Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект лекций по дисциплине математика. Тема - "Решение систем линейных уравнений".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект лекций по дисциплине математика. Тема - "Решение систем линейных уравнений".

библиотека
материалов

Занятие №5 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Основные понятия и определения: общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с 3-мя неизвестными. Совместные определенные, совместные неопределенные, несовместные СЛАУ. Решение СЛАУ методом обратной матрицы.



Система линейных алгебраических уравнений (сокращенно СЛАУ) из m уравнений с n неизвестными имеет вид

(6) hello_html_3251806d.gif

Числа hello_html_m357c3c9d.gif являются коэффициентами при искомых неизвестных hello_html_m17d1be38.gif в уравнениях системы. Первый индекс чисел hello_html_m357c3c9d.gif показывает, в каком уравнении это число находится, а второй − при каком по номеру неизвестном. Числа hello_html_m3e015376.gif стоят в правых частях системы.

Набор чисел hello_html_m3353f452.gif называется решением системы (6), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных hello_html_m17d1be38.gif в каждое уравнение (6) получается верное числовое равенство.

Система может иметь решения, а может не иметь. Если система имеет решения, то она может иметь только одно решение (т.е. только один набор hello_html_m3353f452.gif), а может иметь более одного решения. В зависимости от описанной ситуации системы делятся на совместные и несовместные, определенные и неопределенные.

Совместная система – имеет хотя бы одно решение. Совместные системы могут быть определенными и неопределенными. Определенная система – имеет единственное решение. Неопределенная – имеет более одного решения. Специфика систем линейных уравнений вида (6) такова, что если эта система имеет более одного решения, то она имеет бесконечное число решений.

По системе (6) можно формально построить следующие матрицы (которые имеют свои названия):

hello_html_5d90610b.gifматрица коэффициентов, hello_html_44b6f509.gif – столбец неизвестных, hello_html_m7aceedac.gif – столбец правых частей, hello_html_1d6c5067.gif – расширенная матрица системы. Матрица коэффициентов А называется также основной матрицей системы (6).

С помощью этих матриц система (6) может быть записана в компактной матричной форме:

(7) hello_html_m570c63e5.gif .

В этом легко убедиться, расписав поэлементно произведение матриц в (7) − получим в точности систему (6). Поэтому задача решения системы (6) эквивалентна поиску неизвестной матрицы-столбца hello_html_3c01dd96.gif, удовлетворяющей матричному уравнению (7).


Случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных ( m = n )


В этом важном частном случае система (6) принимает вид :

(8) hello_html_m4dc5a34b.gif

Для поиска решения снова представим эту систему в матричной форме (см. (7)):

(8а) hello_html_m570c63e5.gif,

где матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей имеют вид

hello_html_7522728a.gif, hello_html_3c01dd96.gif, hello_html_m7aceedac.gif .

Обозначим через Δ определитель матрицы коэффициентов А: hello_html_mf4465f.gifhello_html_4fe72483.gif. Этот определитель называется главным определителем системы (8). Допустим, что матрица А не вырождена, т.е. hello_html_4fbd8c20.gif. В этом случае, как указывалось выше, существует обратная матрица hello_html_618b0292.gif. Умножив слева (порядок при умножении матриц важен!) обе части матричного уравнения (8а) на hello_html_618b0292.gif, последовательно получим : hello_html_m673e1573.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_1c9639f6.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_95e1bc3.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_m105e7ce5.gif. Можно показать, что полученное таким образом решение является единственным. Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Система (8) имеет единственное решение (т.е. является определенной системой) тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов hello_html_m2e5161d4.gif. В этом случае решение (8) может быть получено по формуле

(8б) hello_html_6f93c183.gif .

Отыскание решения системы по формуле (8б) носит название матричного метода решения систем. Он предполагает вычисление обратной матрицы для матрицы коэффициентов.

Пример. Решить матричным методом систему hello_html_636dceb1.gif .

Решение. Матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей для этой системы имеют вид hello_html_m7164736c.gifhello_html_23ea8d57.gif, hello_html_5edaa61c.gif, hello_html_m3d54c302.gif . Для матрицы А такого вида ранее (в параграфе «Обратная матрица») была построена обратная к ней hello_html_1f3d783a.gif. Поэтому по формуле (8б) последовательно получаем

hello_html_5edaa61c.gif=hello_html_66c15f9f.gifhello_html_m6d4db0b5.gif=hello_html_m1f403b1f.gif. Отсюда получаем следующее решение системы : hello_html_m64377e31.gif, hello_html_m7015763a.gif и hello_html_ma67d382.gif.

