Инфоурок / Алгебра / Презентации / Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств

Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_1c56e0d6.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m57e0c1c8.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_51de6a73.gifhello_html_m46cf381e.gifhello_html_m6271b154.gifhello_html_m4ac5d449.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_5019c82d.gifhello_html_4db765ce.gifhello_html_m4c642ef3.gifhello_html_m5cd4931e.gifhello_html_67b8c307.gifhello_html_67b8c307.gifhello_html_m4c642ef3.gifhello_html_m4c642ef3.gifhello_html_m4c642ef3.gifhello_html_m4c642ef3.gifhello_html_m4c642ef3.gifhello_html_m4c642ef3.gifhello_html_42c63d8c.gifhello_html_17a0d258.gifhello_html_m5ed0833a.gifhello_html_m5ed0833a.gifhello_html_78ae5223.gifhello_html_m5ed0833a.gifhello_html_m685e4501.gifhello_html_m19cfa161.gifhello_html_6d7c99b8.gifhello_html_6d7c99b8.gifhello_html_6dfc9a5b.gifhello_html_mf6b8454.gifhello_html_180c15af.gifhello_html_180c15af.gifhello_html_1d2cbdc1.gifhello_html_m2aeb79fa.gifhello_html_m513524ed.gifhello_html_m6e185c03.gifhello_html_1d2cbdc1.gifhello_html_m19cfa161.gifhello_html_9c402d.gifhello_html_180c15af.gifhello_html_m79b38079.gifhello_html_46a09c7b.gifhello_html_6d6d8fb3.gifhello_html_46ca4235.gifhello_html_1ca3c3ac.gifhello_html_4e98ae63.gifhello_html_3b634711.gifhello_html_m3c9c58d8.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_2efcad34.gifhello_html_m34b979f0.gifhello_html_m1089a2c3.gifhello_html_m512e6b99.gifhello_html_m512e6b99.gifhello_html_700014c3.gifhello_html_m661e4300.gifhello_html_m661e4300.gifhello_html_3d6fc3ba.gifhello_html_3d6fc3ba.gifhello_html_75ce7aef.gifhello_html_75ce7aef.gifhello_html_m67eb7e06.gifhello_html_m67eb7e06.gifhello_html_m67eb7e06.gifhello_html_m67eb7e06.gifhello_html_726d778d.gifhello_html_726d778d.gifhello_html_mea97aac.gifhello_html_mea97aac.gifhello_html_m3133ef41.gifhello_html_m3133ef41.gifhello_html_4c536b60.gifhello_html_4c536b60.gifhello_html_679253d0.gifhello_html_679253d0.gifhello_html_491b0fb.gifhello_html_491b0fb.gifhello_html_15b28970.gifhello_html_15b28970.gifhello_html_m2226eea9.gifhello_html_m2226eea9.gifhello_html_m536039c9.gifhello_html_m6111e772.gifhello_html_36f7290c.gifhello_html_91b973b.gifhello_html_m45e7213.gifhello_html_m7c74915.gifhello_html_21e89a0c.gifhello_html_34c686ae.gifhello_html_34c686ae.gifhello_html_m3133ef41.gifhello_html_3d7e9e47.gifhello_html_3d7e9e47.gifhello_html_3d7e9e47.gifhello_html_3d7e9e47.gifhello_html_6b32afcf.gifhello_html_235593e0.gifhello_html_235593e0.gifhello_html_7362dc3a.gifhello_html_1218e0f9.gifhello_html_1218e0f9.gifhello_html_1218e0f9.gifhello_html_6b32afcf.gifhello_html_m6d57060f.gifhello_html_m6d57060f.gifhello_html_m6d57060f.gifhello_html_m6d57060f.gifhello_html_491b0fb.gifhello_html_491b0fb.gifhello_html_c9c4caa.gifhello_html_c9c4caa.gifhello_html_m6a424455.gifhello_html_404ebb75.gifhello_html_404ebb75.gifhello_html_3f9108c9.gifhello_html_3f9108c9.gifhello_html_174d0f31.gifhello_html_m1c7f0058.gifhello_html_m1c7f0058.gifhello_html_mac38804.gifhello_html_mac38804.gifhello_html_3cfe093f.gifhello_html_3cfe093f.gifhello_html_m2cd8b413.gifhello_html_m2cd8b413.gifhello_html_m5d4ce845.gifhello_html_m5d4ce845.gifhello_html_4c564b67.gifhello_html_4c564b67.gifhello_html_f0a5c9d.gifhello_html_3bd81f31.gifhello_html_737b922.gifhello_html_737b922.gifhello_html_m385146ab.gifhello_html_m385146ab.gifhello_html_m707438bf.gifhello_html_m707438bf.gifhello_html_ma909ad9.gifhello_html_ma909ad9.gifhello_html_6f7bcd85.gifhello_html_6f7bcd85.gifhello_html_491b0fb.gifhello_html_491b0fb.gifhello_html_m1ca95ded.gifhello_html_m1ca95ded.gifhello_html_3b32af8a.gifhello_html_3b32af8a.gifhello_html_m6fd219c8.gifhello_html_m6fd219c8.gifhello_html_m6fd219c8.gifhello_html_m2490fca8.gifМЕТОД МИНИМАКСОВ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Аннотация

