Конспект лекций по дисциплине математика.

Занятие №5  (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Основные понятия и определения: общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с 3-мя неизвестными. Совместные определенные, совместные неопределенные, несовместные СЛАУ. Решение СЛАУ методом обратной матрицы.

Система линейных алгебраических уравнений (сокращенно СЛАУ) из m  уравнений с n неизвестными имеет вид

(6)  

Числа  являются коэффициентами при искомых неизвестных  в уравнениях системы. Первый индекс чисел  показывает, в каком уравнении это число находится, а второй − при каком по номеру неизвестном. Числа  стоят в правых частях системы.

Набор чисел  называется решением системы (6), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных  в каждое уравнение (6) получается верное числовое равенство.

Система может иметь решения, а может не иметь. Если система имеет решения, то она может иметь только одно решение (т.е. только один набор ), а может иметь более одного решения. В зависимости от описанной ситуации системы делятся на совместные и несовместные, определенные и неопределенные.

Совместная система – имеет хотя бы одно решение. Совместные системы могут быть  определенными и неопределенными. Определенная система – имеет единственное решение. Неопределенная – имеет более одного решения. Специфика систем линейных уравнений вида (6) такова, что если эта система имеет более одного решения, то она имеет бесконечное число решений.

По системе (6) можно формально построить следующие матрицы (которые имеют свои названия):

  – матрица коэффициентов,  –  столбец неизвестных,     – столбец правых частей,   –  расширенная матрица системы. Матрица коэффициентов А называется также основной матрицей системы (6).

С помощью этих матриц система (6) может быть записана в компактной матричной форме:

(7)                                                    .

В этом легко убедиться, расписав поэлементно произведение матриц в (7) − получим в точности систему (6). Поэтому задача решения системы (6) эквивалентна поиску неизвестной матрицы-столбца , удовлетворяющей матричному уравнению (7).

Случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных ( m = n )

В этом важном частном случае система (6) принимает вид :

(8)  

Для поиска решения снова представим эту систему в матричной форме (см. (7)):

(8а)                                              ,

где матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей имеют вид

,  ,      .

Обозначим через  Δ  определитель матрицы коэффициентов А: . Этот определитель называется главным определителем системы (8). Допустим, что матрица А не вырождена, т.е. . В этом случае, как указывалось выше, существует обратная матрица . Умножив слева (порядок при умножении матриц важен!)  обе части матричного уравнения (8а) на , последовательно получим :      . Можно показать, что полученное таким образом решение является единственным. Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Система (8) имеет единственное решение (т.е. является определенной системой) тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов . В этом случае решение (8) может быть получено по формуле

(8б)                                              .

Отыскание решения системы по формуле (8б) носит название  матричного метода решения систем. Он предполагает вычисление обратной матрицы для матрицы коэффициентов.

Пример.  Решить матричным методом систему  .

Решение. Матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей для этой системы имеют вид ,  ,      . Для матрицы А такого вида ранее (в параграфе «Обратная матрица») была построена обратная к ней . Поэтому по формуле (8б) последовательно получаем

==. Отсюда получаем следующее решение системы : ,  и .

Пример. Решить матричным методом систему  .

Решение. Матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей для этой системы имеют вид ,  ,      . Построим обратную матрицу  по формуле (5а), которая была выведена для матриц именно второго порядка. В нашем случае   ,    . Тогда  по формуле (8б) получаем: ==, а потому , .

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Рассмотрим матричный метод на примерах..

Пример.

Решите СЛАУ  матричным методом.

Решение.

Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x₂, второе – x₁, третье – x₃. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как . От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ . Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что :

Построим обратную матрицу  с помощью матрицы из алгебраических дополнений:
 
тогда,

Осталось найти решение СЛАУ:

Рекомендуем выполнить проверку.

Ответ:

.

G При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ  НЕЛЬЗЯ записать как . Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:
 
или 

Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместо 

x₁, x₂, …, x_n могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ  в матричной форме запишется как .

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений  с помощью обратной матрицы.

Решение.

Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме . Вычислим определитель основной матрицы:

Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как . Найдем обратную матрицу по формуле :

Получим искомое решение:

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3.

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Решение.

Определитель основной матрицы системы равен нулю
 
поэтому, мы не можем применить матричный метод.