Пример. Решить матричным методом систему hello_html_4c24841c.gif .

Решение. Матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей для этой системы имеют вид hello_html_m7164736c.gifhello_html_53991a77.gif, hello_html_746b0470.gif, hello_html_5323a6e6.gif . Построим обратную матрицу hello_html_618b0292.gif по формуле (5а), которая была выведена для матриц именно второго порядка. В нашем случае hello_html_m5a867f17.gif , hello_html_45b22d22.gif . Тогда по формуле (8б) получаем: hello_html_746b0470.gif=hello_html_m7ba8161a.gifhello_html_28c3e51c.gif=hello_html_71556315.gif, а потому hello_html_3a572709.gif, hello_html_6891d489.gif.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Рассмотрим матричный метод на примерах..

Пример.

Решите СЛАУ hello_html_6f33abd9.png матричным методом.

Решение.

Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x2, второе – x1, третье – x3. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как hello_html_m431b7d57.png. От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ hello_html_22a047ad.png. Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что hello_html_2d095e94.png:
hello_html_m4a995092.png

Построим обратную матрицу hello_html_5b909aec.png с помощью матрицы из алгебраических дополнений:
hello_html_672edb69.png
 
тогда,
hello_html_m65f63c25.png

Осталось найти решение СЛАУ:
hello_html_m4ed3ca40.png

Рекомендуем выполнить проверку.

Ответ:

hello_html_146f92ce.png.


При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ hello_html_4cf6de3c.png НЕЛЬЗЯ записать как hello_html_m263d105f.png. Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:
hello_html_m46ad7299.png
 
или
 
hello_html_79e14e62.png

Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместо 

x1, x2, …, xn могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ hello_html_5646547a.png в матричной форме запишется как hello_html_mc590b4a.png.


Пример.

Нhello_html_28fd328d.pngайдите решение системы линейных алгебраических уравнений  с помощью обратной матрицы.




Решение.

Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме hello_html_m7a83c9ad.png. Вычислим определитель основной матрицы:
hello_html_m78a12074.png

Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как hello_html_m28ec113f.png. Найдем обратную матрицу по формуле hello_html_1bc5561c.png:
hello_html_mcd6b15b.png

Получим искомое решение:
hello_html_mf0bd1b7.png

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3.


Пример.


Нhello_html_m1076382c.pngайдите решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.




Решение.

Определитель основной матрицы системы равен нулю
hello_html_6a0b931.png
 
поэтому, мы не можем применить матричный метод.


Пример:


Решить систему линейных уравнений матричным методом

hello_html_26d95d53.gif:


Решение:

Обозначим: А = hello_html_494a39c2.gif - матрица коэффициентов при неизвестных,

Х = hello_html_67611c62.gif - матрица неизвестных, В =hello_html_mb45445b.gif - матрица свободных членов.


Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.

Определитель основной матрицы системы:

hello_html_mede219c.gif.

Алгебраические дополнения всех элементов:

hello_html_66f99d86.gif

Отсюда hello_html_6c4c30b9.gif

Тогда

Х = hello_html_67611c62.gif= hello_html_m7f9e9cdf.gif,


и, следовательно х1=2; х2=3; х3=-2.



Пример

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

hello_html_36ebb379.png

Решение.

1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме

hello_html_18f60168.png

Найдем обратную матрицу. Напомним, что

hello_html_4ec52d0c.png

где hello_html_m6ccddf6c.png - определитель матрицы hello_html_6c4e09f4.png , а hello_html_m692d8f39.png - транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов  hello_html_m6c810b0c.png определителя матрицы.

Вычислим определитель матрицы


hello_html_1960818e.pnghello_html_m21c1fca5.png

Матрица алгебраических дополнений  hello_html_bfaa2b8.png состоит из элементовhello_html_7a29f770.png , которые вычисляются через миноры по правилу

hello_html_m428a1e7b.png

Миноры hello_html_m13c073fa.png - это определители на порядок меньшие от определителя hello_html_m6ccddf6c.png, которые образуются вычеркиванием в нем  hello_html_494bc5c9.png-й строки и  hello_html_338e786e.png - го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.

