Конспект урока по комбинаторике на тему "Основное свойство числа сочетаний"

Урок 7. Тема. "Основное свойство числа сочетаний ".

Цель: дальнейшая отработка решения задач на сочетание, проверка степени усвоения решения задач.

План урока.

1.     Организационный момент.

2.     Выработка вычислительных навыков.

Сократите дроби:

;   .

Найдите:

;  

3.     Актуализация знаний.(правило и формула сочетаний)

4.     Основное свойство  числа сочетаний.

Задача 1. Имеются пять ящиков, пронумерованных числами от 1 до 5. Сколькими способами в этих ящиках можно расположить три одинаковых шара, чтобы каждый ящик содержал не более одного шара?

Так как реальными ящиками и шарами пользоваться неудобно, то можно предложить делать это с помощью рисунков.

Чтобы облегчить поиск решения, можно использовать кодировку этих рисунков. Например, если в ящике есть шар, то будем писать букву Ш, а пустой ящик обозначим буквой П. Тогда сделанные рисунки закодируются следующим образом:

Ш   П   Ш   Ш   П

П   Ш   Ш   Ш   П

Ш   Ш   Ш   П   П

П   Ш   П   Ш   Ш

Сводится к тому, чтобы найти все комбинации из пяти букв, в которых трижды входит буква Ш и дважды буква П.

Если учащиеся воспользуются деревом возможных вариантов, то они придут к такому решению.

            Существует 10 способов расположить три шара в пяти ящиках (не более одного шара в ящике), т.е. . Далее надо предложить учащимся заменить П на Ш, а Ш на П. Так определится количество способов, которыми можно расположить два шара в пяти ящиках (не более одного шара в ящике). Это количество равно 10. Итак, .

Вполне естественно поставить задачу о количестве расположений одного шара (четырех шаров) в пяти ящиках (не более одного шара я ящике). В этих двух случаях ситуация гораздо проще и учащиеся обнаружат пять возможных расположений.

 Рисунок

·
	·
		·
			·
				·

 Расположить 4 шара.

 Рисунок

	·	·	·	·
·		·	·	·
·	·		·	·
·	·	·		·
·	·	·	·

Можно решить такую задачу. Сколькими способами в пяти ящиках можно расположить: пять шаров (не более одного шара в ящике); 0 шаров?

 Рисунок

·

·

·

·

·

, это расположение соответствует комбинации Ш Ш Ш Ш Ш.

Рисунок

, нет никакого расположения нуля шаров в ящиках. Это соответствует слову П П П П П.

Такое небольшое исследование приводит к следующей таблице:

Таблица

Число сочетаний
Значение	1	5	10	10	5	1

Из этой таблицы видно:

, , .

На основании вышеизложенного можно составить еще две подобные таблицы:

Таблица

Число сочетаний
Значение	1	6	15	20	15	6	1

, , .

Таблица

Число сочетаний
Значение	1	7	21	35	35	21	7	1

, , , .

На основании этих таблиц запишем следующее важное свойство числа сочетаний:

.

Использование этого свойства существенно упрощает вычисления. Например,

5.     Вычислите.

;

 

6. Решение задач.

Задача 1. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделить двух человек на дежурство, если: один из них должен быть старшим; старшего быть не должно?

Решение:  ; .

Задача 2. Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир, его первый помощник, второй помощник, два бортинженера (обязанности которых одинаковы) и один врач. Командная тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера – из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать команду космического корабля?

Решение:  Командная тройка может быть укомплектована  способами, так как каждый из ее членов строго несет свои функции, пара бортинженеров - способами, врач -  способами.

Весь экипаж может быть укомплектован: способами.

6.     Рефлексия.

7.     Домашняя работа. Самостоятельно изучить одну из тем с последующей презентацией: "Элементы теории множеств", "Понятие пересечения, объединения и дополнения множеств"