Конспект проекта "Геометрия и лист бумаги" (7 класс)

Секция: МАТЕМАТИКА

ГЕОМЕТРИЯ И ЛИСТ БУМАГИ

                                                      Сведения об авторах:

                             Павлова Н. А., МБОУ «Красноармейская СОШ»

                            Артемьева Ю. А, МБОУ «Красноармейская СОШ»

                                                       Руководитель:

                                                       Андреева Рена Валерьяновна,

                                                       учитель математики  МБОУ «Красноармейская СОШ»

Введение.  Актуальность геометрии бумажного листа. Для меня и моих одноклассников теоремы и некоторые задачи по  геометрии вызывают затруднения. Почему? Потому что не всегда удается представить наглядно,  увидеть и правильно построить чертеж. Доказательства некоторых теорем настолько сложные, что сначала приходилось вырезать модели фигур из бумаги, накладывать их друг на друга, сгибать, перегибать, чтобы понять доказательство теоремы или решение задачи. А когда учитель математики сказала, что теорему о сумме углов треугольника можно доказать перегнув всего три раза произвольной треугольник, то оказалось, что теорема – это очень просто! В процессе поиска подобных решений, я задумалась над проблемой использования приемов сгибания бумаги для решения геометрических занимательных задач.

Цель: использовать приемы работы с бумагой для решения геометрических занимательных задач.

Задачи:

1). Применить лист бумаги для доказательства теоремы о сумме углов треугольника и создать треугольники с углами 30⁰ и 45⁰.

2). Создать из листа Мёбиуса круги и бесконечность.

       3). Использование листа бумаги для практического построения бумажных фигур, оригами. 

Результаты  опроса: Какие действия с бумагой можно использовать в геометрии?

Диаграмма.

Гипотеза: Если бумага сгибается, режется, то эти свойства применяются в геометрии для решения задач и доказательства теорем, построения фигур из листа бумаги, оригами.

Листок бумаги…..

Сколько он несет в себе загадок и задач. Самое удивительное – рядом. Листок бумаги мы держим каждый день, не задумываясь, что один из предметов изучения по многим предметам. В своей работе мы  затронули геометрию и  лист бумаги. С интересными выводами и находками хотим познакомить вас в своей работе.

Докажем теорему о сумме углов треугольника с помощью бумажного треугольника. Для этого мы вырежем треугольник и обозначим углы 1,2,3. Согнём угол первый так, чтобы вершина этого угла лежала на противоположной стороне треугольника. Снова согнём другой угол так, чтобы вершина совпала с первой вершиной, затем согнём третий угол так, чтобы вершина совпала с первой вершиной. Мы видим, что получился развёрнутый угол, то сумма углов треугольника равна 180⁰. Что и требовалось доказать.

Строим из бумаги треугольники с углами 45⁰ и 30⁰.

Такие способы легче применить на практике, если нет транспортира!

 Берем обыкновенный лист бумаги, её сгибаем и получим  угол равный 45⁰.  

А теперь построим из листа бумаги угол, равный 30⁰. Снова возьмём другой лист бумаги и сгибаем его пополам. Затем, делаем второй сгиб. Мы загибаем угол листа таким образом, чтобы вершина прямоугольного треугольника совпала с линией первого сгиба. Вырежем и получим прямоугольный треугольник с углом в 30⁰ и катет, лежащий против угла в 30⁰ равен половине гипотенузы.

Удивительные свойства листа Мебиуса.

Лист Мебиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости  венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

 Эксперимент:

Смотрите, я беру бумажную ленту, разделяю по ширине пополам пунктирной линией. Я перекручивай ленту один раз и концы склеиваю. Получился знаменитый лист Мебиуса. А теперь я режу склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что у меня получится? Конечно, если бы я не перекрутил ленту, всё было бы просто, получилось бы два кольца. А что сейчас? Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее.

 Практическое задание:

Возьмите бумажные ленты, клей и ножницы. Приготовьте ленты Мебиуса и проведите эксперимент, который я вам рассказала

- Получим кольцо, перекрученное дважды. А затем разрежьте это кольцо по середине.

Вывод: Получим два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено.

 Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мебиуса.

Наибольший интерес вызвала старинная задача: «Трисекция угла. Разбить данный угол на 3 части». Более сотни лет назад была доказана невозможность решения каждой задачи с помощью циркуля и линейки: А с помощью листа решить можно!

Это решение было предложено Хисаси Абэ. Мы предлагаем взять лист бумаги и провести

построение руками.

Построение. Пусть угол задан двумя складками p и q, обозначим через A вершину угла.

Сначала проведём подготовительное построение, нам нужно:

1.Восстановить перпендикуляр l к gчерез А(правило 4)                                                                                                                     

2. отметить на ℓ произвольно точку B и восстановить срединный перпендикуляр q′ к отрезку AB (правило 2).

Теперь всё готово для главной складки:

Сложим лист так, чтобы A попала на q′, а B на p (правило 6). При этом образ A′ вершины A ляжет на первую трисектрису нашего угла, а точка C

на пересечении q′ с новой складкой будет лежать на второй. То есть лучи

AA′ и AC будут делить угол на три равные части

Выполнив эту часть работы, сделали выводы:

1.Очень много построений можно сделать с помощью перегиба листа.

2.Многие геометрические термины еще не знакомы, значит, при дальнейшим изучении геометрии обязательно вернемся к этой теме.

Фокус. Как пройти через лист бумаги… Для этого надо лист бумаги  согнуть посередине. Взять ножницы и резать теперь лист то с одной стороны, то с другой стороны, оставляя 1,5 см и 1 см и так до конца. Портом срежем верхнюю часть этого листа, а края оставим не срезая. Получим окружность и пройдём через лист бумаги. Вот так можно пройти через лист бумаги.

Оригами и листок бумаги. В проекте «Фигуры из бумаги» с интересом участвовали учащиеся 7аи 7б классов.

Пределу нашего удивления не было, когда мы узнали, что  на основе перегибания квадратного листка бумаги возникло искусство оригами - складывание фигурок из бумаги. Древнее искусство пришло из Китая, откуда Япония черпала духовные богатства. Квадрат выступает как оригинальный конструктор; его трансформируют бесконечно.
Самые первые листочки бумаги, сложенные в фигурки, появились сначала в монастырях. В японском языке "Бог" и "бумага" звучат одинаково. Поэтому, такие фигурки из бумаги имели символическое значение. Ими украшали храмы, они участвовали в религиозных церемониях, их помещали на жертвенный костер. История оригами сохранила нам первые бумажные фигурки — коробочки "санбо", куда японцы складывали кусочки овощей и рыбы для жертвоприношений. Это не было настоящим искусством. Это был просто лист бумаги, отмеченный именем бога и стоящий по тем временам немалых денег.

Наше внимание привлекли фигуры, которые можно составить только из одного листа бумаги. Все «перегибы »выполняются по правилам построений на листе бумаги. Навыки изготовления оригами у нас уже были. Но никогда изготовление фигур «оригами » мы не связывали с геометрией. Весь класс в течение 2-х недель буквально «заболел» изготовлением фигур. На занятиях математического кружка и факультатива, на уроках геометрии «Наглядная геометрия» мы учили друг друга строить фигуры из листа  бумаги. Мы познакомим с изготовлением шарика из цветной бумаги.

Выполнение шарика

Выставка оригами.

Вывод:

1.Листок бумаги хранит много открытий «Чем лучше развиты руки, тем лучше развит мозг»

2. Игру на разрезание можно и сейчас добавить в игротеку современного школьника: над многими фигурами можно думать много, а также составить свои фигуры и даже композиции.

3.Умение, выполнять построения с помощью «перегиба » листа нам наглядно поможет при изучении геометрии.

4.Выполняя фигурки-оригами, мы научились очень многим построениям, которые показали общее между геометрическими построениями  и построением забавных фигур.

Над проектом «Геометрия  и лист  бумаги» занимались 7а и 7б классы: нас сдружил данный вопрос.

5. Очень много построений можно сделать с помощью перегиба листа. Какой удивительный лист бумаги!

Заключение. Мы пришли к выводу, что наша гипотеза верна и в геометрии бумагу применяют, для того чтобы: писать, рисовать; резать; сгибать, но и все перечисленные свойства можно использовать при решении задач и доказательств теорем в геометрии. Рассмотренные нами задачи с листом бумаги обладают необычайной наглядностью и простотой решения. Задачи такого типа не просто увлекательны, наряду с игрой можно узнать много нового, познакомиться с замечательными свойствами различных геометрических фигур.

Литература:

1.Белим С.Н. «Задачи по геометрии, решаемые методами оригами»  Москва, издательство «Аким» 2008 г.

2. Шарыгин.И.Ф., Еранжиева Л.Н. «Наглядная геометрия»,Москва, Дрофа, 2012 г.

3. Интернет материалы сайтов http://www.etudes.ru, http://letopisi.ru/index....