Найдем алгебраические дополнения к определителю

hello_html_m2eb1a329.png

hello_html_m7361066e.png

hello_html_mfb71d1a.png

hello_html_m2698c82c.png

hello_html_5f2606fa.png

hello_html_71bc5ad8.png

hello_html_m5d12cbf9.png

hello_html_m5d12cbf9.png

hello_html_78f7e292.png

hello_html_m7e6fc9da.png

Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений

hello_html_m7a2d175.png

и протранспонируем ее

hello_html_m642433ad.png

Находим обратную матрицу

hello_html_m51ca1274.png

С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений

hello_html_m7f2a567f.png

hello_html_43e3cb3a.png



Домашнее задание


  1. Л4, стр. 81-85, № 68; 70 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)


68. Решить матричным методом систему


hello_html_m59541748.gif .



70. Решить матричным методом систему


hello_html_m2755689b.gif

Занятие №6 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Применение формул Крамера к решению СЛАУ.


Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель матрицы коэффициентов A системы (8) и n вспомогательных определителей i (i =1, 2, …, n), которые получаются из определителя заменой i-го столбца столбцом правых частей.

Правило Крамера формулируется следующим образом.

1. Если главный определитель hello_html_m2e5161d4.gif, то система (8) имеет единственное решение, которое может быть вычислено по следующим формулам Крамера:

x 1 = 1 / , x 2 = 2 / , … , x n= n / .

2. Если главный определитель hello_html_m7395d538.gif, а хотя бы один из определителей 1, 2 , … , n не равен нулю, то система (8) не имеет решений (т.е. несовместна).

3. Если = 1= 2 = … = n = 0, то система (8) является неопределенной, причем имеет бесконечно много решений.

Пример. Решить систему hello_html_636dceb1.gif методом Крамера.

Решение. Заметим, что раньше эта система уже была решена матричным методом. Матрица коэффициентов и столбец правых частей для этой системы имеют вид hello_html_m7164736c.gifhello_html_23ea8d57.gif, hello_html_m3d54c302.gif . Находим главный определитель : hello_html_m17be151a.gif  .  Он не равен нулю, поэтому система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера: x=1/,
y =2 /, z=3 / . Определители 1, 2 и 3 получаются из главного определителя заменой соответствующего столбца на столбец правых частей: hello_html_726eab79.gif, hello_html_m436d0327.gif, hello_html_7d58a874.gif. Тогда по формулам Крамера : x=1, y =0, z=1.

Пример 1. Решить методом Крамера систему hello_html_4c24841c.gif .

Решение. Эта система тоже была выше решена матричным методом. Матрица коэффициентов и столбец правых частей для этой системы имеют вид hello_html_m7164736c.gifhello_html_53991a77.gif, hello_html_5323a6e6.gif . Главный определитель системы hello_html_m5a867f17.gif . Определители hello_html_m6497a8fc.gif, hello_html_4d6b9e97.gif. По формулам Крамера x=1/,
y =2 /, а потому hello_html_3a572709.gif, hello_html_6891d489.gif.

Пример 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений.

hello_html_m239bd260.png

Решение.

Для этого выпишем систему линейных уравнений в виде

hello_html_22830818.png

Найдем определитель основной части

hello_html_3b70fd58.png

Для вычисления вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место первой строки для hello_html_567ddcae.png и на место второй для hello_html_m5a01b435.png. В результате получим

hello_html_m7bc9cc24.png

hello_html_m3799d77d.png

Подставим найденные значения в формулы Крамера

hello_html_m21bc9229.png

и найдем неизвестные

hello_html_1e314c16.png

Из рассмотренного примера видим что вычисление при двух уравнениях с двумя неизвестными достаточно простые.



Пример 3. Найти решение системы уравнений:

hello_html_636fa685.gif

D =hello_html_mcd09b9f.gif = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D1 = hello_html_m17c6a47f.gif = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 = hello_html_m373fdfa3.gif = 1;

D2 = hello_html_m66c971fe.gif = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 = hello_html_m25c51aa3.gif = 2;

D3 = hello_html_3348b9e9.gif = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 = hello_html_32d4461.gif = 3.



Пример 4.

Решить систему уравнений методом Крамера

hello_html_408d8e45.png

Решение: 

Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы: hello_html_11aee587.png

hello_html_28438df7.png

Так как hello_html_24b9fe22.png, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

hello_html_296895b8.png

где hello_html_m662c6c5e.png получаются из определителя hello_html_51da73d8.png путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.

hello_html_46480064.png

Таким образом:

hello_html_15d9a767.png

Итак, hello_html_1047f4da.png - единственное решение.

 

Пример 5

hello_html_102f31eb.png

Решение.

Запишем систему трех алгебраических уравнений в удобном для решения виде

hello_html_m26f0c635.png

Найдем детерминант системы по правилу треугольников

hello_html_m5443c5ad.png

hello_html_m61ad9ae3.png



hello_html_59934837.pnghello_html_m48329394.png

Для вычисления дополнительных определителей подставляем столбец свободных членов на место первого, второго и третьего столбцов. В результате получим

hello_html_m356f44d3.png

hello_html_62782c3c.png

hello_html_m2c63a9dd.png

hello_html_m563fd229.png

hello_html_6813ca89.png

hello_html_m4e06a141.png

hello_html_m510e76a.png

hello_html_m221136be.png

hello_html_m454b23d5.png

hello_html_7cd9eae6.png

hello_html_m3cc1b86c.png

hello_html_m30ec21c7.png

Вычисляем неизвестные за формулами Крамера

hello_html_m50fc4a8d.png hello_html_3eebd47f.png hello_html_92f0962.png

Для данного примера нахождения решения также не слишком сложно, хотя по сравнению с системой двух уравнений вычислений заметно прибавилось.


Пример 6. Решить систему уравнений методом Крамера

hello_html_m5e28b9ae.png

Решение: 

Составим главный определитель этой системы: hello_html_338883a.png

Используя свойства определителя, создадим в первом столбце нули. Для этого

  • Вторую и третью строку оставим без изменеий, 

  • Умножим вторую строку на -2 и добавим к первой

  • Умножим вторую строку на -1 и добавим к четвертой

После этих преобразований значение определителя не изменится, но он наберет следующий вид

hello_html_m2d321262.png

Теперь, воспользовавшись определением определителя и разложив его по элементам четвертого столбца, получим:

hello_html_5009b2e.png

 

hello_html_20a871b2.png

Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля. По правилу Крамера такая система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого создадим и вычислим еще четыре определители:

hello_html_m4c78a0f5.png  

hello_html_46f829a.png

По правилу Крамера имеем решение:

hello_html_7e5a9e0e.png

Итак, hello_html_206704ee.png - единственное решение.



Пример 7


hello_html_65230997.png

Решение.

Записываем систему уравнений четвертого порядка в виде

hello_html_46d4a04.png

Находим главный определитель системы. При вычислении детерминантов четвертого порядка их необходимо раскладывать за строками или столбцами у каторых больше всего нулей. Поскольку в данном случае нулей главный определитель не имеет то разложим его за первой строкой

hello_html_2f419b49.png

и найдем соответствующие определители третьего порядка

hello_html_7bfa506f.png

hello_html_75f8b5a2.png

hello_html_2bc8725f.png

hello_html_m539b18cc.png

hello_html_m4e817400.png

hello_html_m339715d1.pnghello_html_m23965828.png

Подставим найденные значения в определитель

hello_html_m174698ed.png

По такой же схеме вычисляем вспомогательные определители, напомню лишь, что они образуются заменой столбца в главном определителе на столбец свободных членов (обозначен черным цветом).

hello_html_3725ca89.png

hello_html_49b143f8.png

hello_html_3d85b458.png

hello_html_1df83333.png

Подставив в формулы Крамера, после вычислений будем иметь

hello_html_m506beafd.png



Домашнее задание


  1. Л4, стр. 81-89, № 77; 80 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)


77. Решить по формулам Крамера систему уравнений


hello_html_24fe2a4e.gif .



80. Решить по формулам Крамера систему уравнений


hello_html_38c7a780.gif

Занятие №7 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Решение СЛАУ методом Гаусса.


Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие :

  • перестановка местами каких-либо двух строк матрицы;

  • умножение какой-либо строки матрицы на любое (не равное нулю) число;

  • прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на одно и то же число.

hello_html_m71cc63f2.gif





Метод Гаусса состоит в приведении системы к равносильной системе ступенчатого вида (так называемы прямой ход метода Гаусса) и решении полученной системы (обратных ход метода Гаусса).

