Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект плана повторительно-обобщающего урока по геометрии на тему "Решение задач" (8 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект плана повторительно-обобщающего урока по геометрии на тему "Решение задач" (8 класс)

библиотека
материалов

hello_html_176ccd62.gifhello_html_4b1998c6.gifhello_html_176ccd62.gifhello_html_m2343f74d.gifhello_html_78d2228a.gifhello_html_m4cb0a542.gifhello_html_4b1998c6.gifПовторительно-обобщающий урок по геометрии в 8 классе

по теме «Решение задач»

Фадеева Лариса Анатольевна

преподаватель математики

ГАПОУ ИО «ИТК»

УКП №4, ОИК-8 г. Саянск Иркутской области

Тема: Решение задач (итоговое повторение)

Цель: Систематизировать знания о медиане треугольника.

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент


Предлагаю решить задачу: В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длинной 4 см. проведена медиана к боковой стороне. Найти длину основания треугольника, если длина медианы равна 3 см.

Выполняют построение чертежа

В

2



D

3 2



А С


Вспомним, что называется медианой треугольника?

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Какой вывод можно сделать?

hello_html_36be8d0b.gif

Посмотрите внимательно на рисунок к задаче, заметим, что АС является стороной двух треугольников АВС и ADC, причем в обоих треугольниках известны две другие стороны. Каким образом можно найти третью сторону?

Третью сторону можно найти по теореме косинусов, но для этого нужно знать величину угла, противолежащего неизвестной стороне.

Таким образом, задача свелась к нахождению величин углов АВС и ADC. Какой из углов можно найти?

Анализируя рисунок, замечаем, что в треугольнике АВD известны все три стороны. Следовательно, hello_html_m16be05db.gifможно вычислить по теореме косинусов из треугольника АВD:

hello_html_m196a0b52.gif

hello_html_m42b7a19a.gif

Из hello_html_m3b62752a.gif hello_html_7762b046.gif

hello_html_m227fdb0e.gif

hello_html_58cbe243.gifне удовлетворяет условию задачи, hello_html_m74cd5605.gif.

А теперь попробуем решить задачу другим способом, применив свойство медианы треугольника заключающегося в том, что медиана делит треугольник на два равновеликих.


Убедите нас в равенстве площадей треугольников АDB и АDC!

Медиана делит треугольник на два равновеликих. У них равные основания и одна и та же высота. По этому площади этих треугольников равны.

Приглашаю к доске ученика, подготовившего второй способ решения.

Раз мы заговорили о площади треугольника, обратите внимание на то, что в треугольнике ADB известны все три стороны.

Следовательно, площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона. Значит, станет известна площадь и треугольника ADC.

hello_html_mba631eb.gifhello_html_1db3795f.gif

hello_html_1b022ba0.gif

hello_html_425669c8.gif

hello_html_6ce06197.gifhello_html_11852162.gifПусть hello_html_25246455.gifтогда hello_html_m273665df.gif

hello_html_m5604a36c.gif



hello_html_f8aa62e.gif

hello_html_11cbba3c.gif

составляем уравнение:hello_html_28026294.gif


Получили иррациональное уравнение. Чтобы его решить возведем обе части уравнения в квадрат и сделаем проверку корней. Так как при возведении обеих частей уравнения в квадрат, могут появиться лишние корни.


hello_html_m22b44591.gif

hello_html_m10637ac9.gif

получили биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: hello_html_52b79347.gif

hello_html_16b7b38e.gif

hello_html_672e3f62.gif

hello_html_8766cc9.gif

возвращаемся в нашу подстановку:

hello_html_m6ee8e0c.gif

hello_html_315ab840.gif

Сделаем проверку корней. Отрицательные корни, очевидно, не подходят по смыслу задачи.

При hello_html_3936b13a.gifсм. треугольник АВС получается равносторонним, следовательно, медиана АD является высотой. Значит треугольник ADC – прямоугольный. Применяя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC, получаем, что hello_html_27bdd718.gif, что противоречит условию. Следовательно, hello_html_m56dd7534.gif.

