Исследовательская работа ученицы 6 класса "Математические тайны в музыке"

Администрация города Дзержинска Нижегородской области

Департамент образования Администрации города Дзержинска

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя  школа № 10»

(МБОУ «Средняя школа № 10»)

 Городская научно-практическая конференция школьников 5-8 классов

 «Путь к успеху»

Секция «Математика вокруг нас»

Математические тайны в музыке

Автор работы:

Сурина Алиса, ученица 6Б класса

Руководитель:

Соловьева Алла Вячеславовна

Дзержинск 2017 год

Содержание

Введение	Стр.
1. История исследования связи музыки с математикой	4-7
1.1 Достижения Пифагора и его учеников в области музыки	4-6
1.2 Пифагорейская теория музыки	7
2. Математическая модель музыки	7-13
2.1 Высота звука	7
2.2 Музыкальный интервал	8
2.3 Определение частоты нот	8
2.4 Понятия среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического в музыке	9
2.5 Применение дробных чисел	10
2.6 Знаки и символы нотной записи с точки зрения математики и логики	11
2.7  Симметрия в клавишах пианино	12
2.8 Золотое сечение в музыкальных произведениях	13
3. Практическая иллюстрация применения математических понятий в музыке	14-16
3.1 Золотое сечение в музыкальных произведениях	14-15
3.2 Расчет музыкальных параметров	15-16
Заключение	17
Использованные источники	18

Введение

Частым жизненным явлением является увлеченность искусством и недооценка точных, сухих наук, таких как математика. Что про нее часто приходится слышать: «Проживу без дробей и логарифмов, а калькулятор  зачем?»

Про себя я могу точно сказать, что невероятно люблю музыку.  В ней я «растворяюсь», подпитываюсь жизненной энергией. Вне музыки я себя не представляю.

 С неменьшим восторгом я могу говорить и о науке математика. Она точна, грациозна, величественна. Математика выстраивает все по порядку,  заставляет думать, учит творить.

 И, быть может,  успехи на музыкальном поприще в какой-то мере связаны с моим особенным отношением к этому замечательному предмету. Мне в математике интересно в равной степени все, несмотря на некоторые трудности в ее восприятии.

Творческий человек, по моему мнению, не может не дружить с математикой.

При изучении программного материала в 6 классе: дроби, отношения, пропорции... я вдруг обнаружила связь предмета с музыкой. Интрига заставила меня углубиться в своих познаниях. Мне непременно захотелось разобраться в тесных связях этих двух разнополярных явлений: музыка и математика.

 Очень интересно историческое прошлое: с чего все началось, кто из великих людей внес вклад в установлении математических закономерностей в мире музыки, какие математические понятия работают в области музыки, на основе каких математических законов выстраиваются музыкальные произведения.

 Слушая музыку, человек погружается в безграничный мир различных звуков, которые помогают достичь внутренней гармонии и отвлечься от собственных мыслей. Решая математические уравнения или задачи, человек наоборот полностью погружается в строго обусловленный мир чисел.

Но вряд ли кто-то хоть раз задумывался о том, что два таких разных мира могут быть тесно связаны друг с другом. А ведь еще немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц сказал: "Музыка есть таинственная арифметика души. Она вычисляет, сама того не подозревая".

А ведь действительно, оказывается, что в музыке незримо, но повсеместно присутствует математика: звуковые частоты представляют собой геометрическую прогрессию, а музыкальный ритм вовсе делит время на единицы, между которыми устанавливаются числовые связи. И много-много еще интересных фактов обнаруживается при изучении взаимодействия музыки  математики.

Я спросила у своих одноклассников: «Зачем музыке нужна математика? Вот несколько ответов.

-          Математика нужна музыке для того, чтобы музыка звучала приятно.

-          Математика нужна для гармонии в музыке.

-          Математика приводит музыку в порядок, делает ее приятной для слуха.

-          Математические законы  делают музыку лечебной.
Иначе, математика является ключом к тайнам мировоззрения.

Объект исследования: музыка и математика.

Поэтому целью своей работы я ставлю: исследовать математические закономерности в области музыки; установить, насколько сильно зависит музыка от математики, может ли она без нее существовать.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

-          проанализировать информацию, представленную в  Интернет-ресурсах по вопросу установления связи между математикой и музыкой;

-          установить математические закономерности в области музыки;

-          рассмотреть золотую пропорцию в известных музыкальных произведениях;

-          обнаружить математические понятия и закономерности в моем любимом музыкальном произведении Людвига Бетховена «Лунная соната».

В своем исследовании я выдвинула следующую гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить в виде математической модели.

Методы исследования:

1.Изучение, обработка и анализ документов.
2.Метод исследования музыкального произведения.
3.Метод проблемно-поисковой ситуации.

1. История исследования связи музыки с математикой

1.1  Достижения Пифагора и его учеников в области музыки

Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика пронизывает музыку.

Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как утверждали древние мудрецы.

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанной в 1727 году: “Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.

Свое отношение к математике и музыки ученые высказывали в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: “Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольдбах ему отвечает: “Музыка – это проявление скрытой математики”.

Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета – музыку и математику. Музыка, как один из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков, и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки.

 Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева. Они проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на интеллект.

Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт (его первый труд  - “Compendium Musicae” в переводе “Трактат о музыке”), Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д-Аламбер, Даниил Бернулли и другие.

Слова мелодия, ритм родились в Элладе, название слова «гамма» происходит от греческой буквы (гамма). После создания точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный инструмент – всего-навсего «физико-акустический прибор», музыку уже не отделить от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония. Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляют интерес к музыке. 

1.2  Пифагорейская теория музыки

Арифметика – учение о количестве, выражаемое числом; музыка – учение, которое рассматривает числа по отношению в звуке; благодаря счастливому союзу, музыка получила прочный математический фундамент гамм и универсальный язык нот. Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия – консонансы, т. е. созвучия, получаются лишь в том случае, когда длины струн относятся как целые числа первой четверки, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4. Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе.

Последователи пифагорейской школы изучали музыку на основе звуков, издаваемых единственной струной музыкального инструмента, называемого монохордом. Длина струны монохорда изменялась подобно тому, как гитарист зажимает струны при игре на современной гитаре. При изменении длины изменялась звучащая нота: чем короче струна, тем выше нота. Пифагорейцы попарно сравнивали звуки, соответствующие различным длинам струны. В своих экспериментах они описывали соотношения длин сторон, выражаемые небольшими числами: они делили струну пополам, в соотношении один к двум, два к одному и так далее.

Результаты оказались удивительными: звуки, издаваемые при колебаниях струн, длины которых выражались небольшими числами, оказывались самыми приятными, то есть самыми гармоничными. На основе этих наблюдений пифагорейцы создали математическую модель физического явления, в которой при этом учитывалась и эстетическая составляющая. Нечто подобное произошло позднее, в эпоху Возрождения, когда понятие красоты стали связывать с золотым сечением.

Простейшее соотношение образуется, если зажать струну ровно посередине. Это отношение в численном виде записывается как 2:1 и соответствует интервалу в одну октаву (например, от ноты до до следующего до). Еще одно простейшее соотношение образуется, если прижать струну в точке, отстоящей от конца струны на треть ее длины. В численном виде это отношение записывается как 3:2 и соответствует интервалу в одну квинту (интервал от до до соль). Если прижать струну в точке, отстоящей от ее конца на четверть длины, что в численном виде записывается как 4:3, получится интервал, известный под названием кварта (интервал от до до фа).

 

Законы целочисленных отношений в консонансах (в музыке слитное, согласованное одновременное звучание различных тонов; один из важнейших элементов гармонии. Понятие консонанса противостоит понятию диссонанса. К консонансу относят приму, октаву, квинту, кварту) были открыт Пифагором. Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:

З а к о н 1. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число.

10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.

З а к о н 2. Четверка чисел 1, 2, 3, 4 – тетраэдр – лежит в основе построения различных музыкальных ладов. Лады состоят из основных ступеней. В основу гаммы пифагорейцы положили интервал октава – восемь. Далее октаву разделили на благозвучные части, и Пифагор обнаружил приятные слуху созвучия: квинта – пятая ступень, кварта – четвертая, октава – восьмая. Основа всей музыки – тетрахорда.

До – соль – ре – ля – ми – си – фа – полученные звуки собирались в октаву.

Параллели, противоположности, гармония, анализ, счет,  ритм, метр, длина, интервал, высота и многие другие математические понятия «живут» в математике.

Рис.1. Музыкальный ряд

На следующих иллюстрациях указаны основные интервалы и соотношения частот звуков, соответствующих границам этих интервалов:

 
Рис.2. Интервалы и соотношения частот.

Итак, история взаимодействия математики и музыки уходит далеко в прошлое. Изучив работы ученых, мною было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики. Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков.

2. Математическая модель музыки

2.1 Высота звука

Чтобы лучше понять важность открытий, совершенных пифагорейцами, следует различать абсолютную и относительную высоту звука. Каждая музыкальная нота задает высоту, в зависимости от которой звук называется низким или высоким. Высота звука определяется частотой колебаний соответствующей звуковой волны. Чем больше частота, тем выше звук.

Распространение звуковой волны вызвано чередованием областей сжатия и разрежения воздуха. Именно эти чередования наши уши воспринимают как звук. Если области сжатия и разрежения чередуются равномерно, то звуковые колебания называются гармоническими. Скорость, с которой чередуются области сжатия и разрежения, называется частотой. Частота равняется числу колебаний в секунду и измеряется в герцах. Чем больше частота колебаний, тем выше звук.

Высота определяется частотой колебаний. Низким частотам соответствуют низкие звуки, высоким — высокие.

 

Высота звука пропорциональна его частоте.

 
Рис. 2. Устройство клавиш пианино.

Клавиши пианино, соответствующие низким звукам, расположены слева; клавиши, соответствующие высоким звукам, — справа.

2.2 Музыкальный интервал

В математике интервалом называется числовой промежуток. В музыке тоже есть понятие интервала. Что же понимают под интервалом в музыке?

Интервал — это расстояние между нотами. Каждый интервал носит название в соответствии с числом нот, содержащихся в границах интервала. Так, интервал между до и фа содержит четыре ноты: до-ре-ми-фа. Интервал до — фа называется квартой. Также говорят, что расстояние между до и фа равно кварте. Уже известный нам интервал октава подчиняется этому же правилу: чтобы перейти от до к следующему до, нужно восемь нот: до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до. Указанные выше интервалы являются восходящими. Нисходящие интервалы начинаются с более высокой ноты и читаются в обратном направлении: интервал до — ля называется терцией, так как охватывает три ступени: до-си-ля.

Второй подход: интервалы можно также представлять в численном виде как соотношение частот нот. В этом случае имеет значение не абсолютная частота звука каждой ноты, а отношение между их частотами. Тогда две ноты можно сравнить, указав разделяющий их интервал в виде отношения частот соответствующих звуков. Если, например, мы сыграем две ноты, разделенные интервалом в одну кварту, то более высокая нота будет иметь частоту, равную 4/3 частоты более низкой ноты. Если два звука разделены интервалом в одну квинту, то их частоты относятся как 3:2. Например, для ноты ля частотой 440 Гц следующая нота ми, отделенная интервалом в одну квинту, будет иметь частоту в 660 Гц.

Сумма интервалов подчиняется линейному закону. Если мы пронумеруем клавиши пианино, обозначив за 1 самую низкую ноту, за 88 — самую высокую, то увидим, что клавиши, соответствующие ноте ля, имеют номера 1, 8, 15, 22, 29 и так далее. Иными словами, чтобы перейти от одной ноты ля к следующей, нужно перейти на семь клавиш вправо или влево.

 Однако если мы рассмотрим не клавиши пианино, а частоты соответствующих звуков, то увидим, что они возрастают не линейно, а экспоненциально. Так, самый низкий звук пианино, соответствующий ноте ля, настраивается на частоту 27,5 Гц. Чтобы перейти к следующему ля, нужно не прибавить к этой частоте какое-то фиксированное число, а умножить эту частоту на 2. Таким образом, следующая ля настраивается на 55 Гц, следующая — на 110 Гц и так далее.

2.3  Определение частоты нот (обыкновенные дроби  и арифметические действия над ними в музыке)

Определим частоту каждой ноты с помощью цепочки квинт и сдвига на одну или несколько октав, то есть путем деления и умножения частоты на 2. Напомним, что отношение между частотами звуков всегда будет принимать значение между 1 (соотношение частоты одного и того же звука) и 2 (отношение частот нот до соседних октав).

Сначала определим относительную частоту ноты соль, которая отстоит на одну квинту от ноты до:

соль = 3/2

Затем определим частоту ноты ре, которая отстоит на одну квинту от соль (необходимо умножить частоту на 3/2), но потребуется сдвиг на одну октаву ниже (умножить частоту на 1/2):

 

Расстояние между до и ре называется целым тоном. Как и следовало ожидать, один тон равен двум полутонам.

Затем определим относительную частоту ноты ля, отстоящей на одну квинту от ре:

 

Нота ми отстоит на одну квинту от ля, но потребуется сдвиг на одну октаву ниже:

 
Приняв частоту до за 1, представим частоты всех нот в таблице:

 

Можно повторить эти же действия, чтобы определить частоты бемолей, соответствующих черным клавишам пианино.

Для этого нужно последовательно выполнять сдвиг на одну квинту ниже, начиная с ноты фа.

 

2.4 Понятия среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического в музыке

Пифагор находился под влиянием своих знаний о средних величинах (среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом) и о мистицизме натуральных чисел, особенно первых четырех, называемых «тетракис».

Как видно на рисунке ниже

 

3:4 — это среднее арифметическое 1 и 1/2:

 

2:3 — среднее гармоническое 1 и 1/2:

 

Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2, 2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) издают приятные звуки. Как вы уже знаете, на основе этих соотношений он создал свой музыкальный строй. Пифагор назвал эти интервалы диапазон, диапент и диатессарон. Мы называем эти интервалы октавой, квинтой и квартой соответственно. Но что случилось со средним геометрическим? Пифагор отказался от него, так как оно было несоизмеримо с остальными? Вовсе нет: среднее геометрическое точно соответствует ноте фа-диез хроматического строя.

2.5 Применение дробных чисел

Дробные числа используют для обозначения тактов.

— Сложение дробей. Например, такт размером 3/4 имеет длительность половинной ноты с точкой, что равнозначно половинной ноте (обозначаемой символом  и четвертной):

 

Если заменить обозначения нот соответствующими дробями, получим:

3/4 = 1/2 + 1/4.

— Сокращение дробей. Если сократить дробь, обозначающую такт, полученная дробь будет обозначать новый такт:

6/8 = 3/4.

В этом случае математическое равенство не означает равенство с точки зрения музыки. Длительность обоих тактов будет одинаковой и равной длительности шести восьмых нот (для такта 3/4 — длительности трех четвертных нот, каждая из которых равна двум восьмым).

Однако обозначение 6/8 соответствует сложному метру, а 3/4 — простому, что указывает на важное отличие.

— Наименьшее общее кратное. При полиритмии интерес представляют моменты, когда двухдольный и трехдольный ритм будут накладываться друг на друга на одной доле или на одном такте. Например, в одном такте исполняются две восьмых доли, а другой голос одновременно исполняет триоль из трех восьмых нот:

 

В этом случае каждый ритм можно исполнить двумя способами, но нужно выбрать какой-то один. Сделать выбор поможет математика: для этого потребуется вычислить наименьшее общее кратное. В нашем примере НОК (2,3) — 6. Это означает, что нужно мысленно разделить такт на шесть равных частей. Восьмые ноты будут исполняться на счет 1 и 4, а триоль — на счет 1,3 и 5.

2.6  Знаки и символы нотной записи с точки зрения математики и логики (графики, системы координат в музыке)

Музыка записывается на бумаге с помощью нотного стана, который можно считать графиком изменения высоты звуков с течением времени. Нотный стан можно представить как систему координат, на горизонтальной оси которой обозначается время, на вертикальной — высота нот. Высота обозначается с помощью равноудаленных друг от друга параллельных прямых. В современной нотации используется пять прямых.

Музыкальное «расстояние» между двумя соседними линиями (или между соседними промежутками между линиями) равно интервалу в одну терцию. Линию и ближайший к ней промежуток разделяет интервал в одну секунду. Таким образом определяются пять линий и четыре промежутка между ними, которые нумеруются снизу вверх:

 
Рис. 3. Устройство нотного стана.

Линии и промежутки соответствуют белым клавишам пианино, а расположение нот определяется частотой соответствующих звуков. Так, звуки высокой частоты (высокие звуки) располагаются на верхних линиях нотного стана. Для обозначения более низких звуков используются добавочные линии; соответственно, образуются дополнительные промежутки между ними. Так, дополнительными промежутками являются свободные места над 5-й и под 1-й линиями.

Если мы представим партитуру как систему координат на «музыкальной плоскости», то увидим, что на оси ординат указывается высота звуков.

 
Рис. 4. Устройство музыкальной плоскости.

На оси абсцисс, в свою очередь, откладывается длительность звуков и пауз. На пример, три звука, исполняемые последовательно в моменты времени 1, 2 и 3, изображаются так:

 
Рис.5. Зависимость высоты звука от времени.

Если эти же три звука исполняются одновременно, то они будут изображаться так:

 

Звуки, расположенные на одной линии нотного стана (или на одном промежутке между ними) имеют одинаковую высоту (частоту). Звуки, расположенные вертикально друг под другом, исполняются одновременно.

2.7 Симметрия в клавишах пианино

Клавиши пианино имеют две оси симметрии: первая проходит по центру белой клавиши ре, вторая — по центру черной клавиши соль-диез.

 
Рис.5. Симметрия на клавишах.

