Конспект урока по математике на тему "Обобщение о показателе степени" (11 класс)

Тема урока: Обобщение понятия о показателе степени.

Цели урока:

Образовательные:

§  ознакомить учащихся с понятием степени с дробным показателем и свойствами степени с рациональным показателем;

§  вырабатывать умение выполнять преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем;

§  обобщить понятие степени.

Развивающие:

§  развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

§  активизировать самостоятельную деятельность;

§  развивать познавательный интерес.

Воспитательные:

§  воспитывать чувство ответственности за выполненную работу;

§  воспитывать культуру речи, аккуратность, внимательность.

Что умеете хорошего, то не забывайте, а что не умеете, тому учитесь.

                     Из Владимира Мономаха.

Ход урока:

1.      Организационный момент.

На проектной доске слайд №1 с эпиграфом.

Ребята, готовясь к уроку, я обнаружила следующие строки: «Что умеете хорошего, то не забывайте, а что не умеете, тому учитесь» И сегодня на уроке мы будем учиться новому, опираясь на хорошо изученное ранее.

2.      Повторение.

Для того чтобы подготовиться к восприятию нового материала, мы восстановим ранее изученное.

Слайд №2 (работа на карточках)

§  Как называются выражения записанные в первом столбике? (радикалы)

§  Какими могут быть значения   и ? (

Установите соответствие (стрелочками соедините правильный ответ):

                                          

                                            

                                           

                                             

                                           

                                                

                                                

Критерии оценок:

§  7 правильно выполненных заданий    - «5»

§  6 правильно выполненных заданий    - «4»

§  4-5 правильно выполненных заданий  - «3»

§  1-3 правильно выполненных задания  - «2»

Учащиеся самостоятельно выполняют задание на заранее приготовленных карточках и сдают учителю, а затем проверяют.

Мы повторили свойства корня n-ой степени теоретически, а теперь закрепим их практически.

Слайд №3 (самостоятельная работа с последующей проверкой и самооценивания) 

Вычислите:

1 вариант	2 вариант
(6)                                                                         (10)                       (12)                                   (3)	(16)                                             (3)                                         (2)                                (14)                                            (2)

Критерии оценок:

§  5 правильно выполненных заданий – «5»

§  4 правильно выполненных заданий – «4»

§  3 правильно выполненных заданий – «3»

§  1-2 правильно выполненных заданий – «2»

Учащиеся выполняют работу самостоятельно по вариантам в тетрадях, затем проверяют свои работы, сверяясь с решением на слайде, и самостоятельно оценивают свои знания.

3.      Объяснение новой темы.

На уроке мы обобщим понятие о показателе степени. Итак, тема урока «Обобщение понятия о показателе степени» (слайд №4):

Вы умеете вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь следующими определениями (слайд №5):

1.      если n=1, то  чему? ();

2.      если n=0 и , то  чему (1)?;

3.      если n=2, 3, 4, 5, …,  то чему? ((n – множителей));

4.      если n=1, 2, 3, 4, … и , то  чему? ;

Мы с вами работали только с целыми показателями степени, а сейчас узнаем, как работать с рациональными показателями, т.е. с дробными положительными и отрицательными Выясним, что означают такие символы математического языка, как , , , , ,  и т.д.

 Мы с вами работали только с целыми показателями степени, а сейчас узнаем как работать с рациональными показателями, т.е. с дробными положительными и отрицательными.

Зададимся вопросом: если вводить символ , то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранились привычные свойства степеней, например, чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:  (*)

(поскольку ). Пусть . Тогда равенство (*) можно переписать в виде , откуда получаем: . Значит, появилось основание определить  как . Вероятно, подобные соображения и привели математиков к следующему определению.

Слайд №6

Определение 1. Если  - обыкновенная дробь ( и , то под  понимают :

Обратите внимание ребята, какое место занимает знаменатель  степени, а какое числитель  степени! (на слайде знаменатель и показатель степени перемещаются и выделяются еще раз отдельно)

Например:

,  ,  и т.д.

,     и т.д.

Слайд №7 (работаем устно)

Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

Представьте выражение в виде степени с дробным показателем:

.

Определение о положительной дробной степени оказалось удивительно удачным. При нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении – вычитаются и т.д.

Пусть, например, нам нужно выполнить умножение . Поскольку , а , то задача сводится к умножению радикалов:

.

Итак, . Но, между прочим, , т.е. .

Поскольку складывать дроби легче, чем применять свойства радикалов, на практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробным показателем.

Так как мы уже говорили, что все привычные свойства степеней для натуральных показателей сохраняются и для дробных степеней, то используя свойство  преобразуйте выражение  самостоятельно.

