину, можно утверждать, что мы наблюдатели  прохождение четырехмерной сферы через наше трехмерное пространство.

Изобразим этот процесс наглядно в виде простран­ственных трехмерных кадров последовательных сече­ний гиперсферы с трехмерным  пространством (рис. 4).

                                              •                                                                                               •

Рис.4

В) Изображение гиперсферы

Изображением трехмерной сферы на плоскости является окружность с эллипсом, расположенным внутри окружности. Эллипс и окружность на изобра­жении имеют две общие точки. Окружность изобра­жает сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Эллипс изображает сечение сферы плос­костью, перпендикулярной первой плоскости и про­ходящей через центр сферы (рис. 5).

                                                                       

Рис.5

Аналогично получим изображение гиперсферы. Оно будет состоять из сферы и находящейся внутри нее меньшей сферы. Первая сфера — есть сечение гиперсферы трехмерным пространством, проходящим через сечение гиперсферы. Вторая сфера — сечение гиперсферы пространством, перпендикулярным пер­вому трехмерному пространству и также проходяще­му через центр. Хотя внутренняя сфера и изображе­на меньшим радиусом, фактически она имеет такой же радиус, как у первой сферы (рис. 6).

Рис. 6           

Г) Гипершар. Гиперобъем гипершара.

Граница трехмерной сферы двумерна, замкнута и искривлена по двум измерениям. Внутри трехмерной сферы содержится трехмерное тело, которое вместе с точками сферы образует трехмерный шар.

Аналогично граница гиперсферы трехмерна, зам­кнута и имеет кривизну, отличную от нуля по трем измерениям. Внутри гиперсферы находится четырех­мерное тело, которое вместе с точками гиперсферы образует четырехмерный шар (гипершар).

Определение. Гипершаром называется геометри­ческая фигура, состоящая из всех точек четырехмер­ного пространства, для которых верно неравенство ОХ ≤ R, где О — центр гипершара, R — его радиус, ОХ — расстояние от точки О до произвольной точки гипершара.

Сечением гиперсферы с трехмерным пространством является трехмерная сфера, а сечение трехмерного  пространства с гипершаром является трехмерным шаром.

Гиперобъем гипершара.

Так как гипершар является четырехмерной фигу­рой, то для него можно вычислить гиперобъем. Еди­ницами измерения гиперобъема являются: 1 мм⁴, 1 см⁴, 1 дм⁴, 1 м⁴, 1 км⁴. Получим формулу для вы­числения гиперобъема гипершара. Для этого докажем теорему о гиперобъеме гипершара.

Теорема. Если R — радиус гипершара, W — ги­перобъем гипершара, то

Доказательство. Сечением гипершара с трехмер­ным пространством является трехмерный шар. В трех­мерном пространстве, проходящем через центр гипер­шара, рассмотрим плоскость, проходящую через центр этого сечения. В этой плоскости введем систему ко­ординат ХОУ с началом, совпадающим с центром ги­першара (рис. 7).

Рис. 7

Если гипершар пересекать параллельными трех­мерными пространствами, перпендикулярными оси ОХ, то в каждой точке сечения на оси ОХ можно поставить в соответствие функцию V(х), выражающую объем сечения. Нам необходимо найти вид функции  V(х). В сечении мы имеем шар, объем которого мож­но вычислить по формуле:

     (7)

Выразим R через х. Сечением плоскости ХОУ с шаром является окружность, уравнение которой имеет вид:

   (8)

Из уравнения окружности выразим у. Получим:

.(9)

В формуле (8) R — величина переменная. Подстав­ляем вместо R значение у.

Получим:

   (10)

Для вычисления объема гипершара нужно вычис­лить интеграл от функции V(х) с пределами интегри­рования a= - R и b=R

Данный интеграл будем вычислять методом заме­ны переменной. Пусть х = R sin t  , откуда dх = R сos t dt. Подынтегральное выражение примет вид:

 

Найдем пределы интегрирования для переменной t:

a) –R= R sin t , -1= sin t , t=--;

b)  R= R sin t,  1= sin t, t=

Интеграл принимает вид:

Для вычисления данного интеграла преобразуем подынтегральное выражение, дважды используя фор­ мулу понижения степени косинуса cos²  

Перейдем к вычислению интеграла: 

,

Подставим найденное значение интеграла в выражение для W:

Итак, мы доказали, что если R — радиус гипер­шара, то его гиперобъем вычисляется по формуле

В качестве примера вычислим гиперобъем гипер­шара, имеющего радиус, равный 2. Для вычисления гиперобъема гипершара воспользуемся полученной формулой.