Теперь посмотрим, как располагаются тона и полутона гамм. Мажорной гаммой называется звукоряд из семи звуков, отделенных друг от друга следующей последовательностью тонов (Т) и полутонов (nТ):

Т-Т-nТ-Т-Т-nТ.

Мажорная гамма, в которой используются только белые клавиши, начинается с ноты до:

до, ре, ми, фа, соль, ля, си.

Минорной гаммой называется звукоряд из семи звуков, отделенных друг от друга следующей последовательностью тонов (Т) и полутонов (nТ):

Т-nТ-Т-Т-nТ-Т.

Минорная гамма, в которой используются только белые клавиши, начинается с ноты ля:

ля, си, до, ре, ми, фа, соль.

Именно в таком порядке расположены ноты вокруг клавиши ре, через которую проходит ось симметрии. Несложно заметить, что тона и полутона располагаются симметрично:

 

Между нотой соль и следующей нотой ля находится вторая ось симметрии. Очевидно, что интервалы будут симметричны также и относительно этой оси. Взглянув на расположение белых и черных клавиш пианино, можно заметить, что оси симметрии клавиш и тонов и полутонов соотносятся между собой. Так как мы используем равномерно темперированный строй из 12 равных полутонов, то в качестве центральной можно выбрать любую ноту, а остальные ноты будут располагаться симметрично по обе стороны от нее. В рассматриваемом нами случае к симметрии тонов и полутонов добавляется симметричное расположение клавиш пианино.

2.8 Золотое сечение в музыкальных произведениях

«Золотое сечение» – это понятие, скорее, математическое и его изучение – задача науки. Это деление некоей величины на две части в таком отношении, когда большая часть так будет относиться к меньшей, как целое к большей. Данное отношение оказывается равным трансцендентному числу Ф=1,6180339… с удивительными свойствами.

Метод золотого сечения — это поиск значений функции на заданном отрезке.

Метод золотого сечения применяется и в музыке. Оказалось, что в музыкальных произведениях очень часто встречается эта золотая пропорция. В начале 20 века на заседании Московского музыкального кружка было сделано сообщение, содержащее информацию о том, какое применение находит золотое сечение в музыке.

С огромным интересом слушали члены музыкального кружка композиторы С. Рахманинов, С. Танеев, Р. Глиэр и другие. Доклад музыковеда Розенова Э.К. «Закон золотого сечения в музыке и поэзии» положил начало исследованиям математических закономерностей, связанных с золотой пропорцией, в музыке. Он проанализировал музыкальные произведения Моцарта, Баха, Бетховена, Вагнера, Шопена, Глинки и других композиторов и показал, что в их произведениях присутствует эта «божественная пропорция». Кульминация многих музыкальных произведений располагается не в центре, а немного смещена к концу произведения в соотношении 62:38 – это и есть точка золотой пропорции.

Доктор искусствоведения, профессор Л. Мазель заметил, изучая восьмитактные мелодии Шопена, Бетховена, Скрябина, что во многих творениях этих композиторов кульминация, как правило, приходится на слабую долю пятого, то есть на точку золотого сечения – 5/8.

 Л. Мазель считал, что практически у каждого композитора – приверженца гармонического стиля можно найти подобную музыкальную структуру: пять тактов подъёма и три такта спуска. Это говорит о том, что метод золотого сечения активно применялся композиторами сознательно либо бессознательно.

 Вероятно, такое структурное расположение кульминационных моментов придает музыкальному произведению гармоническое звучание и эмоциональную окраску. Серьёзное исследование музыкальных произведений предпринял композитор и музыковед Л. Сабанеев. Он изучил около двух тысяч творений разных композиторов и пришёл к выводу, что примерно в 75% случаев золотое сечение присутствовало в музыкальном произведении хотя бы один раз. Самое большое количество произведений, в которых встречается золотая пропорция, он отмечал у таких композиторов, как Аренский (95%), Бетховен (97%), Гайдн (97%), Моцарт (91%), Скрябин (90%), Шопен (92%), Шуберт (91%).

 Наиболее пристально он исследовал этюды Шопена и пришёл к выводу, что золотое сечение было определено в 24 этюдах из 27. Только в трёх этюдах Шопена золотая пропорция не была обнаружена. Иногда структура музыкального произведения включала в себя одновременно и симметричность, и золотое сечение. Например, у Бетховена многие произведения делятся на симметричные части, и в каждой из них проявляется золотое сечение. Итак, можно сказать, что наличие золотого сечения в музыкальном произведении является одним из критериев гармоничности музыкальной композиции.

Итак, можно наблюдать огромное количество примеров применения математических понятий в музыке. Не зря говорят, что музыка глубоко математична.

3. Практическая иллюстрация применения математических понятий в музыке

3.1 Золотое сечение в музыкальных произведениях

Используя Интернет-ресурсы, я познакомилась с основным понятием золотого сечения, а также с областями его применения. Я узнала, что принцип золотой пропорции может встречаться и в музыкальных произведениях. Попробую разобраться в этом вопросе на конкретных примерах.

 Но, поскольку восприятие произведений музыкального искусства не зрительное, а слуховое, звучание разворачивается во времени, а не в пространстве, точкой золотого сечения будет не точный числовой показатель (1,618 - отношение большей части к меньшей), а близкий к нему, имеющий некоторую продолжительность.

Точку золотого сечения легко рассчитывать благодаря современной технике, используя хронометр.

Сначала я прослушивала произведения, отмечала их на хронометре и высчитывала отношение большей части к меньшей. Чаще всего это было близко к точке золотого сечения. Я решила взять для анализа популярные произведения классиков, таких, как Иоганн Себастьян Бах, Петр Ильич Чайковский, Людвиг ванн Бетховен и т. д.

Прослушав большое количество классической музыки, я сделала для себя открытие, что музыкальные произведения по своей форме тяготеют к симметрии. В основном произведение образует трехчастную форму. В первой части звучат одна или две темы, которые хорошо запоминаются благодаря неоднократному повторению. В средней части первоначальная тема подвергается развитию, видоизменению либо вообще не появляется. Третья часть является полным или частичным повторением первой. И это закономерно, так как если бы произведение состояло из постоянно сменяющих друг друга мотивов, сознанию было бы не за что зацепиться.

После исследования произведений с помощью математических расчетов я пришла к выводу, что точка золотого сечения во многих из них приходит начало третьей части. Из прослушанных мной произведений таковыми являются:

1.      И. С. Бах - Концерт для флейты, скрипки и клавесина; 1,585;

2.      И. Штраус - Марш Радецкого; 1,527;

3.      П. И. Чайковский - Танец Феи Драже из балета Щелкунчик; 1,652;

4.      П. И. Чайковский - Вальс цветов из балета Щелкунчик; 1,618.

А в вальсе №2 си-минор Шопена, наоборот, точка золотого сечения приходилась на начало средней части за счет того, что первая часть намного длиннее остальных. В этом произведении отношение большей части к меньшей равно 1,663. Точно также в первой части Симфонии №40 В. А. Моцарта, где точка золотого сечения приходится на начало средней части. Отношение частей в этом произведении равно 1,621.

Но не всегда золотое сечение связано с таким делением произведения на три части. Например, в произведении М. П. Мусоргского «Рассвет на Москва-реке» самым ярким моментом была имитация звона колоколов. И вправду, если за точку золотого сечения принять момент начала звучания колоколов и высчитать отношение большего отрезка к меньшему, оно будет равно 1,633.

В произведении Грига «Утро» на 99 секунде звучит начало кульминации. Если принять ее за золотое сечение в данном произведении, то отношение будет равно 1,624.

В произведении «Элизе» Л. Ванн Бетховена в примерной точке золотого сечения появляется новая, совершенно иная по характеру и окраске тема, которая несет тревогу и добавляет произведению колорита переживаний, мук. Если точку начала этой темы принять на сечение, то отношение отрезков будет равняться 1,590.

Появление самой зловещей темы, темы вражды в балетной сюите №2 из балета «Ромео и Джульетта» С. С. Прокофьева тоже можно считать точкой золотого сечения, при которой отношение большей части к меньшей равняется 1,626.

Расчеты золотого сечения в музыкальных произведениях.

Алгоритм расчета золотого сечения в звучащем произведении:

1. Перевести длительность звучания в секунды. Вычесть из него вступление, если оно имеется и достаточно продолжительно.

2. Прослушать произведение, зафиксировать по хронометру яркие музыкальные моменты.

3. Полученные временные показатели перевести в секунды, также не включая в расчет вступление.

4. Разделить общую длительность звучания на временный показатель и получить отношение большей части к меньшей.

0. 1. Сводная таблица.

Во всех прослушанных мною произведениях я выделила точку золотого сечения. Я составила таблицу, в которой разместила произведения по степени близости кульминационных моментов к математическому показателю золотого сечения – 1, 628.

Композитор	Название	Отношение длительности звучания к временному показателю	Математический показатель
П. И. Чайковский	«Вальс Цветов» из балета «Щелкунчик»	327/202	1,61
В. А. Моцарт	Первая часть симфонии №40	266/164	1,62
Э. Григ	«Утро»	255/157	1,62
С. С. Прокофьев	Фрагмент из балетной сюиты «Ромео и Джульетта»	109/67	1,62
М. П. Мусоргский	«Рассвет на Москва-реке»	227/139	1,63
Л. Ван Бетховен	Концерт для флейты, клавесина и скрипки	159/100	1,59
И. С. Бах	Концерт для флейты, клавесина и скрипки	574/362	1,58
П. И. Чайковский	«Танец Феи Драже» из балета «Щелкунчик»	114/69	1,65
Ф. Шопен	Вальс №2 си-минор	218/131	1,66
И. Штраус	Марш Радецкого	197/129	1,52

3.2 Расчет музыкальных параметров

Итак, проиллюстрирую полученные сведения.

У любого звука есть два параметра: высота и длительность. Оба этих параметра определяются математически, высота звука , длительность в секундах.

Ритм - важнейшая часть музыки, он непосредственно состоит из счета. В музыке есть целая нота, она делится на половины, четверти, восьмые, шестнадцатые и тридцать вторые ноты. Все их можно записать в виде обыкновенных дробей, например, четверть - 1/4, восьмая - 1/8 и т.д.

У каждого музыкального произведения есть свой размер, то есть, количество определённых длительностей помещающихся в одном такте. Такт - это музыкальная единица, на которые делится произведение по числу метрических ударений в нем.

Размеры представляются в виде обыкновенных дробей. Например, 2/4, 4/4, 3/8. Есть сложные размеры, которые редко встречаются у композиторов, например, 12/8, 5/4, 11/4. Для того чтобы было удобно дирижировать в размере 5/4, который означает, что в такте помещается 5 четвертей, то есть, количество четвертей нечетное, (в отличии от привычных четных), музыканты представляют 5 в виде суммы чисел 2 и 3. Получается: 5/4 = 2/4 + 3/4.

Чтобы на стадии знакомства с произведением понять, какой звук сколько должен длиться, музыканты поначалу отсчитывают длительность каждого звука. Например, целая нота считается так: раз и, два и, три и, четыре и. А в размерах типа 3/8, 6/8, которые означают, что в такте помещается то или иное количество восьмых нот, звук «И» не произносят, а говорят просто: раз, два, три.

Еще звуки могут находиться на разном расстоянии друг от друга. Так в сольфеджио - науке о гармонии, пении и различных тональностях (теории музыки), появляется еще один раздел, именованный «интервалами».

Интервалы измеряются в количестве звуков, которые они «охватывают». Так самый маленький интервал - «чистая прима»  охватывает только один, и чтобы её сыграть, достаточно повторить звук два раза. Все музыканты привыкли считать интервал в 8 звуков – «октаву» самый, можно сказать, большой. Обычно интервалы больше октавы не используются, потому что гамма играется в одну октаву, то есть, в гамме восемь звуков и 7 ступеней. Самый же большой интервал, которому дали название - это «квинтдецима» и охватывает он целых 15 звуков, или же состоит из двух октав.

Без математики просто невозможно описать и сыграть музыкальное произведение.  Для того, чтобы хорошо играть, необходимо «дружить» с математикой.

На примере конкретного произведения я покажу всё, о чем написано выше. В качестве примера у нас выступит  довольно известное произведение Людвига ван Бетховена «Лунная Соната».

Итак, определимся с размером. Как мы можем видеть, здесь размер 4/4, просто иногда его пишут латинской буквой C. В правой руке мы можем наблюдать по 4 триоли, которые делят четверть на три части, в отличие от восьмых нот, которые делят четверть на две части. Так одна триоль помещается в одну четверть целой ноты. В левой руке первые  два такта басы идут целыми нотами, то есть, в один такт 4/4 может поместиться одна целая нота. В третьем и четвертом тактах целая нота разделилась на две половинки. В написании их отличие заключается в том, что у целой ноты нет «палочки», а у половинок и более мелких нот она есть. В пятом и шестом тактах снова появляются целые. А в последнем такте целая разделилась сначала на половинки, потом одна из них разделилась на две четверти и получились две четверти и половинка.

          В правой же руке в пятом такте начинается третий (верхний) голос. Это начинается основная, всем известная мелодия (тема). То есть,  правой рукой играются одновременно триоли, которые расположены ниже и верхний голос. В такте «7» движение в правой руке идентично движению в левой, то есть, идёт половинными нотами.

Заключение

Приступая к исследованию тайн музыки, я выдвинула следующую гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить в виде математической модели, в музыке существует множество математических закономерностей, связь между математикой и музыкой неразрывна.

