Конспект открытого урока "Векторы в пространстве"

Министерство образования Красноярского края

краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное   учреждение

«Зеленогорский техникум промышленных технологий и сервиса»

Разработка открытого урока

Дисциплина Математика

Векторы в пространстве

г. Зеленогорск 2017 г.

             Конспект открытого урока по  дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» разработан на основе примерной программы среднего  (полного) общего образования и Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС)

Организация-разработчик:

краевое государственное бюджетное образовательное профессиональное учреждение «Зеленогорский техникум промышленных технологий и сервиса»

г. Зеленогорск.

Разработчик:

Сытина Светлана Ивановна, преподаватель КГБПОУ «Зеленогорский техникум промышленных технологий и сервиса».

«Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.»

Коши О.Л.

Цель: Формирование понятия вектора в пространстве

Тип урока: Урок получения новых знаний

Задачи:

Образовательная:  Формирование  понятие вектора в пространстве и связанные с ним понятия.

Развивающая: Развитие  пространственного воображения и логического мышления, внимательности.

Воспитательная: Воспитание интереса к предмету и потребности  в приобретении знаний, аккуратности при выполнении чертежей

Методы обучения: Эвристическая беседа,  объяснительно иллюстративный,  репродуктивный.

Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная, индивидуальная

Оборудование урока :

1.     Компьтер

2.     Проектор

3.     Слайды урока

4.     Карточки с заданием

План урока

1.     Организационный момент                                          4 мин

2.     Актуализация                                                               6 мин

3.     Изучение нового материал                                         20 мин

4.     Закрепление, расширение восприятия                       8 мин

5.     Итог урока, задание                                                      5мин

Актуализация

Вступительное слово учителя:

  Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер.

При изучении электрических и магнитных полей в пространстве появляются новые физические величины векторного характера: вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции. (Слайд № 3, № 4)

Впервые понятие вектора появилось в работах  19 века  ирландского математика У. Гамильтона и немецкого математика Г. Грассмана и; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. (Слайд №5) Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. (Слайд №6)

 Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.

Изучение нового материала

1) На каждую парту раздаются чистые листы. На задание отводится три минуты. Учащиеся работают в парах.

Задание 1.Записать на листе бумаги все термины по теме “Векторы на плоскости”.

По истечении времени учащиеся отвечают на поставленный вопрос, дополняя друг друга. (Слайд № 8 )

2) Объяснение нового материала ведется в виде диалога. Учитель задает вопросы по теме, а ученики отвечают. Диалог сопровождается презентацией, каждый слайд которой содержит иллюстрации и определения по данной теме.

Слайд № 9.  Понятие вектор

Слайд № 10.   Задание 2  Назовите векторы

Слайд № 11. Длина ненулевого вектора

Слайд  № 12. Работа в парах. Тетраэдр. Найти длины векторов

Слайд № 14. Определение коллинеарности векторов

Слайд № 15. Сонаправленные и противоположно направленные векторы

Слайд № 16. Задание 4. Работа в парах. На рисунке найти сонаправленные и противоположно направленные векторы

Слайд № 18. Равные векторы

Слайд № 19. Теорема о равных векторах

Слайд № 20. Задание 5. Постройте пары сонаправленных и противоположно направленных векторов, определите равные векторы

Слайды № 22, 23. Сумма векторов

Слайд № 24. Законы для суммы векторов

Слайд № 25, 26. Разность векторов

Слайды № 28- 32. Самостоятельная работа

Определение 1. Вектор– направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.

На рисунках направление вектора обозначается стрелкой от начала к концу. Если длина рассматриваемого отрезка равна нулю, то есть отрезок вырождается в точку, то эта точка тоже может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым и имеет произвольное направление.

Задание 2. Назовите векторы. Слайд № 10

(Ответ: На рисунке  изображены ненулевые векторы и  и нулевой вектор   . Нулевой вектор иногда обозначается символом .)  

Определение 2. Длиной (модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка AB. Она обозначается как  Длина нулевого вектора равна нулю:  

Задание 3. ( Работа в парах). В тетраэдре DABC точки M,N,K – середины рёбер AC, BC, CD. АВ=3см, ВС=4см, BD=5см.  Найти длины векторов а) АВ, ВС, BD, NM, BN, NK, б) СВ, ВА, DB, NC, KN.   Слайд №12

Ответ: А) Длина вектора АВ равна 3 см, длина вектора ВС равна 4 см, длина вектора ВD равна 5 см, длина вектора NM равна 1,5 см, длина вектора BN равна 2 см, длина вектора NK равна 2,5 см,

Б) Длина вектора СВ равна 4 см, длина вектора ВА равна 3 см, длина вектора DВ равна 5 см,  длина вектора NС равна  2 см, длина вектора КN равна 2,5 см.

Определение 3. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.

Определение 4.  Если два ненулевых вектора и   коллинеарны, а лучи AB и CD сонаправлены, то векторы и называются сонаправленными. Этот факт обозначается так: . Если же эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и     называются противонаправленными. Этот факт обозначается так:  

Определение 5. Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены.

Задание 4: (Работа в парах). Найдите  пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.  Слайд № 16

 (Ответ: ).

Определение 6. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

На чертеже это векторы  и   так как  и

   ,  .

Теорема. От  любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и при том только один.

Задание 5:  Постройте пары сонаправленных,  противоположно направленных векторов, определите равные векторы.  Слайд № 19 

(Ответ : 1) ,

2)  ,

    

Определение 7.

Суммой двух векторов  и   называется новый вектор  который обозначается .

Для любых векторов ,  справедливы равенства:

·      +  = +  (переместительный закон);

·          (сочетательный закон).

Определение 8. Разностью векторов   и  называется такой вектор , сумма которого с вектором  равна вектору   Обозначается разность векторов так:  ,где   – вектор, противоположный вектору   .

Задания на закрепление  нового материала, расширение восприятия:

Сообщение: Использование векторов в физике, технике.

Самостоятельная работа

1.    Сформулируйте понятие вектора в пространстве.

2.    Задача 1: Решение задач по готовым чертежам.

 Изобразите параллелепипед.  Слайд № 28

а) Укажите векторы, сонаправленные с

.

(

б) Векторов, противоположно направленных  нет.)

3.  Задача 2: Дан прямоугольный параллелепипед.

1) Постройте вектор с началом в точке  D₁ , равный вектору ;

2) Постройте два вектора с началом и концом в вершинах куба, коллинеарные с вектором  , но не равные ему.

(Ответ: 1)

 2)   ,   )

6.     Итог урок и домашнее задание

А) Изобразить чертеж  параллелепипеда и построить  равные и противоположно направленные векторы.

Б) Учащимся дается четыре минуты для  ответов на вопросы по изученному материалу. Карточки с вопросами  раздаются каждому ученику. Проверка с помощью слайда № .

1) Фамилия математика, в работе которого впервые появилось понятие вектора. 
2) Как называется отрезок, для которого указано начало и конец?
3) Название двух ненулевых векторов, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых. 
4) Математик, который ввел современное обозначение вектора.
5) Чему равна длина вектора АВ?
6) Чем характеризуется в каждой точке пространства магнитное поле?
7) Как называются два вектора, если они сонаправлены и их длины равны?

(Ответ:1) Грассман, 2) Вектор, 3) Коллинеарные, 4) Коши

5) Модуль, 6) Вектор, 7) Равные.

Список литературы:

1.           “Геометрия 10-11” Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2013.

2.           Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э 68 А.. П. Савин.- М. Педагогика, 1985.

3.           Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.