Деятельность
учителя
|
Деятельность
учащихся
|
Орг.
момент
|
|
Предлагаю решить задачу: В
равнобедренном треугольнике с боковой стороной длинной 4 см. проведена
медиана к боковой стороне. Найти длину основания треугольника, если длина
медианы равна 3 см.
|
Выполняют
построение чертежа
В
2
D
3
2
А С
|
Вспомним, что называется медианой
треугольника?
|
Медианой треугольника называется
отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
|
Какой вывод можно сделать?
|
|
Посмотрите внимательно на рисунок к
задаче, заметим, что АС является стороной двух треугольников АВС и ADC, причем
в обоих треугольниках известны две другие стороны. Каким образом можно найти
третью сторону?
|
Третью сторону можно найти по теореме
косинусов, но для этого нужно знать величину угла, противолежащего
неизвестной стороне.
|
Таким образом, задача свелась к
нахождению величин углов АВС и ADC. Какой из углов можно найти?
|
Анализируя рисунок, замечаем, что в
треугольнике АВD
известны все три стороны. Следовательно, можно вычислить по теореме косинусов из
треугольника АВD:
Из
не удовлетворяет
условию задачи, .
|
А теперь попробуем решить задачу
другим способом, применив свойство медианы треугольника заключающегося в
том, что медиана делит треугольник на два равновеликих.
|
|
Убедите нас в равенстве площадей
треугольников АDB и АDC!
|
Медиана делит треугольник на два
равновеликих. У них равные основания и одна и та же высота. По этому площади
этих треугольников равны.
|
Приглашаю к
доске ученика, подготовившего второй способ решения.
Раз мы заговорили
о площади треугольника, обратите внимание на то, что в треугольнике ADB
известны все три стороны.
|
Следовательно, площадь треугольника
можно вычислить по формуле Герона. Значит, станет известна площадь и
треугольника ADC.
Пусть тогда
составляем уравнение:
|
Получили иррациональное уравнение. Чтобы
его решить возведем обе части уравнения в квадрат и сделаем проверку корней.
Так как при возведении обеих частей уравнения в квадрат, могут появиться
лишние корни.
|
получили биквадратное уравнение. Сделаем
замену переменной:
возвращаемся в нашу подстановку:
|
Сделаем проверку корней. Отрицательные
корни, очевидно, не подходят по смыслу задачи.
При см. треугольник АВС получается
равносторонним, следовательно, медиана АD является высотой. Значит
треугольник ADC –
прямоугольный. Применяя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC,
получаем, что , что противоречит условию.
Следовательно, .
Это противоречие можно доказать,
используя формулу высоты в равностороннем треугольнике
|
|
Какой вывод можно сделать, сравнивая эти
способы решения?
|
Они примерно равнозначны, но во втором
способе вычисления оказались намного сложнее и, кроме того, пришлось
проверять, почему см. не удовлетворяет условию задачи.
|
Сформулируйте условие аналогичной задачи
для равностороннего треугольника
|
так как стороны треугольника равны,
следовательно, достаточно указать длину медианы.
Задача: В равностороннем треугольнике
проведена медиана к одной из сторон. Найдите стороны треугольника, если длина
медианы равна 3 см.
|
Предлагаю решить вам задачу в общем
виде:
Найти стороны треугольника, если длина медианы равна m . Найти
периметр треугольника, площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной
окружностей.
|
|
Где находится центр вписанной в
треугольник окружности?
|
Центр вписанной в треугольник окружности
лежит на пересечении его биссектрис.
|
Где находится центр описанной около
треугольника окружности?
|
Центр описанной – на пересечении его
серединных перпендикуляров.
|
Что можно сказать о положении этих двух
центров?
|
В нашем случае эти два центра совпадают.
|
В каком отношении пересекаются медианы в
треугольнике?
|
Медианы в треугольнике пересекаются в
одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1считая от вершины.
|
Приглашаю ученика, подготовившего
решение этой задачи.
|
Так как медиана в равностороннем
треугольнике является высотой, а высота находится по формуле , то ;
Так как площадь равностороннего
треугольника находится по формуле , то;
;;
|
Предлагаю решить
вам первоначальную задачу, используя определение средней линии
треугольника.
Что называется
средней линией треугольника?
|
Это отрезок, соединяющий середины
боковых сторон треугольника.
|
Если провести
все три средние линии треугольника, то можно решить задачу, используя
свойство диагоналей и сторон параллелограмма.
Попробуем?
|
В
2
M
D
3
2
А N С
|
Докажите, что
четырехугольник AMDN –
параллелограмм.
|
(по свойству средней линии треугольника).
Четырехугольник, в котором противолежащие стороны равны и параллельны,
является параллелограммом.
|
Какая формула связывает диагонали и
стороны параллелограмма?
|
Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Пусть , тогда
Составляем уравнение:
не удовлетворяет
условию задачи.
|
Подведем итог.
Что мы вспомнили
при решении нашей задачи?
|
Определение и свойства медиан
треугольника.
Определение и свойства средней линии
треугольника.
Где находятся центр вписанной в
треугольник окружности и описанной около треугольника окружности.
Что задачу можно решить путем
дополнительных построений внутри треугольника.
Формулу Герона.
Формулу, связывающую стороны и диагонали
параллелограмма.
|
Способы решения
этой задачи мы определили не все. Еще можно решить эту задачу, используя
теорему Фалеса.
Используя
внешние дополнительные построения можно решить эту задачу в одну строчку. Этот
способ самый рациональный, более интересный, оригинальный. В этом вы
убедитесь на следующем уроке.
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.