Исследовательский проект "Простые числа"

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Кудринская основная школа

Исследовательский проект

на тему:

«Простые числа»

Выполнила: Безрукова Ксения,

 ученица 6 «а» класса

Руководитель:

               Майорова  Татьяна  Федоровна

д. Кудрино

2018 год

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………..………… 2

Глава 1. Теоретические основы простых чисел

1.1.          Определение простого числа.…………………………………….. 4

1.2.          Теорема Евклида о простых числах……………………………… 5

1.3.          Способ нахождения простых чисел. Решето Эратосфена…….…6

1.4.          Формула простых чисел……………………………………………7

1.5.          Проблема Гольдбаха………………………………………………. 9

1.6.          Свойства простых чисел………………………………………….. 10

Глава 2. Практическое применение простых чисел

2.1.          Кодирование информации………………………………………... 11

2.2.          Простые числа в музыке………………………………..………… 12

2.3.          Простые числа в технике, математике…………………….…….. 13

Заключение…...………………………………………………………..….14

Список литературы……..………………………………………………...15

          Приложение……………………………………………...………………. 16

№ 1. Таблица простых чисел

№ 2. Фото математиков

№ 3. Результаты опроса учащихся…………………………………………….. 19

 

 

Актуальность

Уже много тысячелетий, великие математики пытаются разгадать «загадку» простых чисел, выявить  закон, согласно которому, эти числа следуют друг за другом. До сих пор этот закон так и не найден. Некоторые считают, что простые числа не стоят глубокого изучения, но они имеют фундаментальное значение для математики. Каждое число может быть представлено уникальным способом в виде простых чисел, умноженных друг на друга. Это значит, что простые числа — это «атомы умножения», маленькие частички, из которых может быть построено что-то большое.

           Так как простые числа — это строительные элементы целых чисел, которые получаются с помощью умножения, многие проблемы целых чисел могут быть сведены к проблемам простых чисел. Таким образом, если бы существовало конечное число простых чисел, можно было бы просто проверить одно за другим на компьютере. Однако оказывается, что существует бесконечное множество простых чисел.

Данная  работа посвящена простым числам и их вычислению, а также изучению трудов Эратосфена и других математиков.

Объект исследования: простые числа.

Предмет исследования: решето Эратосфена.

Проблема: всегда ли изучено то, что просто?

Гипотеза:  если эти числа называются «простыми», то все эти числа давно изучены и про них уже все известно.

Методы исследования:

1.           изучить историю возникновения простых чисел и способы их нахождения;

2.           познакомиться со способом нахождения простых чисел «Решетом Эратосфена» и научиться находить простые числа с его помощью;

3.           исследовать применение простых чисел в нашей жизни.

Цель исследования:

Изучить  историческое развитие простых чисел.

Задачи исследования:

1.             найти и изучить теорию по этой теме;

2.             выяснить, существует ли самое большое простое число;

3.             ознакомиться с методом «решето Эратосфена»;

4.             рассмотреть формулы, по которым можно вычислить простые числа;

5.             практическое применение простых чисел.

Глава 1. Теоретические основы простых чисел

1. 1. Определение простого числа

В старину на Руси говорили: «Умноженье – моё мученье, а деление – беда». Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался большим математиком – ведь в школах тогда учили только сложению, вычитанию и таблице умножения.

Делимость натуральных чисел интересовала математиков уже в глубокой древности. Особое внимание они уделяли простым числам. А какие числа являются простыми?

Простым числом называется такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя.

Вот первые десять простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Число, которое имеет более двух натуральных делителей, называют составным числом.

Простые числа входят множителями в любое составное число – «составляют» его. Например, 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3. Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел – сколько их, как они распределены в натуральном ряду и т.д.

1.2.          Теорема Евклида о простых числах

Изучением простых чисел занимался древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.). (Фото1. Приложение .) В своей книге «Начала», он доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть еще большее простое число. Он вывел свою теорему о простых числах: «Первых простых чисел существует больше любого указанного числа их».