Учащиеся самостоятельно выводят формулу для отрицательного показателя степени, учитель прошел и посмотрел, кто правильно записал.

Затем появляется слайд №8 с определением.

Определение 2. . Если  - обыкновенная дробь ( и , то под  понимают :

Если степень с отрицательным показателем, то для того чтобы «избавиться» от минуса нам надо представить ее в виде дроби с числителем всегда равным 1.

Например:

,     и т.д.

4. Физминутка. (слайд №9)

Посмотрите внимательно 10 секунд на рисунок, запомните и ответьте на вопросы

ü Перечислите все корни, которые вы видели

ü В какой геометрической фигуре расположен ? (в окружности)

ü Какого цвета эта окружность? (синяя)

ü Квадратный корень из какого числа находится в квадрате? (из 5)

ü Какого цвета этот квадрат? (зелёного)

ü В какой геометрической фигуре  расположен корень кубический? (в треугольнике)

ü Какого цвета этот треугольник? (красного)

Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем.

Слайд №10

Для положительных а и b, где s и t любые рациональные числа справедливы следующие свойства:

Если , то

1.

2.

3.

4.

5.

5.      Закрепление изученного материала.

№37.9 (а, б)

а)  решает учитель на доске с помощью учащихся

б)  учитель пишет на доске, ученик комментирует

№37.8 (а, б)

а)  учитель вместе с учащимися разбирает решение примера, учащиеся самостоятельно решают в тетрадях.

б)  учащиеся самостоятельно выполняют задание, затем ученик записывает решение у доски с комментарием.

№37.15 (б)

б)  учитель выполняет на доске с помощью учащихся

№37.16 (б)

б) учащиеся выполняют самостоятельно

№37.17 (а)

а)  учитель подсказывает, каким свойством нужно воспользоваться учащимся для выполнения задания и контролирует выполнение задания, которое учащиеся выполняют самостоятельно.

№37.18 (б)

б)  разбирают решение с учителем и самостоятельно выполняют.

№37.21 (б, г)

б) учитель записывает на доске, ученик комментирует

г)  учащиеся выполняют самостоятельно

6.      Самостоятельная работа.

Слайд № 11. Выполните вычисления. Запишите в таблицы буквы, связанные с найденными ответами.

	Критерии оценок: §  9 правильно выполненных заданий  -  «5» §  7-8 правильно выполненных заданий  - «4» §  4-6 правильно выполненных заданий  - «3» §  1-3 правильно выполненных заданий – «2»

2	4	0		1	0,25	5	3	0,5
К	Т	Ь	И	А	О	Н	С	Ю

Название

	3	1	1	2

5	0	0,5	4	0,25	5

У учащихся на столах карточки с заданием и таблицами для написания ответа. Общая таблица и задание высвечиваются на слайде. Учащиеся подписывают листы и выполняют задания на них, а затем сдают учителю.

Ребята, какие слова у вас получились? (варианты ответов учеников)

А кем был Исаак Ньютон? (варианты ответов учеников)

Слайд №12.

Исаак Ньютон (25.12.1642-20.03.1727 г) – гениальный английский физик и математик, один из величайших ученых в истории человечества.

Слайд №13.

В 1665 году английский математик Джон Валлис впервые подробно описал о целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Слайд №14.

На могильной плите в Вестминстерском аббатстве в Лондоне высечены знаменательные слова:

Здесь покоится

Сэр Исаак Ньютон,

Который почти божественной силой своего ума

Впервые объяснил

Помощью своего математического метода

Движения и формы планет,

Пути комет, приливы и отливы океана.

Он первый исследовал разнообразие световых лучей

И протекающие отсюда особенности цветов,

Которых до того времени никто даже не подозревал.

Прилежный, проницательный и верный истолкователь

Природы, древностей и Священного Писания.

Он прославил – в своем учении всемогущего Творца.

Пусть смертные радуются, что в их среде

Жило такое украшение человеческого рода.

7.      Итог урока, выставление оценок

§  Какую цель ставили в начале урока?

§  Достигли ли цели урока?

§  Что нового узнали на уроке?

Карточка №1

Фамилия, имя ________________________________________

Установите соответствие (стрелочками соедините правильный ответ):

                                          

                                           

                                           

                                             

                                           

                                                 

                                                

Карточка №1

Фамилия, имя _______________________________________

Установите соответствие (стрелочками соедините правильный ответ):

                                          

                                            

                                           

                                             

                                           

                                                

                                                

Карточка №2

Фамилия, имя _________________________________________

                  

                  

                

            

Название:

	3	1	1	2

5	0	0,5	4	0,25	5