 (см⁴)

Д) Объем границы гиперсферы

Гиперсфера — четырехмерная фигура, а ее грани­ца — трехмерная замкнутая фигура. Получим фор­мулу для вычисления объема границы гиперсферы. Для этого докажем теорему об объеме границы ги­персферы.

Теорема. Если R — радиус гиперсферы, V — объем границы гиперсферы, то V =

Доказательство. Гиперсфера является границей гипершара. Гиперобъем гипершара можно рассмат­ривать как гиперобъем гипермногогранника, вписан­ного в гипершар, при условии, что количество гипер­граней гипермногогранника будет стремиться к бесконечности. Если соединить все точки гиперграней вписанного гипермногогранника с центром гипершара, а то его гиперобъем будет состоять из гиперпирамид, вершины которых лежат  в центре гипершара, а основания являются гиперграни гипермногогранника. Гиперобъем гиперпирамиды вычисляется по формуле

,

Где V_осн  - объем гиперпирамиды, h – высота гиперпирамиды. Гипербъем гипермногогранника, вписанного в гипершар, будет иметь вид

,

где n- количество гиперпирамид, V_i – j, объем основания гиперпирамиды, h_i—высота гиперпирамиды.

Переходя к пределу при , высота гиперпирамиды будет стремиться к радиусу гипершара, а сумма всех объемов оснований гиперпирамид будет стремиться  кобъему границы гипершара. Тогда объем гипершара будет иметь  вид

Иначе гиперобъем гипершара можно записать в виде  . Приравнивая правые части двух последних равенств, получим

.

Из последнего равенства выразим переменную V. Получим   . Итак , мы доказали, что если R – радиус гиперсферы, то объем границы гиперсферы вычисляется по формуле .

В качестве примера рассмотрим объем границы гиперсферы, имеющей радиус, равный 5см. Подста­вим значение радиуса в формулу для вычисления объема границы гиперсферы. Получим

V =

Запишем полученные соотношения о гиперсфере и гипершаре в виде таблицы.

Фигура	Размерность	Граница	Мера границы	Формула	Мера фигуры	Формула
Шар	Трехмерная	Сфера	Площадь		Объем
Гипершар	Четырехмерная	Гиперсфера	Объем		Гиперобъем
				Т             ШЬ Л

3. Гиперконус и гиперцилиндр.

Рассмотрим гиперконус и гиперцилиндр как тела, ограниченные гиперконической и гиперцилиндрической поверхностями соответственно. Возьмем в четырехмерном пространстве шар. Пусть шар будет параллелен гиперплоскости хуz

Рис. 8

У него три взаимно-перпендикулярные оси соответственно параллельны осям х, у, z. Имеется произвольная точка S. На она имеет координаты х, у, z те же, что и центр шара. Координата t точки S отличается от координаты t центра шара четырехмерного пространства. Если все точки гиперсферы (гиперповерхность, ограничивающая гипершар) соединить прямыми с S, то образуется поверхность гиперконуса. Такая гиперповерхность представлена на наглядном чертеже на всех координатных гиперплоскостях хуz, xyt, xzt, zty, а также на координатных плоскостях ху, xz, xt, yz, yt. Так, если отрезок от точки S до основания гиперконуса расположен перпендикулярно гиперповерхности xyz, то он вырождается и на xyz совпадает с центром основания (гиперсферы). Как известно, в четырехмерном пространстве геометрический объект вполне опр

На рис.9 а показан гиперконус своими проекциями на двух координатных гиперплоскостях и одной проекцией на координатной плоскости ху.еделяется тремя проекциями.

Рис. 9

На рис.9б, в даны проекции гиперконуса на аксонометрическом и ортогональном чертежах. Точка гиперконуса S называется вершиной гиперконуса, сфера — его направляющей поверхностью, а прямые, соединяющие точку S с точками сферы, — образующими гиперповерхности. Задание гиперконуса его направляющей сферой и вершиной позволяет определить положение каждой точки, лежащей на заданной поверхности. Для построения такой точки необходимо предварительно построить одну из образующих поверхностей, а на ней искомую точку.

