Конспект по математике "Задачи о вкладах" (6 класс)

Вкладом (депозитом) называется способ размещения денежных средств в банках (и других подобных учреждениях) для надежного сохранения этих средств и получения дохода от суммы вложения.( https://myfin.by/wiki/term/vklad-depozit)

Вклад – это результат соглашения (депозитного договора) между владельцем денег – вкладчиком и их хранителем – банком.

По такому соглашению банк принимает депозит и может распоряжаться вложенными средствами как собственными. За это владелец вклада получает от банка определенную, заранее оговоренную плату.

Вся сумма депозита остается собственностью вкладчика и должна быть возвращена либо немедленно, по желанию клиента, либо в другой срок, обозначенный в договоре.

Привлеченные во вклады средства банки используют для коммерческих операций, в том числе выдачи кредитов.

Вклады бывают:

·         Краткосрочные и долгосрочные;

·         В отечественной и зарубежной валюте;

·         С фиксированной или меняющейся процентной ставкой;

·         С ограничениями по снятию и пополнению и без таких ограничений;

·         Для физических лиц, для организаций;

·         Для бизнеса, для сбережения, для расчетов и др.

Задача №1. Вы открыли вклад-счёт в банке и положили на него сумму S0=600 рублей под простые проценты по ставке 20% в год. Какой будет сумма вклада через год? два года? три года? четыре года? n лет?

Решение. Сумма процентов за год равна  = (руб.).

Тогда S1 = 600+1×120 = 720 ( руб.) – сумма вклада через год;

S2 = 600+ 2×120 = 840 (руб.) – сумма вклада через два года;

S3 = 600+ 3×120 = 960 (руб.) – сумма вклада через три года;

S4 = 600+ 4×120 =1080 (руб.) – сумма вклада через четыре года;

...

Sn = 600+ n ×120 ( руб.) – сумма вклада через n лет.

Вопрос. Что можно сказать о последовательности сумм вкладов на счёте 600; 720; 840; 960; ...; 600+ n×120 ;...?

Ответ. Это арифметическая прогрессия с первым членом 600 и разностью 120.

Задача №2. Вы открыли вклад-счёт в банке и положили на него сумму S0 под простые проценты по ставке p% в год. Какой будет сумма вклада через год? два года? n лет? Как

изменяется сумма вклада?

Решение. Сумма процентов за год равна  .

Вывод: вклад S0 с ростом n растёт как арифметическая прогрессия с разностью .

Начисление простых процентов не очень справедливый способ расчёта с вкладчиком. Так, в задаче №1 если вкладчик не снимет через год деньги со счёта, то он окажется в невыгодном положении. Действительно, в конце первого года на его счёте будет находиться 720 тыс. рублей и банк весь год будет пользоваться этой суммой. Однако в конце второго года проценты начисляются только на первоначальные 600 тыс. рублей. Получается, что банк бесплатно (!) целый год пользовался 120 тыс. рублей. С ростом n эта несправедливость будет только возрастать. Рассмотрим другой способ расчёта банка с вкладчиком, который устраняет этот недостаток.

Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счёта сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять проценты уже на новую, увеличенную сумму. Такой способ начисления “процентов на проценты” называют сложными процентами, а операцию присоединения начисленных процентов к основному вкладу – капитализацией процентов.

Задача №3. Вы открыли вклад-счёт в банке и положили на него сумму S0=600  рублей под сложные проценты по ставке 20% в год. Какой будет сумма вклада через год? два года? три года? n лет?

Решение. Сумма процентов за первый год равна

Тогда

S1 = 600+ 600* 0,2 = 600(1+0,2) = 600*1,2= 720 (руб.) – сумма вклада через год;

S2 =720*1,2=600*1,2²=864(руб) – сумма вклада через два года;

S3 =600*1,2³=1036,8 ( руб.) – сумма вклада через три года;

...

Sn= 600*1,2 ⁿ ( руб.) – сумма вклада через n лет;

Вопрос. Что можно сказать о последовательности сумм вкладов на счёте 600;720;864; 1036,8; ...; ?

Ответ. Это геометрическая прогрессия с первым членом 600 и знаменателем 1,2.

Задача №4. Вы открыли вклад-счет в банке и положили на него сумму S0 под сложные проценты по ставке p% в год. Какой будет сумма вклада через год? два года? n лет? Как изменяется сумма вклада?

Решение. Сумма процентов за первый год равна

– сумма вклада через год;

По истечении второго года банк начислит p% уже на сумму S1 и поэтому она увеличится на . В конце второго года на счёте окажется сумма S2, причём

Очевидно, что через n лет сумма денег на счёте вкладчика достигнет величины

.

Задача №5. Банк «Магнат» принимает у населения вклады под 9 % годовых и начисляет простой процент. Банк «Капитал» принимает вклады у населения под 8,8% годовых и начисляет сложный процент. Вы хотите положить в банк 500 рублей. В каком банке Вы откроете счёт, если срок вклада составит 1 год? 2 года, при условии, что

деньги хранятся на счету весь срок?

Решение. Срок вклада – 1 год:

S_m=500*1.09=545( руб.)

S_k=500*1.088=544( руб.)

Срок вклада – 2 годa:

S_m=500+=590 ( руб.)

S_k=500*1.088²=591,87( руб.)

Ответ: на один год – в банке «Магнат»; на два года – в банке «Капитал».

Современные банки предлагают вклады на небольшие сроки: полгода, 3 месяца, месяц и 45 дней, производя капитализацию вкладов по несколько раз в год. Например, вклад сроком на один год под 20% годовых с поквартальной капитализацией означает, что начисление  процентов будет происходить четыре раза в год по 5%, причём начисляемые проценты будут присоединяться к основному вкладу.

Задача №6. Вы хотите открыть вклад-счет в банке на 1 год и положить на него сумму S0=600  рублей. В банке есть два вклада  под сложные проценты по ставке 11% годовых с поквартальной или ежемесячной капитализацией. Какой вклад выгоден для вас?

Решение.

Срок вклада – 1 год 11% годовых с поквартальной капитализацией: это значит, каждый квартал вам будет зачисляться 11%:14=.

1 квартал 616,50(руб)

2 квартал 633,45(руб)

3 квартал 650,87(руб)

4 квартал 668,77(руб)

Срок вклада – 1 год 11% годовых с ежемесячной капитализацией: это значит, каждый месяц вам будет зачислятся 11%:12=.

1 месяц 605,5(руб)

2 месяц 611,05(руб)

…

12 месяц 675,57(руб)

Сравниваем результаты и видим : 668,77 руб < 675,57руб, выгоднее вклад с ежемесячной капитализацией.

Ответ: вклад с ежемесячной капитализацией.