Конспект урока. Занимательные задачи.
Задачи на перебор всех
возможных вариантов.
Основная литература
1.
Никольский С.М. Математика. 6 класс: Учебник для
общеобразовательных учреждений // С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н.
Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
1.
Чулков П.В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П.В.
Чулков, Е.Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2.
Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И.Ф. Шарыгин, А.В.
Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для
самостоятельного изучения
Задачи на перебор всех возможных
вариантов.
Задача 1.
Запишите все трёхзначные числа, в записи
которых используются цифры 4, 7 и 9. Рассмотрите два случая: без повторений и с
повторениями цифр.
Решение. Первый случай – без повторений.
Чтобы не путаться, будем записывать
числа в порядке возрастания:
479; 497 – первый ряд
749; 794 – второй ряд
947; 974 – третий ряд
Итого: 6 трёхзначных чисел.
Решение. Второй случай – с повторениями.
Снова будем записывать числа в порядке
возрастания:
444; 447; 449; 474; 477; 479; 494; 497;
499 – первый ряд
744; 747; 749; 774; 777; 779; 794; 797;
799 – второй ряд
944; 947; 949; 974; 977; 979; 994; 997;
999 – третий ряд
Итого: 27 трёхзначных чисел.
Проверим первый случай без повторения:
479; 497
749; 794
947; 974
В разряде сотен может быть любая из 3
цифр.
В десятках может быть одна из двух
оставшихся цифр.
Разряд единиц занимается одной не
использованной цифрой.
Трёхзначное число:
1-я цифра __ 2-я цифра _______ 3-я цифра
____
4 7 или 9 9/7
7 4 или 9 9/4
9 4 или 7 7/4
3 · 2 · 1 = 6 – возможных вариантов.
Ответ: из цифр 4, 7 и 9 без повторений
можно составить 6 трёхзначных чисел.
Проверим второй случай с повторениями:
444; 447; 449; 474; 477; 479; 494; 497;
499
744; 747; 749; 774; 777; 779; 794; 797;
799
944; 947; 949; 974; 977; 979; 994; 997;
999
В разряде сотен может быть любая из 3
цифр.
В десятках снова может быть любая из 3
цифр.
В единицах опять может быть любая из 3
цифр.
Трёхзначное число:
1-я __ 2-я цифра ____________ 3-я цифра
____________
4 4 или 7 или 9 4 или 7 или 9
7 4 или 7 или 9 4 или 7 или 9
9 4 или 7 или 9 4 или 7 или 9
3 · 3 · 3 = 27 – возможных вариантов.
Ответ: из цифр 4, 7 и 9 с повторениями
можно составить 27 трёхзначных чисел.
Задача 2.
На окружности отмечены шесть точек: А,
В, С, D, E и F. Каждую точку соединили с каждой. Сколько всего отрезков
получится?
Посчитаем отрезки на рисунке – их 15. Но
при большем числе точек такой подсчёт может привести к ошибке.
Из точки А проведём 5 отрезков: АВ, АС,
АD, АE и АF.
Из точки В проведём также 5 отрезков, но
один из них АВ уже проведён, значит, из В выходит только 4 новых отрезка.
Из С – 3 новых отрезка.
Из D – 2 новых отрезка.
Из Е – 1 новый отрезок.
Из F – выходит 5 отрезков, но мы их все
уже начертили.
Итого имеем:
5 + 4 + 3 + 2 + 1+ 0 = 15 (отрезков)
Можно увидеть на чертеже, что из каждой
точки выходит по пять отрезков. Имеем шесть точек, по пять отрезков из каждой.
Чтобы получить верный ответ, надо произведение шести и пяти разделить на два,
так как между двумя точками отрезок из точки и отрезок к точке – это один и тот
же отрезок.
Вероятность события.
Рассмотрим монету.
Если бросить её на стол, обязательно
произойдёт одно из двух событий:
Так как считается, что монета обычная,
она правильной формы и сделана из однородного металла, то события A и B в нашем
примере равновозможные.
Событие «монета встала на ребро»
считается невозможным и не учитывается.
Таким образом, мы имеем два возможных
исхода или два случая, один из которых (выпадение орла) благоприятствует
событию A, а другой (выпадение решки) благоприятствует событию B.
Сформулируем определение.
Вероятностью события A называется
отношение количества благоприятствующих событию A исходов к числу всех
равновозможных исходов испытания, один из которых обязательно произойдёт.
Рассмотрим игральный кубик.
Давайте условимся, что это обычный
игральный кубик, у него нет специальных утяжелителей внутри, и при многократном
бросании никакое число не выпадает чаще других.
Если бросить кубик на стол, то возможны
6 исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Эти случаи равновозможные, и один
из них обязательно произойдёт.
Пусть событие C заключается в выпадении
чётного числа очков.
Пусть событие D заключается в выпадении
числа очков, кратного числу 3.
Получается, что событию C
благоприятствуют 3 возможных исхода: выпадение 2, 4 и 6 очков.
Событию D благоприятствуют 2 возможных
исхода: выпадение 3 и 6 очков.
Вероятность наступления события C больше
вероятности наступления события D.
Задача 3.
Сколько двузначных чисел можно записать,
используя цифры 2, 4, 5 и 7?
Решение.
Так как в задаче не говорится о
повторении цифр, то будем рассматривать 2 случая: с повторениями и без повторений.
1 случай:
24, 25, 27.
42, 45, 47.
52, 54, 57.
72, 74, 75.
Так как начинаться число может на любую
из 4 цифр, а на втором месте может быть одна из 3 цифр, то имеем:
4 · 3 = 12 чисел.
2 случай:
На первом месте может стоять любая из 4
цифр, на втором месте может стоять любая из 4 цифр, так как цифры в числе могут
повторяться. Имеем:
4 · 4 = 16 чисел.
Ответ: 12 чисел без повторений, 16 чисел
с повторениями.
Задача 4.
Двух мальчиков и девочку надо рассадить
за круглый обеденный стол с четырьмя стульями так, чтобы мальчики не оказались
рядом. Сколькими способами можно это сделать?
Решение.
Одного из двух мальчиков можно посадить
на любой из четырёх стульев, а второго – напротив (чтобы они не оказались
рядом). Тогда в каждом из этих четырёх случаев девочку можно посадить только
двумя способами. Итого 4∙2=8 – способов посадить детей в соответствии с
условиями задачи.
Ответ: всего 8 способов.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Подстановка элементов в пропуски
в таблице.
Сколько диагоналей d будет в
многоугольнике, имеющем n сторон, если:
Варианты ответов: 9, 20, 35, 40, 50.
Тип 2. Единичный выбор.
Ученица начертила многоугольник и
провела 21 диагональ. Ей осталось провести меньше половины диагоналей этого
многоугольника. Сколько диагоналей ей осталось провести?
Варианты ответов: 10, 14, 16, 20.
Решение.
Как видно из предыдущей задачи –
шестиугольник имеет 9 диагоналей, восьмиугольник – 20, десятиугольник – 35.
Если девочка провела 21 диагональ, и это
больше половины, значит, будет десятиугольник – у которого 35 диагоналей, и 21
диагональ – больше половины.
Значит, 35 – 21 = 14 диагоналей –
осталось провести.
Ответ: 14.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.