Доказательство: предположим, что существует некое наибольшее простое число P. Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая P, и увеличим полученное произведение на единицу: 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7∙… P + 1 = M. Если число М составное, то оно должно иметь,  по крайней мере один простой делитель. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р, поскольку при делении М на каждое из них получаем в остатке 1. Следовательно, число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит, предположение, что существует наибольшее простое число Р, неверно и множество простых чисел бесконечно.

Евклид доказал, что простых чисел бесконечного много. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа.  Получается, что Евклид, уже больше двух тысяч лет назад лишил математиков надежды получить когда-нибудь полный список простых чисел.

1. 3. Способ нахождения простых чисел. Решето Эратосфена

Во II в. до н.э. другой древнегреческий математик – Эратосфен ( Фото2. Приложение)предложил довольно лёгкий способ отыскания простых чисел. Эратосфен записывал на дощечке, покрытым воском все натуральные числа, и последовательно прокалывал составные числа. Таким образом, на доске нетронутыми остались лишь простые числа, а составные числа исчезали, как бы просеивались. Оставив нетронутым число 2, он далее прокалывал числа 4,6,8…, т.е. все числа, кратные двум. Следующее простое число 3, а все числа, кратные трем, уже составные, поэтому прокалывались все числа через два в третье. Оставив число 5 как простое, прокалываются все числа, кратные 5, т.е. каждое пятое число, и т.д. В конце таких вычислений таблица напоминала решето. Поэтому часто таблицу простых чисел называют решетом Эратосфена. ( Приложение )

Простые числа можно получить, немного изменяя способ Эратосфена. Запишем числа от 1 до 100 в таблицу по 6 чисел в строке. 1 не простое и не составное число – вычеркиваем его. Число 2 простое – обведём его кружочком, а все числа, кратные ему (они стоят во втором, четвёртом и шестом столбцах), вычеркиваем. Первое из незачёркнутых чисел 3. Оно простое – обведем его кружком, а все  незачёркнутые числа, кратные ему (они стоят в третьем столбце), вычеркиваем. Теперь первое из незачёркнутых чисел 5. Оно простое – обведем его кружком, а незачёркнутые числа, кратные ему (они расположены на параллельных прямых), вычеркиваем. После вычёркивания из таблицы чисел, кратных 7  (они также расположены на параллельных прямых), в ней останутся только простые числа – они тоже обведены кружком. Аналогичные рассуждения можно провести, если взять больше ста чисел.

1. 4. Формула простых чисел

Многие ученые пытались найти формулу для вычисления простых чисел. Одна из формул была предложена академиком Петербургской академии наук Леонардом Эйлером (1707 – 1783). ( Фото3. Приложение)

 Р = n² – n + 41.                                                                                            Если n = 1, то Р = 1² – 1 + 41 = 41,                                                                     если n = 2, то   2² – 2 + 41 = 43,                                                                          если n = 3, то 3² – 3 + 41 = 47,                                                                              если n = 4, то 4² – 4 +41 = 53 и т. д.

Но если n = 41, то 41² – 41 + 41 = 41² = 1681 – составное число. Кроме этого, по этой формуле нельзя получить первые простые числа. Эйлер рассматривал и такую задачу: «Определить, сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами, не пересчитывая их непосредственно».

Этой задачей в дальнейшем занимались многие крупные математики всего мира. Большой вклад в ее решение внес великий русский математик Пафнутий Львович Чебышёв (1821 – 1894). ( Фото 4. Приложение). Он доказал предположение француза Жака Бертрана, что между любым натуральным числом, большим единицы, и числом, вдвое большим данного, всегда имеется не менее одного простого числа.    

2 х 2 = 4. Между 2 и 4 простое число – 3.

4 х 2  = 8. Между 4 и 8 простое число –  7.

