Итоговый проект по математике на тему "Софизмы и парадоксы"(9 класс)

Муниципальное казённое общеобразовательное  учреждение

 «Касторенская средняя общеобразовательная школа №1»

Касторенского района Курской области

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ

на тему «___Софизмы и парадоксы___________»

по дисциплине «___математика_______»

Обучающийся:  ______Репникова Анна________________

Класс  ___9 «А»_____

Руководитель проекта: _Вторникова Т.Н.  (учитель математики)

Касторное - 2018

Содержание

                                                        I.            Введение..................................................................................................с. 3

II.            Краткая характеристика софизмов

§1. История возникновения софизмов..............................................с. 8

§2. Определение софизма………………….................................с. 11

§3. Софизмы в математике…………………..............................с. 11

3.1. Алгебраические софизмы ……………………..с. 13

3.2.Геометрические софизмы........……………….с. 19

                   §4.История возникновения парадоксов..................................с. 8

§5. Определение парадокса…………………........................с. 11

§6. Парадоксы  в математике………………….....................с. 11

6.1. Оптические парадоксы ………………….с. 13

                                               III.            Заключение……………………………………………………………с. 75

                                                    IV.            Литература………………………………………………………………с.

                                                    V.            Приложения………………………………………………………………..   

Введение

«Предмет математики настолько серьёзен,

                                                     что полезно не упускать случаев

                                         сделать его немного занимательным»

Б. Паскаль

Меня зовут Репникова Анна. Я увлекаюсь математикой. Мой учитель предложил мне заняться этой темой, и я преступила к работе. Во время работы над проектом мне было интересно, я узнавала много нового. Я считаю эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. История математики полна неожиданных и интересных софизмов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы. Парадоксы - это справедливые, хотя и неожиданные утверждения, в то время как софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку. И парадоксы, и софизмы очень поучительны и интересны. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле.

Почему я взялась за эту работу?

Я очень люблю решать задачи и разгадывать математические ребусы, но в математике есть «задачи-ловушки», которые не похожи на другие, они как будто - бы правильные, но в то же время неправильные. Это софизмы!

Я увлеклась темой «Софизмы и парадоксы в математике». Во время работы мне было очень интересно.

Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, чтоматематика – это живая наука.

Надеюсь, что моя работа будет интересен и принесёт пользу ребятам.

Цель:

1) Дать определение софизмам и парадоксам.

2) Определить сферу их применения.

3) Понять в чем различие и сходство между софизмами и парадоксами.

4) Выяснить, как разбор математических софизмов развивает умение и навыки логического мышления.

Задачи:

1.    привести примеры софизмов и парадоксов.

2.    разобрать несколько примеров.

3.    понять, как найти ошибку в них.

4.    проведя разбор софизмов, сделать вывод.

1. История возникновения софизмов

           Процесс познания человеком окружающего мира можно сравнить с радостным торжеством, ибо каждая раскрытая тайна укрепляет веру в свои силы. Но на пути победоносной человеческой мысли возникают большие, казалось бы, непреодолимые, преграды, перед которыми умозаключения были бессильными. Древнегреческий философ Диодор Кронос (примерно 307 год до н.э.), не решив одну из древнейших логических задач – парадокс Эвклида, умер от разочарования, а другой философ Фигет Косский, познав такую же неудачу, покончил жизнь самоубийством. Древнегреческие ученые часто сталкивались с такими задачами в математике. Они прикладывали много усилий, чтобы выявить механизм образования подобных загадок. Было установлено, что наши рассуждения тоже подчинены определенным законам (законам логики), нарушение которых обесценивает результаты, добытые в этих рассуждениях. Неразрешенность задач, с которыми встретились Диодор Кронос и Фигет Косский, объясняется, как правило, нарушением законов логики. Поэтому уже тогда остро встал вопрос о системе "профилактических приемов" – определенных правил с целью устранения логических ошибок.

             Первая в истории проба проведения "логической профилактики" в математике принадлежит гениальному древнегреческому математику, автору "Начал" – Евклиду (IV в до н.э.). Он создал удивительный сборник "Псевдарий", где поместил разнообразные ошибочные рассуждения, к которым часто приходят те, кто начинает играть в математику. Таким образом, Евклид был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов. Остается сожалеть, что этот труд не дошел до нас. За то требовательность Евклида и строгость к культуре рассуждений нашла многочисленных последователей.

          Сами же софизмы также появились в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин "софизм" впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

          Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно, ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.

          Софистам идейно противостоял знаменитый греческий философ Сократ, который утверждал, что объективная истина есть, только неизвестно точно, какая она, что собой представляет; в силу чего задача каждого думающего человека заключается в том, чтобы искать эту единую для всех истину.

          Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины зародилась приблизительно в V в. до н.э. С тех пор она продолжается до настоящего времени. Среди наших современников можно встретить немало людей, которые утверждают, что ничего объективного и общезначимого нет, что все одинаково подтверждаемо и опровержимо, что все относительно и субъективно. "Сколько людей, столько и мнений", – и говорят они. Это, несомненно, точка зрения древних софистов. Однако и в нынешнюю эпоху есть те, которые вслед за Сократом считают, что, хотя мир и человек сложны и многогранны, тем не менее, нечто объективное и общезначимое существует, точно так же, как существует солнце в небе – одно для всех. Они утверждают, что если кто-то не замечает объективной истины, то это вовсе не означает, что ее нет, точно так же, как если кто-то закроет глаза или отвернется от солнца, он тем самым не отменит его существования на небосводе.

          В наше время ученые продолжают обращаться к софизмам совсем не для того, чтобы удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это – маленькое открытие и прекрасная школа культуры математических вычислений.

1.     Определение софизма

Софизм (от греч. - мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) - ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами

2.     Софизмы в математике

Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознавая ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математики. Математические софизмы делятся на алгебраические и геометрические.

2.1.          Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a). Разделив обе части на (a – a), получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Разбор софизма. Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a - a) равно нулю. А мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя.

Чётное число равно нечётному.

Возьмём произвольное чётное число 2n, где n-любое целое число, и запишем тождество , в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества , перепишем его в следующем виде: ,

или в таком:,

Откуда следует, что , или 2n=2n+1,

что означает равенство чётного числа нечётному.

Разбор софизма. Из равенства квадратов не следует равенство величин.

Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.

Возьмём произвольное не равное нулю число a и напишем уравнение x=a. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах=. Прибавляя к обеим частям последнего равенства  и перенеся член  влево с противоположным знаком, получим , откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем

, или х-2а=х. Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а=а, или -а=а, откуда 0=а+а, т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.

Разбор софизма. Когда мы имеем полный квадрат , то /х-2а/=/х/, а так x=a, то 2а-x=x.

2.2.Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Загадочное исчезновение.

У нас есть произвольный прямоугольник (приложение 1), на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Куда исчезла 13-я линия?

Разбор софизма. 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины.

Земля и апельсин.

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор. Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?

Разбор софизма. Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2p и радиус апельсина r = c/2 p. После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2p и (c + 1)/2 p. Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же. (C + 1)/2p - C/2p = 1/2p - для Земли, (c + 1)/2p - c/2p = 1/2p - для апельсина. Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор в 1/2p метра (примерно 16 см)

Два перпендикуляра.

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, можно провести два перпендикуляра к этой прямой (приложение2) . С этой целью возьмём треугольник ABC. На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE ^ AC и BD ^ AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC. В чём ошибка?

Разбор софизма. Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.

3.     Определение парадокса.

Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

Парадокс близок софизму. С софизмом их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Таким образом, парадокс не ошибка, однако его появление нельзя объяснить и желанием сознательно исказить положение дел или незнанием какой-то детальной информации. Парадокс коренится глубже и свидетельствует об объективно сложившемся противоречивом состоянии дел, в котором никто не виноват. Парадокс принято также называть антиномией (греческого αντινομια, буквально — противоречие в законе, парадокс,— ситуация, когда в теории доказаны два взаимно исключающие друг друга суждения, причём каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами). Парадокс – высказывание, истинность которого не очевидна, справедливое, но неожиданное утверждение. Математический парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как это суждение, так и его отрицание.

4.     Парадоксы в математике.

Парадоксы были типичными способами постановки проблем в античном мышлении. Сначала парадоксы рассматривались только как продукт философских измышлений, теперь наука признала их полноправными членами сообщества научных проблем.

Парадоксы возникают в современных прикладных науках также часто, как и в древних. В VII в. до н. э. вавилонские жрецы-астрологи заметили, что некоторые планеты временами замедляют движение, пятятся назад, а затем снова продолжают движение в обычном направлении. Гераклид Пантийский смог объяснить "явление блуждающих светил" с помощью математической теории эпицикла. Но при этом оставались другие проблемы - не все светила вели себя по этой схеме. Долгое время ученые с помощью своих теорий (геометрическая, механическая) не могли объяснить "дуализм света" (XVIII-XIX вв.), только предположение Д.К. Максвелла о электромагнитной природе света разрешило эту проблему. Таким образом, можно считать, что парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий.

Парадокс Банаха – Тарского.

Парадокс Банаха - Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям (приложение 3). Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объём которых равен объёму исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём. Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма. Очевидно, что «куски» в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике).

Задача о треугольнике.

         Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей (приложение 4). После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. 1) Перестановка частей. 2) Разрезанный треугольник. 3) «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией. Площади закрашенных фигур, разумеется, равны между собой (32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13×5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади (S13×5 = 32,5 клетки). То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура поименована треугольником (на самом деле это - вогнутый 4-угольник). Это отчётливо заметно на рисунках 1 и 2 - «гипотенузы» верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) - внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями. Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу (2/3 и 5/8), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Если нижние стороны этих треугольников параллельны, то гипотенузы в обоих треугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем — наружу). Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13×5 друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рисунке 3 этот параллелограмм приведён в верных пропорциях. По словам Мартина Гарднера, эту задачу изобрёл иллюзионист-любитель из Нью - Йорка Пол Карри в 1953.

Исчезающий квадрат.

Маленький квадрат «исчезает» и «появляется» при повороте частей (приложение 5). Этот парадокс объясняется тем, что сторона (и площадь) нового большого квадрата немного отличается от стороны́(и площади) того, который был в начале. Если в качестве первой фигуры принять тот квадрат, в середине которого нет маленького ромба, дальнейший анализ заметно упростится. Таким образом, можно заключить, что ошибка, замаскированная в условии, состоит в том, что центры вращения составляющих 4-угольников находятся не там, где это представляется при визуальном осмотре картинки (не в точках пересечения их диагоналей). Они находятся в вершинах квадрата, повёрнутого относительно первого квадрата, хотя его стороны параллельны сторонам второго.

Заключение

О математических софизмах и парадоксах  можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые софизмы и парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день.

Математические  софизмы – это лишь часть одного большого течения.  Поиск  заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач.  Эффектная демонстрация «доказательства»  явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск  и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение. 

Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Исторические сведения о софистике и софистах помогли нам разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов.

Парадоксы – это неожиданные утверждения, противоречащие  здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях, но их  противоречивый результат не является преднамеренным (этим они отличаются от софизмов). Парадоксы известны науке уже более двух тысяч лет. В античные времена были описаны многие парадоксы и для некоторых из них ученые до сих пор не могут найти объяснения и решения. Открываются парадоксы и в наши дни. Обычно подобные открытия сопровождаются кризисами в науке, разрушением старых, проверенных временем теорий и  попытками создать новые, которые способны объяснить появившиеся противоречия. Парадоксы присутствуют везде – и в повседневной жизни, и в науке. Практически в каждой научной области исследования существуют свои парадоксы. 

         Прослеживая историю математики, можно сказать, что во все времена математику спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая ее авторитет. Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо они являются  двигателями науки.

         Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. 

«Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно,

                 математика сделала ясным, верным и очевидным»

М. Ломоносов

Итак, я познакомился с увлекательной темой, узнал много интересного, научился решать задачи на парадоксы и софизмы, находить в них ошибку. Этот проект открыл мне еще одну страничку в математике.

Помимо основных целей, поставленных в начале работы, я преследовал еще одну: прикосновение к тому, с чем сталкивались мои далекие предки, к теме, которая имеет исторические корни. Мною были рассмотрены примеры наиболее известных софизмов и парадоксов.

Я решил провести исследование на знание парадоксов и софизмов. Я провел опрос среди 20 учеников старших классов.

На первый вопрос: «Знаете ли вы, что такое софизмы?»,

2 – 10% ответили, что знают;

5 – 25% ответили, что слышали;

13 – 65% ответили, что не знают.

На второй вопрос: «Знаете ли вы, что такое парадоксы?»,

15 – 75% ответили, что знают;

5 – 25% ответили, что не знают.

Ситуация неутешительная. Тогда я решил рассказать свою работу ученикам. После повторного опроса динамика была намного лучше.

На первый вопрос: «Знаете ли вы, что такое софизмы?»,

19 – 95% ответили, что знают;

1 – 5% ответил, что прослушал.

На второй вопрос: «Знаете ли вы, что такое парадоксы?»,

19 – 95% ответили, что знают;

1 – 5% ответил, что прослушал.

Я задал еще один вопрос: «Понравилась ли вам эта тема? Хотели бы вы узнавать подобное на уроках математики?»,

все 20 – 100% ответили да.

Таким образом, я выяснил, что подобные беседы, нравятся и будут сильно помогать ученикам старших классов в развитии по математике. Я считаю, что необходимо ввести тему «Софизмы и Парадоксы» в общеобразовательный курс по математике.

Литература

1.     «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.

2.     «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

3.     «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.

4.     «Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство "Молодая гвардия", 1978 г.

http://fb.ru

http://nsportal.ru

http://festival.1september.ru

http://mathemlib.ru

         Приложения

Приложение 1

Геометрические софизмы

«Загадочное исчезновение»

Приложение 2

Геометрические софизмы

«Два перпендикуляра»

Приложение 3

Парадоксы в математике

«Парадокс Банаха – Тарского»

Приложение 4

Парадоксы в математике

«Задача о треугольнике»

Приложение 5

Парадоксы в математике

«Исчезающий квадрат»

Приложение 6

Оптические парадоксы

«Невозможный треугольник»

Приложение 7

Оптические парадоксы

«Невозможный х-зубец»

Приложение 8

Оптические парадоксы

«Невозможный треугольник, состоящий из девяти кубиков»

Приложение 9

Оптические парадоксы

«Невозможная лестница»

Приложение 10

Оптические парадоксы

«Восхождение и спуск»

Приложение 11

Оптические парадоксы

«Водопад»