Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект лекций по дисциплине "Математика", тема "Матрицы и определители"

Конспект лекций по дисциплине "Математика", тема "Матрицы и определители"

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Занятие №1

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы, определители


Понятие матрицы. Типы матриц. Действия с матрицами: сложение, вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, умножение матриц, возведение в степень.

hello_html_3e79945d.gifМатрицей называется прямоугольная таблица чисел . Обозначаются прописными буквами А, В, С, …..

Общий вид матрицы, содержащей m строк и n столбцов:

(1) А = hello_html_m5ef816b4.gif

Внизу справа при необходимости подписываются размеры матрицы: m – количество строк, n – столбцов.

Чhello_html_m427a1681.gifисла hello_html_m7f9e3fb8.gif , составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матричные элементы обычно обозначаются той же буквой (только строчной), что и сама матрица, а индексы показывают место элемента матрицы в матрице: первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится данный матричный элемент. Например, для матрицы

А = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m37d7a28f.gifэлементы hello_html_m57379ad7.gif, hello_html_m37c466f2.gif ….

Матрицы (так же как и числа) можно вычитать, складывать, перемножать. Поэтому среди матриц есть аналоги нуля и единицы. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Она имеет следующий вид и обозначение:
О = hello_html_m24ac9f52.gif

Если в матрице (1) поменять местами строчки и столбцы (т.е. первую строчку сделать первым столбцом, вторую строку – вторым столбцом и т.д.), то полученная матрица носит название транспонированной по отношению к исходной матрице и обозначается hello_html_68148652.gif илиhello_html_m29c5a482.gif:

А = hello_html_3f0d1ce8.gif

Квадратная матрица – матрица, число строк и столбцов у которой совпадают. Общий вид квадратной матрицы:

(2) А = hello_html_4aeb682a.gif

Числа hello_html_m3fc526b3.gifhello_html_m53d4ecad.gifназываются главной диагональю квадратной матрицы.

След матрицы - это сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы: Sp( A ) = a11 + a22 + ... + aii + ... + ann



Дана квадратная матрица  A размерностью 3        


А = hello_html_m45be5405.gif

Решение:

Чтобы вычислить след исходной матрицы, нужно сложить элементы на главной диагонали:

Sp( A ) = 2 - 1 + 3 = 4

Ответ: След матрицы A равен 4

                                                                                                                                                

Единичной называется такая квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю:

(3) Е = hello_html_78589d0e.gif

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка hello_html_649df807.png, называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

hello_html_m72be2890.png.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, hello_html_504de02a.png или hello_html_mbf5da.png.

Операции с матрицами


1. Сумма матриц: А + В.

Складывать можно только матрицы одного размера. При сложении двух матриц одного размера получается матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов слагаемых матриц, стоящих на соответствующих местах.

Пример.

Пусть hello_html_450eb6d9.gif, hello_html_66adcf43.gif. Тогда

А + В = hello_html_m2318c76.gif+ hello_html_m105cd369.gif= hello_html_e814391.gif

Аналогично определяется вычитание матриц:

А – В = hello_html_m2318c76.gif hello_html_mdcd5c36.gif= hello_html_4550c906.gif.

2. Умножение числа на матрицу.

При умножении числа на матрицу каждый ее элемент умножается на это число.

Пример.

hello_html_450eb6d9.gif, тогда hello_html_m655c481d.gif.

Матричные уравнения

Это уравнения, в которых неизвестной является матрица.

Пример. Даны матрицы hello_html_5380f3ff.gif и hello_html_m290e5858.gif. Найти матрицу hello_html_7ba38183.gif, удовлетворяющую следующему матричному уравнению hello_html_m16c091b7.gif.


Решение. Сначала рассматриваем это уравнение как обычное числовое и находим формулу для hello_html_7ba38183.gif. Затем действия, предписываемые этой формулой, выполняем по правилам действий с матрицами. Решая обычным способом уравнение hello_html_m16c091b7.gif, получаем hello_html_m782b8ccc.gif. По правилу умножения числа на матрицу hello_html_m6eb37d2f.gif, по правилу вычитания матриц hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4a4079ee.gif. Наконец, по правилу умножения числа на матрицу неизвестная матрица hello_html_34851614.gif.



3. Умножение матриц : hello_html_3e0f4684.gif

Дhello_html_1a731146.gifалеко не все матрицы можно перемножать.

Матрицы A и B (порядок следования важен!) называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Таким образом, если порядок матрицы A равен m × p , то порядок согласованной с ней матрицы B должен быть равен p × n. Перемножать можно только согласованные матрицы (отметим, что квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы).