20 х 2 = 40. Между 20 и 40 – 23, 29, 31, 37.

Вот таблица распределения простых чисел по сотням.

Между	1 100	101 200	201 300	301 400	401 500	501 600	601 700	701 800	801 900	901 1000
Число простых чисел	25	21	16	16	17	14	16	14	15	14

В 2012 году математик из США Итан Чжан показал, что для некоторого k, не превосходящего 35 миллионов, такое множество действительно бесконечно.

Простые числа  вида Мр = 2^р-1 (значение степени р также простое число), получили свое название от имени французского математика  и религиозного ученого семнадцатого века Мерсенна. ( Фото 5. Приложение).                     Он утверждал, что значение 2^р – 1 будет простым для                                                      р {2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257}.

М₂ = 2² – 1 = 3 т.е. М₂=3, М₃ = 7, М₅ = 31, М₇ = 127.

Во всём ли был прав Мерсенн?  Вполне возможно, что его утверждение о том, что M₆₇ — простое число, просто опечатка, и на самом деле он имел в виду M₆₁. Несложно понять, что проверка на простоту была при жизни Мерсенна делом затруднительным, поскольку проверка делением была одним из немногих доступных инструментов. Например, для M₂₅₇  наименьшим множителем оказывается пятнадцатизначное число, так что даже в современных условиях, с мощными компьютерами, которые выполняют 500 миллиардов операций в секунду, его не так-то легко найти.

             С открытием 34-го простого числа Мерсенна — M_1257787 — в сентябре 1996 года закончилась эпоха суперкомпьютеров для поиска простых чисел Мерсенна. Следующие 15 были найдены добровольцами Великого интернет-поиска простых чисел Мерсенна. Наибольшим известным простым числом по состоянию на февраль 2011 года является 2^43112609 − 1. Оно содержит

12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M_43112609).

1. 5. Проблема Гольдбаха

Леонарду Эйлеру принадлежит еще одна гипотеза о простых числах. Одним из первых он высказал догадку, что всякое натуральное чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

 4 = 2 + 2;  8 = 5 + 3; 4010 = 2011 + 1999; 30 = 17 + 3.

Знаменитый учёный Христиан Гольдбах (1690г. – 1764г.), (Фото 6. Приложение) работавший в Петербургской академии наук, высказал догадку (в 1742г.), что любое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. 7 = 2 + 2 + 3; 21 = 17 + 2 + 2; 55 = 19 + 19 + 17.

Эти утверждения является частью  задачи, которую называют проблемой Варинга. ( Фото 7. Приложение). В 1770 году Эдвард Варинг опубликовал работу, в которой высказал гипотезу: всякое натуральное число является суммой четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней. 

Русский учёный академик Иван Матвеевич Виноградов (1891г. – 1983г.) ( Фото 8. Приложение) в 1937 году сумел доказать гипотезу Гольдбаха. Однако в последние десятилетия ученые еще раз занялись этой проблемой. Оказалось, Виноградов не указал насколько велико нечётное число.

В середине мая 2013 года математик из Перу, в настоящее время работающий во Франции, Харальд Хельфготт (Фото 9. Приложение) опубликовал свою работу, в которой сформулировал и доказал теорему, которая звучит следующим образом: «Все нечетные целые числа, большие 10²⁹, могут быть представлены в виде суммы трех простых».

1. 6. Свойства простых чисел.

 Несколько столетий ждёт решения «проблема близнецов».

Числа-близнецы – это простые числа, находящиеся на расстоянии друг от друга в одно составное число.

Примеры: 17 и 19, 1997 и 1999, 1301 и 1303…

В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно. По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений – тоже пока неизвестно.

168 мест первой тысячи натуральных чисел занимают простые числа. Из них 16 чисел – палиндромические – одинаково читаются как слева направо, так и справа налево.              

Например: 11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, и т.д.