Я «перелопатила» множество интернет-источников, окунулась в мир информации и почерпнула невероятно много разноплановых фактов в области использования математических понятий в музыкальном мире.

Интересна история вопроса. Оказывается, многие ученые прошлого делали попытку представить музыку как математическую модель. Одним из первых выразил красоту музыки с помощью чисел, а именно отношений, древнегреческий ученый Пифагор. Всего лишь первая четверка чисел и их отношения указывали на существование числовых закономерностей в музыке. А именно  - в основе построения различных музыкальных ладов. Данное открытие мне было понятно поскольку совсем недавно на уроках математики в 6 классе мы изучали понятие отношения, пропорция, деление числа в заданном отношении.

Именно Пифагором же были открыты законы целочисленных отношений в консонансах (приятные слуху созвучия). А к консонансам он отнес приму, октаву, квинту, кварту и др.

Параллели, противоположности, анализ, счет,  ритм, метр, длина, высота, интервал, дробные числа, отношения и многие другие математические понятия «живут» в математике.

Высота звука пропорциональна его частоте.

Интервал – расстояние между нотами, можно  представлять в численном виде как соотношение частот нот. Сумма интервалов подчиняется линейному закону. Частоты соответствующих звуков возрастают не линейно, а экспоненциально. Т.е. понятие функции тоже «работает» на музыку.

Для определения частоты нот используют обыкновенные дроби и действия над ними. Дробные числа также используются для обозначения тактов. Для обозначения нотных символов широко используются графики и системы координат (чисто математические понятия). Тона и полутона симметричны. Также симметрично расположение клавиш на клавиатуре.

Золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. Кульминация многих музыкальных произведений располагается не в центре, а немного смещена к концу произведения в соотношении 62:38 – это и есть точка золотой пропорции.

Исследуя правило золотого сечения на конкретных музыкальных произведениях, я пришла к выводу, что отношение  длительности звучания к временному показателю примерно равно 1,628. – точка золотой пропорции, т.е. кульминация произведений немного смещена к концу.

Для раскрытия тайн математики в области музыки  в качестве примера взято великое произведение Людвига ван Бетховена «Лунная Соната». Я попыталась построить математическую модель этого произведения.

Проведя  исследование математических тайн в музыке, я убедилась, что математика и музыка – очень приближенные друг к другу науки. Математичность музыки неоспорима. Чтобы хорошо разбираться в музыке, необходимы математические познания. Миф об обособленности этих двух важных областей развеян. Своим одноклассникам я пожелаю серьезнее относиться к математике, поскольку ею проникнуты все сферы человеческой деятельности.

Таким образом, реализация цели и задач моего исследования подтвердила правильность моей гипотезы, что любое музыкальное произведение можно представить в виде математической модели.

Использованные источники

1. Бузик Андрей. Музыка и математика (электронный ресурс) //  URL: http://www.decoder.ru/list/all/topic_116

2. Бачурин А.А. Математика в музыке // (электронный ресурс)  URL: http://moyamatem.ru/matematika-v-muzike/index.html

3. Долгов Ю. Метод золотого сечения в музыкальных произведениях // FB.ru (электронный ресурс). URL: http://fb.ru/article/45203/metod-zolotogo-secheniya-v-muzyikalnyih-proizvedeniyah

4. Костимилиан А.А. Связь математики с музыкой // (электронный ресурс)   URL: http://www.coolreferat.com/Связь_математики_с_музыкой

5. Ляховицкая И. Математические секреты музыки // (электронный ресурс) URL: http://www.maam.ru/detskijsad/matematicheskie-sekrety-muzyki.html

6. Морозова С. Музыка математична, а математика музыкальна // (электронный ресурс) URL: http://lionzage.livejournal.com/6540.html

Музыка и математика // (электронный ресурс) URL: http://mathlife.ru/m09

7. Самбурская А. Математика и музыка. Математический компонент музыкального языка// (электронный ресурс) URL: http://www.studfiles.ru/preview/4466096/

8. Юденкова Ю.Е. Исследовательская работа "Математика и музыка"// (электронный ресурс) URL:  https://videouroki.net/razrabotki/issledovatelskaya-rabota-matematika-i-muzyka.html

9. Яркова Н.М. Золотое сечение в музыке // Социальная сеть работников образования (электронный ресурс) URL: http://nsportal.ru/ap/library/muzykalnoe-tvorchestvo/2016/02/07/zolotoe-sechenie-v-muzyke

10. Щудрова Л. Математика в музыке // (электронный ресурс) URL: http://ru.calameo.com/books/0021123638a92cc5b7dbc