Тема: Нестандартные способы решения
показательных и
логарифмических уравнений
и неравенств.(11
класс)
Сергеева Любовь
Владимировна, МБОУ СОШ №37 г. Белгорода ,учитель математики 1 категории.
Цель урока:
1) систематизировать знания о некоторых нестандартных
способах решения, умение применять свойства функций,
правила
при решении уравнений и неравенств;
2)
развивать умение видеть, умение распознавать
рациональность применения того или иного способа;
3)
прививать интерес к математике, воспитывать
математическую грамотность ученика, как при устной,
так
и при письменной работе.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.
На доске:
План урока:
1. Орг. момент.
2. Устная работа.
3.Работа в группах
4. Защита решений.
5. Сам. работа.
6. Задание на дом
7. Итог урока.
Ход урока:
I.
Организационный момент.
1.Знакомство с целью урока;
задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.
2.Использование при решении задач :
– монотонности функций;
– «правила знаков»;
– метода оценки;
– освобождение от логарифма.
II. Устная работа.
1. Какие из выражений имеют смысл?
а) а)
да;
б) б)
нет, т.к.
в) в)
нет, т.к. а
г) г)
да;
д) д)
нет, т.к.
2. Решить уравнение:
(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет.
Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая
часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)
3. Решить уравнение:
/ :
( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.
Разделим обе части уравнения на
следовательно, в левой части уравнения – сумма
двух убывающих показательных функций, правая часть – const.
Следовательно, уравнение имеет одно решение.)
– Какое свойство функций мы использовали при решении этих
уравнений?
(свойство
монотонности)
III. Работа в группах. Решение задач.
1 группа. Решить уравнение:
– Какой способ надо
применить при решении данного уравнения?
Решение:
– Используем свойство
монотонности убывающей функции, для этого
разделим на
– Можем ли мы угадать хоть один корень?
( Можно угадать корень уравнения: х =
2.)
– Докажем единственность.
В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const.
Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:
точка пересечения, х=2.
значит, уравнение имеет одно решение,
Ответ: х = 2.
2 группа. Решить неравенство:
– Применим теорему для функции f(f(x)).
– Сформулируем теорему:
Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то
уравнение
f(x)=x равносильно f(f(x)= x.
ОДЗ:
Решение:
– Выполним некоторые преобразования:
– вынесем в левой части за скобки 2, сократим:
– приведем к общему знаменателю:
– приведем подобные
т.к. , а , тогда
функция принимает вид , где - возрастающая функция, следовательно, по
теореме имеем:
///////o o//////
х
5
10
– Учитывая ОДЗ, получим:
Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.
3 группа. Решить неравенство:
– Решим неравенство методом оценки левой и правой частей
;
Решение:
–Заметим, что .
;
– Разделим обе части уравнения на положительное выражение , получим:
;
– Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:
;
не меньше 1 не больше 1
– Левая часть
неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.
– Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства
будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.
Ответ: х =
3.
4группа. Решить уравнение:
;
Решение:
;
немонотонная ф-я немонотонная
ф-я
– Решим уравнение
методом оценки;
– Один корень уравнения
можно легко угадать, это х = 1.
– Преобразуем логарифмы в левой части;
;
;
Выделим полный квадрат в правой части;
– Правая часть меньше или равна 1;
наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;
– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или
равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата
– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1
при х = 1.
– Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части
уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.
Ответ: х =
1.
5 группа. Решить неравенство:
– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.
– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:
Знак log
a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в
– 1).
Рассмотрим ОДЗ:
Решение:
– Т.к. нас интересует
только знак левой части, то от можно логарифмов
освободиться по правилу знаков:
– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):
найдем нули функции: нули
функции
+ + +
//////o _ ο////////o//////
х
½ 2 5
функция f(x) > 0 при учитывая
ОДЗ, получим:
Ответ:
IV. Защита проектов.
От каждой группы
выступает 1 человек с защитой своего решения (решение
записать на ватмане).
V.
Самостоятельная работа.
Решить уравнение:
I вариант.
II вариант.
Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:
I
вариант.
|
II
вариант.
|
|
|
Решение:
при х=0 достигает унаим
= 2
т.к. основание 0<0,1<1, то
наибольшее
значение равное 2 может быть при х = 0.
Равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2 при х = 0.
Ответ:
|
Решение:
выделим полный квадрат под знаком log:
а
Выделим полный квадрат в правой части:
наименьшее значение равно 1 при
Обе части одновременно будут равны 1 при
Ответ:
|
Оценить самостоятельно (оценка на полях).
VI. Задание на дом.
1). Решить уравнение:
2). Решить неравенство:
а)
б)
VII. Итог урока.
– Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?
– Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.
На чем они основываются?
(Ответы: использование монотонности функции, использование правила
знаков, метод оценки)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.