Проектно-исследовательская работа по геометрии

• 1 слайд

  Метод масс в
  геометрии
  (Проектно – исследовательская работа по геометрии)
  

• 2 слайд

  План.
  
  I. Введение.
  II. Основная часть.
  Определение центра масс
  Свойства и формулы метода масс
  Основной принцип решения геометрических задач
  Решение задач
  III. Построение геометрических моделей.
  Теория нахождения центроидов различных геометрических фигур
  Создание собственных моделей
  IV. Заключение.
  
  

• 3 слайд

  I. Введение:
  Великий древнегреческий мыслитель Архимед открыл оригинальный способ доказательства геометрических теорем, основанный на рассмотрении центра масс системы материальных точек. Именно таким способом им впервые была доказана теорема о пересечении медиан треугольника. Метод Архимеда был развит выдающимися математиками и превратился в эффективное и строго обоснованное средство геометрического исследования.
  

• 4 слайд

  Цель работы
  Изучение метода масс при решении задач
  Нахождение центроидов геометрических фигур
  

• 5 слайд

  Поставленные задачи
  Изучение основных свойств, формул, теорем и принципов использования метода масс.
  Изучение центроидов треугольника и других геометрических фигур.
  Применение полученных результатов для решения задач разного уровня сложности.
  Построение моделей для наглядного представления центра масс системы материальных точек
  

• 6 слайд

  II. Основная часть:
  Свойства и формулы метода масс:
  Любая система материальных точек имеет единственный центр масс.
  Система из двух материальных точек имеет центр масс, принадлежащий отрезку, соединяющему эти точки, его положение определяется правилом рычага: m1d1=m2d2
  
  Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится
  
  

• 7 слайд

  Решение геометрических задач
  Задача 1
  В треугольнике ABC AM - медиана, точка P — ее середина. Прямая BP пересекает сторону AC в точке E. Найдите, в каком отношении точка E делит AC.
  
  Решение:
  Загрузим точку В массой 1, но АМ – медиана, значит, СМ=МВ, и, следовательно, mВ=mC=1. Поместим mв и mс в центр тяжести СВ – точку М. Тогда mM=mB+mC=2. Так как mM= 2, а Р – середина отрезка АМ, то mА= mM= 2. Рассмотрим сторону АС: mА/ mC= 2/1, значит АЕ:ЕС=1:2
  
  

• 8 слайд

  Задача 2
  В треугольнике ABC точка M, делит отрезок АС в отношении AM=⅓AC, а на продолжении стороны CB – такая точка N, что BN=BC. Прямая MN пересекает отрезок AB в точке. В каком отношении делит эта точка отрезки AB и NM?
  
  

• 9 слайд

  Задача 3
  В треугольнике АВС точка F делит основание ВС таким образом, что BF:FC=3:1. Точки М и Р отсекают от боковых сторон отрезки АВ и АС по 1/6. В каком соотношении делится каждый из отрезков РМ и AF точкой их пересечения?
  
  

• 10 слайд

  III. Построение геометрических моделей.
  

• 11 слайд

  Теория нахождения центроидов различных геометрических фигур
  
    Центр тяжести любого треугольника – точка пересечения его медиан.
  
  
  
  Диагональ трапеции разделяет трапецию на два треугольника. Центр тяжести трапеции находится в точке пересечения линии, соединяющей центры тяжести этих треугольников, и средней линии трапеции, соединяющей ее основания.
  
  

• 12 слайд

  Центры тяжести окружности, площади круга, поверхности и объема шара находятся в их геометрических центрах.
  
  
  Центр тяжести правильного многоугольника находится в центре вписанной (или описанной) окружности.
  
  
  Центры тяжести параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата лежат в точках пересечения их диагоналей
  

• 13 слайд

  Создание собственных моделей
  Нахождение центра тяжести прямоугольного треугольника
  

• 14 слайд

  Нахождение центра тяжести тупоугольного треугольника
  

• 15 слайд

  Нахождение центра тяжести остроугольного треугольника
  

• 16 слайд

  Нахождение центра тяжести произвольного четырехугольника
  

• 17 слайд

  IV. Заключение.
  Работая над проектом, я изучила новый для меня способ решения геометрических задач с использованием метода масс, применила его для решения задач. Научилась для построенных различных геометрических моделей находить их центр масс.
  На основе проведенных исследований, можно сделать вывод, что применение метода масс при решении геометрических задач может намного облегчить ход решений