Конспект по математике на тему "Делимость натуральных чисел"

Делимость натуральных чисел.

Делители и кратные.

         Для украшения праздничного зала приобрели 45 гвоздик, из которых были сделаны одинаковые по числу цветов букеты.

         Рассуждая о возможном числе букетов, получим, например, 9 букетов по 5 гвоздик в каждом, т. к. 45:9=5. Если одно натуральное число нацело делится на другое натуральное число, то первое число называют кратным второму числу, а второе число называют делителем первого числа. Значит, число 45 является кратным числу 9, а число 9 является делителем числа 45. Рассуждая дальше: 8 букетов, например, не получится, т. к. 45 на 8 нацело не делится, значит, 8 не является делителем числа 45, или число 45 не является кратным числу 8.

         Делителем натурального числа a называют число, на которое a делится без остатка.

Также определение делителя можно сформулировать так: пусть m и n — натуральные числа, тогда m — делитель числа n, если существует такое натуральное число k, что n=m⋅k.       

         Например, 5 — делитель числа 120, т. к. 120=5⋅24.

Число 15 имеет четыре делителя: 1, 3, 5, 15 — т. к. на каждое из них делится без остатка.

 Число 1 является делителем любого натурального числа.

         Кратным натуральному числу a называют число, которое делится без остатка на a. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

         Пример: первые пять чисел, кратных 9, такие: 9, 18, 27, 36, 45.

Делимость произведения, суммы и разности чисел

         Рассмотрим произведение чисел 24⋅73=1752. Один из множителей в этом произведении делится на 3, т. е. 24:3. Можно убедиться, что и всё произведение делится на 3, т. е. 1752:3=584.

         В произведении 25⋅58=1450 множитель 25 делится на 5. Также можно сделать вывод, что всё произведение делится на 5, т. е. 1450:5=290.

         Итак, признак делимости произведения: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Значит, если a делится на некоторое число с, то и ab также делится на это число с.

         Пример: рассмотрим сумму чисел 12 и 21, т. е. (12+21). В этой сумме каждое из слагаемых делится на 3. Проверяя делимость суммы на 3, получим, что сумма 33 тоже делится на 3.

         Итак, признаки делимости суммы и разности чисел.

 Свойство 1

         Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число, т. е., если a делится на b и c делится на b, то (a+c) делится на b.

Свойство 2

         Если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое слагаемое не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число, т. е.,

если a делится на b, а c не делится на b, то (a+c) не делится на b.

         Пример:12 делится на 3, а 22 не делится на 3, следовательно, (12+22) не делится на 3.

Свойство 3

         Если одно слагаемое делится на некоторое число и сумма делится на это же число, то другое слагаемое тоже делится на это число, т. е., если a делится на b и (a+c) делится на b, то c делится на b.

         Пример:12 делится на 3, и (12+21) делится на 3, следовательно, 21 делится на 3.

Свойство 4

         Если одно число делится на некоторое другое число, которое делится на третье число, то первое число делится на третье число, т. е.,

если a делится на c и c делится на b, то a делится на b.

         Пример: 48 делится на 12, и 12 делится на 3, следовательно, 48 делится на 3.

Свойство 5

         Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.

         Пример: разность (35−20) делится на 5, т. к. 35 делится на 5 и 20 делится на 5.