Произведением двух согласованных матриц A (размера m × p) и B (размера
p × n ) называется матрица C (размера m × n) , элементы которой вычисляются по правилу: элемент hello_html_m2cc691e7.gifматрицы С равен сумме попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:

hello_html_35b0fd96.gif

Например, если требуется получить элемент c21, то нужно вторую строку матрицы A "умножить" на первый столбец матрицы B. Рассмотрим конкретные матрицы

hello_html_66da2e56.gif, hello_html_488c81a6.gif.

Число столбцов матрицы A и число строк матрицы B равны 2, значит, A и B согласованы, причем матрица А∙В будет размера 3х2 . Тогда по определению произведение этих матриц А∙В вычисляется следующим образом:
hello_html_m3eed79f3.png.
Найти в этом случае произведение B∙A невозможно, т.к. матрицы B и A не согласованы. Отсюда следует, что если две матрицы можно перемножить в одном порядке, то это не означает, что их можно перемножать в другом порядке. Можно показать, что в общем случае, даже когда произведения AB и BA определены, они не всегда дают одну и ту же матрицу (даже размерности матриц АВ и ВА могут быть разными).

Свойства операции умножения матриц.

  1. А(В+С)=АВ+АС;

  2. (А+В)С=АС+ВС;

  3. k(АВ)=( kА)В = А(kВ), k - некоторое число;

  4. А(ВС)=(АВ)С;

  5. А · Е =Е·А =А, где Е – единичная матрица.

n×n n×n n×n

Пример. Пусть hello_html_625ccbe6.gif, hello_html_m37c9d152.gif. Тогда hello_html_e32c7fd.gif, а

hello_html_69487614.gif(проверьте!). Таким образом hello_html_m7b84e174.gif.

Это не значит, что вообще не существует двух таких матриц А и В, для которых АВ=ВА.

Если для пары матриц А и В это свойство все же выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (или коммутативными). Например, коммутативными будут матрицы А = hello_html_m45be5405.gif и В = hello_html_m59e8829f.gif.

Легко перемножением в том и обратном порядке убедиться, что АВ = ВА = hello_html_m1a1b0c69.gif. Отметим, что квадратные матрицы можно перемножать только если они одного порядка.

Можно указать одну особенную матрицу, которая перестановочна с любой квадратной матрицей. Это введенная выше единичная матрица. Легко в общем виде показать, что для любой квадратной матрицы А имеет место:

А·Е = Е·А = А .

Домашнее задание


  1. Л3, стр. 101-102 (Пехлецкий И.Д.)

  2. Л4, стр. 63-71, № 4; 19; 23 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)


4

Сложить матрицы

hello_html_48afa004.gif


19

Найти произведение АВ


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_16c88266.gif


23

Найти 3А*2В, если


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4a2d6bf.gif

Занятие №2 )

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы, определители

Определитель квадратной матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков.

Определители матриц

Для каждой квадратной матриц вводится важная ее числовая характеристика, называемая определителем этой матрицы. Правило, по которому по элементам данной квадратной матрицы произвольного порядка вычисляется ее определитель, достаточно сложно, поэтому будем вводить это правило «постепенно», повышая порядок определителя. Пока же ограничимся таким неконструктивным определением.

Каждой квадратной матрице можно по некоторому правилу поставить в соответствие число, которое называется определителем данной матрицы. Для определителя квадратной матрицы A, общий вид которой

А = hello_html_4aeb682a.gif

применяются различные обозначения. Укажем наиболее употребительные: detA, D , D(А) или развернутое, в котором перечисляются все элементы данной матрицы

hello_html_m6207041b.gif. Прямые черты, заменяющие круглые (матричные) скобки, указывают на то, что имеется в виду именно определитель матрицы, т.е. единственное число, а не сама матрица A.

Будем подходить к строгому определению определителя, рассмотрев это правило последовательно для определителей матриц 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Определителем матрицы 1-го порядка называется число, равное единственному имеющемуся матричному элементу этой матрицы. Определение настолько простое, что нет необходимости иллюстрировать его примером.

Определитель матрицы 2-го порядка: если А=hello_html_m5e743a41.gif, то

hello_html_m77a1aa47.gif

Например, hello_html_b4b093e.gif.

Рассмотрим определитель матрицы 3-го порядка А = hello_html_m2f325c63.gif.

Для вычисления определителя именно третьего порядка есть упрощенная формула

hello_html_m4562e62e.gif,

которая схематически (для запоминания) записывается так:

hello_html_6a627d7a.gif

( + )

hello_html_m2b216da4.gifhello_html_46d2a06a.gifhello_html_466b846.gifhello_html_2d7c0b93.gifhello_html_m2b216da4.gifhello_html_77c6d93a.gif

hello_html_m20de5461.gifпервые три слагаемые (берутся со знаком +)

hello_html_m1acc9867.gif

последние 3 слагаемые (берутся со знаком −)

Пример. Найдем по упрощенной схеме определитель матрицы (4).

hello_html_m55184963.gif.

!!! Все, что мы будем далее говорить для этой матрицы, справедливо и для квадратной матрицы любого порядка. Определение определителя матрицы содержит два новых понятия. Оказывается, для каждого элемента матрицы (а их 9) можно посчитать 2 числа, которые называются минором и алгебраическим дополнением этого элемента.

Минором элемента матрицы aij (обозначается Мij) называется значение определителя матрицы, получающейся из данной матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент (т.е. вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца).

Алгебраическим дополнением элемента матрицы aij (обозначается Аij) называется число, определяемое по формуле

(3) Аij = (–1)i+j Мij .

Поскольку (–1) в целой степени принимает всего два значения ( 1 – если показатель степени есть четное число и (–1) – если нечетное), то алгебраическое дополнение элемента матрицы либо ничем не отличается от минора этого элемента (если сумма его нижних индексов – т.е. сумма номеров строки и столбца – есть четное число) или отличается от минора только знаком (если сумма нижних индексов нечетна).

Пример. Найти миноры и алгебраические дополнения всех элементов матрицы

(4) А = hello_html_m1f52cd53.gif.

Сначала ищем миноры всех элементов.

М11=hello_html_m7b59f16d.gif, М12=hello_html_1159ddf6.gif, М13=hello_html_m35860c93.gif,

М21=hello_html_m1d85ec29.gif, М22=hello_html_mca3f168.gif, М23=hello_html_5a2b2af4.gif,

М31=hello_html_m3a39f621.gif, М32=hello_html_mecc5314.gif, М33=hello_html_6446461c.gif .

Учитывая формулу (3) и приведенные ниже пояснения для этой формулы, получаем следующие алгебраические дополнения

А11=7, А12= –13, А13=5, А21= –3, А22=5, А23= –1, А31= –5, А32=7, А33= –3

Для матрицы (4) для каждой строки (и столбца) проделаем: составим сумму попарных произведений ее (его) элементов на их алгебраические дополнения. Например, для второго столбца : hello_html_m49dfbad3.gif. Взяв любой другой столбец (или строку), получим то же самое число (для данной матрицы (– 4) ). Это общее свойство всех квадратных матриц − результат таких вычислений не зависит от того, какую строчку или столбец матрицы мы выбрали. Поэтому корректно следующее определение.

Оhello_html_mf0a824c.gifпределителем квадратной матрицы (любого порядка!) называется число, равное сумме попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Поэтому для матрицы (4) по определению: D = hello_html_4b0febb5.gif.

Для вычисления определителей матриц более высокого (чем третьего) порядка упрощенной схемы нет, поэтому используется только метод, данный в определении: выбирается строка или столбец матрицы и вычисляется сумма попарных произведений соответствующих элементов матрицы на их алгебраические дополнения. При этом вычисление алгебраических дополнений – самый трудоёмкий этап. Но поскольку строку (или столбец) можно выбирать произвольно (результат от этого не зависит), то проще выбрать ту, среди элементов которой как можно больше нулевых. При этом алгебраические дополнения нулевых элементов можно не считать, так как при составлении упомянутой выше суммы попарных произведений соответствующие слагаемые все равно обратятся в ноль.

Пример. Вычислить определитель 4-го порядка: hello_html_m413ac32.gif .

Решение. Самое большое количество нулей в любой из строк или столбцов равно 2. Поэтому для вычисления определителя выбираем любую строку или столбец с двумя нулями. Выберем, например, первый столбец (при этом говорят, что определитель будет разлагаться по первому столбцу):

hello_html_3b222d7e.gif.

Появившиеся два определителя 3-го порядка можно считать по приведенной выше упрощенной схеме.

Если среди элементов матрицы нулей мало (или нет вовсе), то можно специальными действиями привести определитель к такому виду, у которого есть строка (или столбец), в которой отличен от нуля только один элемент. После этого определитель легко вычисляется разложением по этой строке (столбцу). Привести определитель к такому виду помогают свойства определителей, рассмотренные ниже.

Свойства определителей

1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

2. Если какие-либо две строки (два столбца) определителя равны или пропорциональны (т.е. элементы одной строки (столбца) получаются умножением элементов другой строки (столбца) на одно и то же число), то определитель равен нулю.

3. Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак.

4. Общий множитель элементов любой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Как сказано выше, с помощью этих свойств можно привести определитель к такому виду, у которого есть строка (или столбец), в которой отличен от нуля только один элемент. Для приведения определителя к такому виду необходимо:

  1. Вынести общие множители (если таковые имеются) из строк или столбцов за знак определителя (свойство 4.) . Это позволяет уменьшить элементы определителя (что облегчает его дальнейшее вычисление), а также, возможно, получить элементы, равные 1 или (−1), что поможет выполнению следующего пункта.

  2. Выбрать строку (или столбец), в которой есть элемент 1 или (−1) (если такие строки или столбцы есть) и с помощью этого элемента (и последнего свойства определителей) обнулять остальные элементы выбранной строки или столбца.

Иллюстрирует сказанное следующий пример

Пример. hello_html_m4811f618.gif = {вынесем 2 из второй строки (свойство 4)} =
2hello_html_m3bbc217c.gif= {С помощью элемента а22=1 и свойства 5 обнуляем все элементы второй строки, кроме самого а22=1. Для этого а) прибавляем к 1-му столбцу 2-ой, умноженный поэлементно на (−5); б) прибавляем к 3-му столбцу 2-ой, умноженный на (−1); в) прибавляем к 4-му столбцу 2-ой, умноженный на (−3)} = 2hello_html_4a792c05.gif = {раскладываем определитель по второй строке} =2∙1∙(−1)2+2hello_html_m5abc3df3.gif = {для облегчения вычисления определителя 3-го порядка выносим (−1) из первых двух столбцов, а из третьего (−2) }= −4hello_html_2b1706a.gif = {вычисляем определитель третьего порядка по упрощенной схеме}=440




Домашнее задание


  1. Л3, стр. 105-108 (Пехлецкий И.Д.)

  2. Л4, стр. 71-81, № 35; 39 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)


35. Вычислить определитель

hello_html_m6cc9e4d2.gif

39. Вычислить определитель

hello_html_37bc4a4e.gif


Занятие №3

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы, определители

Обратная матрица.

Вспомним свойства определителей, и как с их помощью можно вычислять определители

Задание №12.  Вычислить определитель hello_html_1663c7f0.png приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент hello_html_78b5a110.png будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

hello_html_7395e7c2.png

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента hello_html_78b5a110.png , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

hello_html_61f1b648.png

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен hello_html_m5c41ed6c.png , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

hello_html_19fc26f7.png

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

hello_html_m2f22859e.png

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

hello_html_77e60265.png

hello_html_m561bed51.png

Ответ. hello_html_36721525.png

hello_html_m54b289c2.gif

Обратная матрица

    Рассмотрим обычное простейшее уравнение 2х=4. Известно, что для его решения необходимо разделить обе части этого уравнения на 2. Деление на 2 можно представить как умножение на число hello_html_50989f9.gif, которое, в свою очередь, может быть записано как hello_html_5ac76505.gif: hello_html_m4901c9e7.gif . Число hello_html_me4c5099.gif называется числом, обратным к числу 2, поскольку в произведении эти числа дают 1. В общем случае уравнение hello_html_813d73d.gif решается умножением обеих частей уравнения на число hello_html_701e63f7.gif (если hello_html_508f51a5.gif), которое называется обратным к числу hello_html_m734afb91.gif и определяется как число, дающее в произведении с hello_html_m734afb91.gif число 1: hello_html_m500b8bb4.gif. Таким образом, hello_html_464835b3.gif Напомним, что обратное число hello_html_3b342425.gif существует для всех чисел hello_html_m734afb91.gif, кроме hello_html_m4b1075ec.gif Сейчас мы по аналогии с обратным числом введем понятие обратной матрицы, которое нам поможет решать уже не одно уравнение, а целые системы уравнений определенного вида.

Матрица hello_html_m63aa4fa9.gif называется обратной матрицей для квадратной матрицы hello_html_718f0f76.gif, если hello_html_5ebbe396.gif.    Отметим, что в этом определении обратной матрицы недостаточно требовать, чтобы произведение матриц A и B в каком-либо одном порядке   давало единичную матрицу, так как для матриц нет гарантии, что произведение этих матриц в другом порядке тоже даст единичную матрицу (в общем случае, как мы уже убеждались, hello_html_12cdfce9.gif   ).

Из определения следует, что обратная матрица B будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица A (иначе, как легко убедиться, одно из произведений hello_html_m7b87a983.gifили hello_html_690290bf.gifбыло бы не определено). Обратная матрица для любой матрицы A единственна (если существует) и обозначается hello_html_5e76fb56.gif по аналогии с обратными числами. Таким образом, если hello_html_5e76fb56.gif есть матрица, обратная к матрице A , то выполняется:

hello_html_m3a178a70.gif.

Для всех ли обратных матриц существуют обратные? Как было сказано раньше, даже не для всех чисел существует обратное: для числа 0 обратного нет. Похожая ситуация наблюдается и с матрицами. Матрица называется вырожденной, если ее определитель = 0 и для такой матрицы обратной не существует. Справедлива следующая теорема:

Теорема. Обратная матрица для квадратной матрицы A вида (2) существует тогда и только тогда, когда матрица  A невырожденная. В этом случае обратная матрица единственна и представляется в виде

(5) hello_html_m5bee44f3.gif,

где hello_html_m383b0293.gif− алгебраические дополнения элементов hello_html_3787fd83.gif исходной матрицы.

Формула (5) обосновывает следующий алгоритм вычисления обратной матрицы (на примере матрицы размера 3х3) для матрицы

А = hello_html_m2f325c63.gif.

1. Вычисляем определитель матрицы   D=hello_html_2589b0ab.gif  . 

2.   Вычисляем алгебраические дополнения всех ее элементов hello_html_m3e456361.gif.

3. Составляем так называемую «союзную» матрицу, заменяя элементы исходной матрицы их алгебраическими дополнениями и транспонируя получившуюся матрицу:

hello_html_m7a9fc78a.gif

4. Составляем обратную: hello_html_1c88473a.gif

Пример. Найти обратную для матрицы hello_html_3e4105ad.gifhello_html_86ba96f.gif.

Решение. Воспользуемся тем, что ранее для этой матрицы уже были вычислены определитель и алгебраические дополнения всех элементов. Поэтому результаты первых двух пунктов приведенной выше схемы уже есть.

1.   D=hello_html_m5eedb27b.gif  . 

2.  А11=7, А12= –13, А13=5, А21= –3, А22=5, А23= –1, А31= –5, А32=7, А33= –3 .

3. «Союзная» матрица : hello_html_m5aaa1d6c.gif

4. Составляем обратную: hello_html_m11723115.gif

Ответ: hello_html_m65e75991.gif.

Можно было произвести умножение числа hello_html_666dc37.gif на матрицу и получить обратную матрицу в обычном матричном виде hello_html_m4e35be59.gif. При этом матрица уже не выглядит столь компактно, да и дальнейшие действия с ней (например, при решении систем линейных уравнений) производить уже не столь удобно. Поэтому обычно обратную матрицу оставляют в том виде, в котором она дана в Ответе.

!!! Наиболее просто искать по приведенной схеме обратную матрицу для матриц второго порядка. Пусть дана в общем виде матрица второго порядка
hello_html_13c2b0a9.gif. Построим обратную матрицу по приведенной выше схеме.

1. D=hello_html_47c59417.gif  . 

2. hello_html_63bfa36f.gif, hello_html_m1ef18a9b.gif, hello_html_m66c70a25.gif, hello_html_7f19113f.gif .

3. hello_html_m3763f2a7.gif.

4. hello_html_70ed9174.gif.

Таким образом, обратная для матрицы второго порядка hello_html_13c2b0a9.gifимеет вид:

(5а) hello_html_630f42c8.gif , где hello_html_7559c570.gif .

Пример. Найти для матрицы hello_html_m119972c7.gif обратную матрицу.

Решение. Определитель hello_html_m305b5c90.gif. По формуле (5а)

(5б) hello_html_m150b3267.gif.

Пример. Определить, имеет ли данная матрица обратную, найти обратную матрицу к данной, если это возможно

hello_html_m420dbcd6.gif.


Решение:

Вычисляем определитель матрицы:

hello_html_m4ac8571e.gif.


|A| 0 матрица имеет обратную ей матрицу. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:


hello_html_48ca96e1.gif


Таким образом: hello_html_m6e3b0a95.gif.


Ответ: hello_html_573106bb.gif.

Пример.

Решите уравнение.hello_html_1ecefdef.png.

hello_html_m588de1ff.png.

(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

(x-4)(x-1)=0.

xhello_html_57c415f5.gif1 = 4, x2 = 1.

Домашнее задание


  1. Л3, стр. 105-108 (Пехлецкий И.Д.)

  2. Л4, стр. 71-81, № 56; 58 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)


56. Найти матрицу, обратную к заданной

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_50163390.gif


58. Найти матрицу, обратную к заданной

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_7d821371.gif



20


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 14.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров576
Номер материала ДВ-451605
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх