Исследовательская работа по математике на тему "Осевая и центральная симметрии" (6 класс)

Городская научно – практическая конференция

«Путь к успеху»

«Симметрия в природе»

Секция: математика

                                                                 Автор: Лисина Ксения,

                                                                 6г класс, МБОУ «Средняя школа № 23».

                                                                 Руководитель: Змеева Татьяна

                                                                 Георгиевна, учитель математики,

                                                                 МБОУ «Средняя школа № 23»,

                                                                 I квалификационная категория.

г. Дзержинск

2019 г.

Содержание

	стр.
Введение.	3
Гл.1. Теоретические основы понятия симметрии.	4
1.1. Понятие симметрии.	4
1.2. Осевая симметрия.	5
1.3. Центральная симметрия.	6
1.4. Симметрия относительно плоскости.	7
Гл.2. Симметрия в природе.	8
2.1. Определение симметрии в биологии.	8
2.2. Радиальная симметрия.	9
2.3. Билатеральная симметрия.	11
Заключение.	13
Приложения.	14
Список литературы.	16

Введение.

Известный ученый Галилео Галилей сказал: «Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры». Я бы чуть изменила эту фразу: «Природа говорит языком симметрии…».

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность. Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

Я обратила внимание на то, что в основе красоты многих форм, созданных природой, лежит симметрия. Внимательно приглядываясь к окружающей природе, я заметила, что форма листьев всех растений подчиняется строгой закономерности: листок как бы склеен из двух почти одинаковых половинок. Рассматривая насекомых (бабочек, стрекоз, жуков, мух), я вновь обнаружила туже закономерность.

Именно, поэтому тема «Симметрия в природе» заинтересовала меня, и я попытаюсь рассмотреть различные виды симметрии, которые встречаются в окружающей нас природе.

Цель работы: Рассмотреть различные виды симметрии, которые встречаются в природе.

Задачи:

-                   определить связь математики и биологии;

-                   изучить теоретические сведения о симметрии;

-                   исследовать присутствие математических законов в природе;

-                   сделать выводы.

Методы исследования:

-                   изучение литературы, ресурсов сети интернет;

-                   наблюдение;

-                   фотосъёмка;

-                   сравнение;

-                   анализ.

Объект исследования: Представители растительного и животного мира.

Выдвигаемая гипотеза: Объекты живой природы обладают симметрией.

Глава 1. Теоретические основы понятия симметрии.

1.1. Понятие симметрии.

                                                                                                                    «Симметрия является той идеей, с помощью 

                                                                                                                     которой человек веками пытается объяснить     

                                                                                                                     и создать порядок, красоту и совершенство» 

                                                                                                                                                           Герман Вейль.

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: живой, неживой природы и общества. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Знаменитый академик В.И. Вернадский считал, что «… представление о симметрии слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений. Правильность его проверена реальным опытом и наблюдением, бытом человечества в разнообразнейших природных условиях».  Само понятие, связанное с понятием красоты или гармонии, было дано великими греческими ваятелями, и слово «симметрия» этому явлению отвечающее, приписывается скульптуру Пифагору из Регнума (Южная Италия, тогда Великая Греция), жившему в V веке до нашей эры.

Существует множество определений симметрии:

1. «Словарь иностранных слов»: «Симметрия - [греч. symmetria] - полное зеркальное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра; соразмерность».

2. «Краткий Оксфордский словарь»: «Симметрия - красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью».

3. «Словарь С.И. Ожегова»: «Симметрия - соразмерность, пропорциональность частей чего-нибудь, расположенных по обе стороны от середины, центра».

4. В.И. Вернадский. «Химическое строение биосферы Земли и ее окружения»: «В науках о природе симметрия есть выражение геометрически пространственных правильностей, эмпирически наблюдаемых в природных телах и явлениях. Она, следовательно, проявляется, очевидно, не только в пространстве, но и на плоскости и на линии».

Но наиболее полным и обобщающим все вышеперечисленные определения мне кажется мнение Ю.А. Урманцева: «Симметрией называется всякая фигура, которая может совмещаться сама с собой в результате одного или нескольких последовательно произведенных отражений в плоскостях. Другими словами, про симметричную фигуру можно сказать: «Eadem mutate resurgo» - «Измененная, я воскресаю той же самой» - надпись под очаровавшей Якоба Бернулли (1654-1705) логарифмической спиралью».

Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, также  подчиняются принципам симметрии.

Итак, в современном понимании симметрия − это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям.

1.2. Осевая симметрия.

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему (рис. 1). Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а, также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии   фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

 Ось симметрии делит такую фигуру на две симметричные фигуры, расположенные в разных полуплоскостях определяемых осью симметрии.

Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У круга их бесконечно много — любая прямая, проходящая через его центр, является осью симметрии (рис. 2).

          Прямоугольник                                 Ромб                              Квадрат

 

Рисунок 2.

           Круг                                                Равнобедренный треугольник

                                                                         

 

Рисунок 2.