Это противоречие можно доказать, используя формулу высоты в равностороннем треугольнике hello_html_m3bcc4b61.gif


Какой вывод можно сделать, сравнивая эти способы решения?

Они примерно равнозначны, но во втором способе вычисления оказались намного сложнее и, кроме того, пришлось проверять, почему hello_html_3936b13a.gif см. не удовлетворяет условию задачи.

Сформулируйте условие аналогичной задачи для равностороннего треугольника

так как стороны треугольника равны, следовательно, достаточно указать длину медианы.

Задача: В равностороннем треугольнике проведена медиана к одной из сторон. Найдите стороны треугольника, если длина медианы равна 3 см.


Предлагаю решить вам задачу в общем виде: Найти стороны треугольника, если длина медианы равна m . Найти периметр треугольника, площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружностей.


Где находится центр вписанной в треугольник окружности?

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис.

Где находится центр описанной около треугольника окружности?

Центр описанной – на пересечении его серединных перпендикуляров.

Что можно сказать о положении этих двух центров?

В нашем случае эти два центра совпадают.

В каком отношении пересекаются медианы в треугольнике?

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1считая от вершины.

Приглашаю ученика, подготовившего решение этой задачи.

Так как медиана в равностороннем треугольнике является высотой, а высота находится по формуле hello_html_251c97fe.gif, то hello_html_44a284a8.gif;

Так как площадь равностороннего треугольника находится по формуле hello_html_m6516f3d8.gif, тоhello_html_345e3a0c.gif;

hello_html_64059411.gif;hello_html_3d0742bb.gif; hello_html_3c9fe277.gif

Предлагаю решить вам первоначальную задачу, используя определение средней линии треугольника.

Что называется средней линией треугольника?

Это отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника.

Если провести все три средние линии треугольника, то можно решить задачу, используя свойство диагоналей и сторон параллелограмма.

Попробуем?






В

2



M D

3 2



А N С


Докажите, что четырехугольник AMDN – параллелограмм.


hello_html_10257ee1.gif(по свойству средней линии треугольника). Четырехугольник, в котором противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом.

Какая формула связывает диагонали и стороны параллелограмма?

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

hello_html_2dfa1dbf.gif

Пусть hello_html_5d9929b9.gif, тогда hello_html_2f8a5a2e.gif

Составляем уравнение: hello_html_7dda627.gif

hello_html_mc6f88d5.gif

hello_html_m351949b6.gif

hello_html_72c50161.gif

hello_html_132d9c14.gifне удовлетворяет условию задачи.

hello_html_meaac07d.gif

Подведем итог.

Что мы вспомнили при решении нашей задачи?

Определение и свойства медиан треугольника.

Определение и свойства средней линии треугольника.

Где находятся центр вписанной в треугольник окружности и описанной около треугольника окружности.

Что задачу можно решить путем дополнительных построений внутри треугольника.

Формулу Герона.

Формулу, связывающую стороны и диагонали параллелограмма.

Способы решения этой задачи мы определили не все. Еще можно решить эту задачу, используя теорему Фалеса.

Используя внешние дополнительные построения можно решить эту задачу в одну строчку. Этот способ самый рациональный, более интересный, оригинальный. В этом вы убедитесь на следующем уроке.








Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

На уроке рассматриваются несколько способов решения одной задачи. В ходе урока учащиеся систематизируют сведения о медиане треугольника. Благодаря такой работе у ученика снимается психологический барьер перед поиском решения задач. Зная, что задача может быть решена разными способами, он смелее будет браться за ее решение. Подробный разбор способов решения задач освежает в памяти пройденный материал. При такой работе над задачей формируется логическое мышление учащихся, развивается интуиция, систематизируются знания, накапливается полезный опыт. Учащиеся овладевают основными методами решения задач, учатся рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задач, а так же использовать известные приемы познавательной деятельности: наблюдения, сравнения, обобщения и т.д.


Все перечисленное создает условие для формирования навыков исследовательской учебной деятельности, способствует накоплению творческого потенциала ученика.

Автор
Дата добавления 05.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров236
Номер материала ДВ-307492
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх