Конспект урока «Конус. Основные понятия. Площадь поверхности конуса».

Тема урока: Конус. Основные понятия. Площадь поверхности конуса.

Цели урока: Образовательная: - ввести понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса; формировать умения решать задачи на нахождение элементов конуса.

Развивающая: Развитие грамотной математической речи, логического мышления.

Воспитательная: Воспитание познавательной активности, культуры общения, культуры диалога.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин).

2. Подготовительный этап (мотивация) (5 мин).

3. Изучение нового материала (15 мин).

4. Решение задач на нахождение элементов конуса (15 мин).

5. Подведение итогов урока (2 мин).

6. Задание на дом (2 мин).

Ход урока:

2 этап урока: Название: Подготовительный этап (мотивация).

Деятельность

учителя

ученика

Цель: знакомство с новым телом вращения. Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”. (Слайд 3)

Встречаются тела в форме конуса. Их можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой, так же в детских игрушках (пирамидка, хлопушка и др.), в природе (ель, горы, вулканы, смерчи).

(слайды 4,5,6,7)

3 этап урока: Название: Изучение нового материала.

Деятельность

учителя

ученика

1. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. (слайд 8)

Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем окружность с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P (учитель поэтапно строит конус). Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими конической поверхности.

(диктует определение) Тело, ограниченной конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Назовите две образующие конуса и сравните их?

Почему образующие равны?

(Слайд 10)

Запишите в тетради: свойства конуса:

1. все образующие конуса равны.

Назовите углы наклона образующих к основанию? Сравните их.

Почему, докажите это?

2. углы наклона образующих к основанию равны.

Назовите углы между осью и образующими?

Что можно сказать об этих углах?

3. углы между осью и образующими равны.

Назовите углы между осью и основанием?

Чему равны эти углы?

4. углы между осью и основанием прямые.

Мы будем рассматривать только прямой конус.

2. Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. (Слайд 11, 12, 13))

Что представляет собой секущая плоскость, проходящая через ось конуса?

Какой это треугольник?

Почему?

Что представляет собой основание данного треугольника?

Такое сечение называется осевым. Начертите в тетрадях и подпишите это сечение.

Что представляет собой секущая плоскость, перпендикулярная оси OP конуса?

Где расположен центр этого круга?

Это сечение называется круговым сечением.

Начертите в тетрадях и подпишите это сечение.

Существуют и другие виды сечений конуса, которые не являются осевыми и не параллельны основанию конуса. Рассмотрим их на примерах.

3. Теперь выведем формулу полной поверхности конуса.(Слайд 14,15,16)

Для этого боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.

Что является разверткой боковой поверхности конуса? (чертит на доске)

Что является радиусом этого сектора?

А длина дуги сектора?

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Чему равна площадь кругового сектора?

Значит, чему равна площадь боковой поверхности конуса?

Выразим через и .

Чему равна длина дуги?

С другой стороны эта же дуга представляет собой длину окружности основания конуса. Чему она равна?

Откуда .

Подставляя в формулу боковой поверхности конуса получим, .

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. .

Запишите эти формулы.

В тетрадях строят конус.

(слайд 9)

Записывают определение.

На чертеже подписывают элементы конуса.

PA и PB, они равны.

Проекции наклонных равны как радиусы окружности, значит и сами образующие равны.

Углы: PСО, PDO. Они равны.

Так как треугольник PAB – равнобедренный.

СРО и DPO

Они равны.

POC и POD.

90⁰

Треугольник.

Он равнобедренный.

Две его стороны являются образующими, а они равны.

Диаметр основания конуса.

Круг.

На оси конуса.

Чертят в тетрадях.

Круговой сектор.

Образующая конуса.

Длина окружности.

, где - градусная мера дуги.

Записывают: , .

4 этап урока: Название: Решение задач на нахождение элементов конуса.

Деятельность

учителя

ученика

№ 547. (решаем у доски).

(Слайд 17)

№ 548 (а)

(Слайд 18)

№ 549(а)

(Слайд 19)

№ 550

(Слайд 20)

Дано: см, см.

Найти: .

Решение: - прямоугольный.

,

,

см.

Ответ: 17 см.

Дано: см,

Найти: .

Решение: - прямоугольный. Т.к. , то PO=6 см.

,

,

см,

,

см².

Ответ: см²

Дано: , h =8 дм.

Найти: РО₁

Решение:

=> => .

дм.

Ответ: дм.

Дано: конус, - прямоугольный, см.

Найти: .

Решение: - равнобедренный (PA=PB как образующие) => углы при основании равны 45⁰;

- прямоугольный, => , т.е. PO=AO=5 см;

,

см².

Ответ: 25 см².

Подведение итогов.

Деятельность

учителя

ученика

Решите задачу устно: дано: R=3, H=4.

Найти: L. (Слайд 21)

Итак, мы с вами познакомились с понятием конуса, его элементов и научились решать задачи на нахождение элементов конуса. Вопрос о конусе важен, так как конические детали имеются во многих машинах и механизмах, носовая часть самолетов и ракет имеет коническую форму.

L=5

Домашнее задание. П.55, 56, № 548(б), 549(б). (Слайд 22)