Конспект урока на тему "Признаки делимости на 10, 5 и 2"

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Увидев очень высокого человека, мы можем предположить, что он баскетболист. Глядя на очень большой камень, мы поймем, что нам не удастся его поднять, он слишком тяжелый. Глядя на число , мы понимаем, что оно делится на .

Во всех этих примерах мы не проверяли, а делали вывод на основе внешних признаков.

Причем в первых двух случаях мы могли ошибиться, но про число  мы знаем точно. Последняя цифра делится на , значит, и все число делится. Просто в математике есть точные признаки делимости на разные числа. Легко понять, что  делится на  или что  делится на .

Но, оказывается, можно быстро понять, делится ли на  числа:  и . Первое делится, а второе – нет. Просто сумма цифр первого числа делится на , а у второго – нет. Это и указывает, делится ли само число на .

Признаки делимости на разные числа устроены по-разному, но есть похожие, одного типа.

Сегодня мы начнем с признаков делимости на  и . Они устроены одинаково – смотрим на последнюю цифру и понимаем, делится число или нет.

Признаки делимости

Начнем с самого главного вопроса: что значит «одно число делится на другое»? Например, что значит, что число  делится на ? Это означает, что число  можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, и одно из них будет : .

 содержит еще и множитель , это означает, что  делится и на  тоже.

Тот факт, что  делится на  (), мы можем представить так, что  содержит множитель : .

Второй множитель , это результат деления  на .

Основная теорема арифметики

Разложим на множители . Получили эквивалентную запись числа .
Видим, что число  также раскладывается на множители, получим ещё одну эквивалентную запись: .
Продолжим до тех пор, пока можем раскладывать на множители: .
Полученные числа разложить на множители уже не получается: они не делятся ни на одно число, кроме  и себя. Такие числа называются простыми. Остальные числа (например, , , ) называются составными.  считается единственным числом, которое не является ни простым, ни составным.

Понятно, что, используя наш алгоритм (представляя любой составной множитель в виде произведения), для любого числа рано или поздно можно получить его эквивалентное представление в виде произведения простых множителей.
Но мы могли пойти по-другому пути: .
Как видим, получилось то же эквивалентное представление (с точностью до порядка). Всегда ли так будет? Оказывается, да. Можно доказать, что любое число единственным образом представляется в виде произведения простых множителей. Этот результат называется основной теоремой арифметики.
Получается, что, как бы мы ни раскладывали число на простые множители, в итоге мы получим одно и то же разложение (с точностью до порядка).

Деление нуля и деление на нуль

Когда  делится на ? Тогда и только тогда, когда  содержит  как сомножитель.
Например,  можно записать в виде  и оно делится на каждый свой сомножитель.
Представим  в виде произведения: . Ноль содержит сомножителем любое число. Любое! следовательно, ноль делится на любое число.
Противоположный вопрос: что с делением на ? Получится ли какое-то число поделить на ?

Если бы некоторое число  можно было поделить на , то был бы какой-то ответ . Но тогда, вспомнив о том, что деление – операция, обратная умножению, можно записать, что  Получаем, что , но ведь  было выбрано произвольно. Таким образом, мы пришли к противоречию. То есть определить деление на  согласованно с определением умножения не получается.

На самом деле без деления на ноль можно обойтись, поэтому данная операция нам не нужна.

Таким образом, ноль можно делить на любое число, не равное нулю, и получать ноль. При этом никакое число на ноль делить нельзя.

Делимость чисел, оканчивающихся на 0

Теперь рассмотрим числа, которые оканчиваются нулем. Если число оканчивается нулем, то в его разложение на множители входит множитель .

Например, . Мы знаем, что  мы можем представить как , тогда . Мы получили, что «в разложении содержится множитель » и «в разложении содержатся множители  и » эквивалентны. Таким образом, можем утверждать, что если число оканчивается нулем, то оно делится на , на  и на .

Делимость суммы

Рассмотрим два равенства:

В первом равенстве слагаемое  делится на , слагаемое  не делится на  – и сумма  не делится на .

Во втором равенстве слагаемые  и  делятся на  – и сумма  также делится на .

Таким образом, мы получаем правило: если каждое из слагаемых делится на заданное число, то и сумма тоже делится на это число.

Если одно из слагаемых делится на заданное число, а второе – нет, то сумма не делится на это число.

Общий признак делимости суммы

На самом деле правило даже интереснее.

1) Если у нас много слагаемых и все делятся на одно число, то и сумма делится:

Пример:  делится на .

2) Если все слагаемые делятся, а одно – нет, то и сумма не делится:

Пример:  не делится на .

3) Если не делятся два или больше слагаемых, то результат может быть различным:

Пример: 

В обоих примерах два слагаемых не делятся на . Но сама сумма в первом случае делится, а во втором нет.

То есть если два или больше слагаемых не делятся на одно и то же число, то сумма может делиться на это число, а может и нет.

Пример

Возьмем очень большое число, например, .

Постараемся определить, на какие числа оно делится.

Представим наше число в виде суммы:

Первое слагаемое оканчивается нулем, а значит, оно делится на , на  и на .

Второе слагаемое  не делится на  (а первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма не делится на .

Второе слагаемое  не делится на  (а первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма не делится на .

Второе слагаемое  делится на  (и первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма делится на 2.

Теорема (признак делимости на 2, 5 и 10)

Итак, вот основной итог нашего урока, теорема: число делится на , на  или , тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на , на  или на  соответственно.

Доказательство: пусть задано число . Представим его в виде суммы двух слагаемых: .

Слагаемое  оканчивается нулем, а значит, делится на , на , на . Но тогда делимость на ,  и  всей суммы зависит от второго слагаемого, которое является последней цифрой нашего числа.

Таким образом, если последняя цифра числа делится на ,  или , то и все число делится на ,  или  соответственно.

Теорема доказана.

Примеры

Определить, делится ли число на 

1) 

Так как число оканчивается нулем, то оно делится на ,  и .

2) 12687

Данное число оканчивается .  не делится ни на , ни на , ни на , а значит, и число  на них не делится.

3) 

Данное число оканчивается .  делится на , но не делится на , ни на , значит, число  делится на , но не делится на  и на .

4) 

Последняя цифра .  делится на , но не делится на  и , значит,  делится на , но не делится на  и .

5) 

Число оканчивается нулем, а значит, оно делится на ,  и .

Заключение

Обратите внимание: по последней цифре мы можем судить только о делимости на  на  и на . Для делимости на другие числа нельзя использовать этот признак.

Например, число  не делится на , хотя последняя цифра числа на  делится.

Или  не делится , хотя последняя цифра числа на  делится.