План – конспект урока алгебры
в 11 М классе
по теме «Способы решения
иррациональных уравнений»
Цели:
- Образовательные: усвоить различные
способы решения иррациональных уравнений и научиться применять их в
соответствии с заданным уравнением.
- Развивающие: способствовать
формированию умений применять приёмы сравнения, обобщения, выделения
главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического
кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
- Воспитательные:
содействовать воспитанию интереса к математике, сознательного отношения к
учению, познавательной активности, мобильности, умения общаться, общей
культуры.
Тип
урока – урок изучения нового материала.
ПЛАН УРОКА:
- Организационный момент
- Подготовка к изучению нового материала
- Изучение нового материала
- Первичная проверка понимания
- Подведение итогов урока
- Домашнее задание
ХОД УРОКА
I.
Организационный момент
Подготовка
учащихся к работе на уроке.
II.
Подготовка к изучению нового материала
1. Формулирование
целей урока для определения действий школьников во время лекции.
2. Повторение.
а)
Определение иррационального уравнения
б)
Решение уравнений
·
уравнение равносильно
системе
·
уравнение
равносильно любой из систем
или
в)
Наиболее распространенный метод решения иррациональных уравнений –
последовательное возведение в степень.
3.
Решите уравнение
(Учащиеся
должны высказать разные предположения, и они затрудняются решить данное
уравнение, учитель предлагает оставить его и решить после изучения других
способов решения иррациональных уравнений)
III.
Изучение нового материала
Одним
из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются
иррациональные уравнения, так как отсутствуют общие алгоритмы их решения и
приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям, не равносильным
данным. Рассмотрим случаи, когда проще свести решение уравнения к решению
следствия и проверке. Следствия могут быть получены:
1.
Последовательным возведением исходного уравнения в степень.
2.
Заменой исходного уравнения системой уравнений.
3.
Умножением обеих части исходного уравнения на разность радикалов.
4.
Использованием монотонности функций в левой части уравнения.
5.
Использованием подстановок, сводящих исходное уравнение к
рациональному.
1. Пусть
дано уравнение .
Возведем
обе части уравнения в куб, воспользовавшись формулой
(a + b)3= a3 + b3 +
3ab(a + b).
Получим
уравнение
Заменим
сумму кубических корней величиной с и получим следствие последнего
уравнения: . Это уравнение
решается последовательным возведением в куб.
Пример:
Решите уравнение
Это
уравнение равносильно уравнению
Следствием
его является уравнение
Решение
- х = 80. Проверка показывает, что это число является
корнем данного уравнения.
2. Некоторые
уравнения удобно заменить системой уравнений.
Пример:
Решите уравнение
Возведение
в степень не дает результата. Тогда сделаем замену:
Заменим
данное уравнение системой Исключая из
первых двух уравнений переменную х, получим систему Решаем
эту систему методом подстановки, получимa1=0, a2=
-2, a3= 1, тогда х1=2, х2=10, х3=
12. Проверка показывает, что все найденные значениях есть корни
данного уравнения.
Этот
прием хорош в том случае, когда сумма или разность подкоренных выражений есть
константа.
3. Уравнения
вида , в котором разность
подкоренных выражений есть число, можно решать, умножив обе части уравнения на
разность радикалов.
Пример:
Решите уравнение
Умножив
обе части уравнения на разность корней, получим уравнение
Сложив
почленно эти уравнения, получим и х = .
Проверка показывает, что найденное число корень данного уравнения.
4. При
решении некоторых уравнений полезно воспользоваться тем, что функция
монотонна.
Пример:
Решите уравнение
В
левой части уравнения сумма возрастающих функций, а в правой — константа,
значит уравнение имеет не более одного корня. х = 1 — корень уравнения.
5.
Решить уравнение
Решение:
Обозначая Получим
Откуда t =
–3, t = 2.
Следовательно,
Согласно
проверке, x = 2 корень исходного уравнения.
IV.
Первичная проверка понимания
1.
Почему данные уравнения не имеют корней?
a)
б)
в)
г)
2.
Решите уравнения:
а)
б)
в)
V.
Подведение итогов урока
VI.
Домашнее задание на выбор:
1.
Решить уравнения:
2.
Пообобрать или придумать иррациональные уравнения, решаемые изученными приемами
3.
Индивидуальное задание для желающих: Найти
в пособиях по математике другие способы решения иррациональных уравнений.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.