Пример 1. Решить методом Гаусса систему hello_html_m5be88e6a.gif.

Решение. Прямой ход метода Гаусса заключается в приведении этой системы с помощью ее элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Расширенная матрица системы имеет вид hello_html_m57858867.gif.

Приведем сначала к ступенчатой матрице, используя элементарные преобразования строк.

hello_html_m6d6b6566.gifhello_html_14e4d6bc.gifhello_html_m2f7536e1.gifhello_html_1a69d2b4.gif.

Получили ступенчатую матрицу. Суть преобразований отмечена под матрицами. Например, (2) − (1) означает: из элементов второй строки вычтем элементы первой; (3) − 2∙(1) : из элементов третьей строки вычтем элементы первой, умноженные на 2. Таким образом, прямой ход метода Гаусса приводит к следующей системе ступенчатого вида: hello_html_2c709dd4.gif.

hello_html_3d17b6c9.gif. Совершим обратный ход метода Гаусса − решим эту систему. Из последнего уравнения получаем z = −2. Подставляя это значение z во второе уравнение системы, получим y − 2 = −4, откуда y = 2. Подставляя z = −2 и y = 2 в первое уравнение, получаем x + 6 − 4 = 5, откуда x = 3. Таким образом, решение исходной системы: x = 3, y = 2, z = −2.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему hello_html_7a1703e2.gif .

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду. Иногда для наглядности последний столбец расширенной матрицы (это добавленный к основной матрице столбец правых частей системы) отделяют вертикальной чертой. Прямой ход метода Гаусса:
hello_html_m1d208ca4.gif
hello_html_75acacd4.gifhello_html_m175a3b6f.gifhello_html_m4d4bd9c7.gif~hello_html_62c1fc99.gif .

По последней матрице запишем систему линейных уравнений и проведем обратный ход:

hello_html_m49dc524d.gifhello_html_m28cd4b01.gifhello_html_md64209a.gifhello_html_33ed0bad.gif.

Пример 3.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

hello_html_m257f8e05.gif

Решение.

Преобразуем расширенную матрицу системы

hello_html_11ed5a14.gif~hello_html_m63e92bd5.gif~hello_html_m25aaf45.gif

Таким образом, получаем систему линейных уравнений

hello_html_5ba4f255.gif

hello_html_162322ed.gif

Ответ: (1, 2, 3)





Пример 4. Методом Гаусса решить систему уравнений:


хhello_html_m11ec5478.gif1 + 2х2 – х3 = 7

1 – 3х2 + х3 = 3

1 + х2 – х3 = 16.


Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

hello_html_4e753b3d.gifhello_html_32b4056d.gifhello_html_32b4056d.gif

1hello_html_m576a1f04.gifhello_html_m576a1f04.gifhello_html_m576a1f04.gif 2 -1 7 1 2 -1 7 1 2 -1 7

2 -3 1 3 ~ 0 -7 3 -11 ~ 0 -7 3 -11 .

4 1 -1 16 0 -7 3 -12 0 0 0 -1


Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = -1, следовательно, данная система несовместна, то есть не имеет решений.


Пример 5.


Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

hello_html_17b87c78.gif




Решение.

Пhello_html_m53d4ecad.gifреобразуем расширенную матрицу системы

hello_html_1f71cec0.gif~hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_28b7eb27.gif~hello_html_m7b308a28.gif


Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = -17, следовательно, данная система несовместна, то есть не имеет решений.

hello_html_m53d4ecad.gif

Пример 6.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

hello_html_709fdd1f.gif

Решение.

hello_html_709fdd1f.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Преобразуем расширенную матрицу системы

hello_html_m79546df6.gif~hello_html_36e62d08.gif~hello_html_m35e2ac46.gif~

~hello_html_39336de7.gif~hello_html_5be17012.gif~hello_html_58e08c3b.gif.

Таким образом, получаем систему линейных уравнений

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_519884a5.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7ad3521a.gif

Ответ: (1, -1, 2, 0)

Домашнее задание


  1. Л3, стр. 103-108 (Пехлецкий И.Д.)

  2. Л4, стр. 89-91, № 85; 89 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)


85. Решить методом Гаусса систему hello_html_m4d10c0c.gif.



89. Решить методом Гаусса систему hello_html_610ece51.gif



35



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 14.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров327
Номер материала ДБ-194049
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх