Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по алгебре и началам математического анализа на тему "Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока по алгебре и началам математического анализа на тему "Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений"

библиотека
материалов

Тема: Нестандартные способы решения

показательных и логарифмических уравнений

и неравенств.(11 класс)

Сергеева Любовь Владимировна, МБОУ СОШ №37 г. Белгорода ,учитель математики 1 категории.


Цель урока: 1) систематизировать знания о некоторых нестандартных

способах решения, умение применять свойства функций,

правила при решении уравнений и неравенств;

2) развивать умение видеть, умение распознавать

рациональность применения того или иного способа;

3) прививать интерес к математике, воспитывать

математическую грамотность ученика, как при устной,

так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

На доске:

План урока:

1. Орг. момент.

2. Устная работа.

3.Работа в группах

4. Защита решений.

5. Сам. работа.

6. Задание на дом

7. Итог урока.

Ход урока:

I. Организационный момент.

1.Знакомство с целью урока;

задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.

2.Использование при решении задач :

монотонности функций;

«правила знаков»;

метода оценки;

освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

аhello_html_3579815.gif) hello_html_m397c5a3d.gif а) да;

б) hello_html_m7166d5de.gif б) нет, т.к. hello_html_2164e60e.gif

в) hello_html_m4c77e4b2.gif в) нет, т.к. hello_html_m655080a8.gifа hello_html_69d21fdb.gif

г) hello_html_4d498ba4.gif г) да;

д) hello_html_299ddd1a.gif д) нет, т.к. hello_html_m3924045a.gif

2. Решить уравнение:

hello_html_3b344481.gif

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_caf9644.gif/ : hello_html_m7f756d82.gif

( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на hello_html_m357c3b9d.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_47334137.gif

hello_html_m4f89b865.gifhello_html_m5310aab9.gifследовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

(свойство монотонности)


III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

hello_html_789e831.gif

Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

Решение:

Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого

разделим на hello_html_16f635b.gif

hello_html_m47d507f8.gif

Можем ли мы угадать хоть один корень?

( Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

Докажем единственность.

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

hello_html_3ba066ce.gifточка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

Ответ: х = 2.

2 группа. Решить неравенство:

hello_html_131920f5.gif


Применим теорему для функции f(f(x)).

Сформулируем теорему:


Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение

f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ: hello_html_m4e85f67d.gif

Решение:

Выполним некоторые преобразования:

вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

hello_html_14b9fcfa.gif

приведем к общему знаменателю:

hello_html_m64681fac.gif

приведем подобные

hello_html_m6d403aa5.gifт.к. hello_html_m47b3a6c0.gif, а hello_html_m26bb056.gif, тогда

функция принимает вид hello_html_66d7bcfc.gif, где hello_html_m4b507b6c.gif - возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

hello_html_18e282ed.gif

hello_html_732f1ef4.gif

/hello_html_25a065e1.gif//////o o////// х

  1. 10

hello_html_m9013570.gif

Учитывая ОДЗ, получим: hello_html_63627582.gif

Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.

3 группа. Решить неравенство:

Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

hello_html_mb4ccd27.gif;

Решение:

Заметим, что hello_html_m6c67f7d7.gif.

hello_html_mbc7cfd.gif;

Разделим обе части уравнения на положительное выражение hello_html_m5215931c.gif, получим:

hello_html_3cb26e62.gif;

Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

hello_html_m20bf20f3.gifhello_html_8d777f6.gifhello_html_m6c4c6889.gif;

не меньше 1 не больше 1

Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

Ответ: х = 3.

4группа. Решить уравнение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2773f3d6.gif;

Решение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_37965ec4.gifhello_html_2a1e240e.gifhello_html_2773f3d6.gif;

немонотонная ф-я немонотонная ф-я

Решим уравнение методом оценки;

Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

Преобразуем логарифмы в левой части;

hello_html_4f048a84.gif;

hello_html_mc53f037.gif;

Выделим полный квадрат в правой части;

hello_html_2702d8e.gif

Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

hello_html_m2536dfd3.gif

hello_html_m3a9741fe.gif

hello_html_36df11bf.gif

левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

Ответ: х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

hello_html_m230f2cb5.gif

Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Рассмотрим ОДЗ:

hello_html_m5ec3a324.gifhello_html_m273ee46f.gif

Решение:

Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов

освободиться по правилу знаков:

hello_html_mb2799c1.gif

hello_html_67a91f19.gif

hello_html_m28b9fc1f.gif

Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

hello_html_m34b32bb1.gif

нhello_html_10ff6bec.gifайдем нули функции: hello_html_384f8ab0.gifнули функции hello_html_981272.gif

+hello_html_e1cad8d.gifhello_html_47fbbc2d.gif + +

hello_html_25a065e1.gif//////o _ ο////////o////// х

½ 2 5

функция f(x) > 0 при hello_html_2097f5fc.gif учитывая ОДЗ, получим: hello_html_m57f13d20.gif

Ответ: hello_html_2acb7f60.gifhello_html_62b49ab7.gif

IV. Защита проектов.

От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.


Решить уравнение:

I вариант. II вариант.

hello_html_m7b7cc5ec.gifhello_html_m5fe310aa.gif

Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

Решение:

hello_html_4282bd6d.gif

при х=0 достигает унаим = 2

hello_html_59be2adc.gifт.к. основание 0<0,1<1, то hello_html_m195fdd5d.gif hello_html_23434080.gif

наибольшее значение равное 2 может быть при х = 0.

Равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2 при х = 0.

Ответ:hello_html_38ed06fa.gif

Решение:

hello_html_m1e9d09d9.gif

выделим полный квадрат под знаком log:

hello_html_46ec48a.gif

а hello_html_34a57ec6.gif

Выделим полный квадрат в правой части:

hello_html_m7a91466e.gif

наименьшее значение равно 1 при hello_html_5427a5ef.gif

Обе части одновременно будут равны 1 при hello_html_5427a5ef.gif

Ответ: hello_html_5427a5ef.gif

Оценить самостоятельно (оценка на полях).

VI. Задание на дом.

1). Решить уравнение:

hello_html_64dd31e2.gif

2). Решить неравенство:

а) hello_html_m106dca90.gif

б) hello_html_437d0e76.gif

VII. Итог урока.

Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?

Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.

На чем они основываются?

(Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки)


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 26.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров93
Номер материала ДБ-166254
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх