Конспект урока по комбинаторике на тему "Решение задач на подсчёт числа перестановок"

Урок 4. Тема. "Решение задач на подсчёт числа перестановок".

Цель. Выработать умение  решать задачи, с помощью комбинаторной формулы  перестановки.

1. Организационный момент.

2. Повторение .  Устный счёт.

Вопрос 1: Сколько флагов получится, если для их создания использовать цвета белый, синий, красный, зелёный?

(24)

Вопрос 2: Сколькими способами можно на полке поставить 5 книг?

(120)

Вопрос 3: У Сони 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Сони?

(15)

Вопрос 4: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,4,5?

(6 )

-При решении этих задач мы использовали правило умножения. Напомните его (учащиеся формулируют его).

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если  первый элемент  m1 выбрать n1 способами, после чего второй элемент m2 выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число  способов могут быть выбраны  все к элементов, равно произведению

3. Актуализация опорных знаний..

  -Сегодня на уроке и на последующих уроках мы пытаемся классифицировать, разбить на типы те комбинации, с которыми вы уже сталкивались при решении задач. Обратимся к последней задаче: в ней даны 3 объекта, нужно  составить из них все возможные комбинации, переставляя их между собой. Такие комбинации называются перестановками из n элементов.

-Давайте вспомним, перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке (т.е. перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения элементов)

Для 3-х элементов (n=3) мы получили 6 перестановок, т.е.

А если объектов 4? (n=4).  То

А если объектов 5? (n=5).  То 5·

А если n?  То  n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1.

Это произведение выражает количество перестановок из n элементов и обозначают   

=1·2·3·…(n-2)·(n-1)· n.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. 1·2·3·…(n-2)·(n-1)· n обозначают n! (читают эн факториал)

Например: 1!=1               2!=1·2=2                  6!=1·2·3·4·5·6=720

Следовательно, число перестановок n предметов равно n!

4.Решение задач  с комментариями детей.

Задача 1. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на 8 беговых дорожках?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что . Значит существует 40 320 способов расстановки участниц забега на 8 беговых дорожках.

Задача 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение: Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить перестановок. Из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно . Значит, искомое число четырехзначных чисел равно . Получаем =4! – 3! = 24 – 6 = 18.

Задача 3. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять а шесть книг. Это можно сделать способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р6*  Р4.

Получаем 6! *4! = 720 * 24 = 17 280.

4. Закрепление. Самостоятельная работа.  

№1.  Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?

Решение: а)  Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырёхзначные числа, начинающиеся с цифры 3. Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трёх оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Общее количество вариантов их расположения равно Р=3!=6. Столько и будет различных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и начинающихся с цифры 3.

б) Заметим, сумма данных цифр 3+5+7+9= 24 делится на 3, следовательно,  любое четырёхзначное число, составленное из этих цифр,  делится на 3. Для того чтобы некоторые из этих чисел делились на 15, необходимо, чтобы они заканчивались цифрой 5.

Фиксируем цифру 5 на последнем месте; остальные 3 цифры можно разместить на трёх местах перед 5 Р3=3!=6 различными способами. Столько и будет различных четырёхзначных чисел, составленных из данных цифр, которые делятся на 15.

Ответ: а) 6 чисел; б) 6 чисел.

№2.Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (без их по­вторения), таких, которые: а) больше 3000;   б) больше 2000?

Решение: а) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 3000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4.  Фиксируем на первом месте 3, количество чисел равно Р3=3!=6.

 Фиксируем на первом месте 4, количество чисел равно Р3=3!=6.

 Таким образом, среди чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, есть 6+6=12 чисел больше 3000.   

 б) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 2000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 2, 3 или 4. Количество таких чисел равно 6 (фиксирована 2)+6(фиксирована 3)+ (фиксирована 4)=18.  Можно применить метод исключения ненужных вариантов: Р4-Р3 (фиксирована 1) =4!-3!=24-6=18.Ответ: а) 12 чисел; б) 18 чисел.

 № 3.Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь — в конце ряда;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.

Решение:

а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число возможных комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р6=6!=720.

б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р5= 5!= 120.

в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ОИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций будет равно Р6 =6!=720 Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ИО. Тогда  получим ещё Р6 =6!=720 других комбинаций.

 Общее число комбинаций, в которых Олег и Игорь стоят рядом (любом порядке) равно 720+720=1 440.

Ответ: а) 720; б) 120; в) 1 440 комбинаций.

5. Домашнее задание. Дети знакомятся  с задачами и задают вопросы.

Задача 1.  Сколькими способами 9 человек могут, встать в очередь в те­атральную кассу?

Решение: Присвоим каждому человеку номер 9 (от 1 до 9). Тогда каждый способ расположения этих людей в очереди будет представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок которых может меняться.

Количество способов, которыми 9 человек могут встать в очередь, равно Р9= 9!=362 880.

Ответ: 362 880 способов.

Задача 2  Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая циф­ра используется только один раз, можно составить из цифр:

 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение : Дано 6 цифр 0, 2, 5, 6, 7, 8, из них нужно составить различные шестизначные числа. Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что 0 не может стоять на первом месте.

   Можно напрямую применить правило произведения на первое место можно выбрать любую из 5 цифр (кроме нуля); на второе-любую из пяти оставшихся цифр ( 4 «нулевые» и теперь считаем ноль); на третье место- любую из 4 оставшихся после двух первых выборов цифр, и т. д. Общее количество вариантов равно: 5*5*4*3*2*1=600.

    Можно применить метод исключения лишних вариантов. 6 цифр можно переставить Р6= 6!=720 различными способами. Среди этих способов будут и такие,  в которых на первом месте стоит ноль, что не допустимо. Подсчитаем количество этих недопустимых вариантов. Если на первом месте стоит ноль, он (фиксирован), то на последующих пяти местах могут стоять в произвольном порядке «ненулевые» цифры 2, 5, 6, 7, 8. Количество разных способов, которыми можно разместить 5 цифр на пяти местах, равно Р5=5!=120, т. е. количество перестановок чисел, начинающихся с нуля, равно120.

   Искомое количество различных шестизначных чисел в этом случае равно: Р6- Р5=720-120=600.

Ответ: а) 720; б) 600 чисел.

6. Рефлексия.

(Вопросы, требующие многовариантных ответов)

Почему было трудно?

Что открыли, узнали на уроке?

Оправдались ли ваши ожидания от урока?

Что вы взяли с сегодняшнего урока?

Над чем заставил задуматься урок?