Исследуя различные способы решения трансцендентных уравнений и неравенств, автор избирает наиболее универсальный метод, по её мнению, - метод минимаксов, классифицируя задания по их общим подходам к решению: использование экстремальных свойств функций, применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, неравенства Коши-Буняковского; а также выделяет ряд олимпиадных задач, к решению которых можно применить указанный метод. Работа может быть использована в качестве факультативного курса по математике.



































Содержание:

  1. Введение

  2. Основная часть

    1. Экстремальные свойства рассматриваемых функций

    2. Следствие из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

    3. Неравенство Коши-Буняковского

    4. Олимпиадные задачи

  3. Заключение

  4. Список литературы
































Цель:

Расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формированию определенной культуры работы над задачей.

Задачи:

  1. Исследовать значимость «метода минимаксов» в решении уравнений и неравенств в школьном курсе математики для довузовской подготовки.

  2. Проанализировать различные подходы к решению уравнений и неравенств «методом минимаксов».

  3. Подготовиться к Единому Государственному Экзамену.

  4. Пропагандировать возможность изучения данной темы в школьном курсе математики.































Тема моей работы «Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств». Данный метод – возможность широко и осмысленно применять полученные на уроках алгебры знания. Меня привлекла активная работа мысли, направленная на поиск не просто правильного, а красивого решения, т.е. лаконичного, не стереотипного. А также участие в этом процессе творческого воображения и необходимость преодолевать трудности.

Знакомясь с «методом минимаксов», я прорешала много примеров и выделила 3 группы, классифицируя их по общим подходам к решению.

В задачах первого блока используются экстремальные свойства рассматриваемых функций. Во втором блоке - следствие из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Совершенно удивительным для меня было применение векторного неравенства Коши - Буняковского. С помощью «метода минимаксов» можно решить и некоторые задачи, которые встречаются на олимпиадах.

Все уравнения трансцендентные, т.е. содержат показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические функции от неизвестного. Они требуют нестандартного решения.






























Экстремальные свойства рассматриваемых функций

В практике ЕГЭ по математике часто встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности показательных, тригонометрическим функций, обратных тригонометрических и других функций. Если при решении уравнения f(x)=g(x) удается показать, что для всех x из некоторого множества M справедливы неравенства f(x)≤A и g(x) ≥A, то на множестве M уравнение равносильно системе уравнений:

hello_html_m34663add.gif

  1. Решить: hello_html_m5654e810.gif

Решение:

hello_html_m5654e810.gif

ОДЗ

hello_html_m2ed29baa.gif

hello_html_2d16d5c9.gif

hello_html_520c4b8.gif


hello_html_6258db62.gif

hello_html_26b54871.gif

hello_html_aa88cdf.gif


hello_html_62df0b0c.gif

hello_html_608ebc6b.gif

hello_html_2bdd6967.gif

hello_html_m44d61d7d.gif




Проверим, hello_html_3e56d1a5.gif

hello_html_23a8463c.gif

hello_html_3bde4bfb.gif

5=5 – верное равенство, значит

hello_html_m5179c2dc.gif

hello_html_4d3f0920.gif

Т.к. hello_html_32a10105.gif - выпукла вниз, а hello_html_4e3ce093.gif – выпукла вверх, то их графики располагаются по разные стороны от общей касательной. Значит, уравнение имеет 1 корень.

Ответ: hello_html_m652c7ef0.gif.

  1. Решить: hello_html_m2897e3de.gif

Решение:

hello_html_m2897e3de.gif



ОДЗ

x

7,5

7

hello_html_m5c88d368.gif



Ответ: решений нет.



  1. Решить: hello_html_3e75ff51.gif

Решение:

hello_html_3e75ff51.gif

hello_html_501dc5ae.gif

hello_html_m82e71d.gifпроверка показывает, что это корень уравнения

Ответ: hello_html_3f1e429a.gif

  1. Решить: hello_html_78d841d.gif

Решение:

hello_html_78d841d.gif

hello_html_501dc5ae.gif

hello_html_7653b1e5.gifпроверка показывает, что оба корня удовлетворяют условию

Ответ: hello_html_2e22a30c.gif.

  1. Решить: hello_html_331293ca.gif

Решение:

hello_html_331293ca.gif

Функция hello_html_m26c8aeea.gif возрастает, а функция hello_html_6e04a7f3.gif убывает, hello_html_m23785cf1.gifпо свойству монотонности функции уравнение имеет не более одного корня. Методом подбора находим, что hello_html_6f3fc6c7.gif - корень уравнения.

Ответ: hello_html_6f3fc6c7.gif

  1. Решить:hello_html_157fa72f.gif

Решение:

hello_html_157fa72f.gif

Сумма двух неотрицательных чисел равна 0, если каждое из этих чисел равно 0.

hello_html_m7c8964bb.gif

Ответ: hello_html_m4cb1e65a.gif.

Упражнения:

  1. hello_html_5ee85d5.gif

  2. hello_html_291fb0f.gif

  3. hello_html_416fbca2.gif

  4. hello_html_m23edab47.gif

















































Следствия из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

Классическими средними значениями, составленными из двух положительных чисел, принято считать: среднее арифметическое и среднее геометрическое. Существует неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

hello_html_m7c16d334.gif

Следствием этого неравенства является:

hello_html_m6dff9003.gif

  1. Доказать: hello_html_5b43e6ee.gif

Решение:

hello_html_5b43e6ee.gif

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим имеем, что hello_html_m38845d7e.gif. Однако, левая часть не может быть больше 2, следовательно

hello_html_m7df5857b.gifhello_html_515e1260.gif

Второе равенство выполняется лишь при условии, чтоhello_html_m279a8dc9.gif, подставляя в левую часть (1), получимhello_html_a7f6d8c.gif. Таким образом, исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: решений нет.

  1. Найти наименьшее возможное значение многочлена:

hello_html_394c4b0f.gif

Решение:

hello_html_394c4b0f.gif

По неравенству hello_html_3266d3f3.gif имеем:

hello_html_m45bab5.gif

hello_html_m1632c3eb.gif

Значит, hello_html_m4428474a.gif.

Из этого следует, что hello_html_m625c78f9.gif при hello_html_5d78a63e.gif.

  1. Доказать: hello_html_29325fdd.gif, если hello_html_4179c558.gif

Доказательство:

Пусть hello_html_m6ea2f4b2.gif- среднее арифметическое, а hello_html_7b510816.gif- среднее геометрическое.

Тогда hello_html_m148d5fb4.gif, т.е. hello_html_m66a4e826.gif

Используя еще раз неравенство .hello_html_m7d4a6d69.gif, получаем

hello_html_4661b287.gif

что требовалось доказать.


Упражнения:

  1. Доказать неравенство:

hello_html_m171b94f4.gif

  1. Доказать, что для любых положительных чисел hello_html_m8f522f9.gif и hello_html_58847f7b.gif hello_html_m2315a20c.gif справедливо неравенство:

hello_html_6057290e.gif

  1. Доказать неравенство, что если hello_html_216838e0.gif - положительные числа, то

hello_html_d9fdde9.gif, причем знак равенства имеет место, только когда

hello_html_4dbd61df.gif.













































Неравенство Коши – Буняковского и его следствия

Эти неравенства нашли широкое применение даже в векторной алгебре. Векторы могут быть успешно применены не только в геометрии, но и при изучении некоторых вопросов школьного курса алгебры, например, при решении некоторых систем уравнений. При этом решения существенно упрощаются по сравнению с решениями, выполненными традиционными методами. Используется векторное неравенство Коши – Буняковского:

hello_html_70d75626.gif

и его следствия: hello_html_500e28b.gif - (1)

hello_html_m770d7c35.gif- (2)

Заметим, что знак «=» достигается в неравенстве (1), если векторы hello_html_m2b91fbc8.gif и hello_html_2a3db1dd.gif коллинеарны; в неравенстве (2), если векторы hello_html_m2b91fbc8.gif и hello_html_2a3db1dd.gif сонаправленные.

  1. Решить: hello_html_m179df83a.gif

Решение:

hello_html_m179df83a.gif

Воспользуемся неравенством Коши - Буняковского. Имеем hello_html_m78764291.gif

Значит, векторы hello_html_2be2513b.gif и hello_html_2f2d2674.gif коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональные числа.

hello_html_m3bd193d0.gif


По следствию из теоремы Безу целые корни уравнения есть целые делители свободного члена, т.е. hello_html_57dc44b8.gifПроверка показывает, что x=1 - корень уравнения, тогда

hello_html_m7df5857b.gifhello_html_a52d3f6.gif

hello_html_m71aace94.gifили hello_html_31cfaf1.gif

Ответ: hello_html_6e0da5ad.gif


  1. Решить: hello_html_ddbd47e.gif

Решение:

hello_html_ddbd47e.gif

Может показаться, что система имеет бесконечное множество решений, но это неверно. Данная система имеет единственное решение

Рассмотрим векторы:

hello_html_58308f79.gifи hello_html_e959fb4.gif

Тогда hello_html_m69c521b8.gif - (1)

Т.к. hello_html_3b8e2d9e.gif и hello_html_403f5775.gif, то hello_html_m4c852a9d.gif - (2)

Учитывая (1) и (2), имеем hello_html_m6b44e196.gif, hello_html_m3626df65.gif, а с учётом того, что hello_html_m72562a8.gif (по условию), получаем, что hello_html_4bc133c2.gif.

Ответ: hello_html_m50505577.gif













Олимпиадные задачи

Довольно часто «метод минимаксов» можно использовать при решении олимпиадных задач. Внешняя простота олимпиадных задач обманчива. Они затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. Для решения этих задач необходимо нестандартно мыслить.

  1. hello_html_112df23c.gif- положительные числа, произведение которых равно 1. Доказать, что

hello_html_398f4117.gif.

Доказательство:

Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем:

hello_html_m470acfab.gif, т.е. hello_html_m594dfa55.gif

hello_html_m55438a0b.gif, т.е. hello_html_3dd04efd.gif

hello_html_7ff99845.gif,

hello_html_210a6b9c.gif

hello_html_646c38.gif,

hello_html_m656afe87.gif.

hello_html_49171e05.gif. Аналогично,

hello_html_m7d26652.gif.

hello_html_m656afe87.gif

hello_html_49171e05.gif

hello_html_a9b5c72.gif

hello_html_e1951.gif

hello_html_398f4117.gif

Что требовалось доказать.

  1. Доказать, что для hello_html_m1a241114.gif hello_html_7c5f8c90.gif.

Доказательство:

Т.к. hello_html_m1a241114.gif hello_html_m23785cf1.gifhello_html_m70cddbda.gif.

hello_html_mb67f897.gif

hello_html_1010fb1d.gif.

Рассмотрим векторы hello_html_m65b55358.gif, hello_html_m28c44878.gif. Согласно неравенству Коши-Буняковского hello_html_74468.gif.

hello_html_3df97f2.gif

Т.к. hello_html_m12d6e648.gif,

hello_html_50bff744.gif

hello_html_17e71a7c.gif

hello_html_m455a4e68.gif

hello_html_m61db2352.gif,

hello_html_9f167eb.gif

hello_html_8e52049.gif

hello_html_m169b67b6.gif

hello_html_5ac404f7.gif

hello_html_7c5f8c90.gif

Что требовалось доказать.

  1. Решить: hello_html_m3432b2c3.gif

Решение:

hello_html_m3432b2c3.gif

hello_html_302e9f01.gif

Т.к. hello_html_m5241f674.gif – функция ограниченная,

hello_html_13f0de52.gif, то

hello_html_m6c9a0386.gif

hello_html_m56ef9dd4.gif- (1)

Т.к.hello_html_m7596cab4.gif при любом hello_html_7571aeb8.gif, то



hello_html_581e4aaf.gif, но hello_html_6264cedc.gif, тогда hello_html_545fb6fb.gifт.к. hello_html_m1e484fe8.gif – возрастающая функция с основанием hello_html_m6542e0d.gif.

hello_html_19285b40.gif

hello_html_6a63b8d3.gif

hello_html_3585124e.gif



x

11

-5

-7







Ответ: hello_html_22f91206.gif



  1. Найти наибольшее значение , при котором уравнение с целыми коэффициентами имеет 3 различных корня, один из которых равен -2.


Решение:



Т.к. коэффициенты целые,

Т.к. - корень уравнение, - нацело (т.е. в остатке будет 0) – по т. Безу.



остаток

, т.к. многочлен делится на нацело.

Тогда имеет 2 различных корня, а это возможно, если .



hello_html_m179bec95.gif

hello_html_m4f3a936b.gif




Т.к. ,

Ответ: .


  1. Найти значения , при которых уравнение не имеет корней.


Решение:



-

Уравнение не имеет корней, если число не принадлежит множеству значений функции . Найдем множество значений функции или


Т.к. , то









При , а при ,

Т.к. - функция непрерывная, то и - тоже непрерывная функция, значит, , тогда , а .


Ответ: при уравнение не имеет корней.



Упражнения:

  1. Найти все p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

  2. Найти все p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

  3. Найти все p, при которых уравнение не имеет корней.

  4. Доказать, что для любых hello_html_52a9a6a1.gif справедливо неравенство

hello_html_4df5c6.gif.






















Заключение

Работая над темой «Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств», я изучила различные подходы к решению уравнений и неравенств, произвела классификацию встретившихся задач, разделив их на 4 группы. Выяснила, что решение уравнений и неравенств с применением «метода минимаксов» очень актуально, так как аналогичные задания часто встречаются в Едином Национальном тестировании по математике (часть С), в олимпиадах по математике.

Данную работы можно использовать в качестве элективного курса по математике, так как в ней разобраны основные направления «метода минимаксов».









































0

Литература

  1. Сборник задач по математики (в помощь поступающим в вузы), В.Н.Матвеев и Н.М.Матвеев, 1965

  2. Материалы ЕГЭ по математики, 2002-2009 гг

  3. Полный сборник задач для поступающих в вузы, М.И.Сканави, 1999

  4. Сборник олимпиадных задач по математики, Н.В.Горбачев, 2006

  5. http://ru.wikipedia.org/wiki/КБШ

  6. http://ega-math.narod.ru/Bellman.htm

  7. http://works.tarefer.ru/50/100059/index.html

  8. http://www.bestreferat.ru/referat-89351.html

ЗАТО Александровск

г. Снежногорск

2011


Краткое описание документа:

Исследуя различные способы решения трансцендентных уравнений и неравенств, автор избирает наиболее универсальный метод, по её мнению, - метод минимаксов, классифицируя задания по их общим подходам к решению: использование экстремальных свойств функций, применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, неравенства Коши-Буняковского; а также выделяет ряд олимпиадных задач, к решению которых можно применить указанный метод. Работа может быть использована в качестве факультативного курса по математике.

Общая информация

К учебнику: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. (базовый и углубленный уровни) Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. 3-е изд. - М.: Просвещение, 2016. - 464 с.

К уроку: § 5. Уравнения и неравенства с двумя неизвестными

Показать все
Номер материала: ДВ-306427

Похожие материалы