На рис.9в построена образующая l, а на этой образующей — точка А. Аналогично может быть построена любая другая точка, лежащая на поверхности гиперконуса. Любая параллель сферы и вершина S определяют конус, принадлежащий рассматриваемой гиперповерхности. Аналогично может быть представлен любой другой трехмерный конус (как объем), принадлежащий тому же гиперконусу. Проекции гиперконуса на координатные плоскости определяют очерк гиперконуса на эти плоскости. В качестве направляющей поверхности гиперконуса была выбрана сфера частного положения, лежащая параллельно координатной гиперплоскости хуz. Коническая же гиперповерхность общего вида может быть задана любой двумерной направляющей поверхностью общего вида и точкой, лежащей вне этой поверхности — вершиной гиперповерхности.

Если направляющая двумерная поверхность и вершина лежат в одной гиперплоскости четырехмерного пространства, то в этой гиперплоскости они определяют криволинейную гиперплоскую фигуру, подобно тому как в трехмерном пространстве кривая линия, лежащая в некоторой плоскости, характеризует в ней криволинейную плоскую фигуру.

Рис.10

На рис.10 изображен гиперконус, у которого основание (направляющая гиперповерхность) также расположено параллельно координатной гиперплоскости хуz, но вершина S   выбрана таким образом, что координата t у нее имеет большее значенверхности — вершиной гиперповерхности. В этом случае у гиперконуса отрезок OS не выражается на хуz, а имеет свою проекцию S_xyz O_xyz.

При пересечении гиперповерхности гиперплоскостью определяется двумерная кривая поверхность. Если заданной гиперповерхностью является коническая гиперповерхность, то двумерная поверхность, которая получается в результате пересечения такой линейчатой гиперповерхности гиперплоскостью, может быть построена в результате пересечения образующих заданной гиперповерхности с данной гиперповерхностью.

На аксонометрическом и ортогональном чертежах (рис.10) показано построение сечения b поверхности гиперконуса с направляющей сферой, лежащей параллельно координатной гиперплоскости xyz. Для решения такой задачи необходимо построить точки пересечения образующих гиперконуса с плоскостью, как показано на рис.10. Аналогично может быть выполнено построение сечения поверхности гиперконуса другими проецирующими гиперплоскостями.

Если гиперплоскость сечения занимает общее положение относительно координатной системы Oxyz, то для решения задачи может быть использовано преобразование чертежа заменой плоскостей проекций таким образом, чтобы преобразовать данную гиперплоскость в проецирующую.

Если вершиной гиперконуса является несобственная точка Е ⁴, а направляющая — по-прежнему двумерная поверхность, то прямые, проходящие через такую несобственную точку и каждую точку двумерной поверхности, образуют поверхность гиперцилиндра

Рис.11

Все образующие такой гиперповерхности параллельны друг другу. Направляющая поверхность — сфера гиперцилиндра — расположена параллельно координатной гиперплоскости хуz, направляющие цилиндра расположены параллельно оси t, которые вырождаются при проецировании на xyz.

На рис.12 заданный гиперцилиндр показан проекциями на двух координатных гиперплоскостях xyz и xyt на наглядном аксонометрическом и ортогональном чертежах. Подобно гиперконусу гиперцилиндр может задаваться и в общем виде.

Рис.12

4.Заключение.

 Рассматривая тему многомерности пространства, в начале своей работы, я столкнулась с проблемой существования четырехмерного пространства и многомерных фигур. Отвечая на  вопросы: как в четырехмерном пространстве  выглядят привычные для нас  геометрические тела и как их изобразить на листе бумаги, я выдвинула гипотезу: геометрические тела: конус, цилиндр, шар - имеют в четырехмерном пространстве совершенно другую форму, не доступную для нашего понимания, представляя  собой гиперконус, гиперцилиндр, гипершар(гиперсферу).

Исследуя эту проблему, я изучила научную и фантастическую литературу, которая позволила мне подтвердить  свою гипотезу. Рассмотрев гиперсферу, гиперцилиндр и гиперконус, как аналоги трехмерных фигур, я дала им определение, определила основные свойств, изобразила их через сечения, так как представить четырехмерные модели на бумаге невозможно.

 Изображение четырехмерного пространства уже давно привлекло внимание художников. Более того, они даже разработали успешные методы его изображения. Речь идет об иконописцах в основном XV столетия. В это время передача четырехмерного пространства достигла наибольшего совершенства в русской иконописи.