Пример:

Решить систему линейных уравнений матричным методом

:

Решение:

 Обозначим: А =  - матрица коэффициентов при неизвестных,

Х =  - матрица неизвестных, В = - матрица свободных членов.

Прежде всего, найдем матрицу А^-1, обратную матрице А.

Определитель основной матрицы системы:

.

Алгебраические дополнения всех элементов:

Отсюда

Тогда

Х = = ,

 и, следовательно х₁=2; х₂=3; х₃=-2.

Пример

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

Решение.

1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме

Найдем обратную матрицу. Напомним, что

где  - определитель матрицы  , а  - транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов   определителя матрицы.

Вычислим определитель матрицы

Матрица алгебраических дополнений   состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу

Миноры  - это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем  -й строки и   - го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.

Найдем алгебраические дополнения к определителю

Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений

и протранспонируем ее

Находим обратную матрицу

С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений

Домашнее задание

1)    Л4, стр. 81-85, № 68; 70 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)

№68. Решить матричным методом систему

  .

№70. Решить матричным методом систему

Занятие №6  (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Применение формул Крамера к решению СЛАУ.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель D матрицы коэффициентов A системы (8) и n вспомогательных определителей D _i (i =1, 2, …, n), которые получаются из определителя D  заменой i-го столбца столбцом правых частей.

Правило Крамера формулируется следующим образом.

1.  Если главный определитель , то система (8) имеет единственное решение, которое может быть вычислено по следующим формулам Крамера:

x ₁ = D₁ / D ,  x ₂ = D ₂ / D, … ,   x _n= D _n / D  .

2.  Если главный определитель , а хотя бы один из определителей  D₁ , D ₂ , … , D _n  не равен нулю, то система (8) не имеет решений (т.е. несовместна).

3.  Если   D = D₁ = D ₂ = … = D _n  = 0,  то система (8) является неопределенной, причем имеет бесконечно много решений.

Пример. Решить систему    методом Крамера.

Решение. Заметим, что раньше эта система уже была решена матричным методом. Матрица коэффициентов  и столбец правых частей для этой системы имеют вид  ,    . Находим главный определитель :   .  Он не равен нулю, поэтому система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера: x=D₁/D ,
y =D ₂ /D, z=D ₃ /D  . Определители  D₁ , D ₂  и D ₃  получаются из главного определителя заменой соответствующего столбца на столбец правых частей: , , . Тогда по формулам Крамера : x=1 , y =0, z=1.

Пример 1. Решить методом Крамера систему  .

Решение. Эта система тоже была выше решена матричным методом. Матрица коэффициентов и столбец правых частей для этой системы имеют вид ,     . Главный определитель системы  . Определители , . По формулам Крамера x=D₁/D ,
y =D ₂ /D, а потому , .

Пример 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений.

Решение.

Для этого выпишем систему линейных уравнений в виде

Найдем определитель основной части

Для вычисления вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место первой строки для  и на место второй для . В результате получим

Подставим найденные значения в формулы Крамера

и найдем неизвестные

Из рассмотренного примера видим что вычисление при двух уравнениях с двумя неизвестными достаточно простые.

Пример 3. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x₁ =  = 1;

D₂ =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x₂ =  = 2;

D₃ =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₃ =  = 3.

Пример 4.

Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы: 

Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

где  получаются из определителя  путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.

Таким образом:

Итак,  - единственное решение.

Пример 5

Решение.

Запишем систему трех алгебраических уравнений в удобном для решения виде

Найдем детерминант системы по правилу треугольников

Для вычисления дополнительных определителей подставляем столбец свободных членов на место первого, второго и третьего столбцов. В результате получим

Вычисляем неизвестные за формулами Крамера

  

Для данного примера нахождения решения также не слишком сложно, хотя по сравнению с системой двух уравнений вычислений заметно прибавилось.

Пример 6. Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим главный определитель этой системы: 

Используя свойства определителя, создадим в первом столбце нули. Для этого

·                                 Вторую и третью строку оставим без изменеий, 

·                                 Умножим вторую строку на -2 и добавим к первой

·                                 Умножим вторую строку на -1 и добавим к четвертой

После этих преобразований значение определителя не изменится, но он наберет следующий вид

Теперь, воспользовавшись определением определителя и разложив его по элементам четвертого столбца, получим:

Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля. По правилу Крамера такая система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого создадим и вычислим еще четыре определители:

  

По правилу Крамера имеем решение:

Итак,  - единственное решение.