Симметричные себе простые числа: 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941 и т.д.

Глава 2. Практическое применение простых чисел

2. 1. Кодирование информации

С проблемой защиты информации люди столкнулись в глубокой древности. При передаче важного сообщения на расстояние хотелось бы иметь уверенность в том, что информация эта будет в полной степени понята адресатом, но никак не посторонними лицами. Всегда приходилось считаться с возможностью того, что переданное послание будет перехвачено тем, кому его никак нельзя раскрывать. От умения тайно передавать свое сообщение и раскрывать секретные замыслы противника зачастую зависела судьба государства. В связи с этим постоянно совершенствовались применяемые шифры, что приводило к необходимости использовать более эффективные методы дешифровки. Постепенно стало ясно, что серьезное решение указанных проблем является уделом высоко квалифицированных математиков. Так, над принципами составления шифров и методами чтения зашифрованных текстов работали, к примеру, Джероламо Кардано и Франсуа Виет, стоявшие у истоков математики нового времени. В двадцатом веке значительный вклад в это направление внесли Алан Тьюринг и Клод Шеннон – основоположники теоретической информатики. С появлением современных компьютеров проблема защиты информации стала особенно актуальной. Постепенно сформировалась криптология, относящаяся к классу информационных наук, и состоящая из криптографии, занимающейся способами преобразования информации с целью ее защиты от незаконных пользователей, и криптоанализа, целью которого является разработка методов вскрытия шифров. Шифрование текста осуществляется с помощью некоторого способа преобразования информации, т.е. ключа. Для чтения зашифрованной информации надо выполнить соответствующее обратное преобразование. Необходимость многократной пересылки сообщений  повышает вероятность перехвата информации с ее последующей дешифровкой. В этой связи возникает необходимость в периодической смене ключа. Однако в этих условиях особо остро встает вопрос о том, как передать получателю информации новый ключ? Во избежание этих трудностей в 1976 г. американские математики Уитфилд Диффи и Мартин Хеллман выдвинули концепцию асимметричной криптосистемы. В этом случае процедуры шифрования и дешифрования осуществляется с помощью различных ключей, причем шифровка осуществляется с помощью открытого ключа, а чтение зашифрованного сообщения – с помощью секретного ключа. При этом получатель информации сам разрабатывает оба ключа, причем ключ для шифрования передается партнеру совершенно открыто. С его помощью можно закодировать сообщение, но никак не прочитать его.  В  основу этого кодирования были положены свойства простых чисел.

2. 2.  Простые числа в музыке.

Альфред Гарриевич Шнитке (1934—1998) — советский и российский композитор, теоретик музыки и педагог (автор статей о русских и советских композиторах), один из наиболее значительных музыкальных деятелей второй половины XX века. (Фото 10. Приложение). Написал свой знаменитый Двойной концерт для гобоя, арфы и струнного оркестров в конце 70 годов с использованием простых чисел нотного ряда.

Вот как он сам это комментирует:

«Что касается техники, то это не додекафонное сочинение. Все оно основано на использовании прогрессии. Такая прогрессия используется многими — это "решето Эратосфена" — ряд совершенных чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, то есть чисел, которые делятся только на единицу и на себя. Об этом ряде я знал и раньше, использовал я его также в первой части симфонии и в других ее разделах. Работая над ней, я общался в тот период с румынским композитором Виеру, который писал сочинение под названием "Эратосфеновое решето". Он использовал этот ряд как основу всего сочинения. Каждое совершенное число вызывало у него новый персонаж, все составные числа соответствовали эпизоду, где были сочетания персонажей. Его идея использовать не только совершенные, но и составные числа, заинтересовала меня, я применил ее, и так все и было в концерте выстроено. Была вычислена схема, каждому числу в которой соответствует определенная цифра».

2. 3. Простые числа в технике, школьной математике

В турбинах моторов число лопаток ротора и статора надо выбирать таким образом, чтобы отношение их количества составляло простые числа. Тема простых чисел используется для решения олимпиадных задач. Например.

На доске написаны восемь простых чисел, каждое из которых больше двух. Может ли их сумма равняться 59?

 Решение: Нет. Сумма не может получиться нечетной, так как все простые числа, кроме двойки, - нечетные, а сумма восьми нечетных чисел четна.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тайны простых чисел

 В данной работе  была рассмотрена очень интересная тема. Конечно, я изучила ее не полностью, но мои исследования заинтересовали не только меня, но и участников опроса.

Выдвинутая в начале работы гипотеза не подтвердилась.

Несмотря на то, что простые числа изучаются уже более трех тысячелетий и имеют простое описание, о простых числах до сих пор известно на удивление мало. Например, математики знают, что единственной парой простых чисел, отличающихся на единицу, являются 2 и 3. Однако неизвестно, существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на 2 (числа-близнецы). Предполагается, что существует, но это пока не доказано.

Многие из наиболее интересных вопросов о простых числах заключаются в том, какое количество простых чисел имеет то или иное свойство. Решение одного из таких вопросов -  гипотезы Римана, оценено  размером в один миллион долларов. Приз  предложен математическим институтом Клэя, дополнительно к этому и почетное место среди самых выдающихся математиков всех времен.

Серьезным вопросом является сложность нахождения всех простых множителей числа. Если взять число 14, можно быстро определить, что 14 = 7 х 2. Но если взять 1000-значное число, вычисление всех его простых множителей займет больше миллиарда лет даже у самого мощного компьютера в мире.

Собранный материал способствует развитию общего кругозора. Кроме решета Эратосфена, с которым нас знакомили на уроках математики, я познакомилась и с другими способами отыскания простых чисел. Узнала много интересного из истории развития математики.

Список литературы

1.   Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

2.  Депман И.Я, Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1989.-287с.

3. Математика: 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций /   А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир . – М.: Вентана-Граф, 2017.

4. Математика. 5 класс: учебник  для общеобразовательных организаций/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- М.: Просвещение, 2015.

5. Л.Ф. Пичурин За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7 – 8 классов. – М. Просвещение, 1990.

https://habrahabr.ru/post/276037/

https://masterok.livejournal.com/4160815.html

https://math.wikireading.ru/16

https://tphs.info/lib/exe/fetch.php/wiki:autor:serov:2006_11_cryptography.pdf

https://habrahabr.ru/post/276037/

Приложение №1

Приложение № 2

         

   Евклид                                                               Эратосфен

                           Леонард Эйлер                                                  Пафнутий Львович Чебышёв

         

                Мерсенн                                                                     Христиан Гольдбах

                                      

                                                                                      Иван Матвеевич Виноградов

Эдвард Варинг

   Харальд Хельфготт   

Альфред Гарриевич Шнитке

Приложение № 3   Результаты опроса учащихся

Вопросы	Количество учащихся, успешно справившихся с вопросом	% успешно справившихся учащихся.
Знаете ли вы что такое простые числа?	18	77 %
Много ли существует простых чисел?	24	100 %
Выберите ряд, где записаны  простые числа 1) 1,2,3,4,5… 2) 1,3,5,7,…  3) 2,3,5,7,…	20	83  %
Знаете ли Вы, что означает «решето Эратосфена»?	12	50 %
Какое наибольшее простое число вы знаете? (997)	5	21 %
Знаете ли Вы, из скольких цифр состоит наибольшее простое число, известное на данный момент?	0	0 %

Краткое описание документа:

В работе отражено изучение простых чисел такими учеными как Евклид, Эратосфен, Гольдбах, Эйлер, Чебышёв, Марсенн и другими. Показано практическое применение простых чисел: простые числа в кодировании информации, в технике, музыке и школьной математике. Слушателям предложены задачи, которые еще требуют решения.