 Как же иконописцы изображали четырехмерное пространство? Чтобы нам лучше понять это, начнем с простейшего случаяя - с листа, о котором выше шла речь. Совершенно очевидно, что изобразить на одной стороне обычного рисунка то, что одновременно происходит на двух разных сторонах листа, невозможно - изображение одной стороны будет мешать изображению другой. Ведь каждой точке листа соответствуют две разные жизни - "верхняя" и "нижняя". Единственным выходом из этого положения является попеременный показ наиболее важных моментов "верхней" и "нижней" жизни. Конечно, такой комбинированный рисунок покажет лишь часть событий, идущих на верхней стороне листа, и часть событий, происходящих на нижней. Однако если выбор подлежащего изображению произвести с нужным тактом, то можно получить достаточно полное представление о происходящем на обеих сторонах листа.

Чтобы смотрящий на рисунок не запутался, надо, чтобы он сразу понимал, в каком месте рисунка показан "верх", а в каком "низ". Проще всего это различие можно получить, если условиться, что "верхнему" и "нижнему" будут присвоены разные цвета. Тогда сразу станет понятно, где что изображено. Очень поможет пониманию такого попеременного изображения, если "верхняя" и "нижняя" части будут не только отличаться цветом, но и разделяться четко показанной границей, по одну сторону которой передается "верх", а по другую - "низ". Описанный здесь метод очень близок к используемому в техническом черчении, хотя сегодня в нем разные цвета (что делали в прошлом) заменены разными штриховками.

Если вернуться теперь к изображению трехмерного мира, который передается на иконах, то здесь каждой точке единого пространства, например, комнаты, соответствуют две различные жизни - "мистическая" и "обыденная". Они, как уже говорилось, могут быть представлены как сдвинутые относительно друг друга на бесконечно малое расстояние в "четвертом" направлении. Это бесконечно малый сдвиг - аналог бесконечно малой толщины листа в предыдущем примере. Поскольку оба пространства - и мистическое, и обыденное, - трехмерны, то изображать и то, и другое можно на иконе обычным образом, перспективно. Как и в предыдущем примере, эти пространства необходимо передавать попеременно, желательно различая их цветом и четко выписанными границами.

Эти общие рассуждения можно проиллюстрировать, обратившись к новгородской иконе "Успение", приписываемой Феофану Греку или, во всяком случае, написанной под его сильным влиянием. Перед мастерами, писавшими иконы "Успение", возникла именно та задача, которая обсуждалась выше. Согласно церковному преданию, Богоматерь скончалась, окруженная скорбящими апостолами, а ее душа (изображаемая в виде младенца) была взята на небо явившимся для этого Христом. Важно при этом подчеркнуть, что эти два события - кончина Марии в окружении апостолов, стоящих около ее ложа, и взятие души Христом - происходили одновременно, в одном пространстве, но первое - в реальном плане, а второе - в мистическом.

Обе эти области можно, как уже говорилось, показать одновременно, если разделить их границей и дать им различные цвета. На новгородской иконе такой границей является линия, отделяющая обычный светлый фон неба от темно-синего фона пространства, в котором находится Христос. Реальному пространству принадлежат ложе Марии, апостолы, святители и архитектурный фон, а мистическое с иерархически преувеличенной фигурой Христа занимает сравнительно малую часть показанного пространства, где-то между его средним и дальним планом. Художник всячески подчеркивает, что эти два пространства связаны лишь через мистическое действие - взятие души Марии. Взоры всех персонажей обращены к умирающей Марии, и никто не смотрит на Христа, хотя совершенно очевидно, что его появление среди учеников потрясло бы их.

Желание подчеркнуть коренное различие двух пространств привело к тому, что с самого начала XV века границу двух пространств выделяли не просто линией, а в дополнение к этому изображением непрерывного ряда ангелов, как бы ограждающих мистическое пространство. Эти ангелы пишутся монохромно, цветом, близким цвету присвоенному мистическому пространству, что делает их "невидимыми" и подчеркивает их принадлежность к нему. В тех случаях, когда ангелы вступали в реальный мир (как, например, ангелы, переносящие на облаках апостолов к умирающей Марии), монохромность при их изображении исчезает, и они ничем не отличаются от других персонажей реального пространства.

На показанной иконе помимо Христа, взявшего душу Марии, в мистическом пространстве находится и сама Мария - в своеобразной сфере, во время ее телесного вознесения на небо (т.е. в мистическое пространство). Иногда в верхней части иконы мистическое пространство показывается и третий раз, при изображении врат рая, куда возносится Мария. Само собою разумеется, что во всех случаях, где бы мистическое пространство ни показывалось, оно передается одним и тем же или близкими цветами. Описанная здесь логически (и математически) безупречная композиция возникла не сразу. Она постепенно становилась все строже, достигла максимального совершенства к XV веку, а в XVII веке заметно ухудшается. Однако здесь не место рассматривать эту композицию в историческом плане.

Конечно, изображение мистического пространства было необходимо не только на иконах "Успение". Очень часто на иконах и фресках "Благовещение" у верхнего края изображения дается синяя часть окружности, мистическое небо, от которой в сторону Марии тянутся лучи, символизирующие ее мистическую связь с небом. Аналогично это делается и на иконах "Рождества Христова" или "Иоанн и Прохор на острове Патмос" и т.п. При изображении отдельных святых, особенно если они показаны молящимися, в середине верхнего края иконы или, чаще, в одном из ее верхних углов дается участок круга, как правило, закрашенного в темно-синий цвет, в котором изображен Христос, благословляющая рука Божества или что-либо подобное. Икона "Антоний Римлянин" дает пример такого рода композиции. На ней Антоний возносит молитвы Христу и Богоматери, они показаны в левом верхнем углу иконы, причем небо пространства, в котором стоит Антоний, и мистическое небо, где видны Богоматерь с Младенцем, резко отличны по цвету. Конечно, здесь Антоний связан с мистическим пространством лишь мысленно.

В тех случаях, когда Божество или святой вступает в зрительный контакт с людьми, как бы вступает в реальный мир, изображение мистического пространства излишне. Так, например, в иконах "Покрова" Богоматерь передается находящейся в пространстве храма, где стоят и пришедшие в храм люди: она не связана с мистическим пространством. Точно так же не требуется никаких разделений и особой окраски в тех случаях, когда изображается одно только мистическое пространство, например в иконах "Сошествие в ад".

Искусство эпохи Возрождения, которое стремилось показать на картине окружающий человека мир в его естественном виде, должно было отказаться от свойственных средневековому искусству приемов. Границу между миром видимым и невидимым стали показывать изображением облаков. Совершенно очевидно, что облака никак не могут быть границей между этими двумя мирами, что они могут разделять лишь две области видимого мира. В результате и "заоблачный" мир стали изображать теми же красками, что и мир земной, и на картине они стали неразличимыми. Вероятно, с этого времени утвердилось нелепое представление о том, что Бог, ангелы и святые "живут на облаках".

С точки зрения геометрической логики художники, отделявшие реальный мир от мистического не четкой линией и цветом, а облаками, демонстрировали тем самым свою полную неспособность сделать то, что легко давалось их средневековым предшественникам. Подчиняясь жестким ограничениям, которые им предписывало ренессансное искусство, они пытались "втащить" наивный "реализм" туда, где он абсолютно неуместен.

В XVII веке подобный метод разделения реального и мистического пространства постепенно переходит и в русскую иконопись, снижая наряду с другими причинами ее богословскую глубину. В качестве типичного примера можно привести икону Никифора Савина (XVII век) "Иоанн Предтеча в пустыне". На ней пространство, в котором находится Христос и небесные силы, ничем не отличается от пространства, в котором стоит Иоанн. Позже это стремление к "естественности" еще более усиливается. Окончательно исчезает понимание принципиальной разницы между пространством обычным и мистическим.

Данная тема меня очень заинтересовала. Общаясь на форуме «Четырехмерное пространство: как в нем жить», я узнала мнение о многомерности пространства других людей. Работая над темой,  я еще раз убедилась в том, что моя работа -  лишь малый шаг в познании мира,  таким образом, установив для себя, что четырехмерное пространство  - реальность.

5. Использованная литература.

1. А.Котенок. Гиперсфера. «Математика: приложение к газете «Первое сентября», №13, 2005 г., с.33

Интернет-ресурсы:

2. http://ufo.kulichki.ru

3. RIN.ru

4. http://www.trud.ru/trud_nomer.php

5. http://www.chronos.msu.ru