Пример 7

Решение.

Записываем систему уравнений четвертого порядка в виде

Находим главный определитель системы. При вычислении детерминантов четвертого порядка их необходимо раскладывать за строками или столбцами у каторых больше всего нулей. Поскольку в данном случае нулей главный определитель не имеет то разложим его за первой строкой

и найдем соответствующие определители третьего порядка

 

Подставим найденные значения в определитель

По такой же схеме вычисляем вспомогательные определители, напомню лишь, что они образуются заменой столбца в главном определителе на столбец свободных членов (обозначен черным цветом).

Подставив в формулы Крамера, после вычислений будем иметь

Домашнее задание

2)    Л4, стр. 81-89, № 77; 80 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)

№77. Решить по формулам Крамера систему уравнений

  .

№80. Решить по формулам Крамера систему уравнений

Занятие №7  (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

         Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие :

·        перестановка местами каких-либо двух строк матрицы;

·        умножение какой-либо строки матрицы на любое (не равное нулю) число;

·        прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на одно и то же число.

Метод Гаусса состоит в приведении системы к равносильной системе ступенчатого вида (так называемы прямой ход метода Гаусса) и решении полученной системы (обратных ход метода Гаусса).

Пример 1.   Решить методом Гаусса систему    .

Решение. Прямой ход метода Гаусса заключается в приведении этой системы с помощью ее элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Расширенная матрица системы имеет вид  .

Приведем сначала к ступенчатой матрице, используя элементарные преобразования строк.

~~~.

Получили ступенчатую матрицу. Суть преобразований отмечена под матрицами. Например, (2) − (1) означает: из элементов второй строки вычтем элементы первой; (3) − 2∙(1) : из элементов третьей строки вычтем элементы первой, умноженные на 2. Таким образом, прямой ход метода Гаусса приводит к следующей системе ступенчатого вида:  .

. Совершим обратный ход метода Гаусса − решим эту систему. Из последнего уравнения получаем z = −2. Подставляя это значение z во второе уравнение системы, получим  − y − 2 = −4, откуда y = 2.  Подставляя z = −2 и y = 2 в первое уравнение, получаем x + 6 − 4 = 5, откуда x = 3. Таким образом, решение исходной системы: x = 3, y = 2, z = −2.

Пример 2.    Решить методом Гаусса систему        .

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду. Иногда для наглядности последний столбец расширенной матрицы (это добавленный к основной матрице столбец правых частей системы) отделяют вертикальной чертой. Прямой ход метода Гаусса:
~~~~ .

По последней матрице запишем систему линейных уравнений и проведем обратный ход:

   Þ      Þ      Þ   .

Пример 3.   

 Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

 Преобразуем расширенную матрицу системы

~~

Таким образом, получаем систему линейных уравнений

                                                                                                

Ответ: (1, 2, 3)

       Пример 4. Методом Гаусса решить систему уравнений:

х₁ + 2х₂ – х₃ = 7

2х₁ – 3х₂ + х₃ = 3

4х₁ + х₂ – х₃ = 16.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

 

1       2       -1         7                1     2    -1         7                1     2    -1         7

2     -3         1         3        ~      0     -7     3       -11      ~       0     -7    3       -11     .

4       1       -1         16             0     -7     3       -12              0      0     0       -1

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = -1, следовательно, данная система несовместна, то есть не имеет решений. 

Пример 5.   

 Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Преобразуем расширенную матрицу системы

~~

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = -17, следовательно, данная система несовместна, то есть не имеет решений.

   

Пример 6.   

 Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Преобразуем расширенную матрицу системы

~~~

~~~.

Таким образом, получаем систему линейных уравнений

Ответ: (1, -1, 2, 0)

Домашнее задание

3)    Л3, стр. 103-108 (Пехлецкий И.Д.)

4)    Л4, стр. 89-91, № 85; 89 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)

№85. Решить методом Гаусса систему       .

№89. Решить методом Гаусса систему