Фигуры, обладающие осевой симметрией.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

1.3. Центральная симметрия.

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА₁         (рис. 3). Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной  симметрией.

Центральная симметрия как частный вид поворота вокруг заданной точки, обладает всеми свойствами поворота. В частности, при центральной симметрии сохраняются расстояния, поэтому центральная симметрия есть перемещение.  Отсюда следует, что если одна из двух фигур отображается на другую центральной симметрией, то эти фигуры равны.

Впервые понятие центра симметрии встречается в XVI в. в одной из теорем Клавиуса, гласящей: «если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр».

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей (рис. 4). Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии.

                                                                                         

 

Рисунок 4.

Фигуры, обладающие центральной симметрией.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

1.4. Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия).

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно плоскости α, если эта плоскость проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему (рис. 5).

                                         А

                               

 

                                       А₁

	Рисунок 5. Зеркальная симметрия.

 

Фигура называется симметричной относительно плоскости α, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно плоскости, также принадлежит этой фигуре    (рис. 6).

       Рисунок 6.

Каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник,  симметричны.

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Глава 2. Симметрия в природе.

2.1. Определение симметрии в биологии.

На явление симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (V век до н.э.) в связи с развитием учения о гармонии. В 19 веке появились единичные работы, посвященные симметрии растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий исследователь Э. Геккель), биогенных молекул (французские ученые А. Вешан, Л. Пастер и др.). В 20 веке (1961 г) усилиями российских ученых (Ю. В. Вульфа, В. Н. Беклемишева, Б. К. Вайнштейна, В. И. Вернадского, В. В. Алпатова, Г. Ф. Гаузе)  было создано новое направление в учении о симметрии – биосимметрика, которое, исследуя симметрии биоструктур на молекулярном и надмолекулярном уровнях, позволяет заранее определить возможные варианты симметрии в биообъектах, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых организмов.

Симметрия в биологии − закономерное расположение подобных (одинаковых) частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии.

Асимметрия − отсутствие симметрии. Иногда этот термин используется для описания организмов, лишённых симметрии первично, в противоположность диссимметрии − вторичной утрате симметрии или отдельных её элементов.

Понятия симметрии и асимметрии альтернативны. Чем более симметричен организм, тем менее он асимметричен и наоборот. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии, радиальную или билатеральную. Небольшое количество организмов полностью асимметричны. При этом следует различать изменчивость формы (например, у амёбы) от отсутствия симметрии. В природе и, в частности, в живой природе симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Например, симметричные листья растений при сложении пополам в точности не совпадают.

В живой природе (как и в неживой) из-за различных ограничений обычно встречается значительно меньшее число видов симметрии, чем возможно теоретически. Например, на низших этапах развития живой природы встречаются представители всех классов точечной симметрии − вплоть до организмов, характеризующихся симметрией правильных многогранников и шара. Однако на более высоких ступенях эволюции встречаются растения и животные в основном с так называемой аксиальной (радиальной) и актиноморфной симметрией.

У биологических объектов встречаются следующие типы симметрии:

·      сферическая симметрия – симметричность относительно вращений в трехмерном                                       пространстве на произвольные углы;

·      радиальная симметрия - симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси;

·      билатеральная (двусторонняя)  симметрия - симметричность относительно плоскости симметрии (симметрия зеркального отражения);

·      трансляционная симметрия – симметричность относительно сдвигов пространства в  каком – либо направлении на некоторое расстояние;

·      триаксиальная асимметрия – отсутствие симметрии по всем трем пространственным осям.

2.2. Радиальная симметрия.

В биологии о радиальной симметрии говорят, когда через трёхмерное существо проходят одна или более осей симметрии. Обычно через ось симметрии проходят две или более плоскости симметрии. Эти плоскости пересекаются по прямой — оси симметрии. Если животное будет вращаться вокруг этой оси на определённый градус, то оно будет отображаться само на себе (совпадать само с собой).

При радиальной (или лучистой) симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра, либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Лучевой симметрией обладают организмы ведущие неподвижный или малоподвижный образ жизни. Радиальная симметрия характерна для многих стрекающих, а также для большинства иглокожих. Среди них встречается так называемая пентасимметрия, базирующаяся на пяти плоскостях симметрии.

Кишечнополостные – актинии.

Кишечнополостные - пресноводная гидра.

Рисунок 7.

У актинии с очень большим числом щупалец можно провести много плоскостей симметрии. У гидры можно провести несколько плоскостей симметрии, число которых будет кратно числу щупалец.

У цветковых растений часто встречаются радиально симметричные цветки: 3 плоскости симметрии (водокрас лягушачий), 4 плоскости симметрии (лапчатка прямая), 5 плоскостей симметрии (колокольчик), 6 плоскостей симметрии (безвременник). Цветки с радиальной симметрией называются актиноморфные.

             Водокрас лягушачий.                                                             Лапчатка прямая.            

            Колокольчик.                                                                              Безвременник.

Рисунок 8.

2.3. Билатеральная симметрия.

Билатеральная симметрия (двусторонняя) – симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны. Ось симметрии у билатерально симметричных объектов отсутствует.

У животных билатеральная симметрия проявляется в схожести или почти полной идентичности левой и правой половин тела. При этом всегда существуют случайные отклонения от симметрии (например, различия в папиллярных линиях, ветвлении сосудов и расположении родинок на правой и левой руках человека). Часто существуют небольшие, но закономерные различия во внешнем строении (например, более развитая мускулатура правой руки у праворуких людей) и более существенные различия между правой и левой половиной тела в расположении внутренних органов. Например, сердце у млекопитающих обычно размещено несимметрично, со смещением влево.

У животных появление билатеральной симметрии в эволюции связано с ползанием по субстрату (по дну водоема), в связи с чем появляются спинная и брюшная, а также правая и левая половины тела. В целом, среди животных билатеральная симметрия более выражена у активно подвижных форм. У активно перемещающихся животных передний конец тела становится биологически не равноценным остальной части туловища, происходит формирование головы, становятся различимы правая и левая стороны тела. Благодаря этому теряется радиальная симметрия, и через тело животного можно провести лишь одну плоскость симметрии, делящую тело на правую и левую стороны. Двусторонняя симметрия характерна для большинства видов животных (беспозвоночных, членистоногих, ракообразных, паукообразных, насекомых, бабочек,  позвоночных (рыб, птиц, млекопитающих). Зеркальная (билатеральная) симметрия нужна им для безопасности, устойчивости и равновесия.

 

 

Рисунок 9.

Если посмотреть на красавицу бабочку с яркой расцветкой, она состоит из двух одинаковых половинок. Даже пятнистый узор на ее крыльях подчиняется законам симметрии.

У растений билатеральную симметрию имеет обычно не весь организм, а его отдельные части — листья,  цветки, плоды. Билатерально симметричные цветки ботаники называют зигоморфными.

             Лист дуба.                                                                      Побег крапивы двудомной.

Плод  - яблоко.

Рисунок 10.

Заключение.

 Симметрия принадлежит к числу широко и повсеместно распространенных явлений. В данной работе были рассмотрены вопросы, связанные с симметрией в биологии. На основании изложенной теории был проведен анализ некоторых представителей растительного и животного мира на предмет присутствия в них элементов симметрии. Был сделан вывод, что большинство из них обладают симметрией. Симметрия проникла в животный и растительный мир, стала там полновластной хозяйкой. Ее всеобщность служит эффективным инструментом познания природы. Симметрия в природе – следствие необходимости сохранять устойчивость и равновесие.

Несмотря на всеобщий характер симметрии окружающего нас мира, в природе мы практически не встречаем примеров математически безукоризненной симметрии. Более того, кроме симметричных объектов в живой природе достаточно большое количество асимметричных организмов. Например, нетрудно указать плоскость, относительно которой человеческое тело можно считать симметричным. Но столь же легко всегда указать и отклонение от полной симметрии. Именно эти небольшие отклонения от нее – родинка, волосы, расчесанные на косой пробор, или какая-нибудь деталь в одежде, нарушающая симметрию – и придают каждому человеку характерные только для него черты.

Таким образом, симметрия – общее свойство объектов окружающего мира, асимметрия же отражает индивидуальные свойства объектов.

Мне очень понравилось работать по данной теме, это было познавательно и интересно. Конечно, осталось еще много неизученного, поэтому я буду и в дальнейшем заниматься этой тематикой.

О, Симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою дружен и тюльпан, и роза,

И снежный рой — творение мороза!

Приложения.

 

          Кишечнополостные – актинии.                      Кишечнополостные - пресноводная гидра.

  

Водокрас лягушачий.                                                             Лапчатка прямая.

  

            Колокольчик.                                                                              Безвременник.

 

 

    

             Лист дуба.                                                                      Побег крапивы двудомной.

Плод  - яблоко.

Список литературы:

1.      Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2014.

2.      Атанасян Л.С. Геометрия 10-11. М.: Просвещение, 2010.

3.      Вернадский В.И.. Химическое строение биосферы Земли и её окружения. М., 1965.

4.      Вульф Г.В. Симметрия и её проявления в природе. М., Изд. Отд. Нар. ком. Просвещение,  1991.

5. Жёлудев И.С. Симметрия и её приложения. М., 2003.
6. Компанеец А. С. Симметрия в микро- и макромире. М., 2008.
7. Ожегов С.И. Словарь русского языка. М.: Рус. Яз., 1987.
8. Тарасов Л. П. Этот удивительно симметричный мир. М., 1982.

9.      Урманцев Ю.А. Симметрия в природе и природа симметрии. М., Мысль, 1974.

10.  Шубников А.В.. Симметрия. М., 1940.

11.  Энциклопедический словарь юного математика. М., 2009.

http://dic.academic.ru

http://festival.1september.ru

http://matemkonst.narod.ru

http://mathemlib.ru/