Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по алгебре и началам математического анализа на тему "Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений"

Конспект урока по алгебре и началам математического анализа на тему "Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: Нестандартные способы решения

показательных и логарифмических уравнений

и неравенств.(11 класс)

Сергеева Любовь Владимировна, МБОУ СОШ №37 г. Белгорода ,учитель математики 1 категории.


Цель урока: 1) систематизировать знания о некоторых нестандартных

способах решения, умение применять свойства функций,

правила при решении уравнений и неравенств;

2) развивать умение видеть, умение распознавать

рациональность применения того или иного способа;

3) прививать интерес к математике, воспитывать

математическую грамотность ученика, как при устной,

так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

На доске:

План урока:

1. Орг. момент.

2. Устная работа.

3.Работа в группах

4. Защита решений.

5. Сам. работа.

6. Задание на дом

7. Итог урока.

Ход урока:

I. Организационный момент.

1.Знакомство с целью урока;

задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.

2.Использование при решении задач :

монотонности функций;

«правила знаков»;

метода оценки;

освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

аhello_html_3579815.gif) hello_html_m397c5a3d.gif а) да;

б) hello_html_m7166d5de.gif б) нет, т.к. hello_html_2164e60e.gif

в) hello_html_m4c77e4b2.gif в) нет, т.к. hello_html_m655080a8.gifа hello_html_69d21fdb.gif

г) hello_html_4d498ba4.gif г) да;

д) hello_html_299ddd1a.gif д) нет, т.к. hello_html_m3924045a.gif

2. Решить уравнение:

hello_html_3b344481.gif

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_caf9644.gif/ : hello_html_m7f756d82.gif

( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на hello_html_m357c3b9d.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_47334137.gif

hello_html_m4f89b865.gifhello_html_m5310aab9.gifследовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

(свойство монотонности)


III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

hello_html_789e831.gif

Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

Решение:

Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого

разделим на hello_html_16f635b.gif

hello_html_m47d507f8.gif

Можем ли мы угадать хоть один корень?

( Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

Докажем единственность.

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

hello_html_3ba066ce.gifточка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

Ответ: х = 2.

2 группа. Решить неравенство:

hello_html_131920f5.gif


Применим теорему для функции f(f(x)).

Сформулируем теорему:


Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение

f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ: hello_html_m4e85f67d.gif

Решение:

Выполним некоторые преобразования:

вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

hello_html_14b9fcfa.gif

приведем к общему знаменателю:

hello_html_m64681fac.gif

приведем подобные

hello_html_m6d403aa5.gifт.к. hello_html_m47b3a6c0.gif, а hello_html_m26bb056.gif, тогда

функция принимает вид hello_html_66d7bcfc.gif, где hello_html_m4b507b6c.gif - возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

hello_html_18e282ed.gif

hello_html_732f1ef4.gif

/hello_html_25a065e1.gif//////o o////// х

  1. 10

hello_html_m9013570.gif

Учитывая ОДЗ, получим: hello_html_63627582.gif

Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.

3 группа. Решить неравенство:

Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

hello_html_mb4ccd27.gif;

Решение:

Заметим, что hello_html_m6c67f7d7.gif.

hello_html_mbc7cfd.gif;

Разделим обе части уравнения на положительное выражение hello_html_m5215931c.gif, получим:

hello_html_3cb26e62.gif;

Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

hello_html_m20bf20f3.gifhello_html_8d777f6.gifhello_html_m6c4c6889.gif;

не меньше 1 не больше 1

Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

Ответ: х = 3.

4группа. Решить уравнение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2773f3d6.gif;

Решение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_37965ec4.gifhello_html_2a1e240e.gifhello_html_2773f3d6.gif;

немонотонная ф-я немонотонная ф-я

Решим уравнение методом оценки;

Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

Преобразуем логарифмы в левой части;

hello_html_4f048a84.gif;

hello_html_mc53f037.gif;

Выделим полный квадрат в правой части;

hello_html_2702d8e.gif

Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

hello_html_m2536dfd3.gif

hello_html_m3a9741fe.gif

hello_html_36df11bf.gif

левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

Ответ: х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

hello_html_m230f2cb5.gif

Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Рассмотрим ОДЗ:

hello_html_m5ec3a324.gifhello_html_m273ee46f.gif

Решение:

Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов

освободиться по правилу знаков:

hello_html_mb2799c1.gif

hello_html_67a91f19.gif

hello_html_m28b9fc1f.gif

Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

hello_html_m34b32bb1.gif

нhello_html_10ff6bec.gifайдем нули функции: hello_html_384f8ab0.gifнули функции hello_html_981272.gif

+hello_html_e1cad8d.gifhello_html_47fbbc2d.gif + +

hello_html_25a065e1.gif//////o _ ο////////o////// х

½ 2 5

функция f(x) > 0 при hello_html_2097f5fc.gif учитывая ОДЗ, получим: hello_html_m57f13d20.gif

Ответ: hello_html_2acb7f60.gifhello_html_62b49ab7.gif

IV. Защита проектов.

От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.


Решить уравнение:

I вариант. II вариант.

hello_html_m7b7cc5ec.gifhello_html_m5fe310aa.gif

Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

Решение:

hello_html_4282bd6d.gif

при х=0 достигает унаим = 2

hello_html_59be2adc.gifт.к. основание 0<0,1<1, то hello_html_m195fdd5d.gif hello_html_23434080.gif

наибольшее значение равное 2 может быть при х = 0.

Равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2 при х = 0.

Ответ:hello_html_38ed06fa.gif

Решение:

hello_html_m1e9d09d9.gif

выделим полный квадрат под знаком log:

hello_html_46ec48a.gif

а hello_html_34a57ec6.gif

Выделим полный квадрат в правой части:

hello_html_m7a91466e.gif

наименьшее значение равно 1 при hello_html_5427a5ef.gif

Обе части одновременно будут равны 1 при hello_html_5427a5ef.gif

Ответ: hello_html_5427a5ef.gif

Оценить самостоятельно (оценка на полях).

VI. Задание на дом.

1). Решить уравнение:

hello_html_64dd31e2.gif

2). Решить неравенство:

а) hello_html_m106dca90.gif

б) hello_html_437d0e76.gif

VII. Итог урока.

Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?

Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.

На чем они основываются?

(Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки)

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 26.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров36
Номер материала ДБ-166254
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх