Конспект урока " Применение производной к решению задач ЕГЭ"

Производная

и ее применение

Конспект открытого урока в 11 Б классе

Учитель: Еделькина С.В.

ЦЕЛИ УРОКА:

Обучающие: систематизировать знания и умения по теме «Производная»: формулы и правила дифференцирования, геометрический и физический смысл производной, научить применять полученные теоретические знания при решении различного типа математических задач. Подготовка к ЕГЭ.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способность к «видению проблемы», формировать умение чётко и ясно излагать свои мысли, аргументировать доводы.

Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, оказывать помощь в коллективной деятельности, воспитывать уважение к предмету, воспитывать чувства ответственности и сопереживания

Тип урока: комбинированный: обобщение, закрепление навыков применения свойств элементарных функций, применение уже сформированных знаний, умений и навыков применения производной в нестандартных ситуациях.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию

возможность изображать математически

Не только состояния, но и процессы движения».

Ф.ЭНГЕЛЬС.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Приветствие.

Обсуждение темы занятия. На доске записаны словосочетания: промежутки монотонности;  экстремумы функции; стационарные точки; приращение аргумента.

-Какое понятие  алгебры и начала анализа объединяет их?( Производная функции)

-Правильно ребята. Сегодня на уроке мы поговорим о производной, о её применении.Запишите тему урока.

2.Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

а)актуализация опорных знаний.

- Зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?

1 ученик. Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной - это мгновенная скорость.Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Слова «производная» и «произошло» имеют похожие части слова, да и смысл похож: производная происходит от исходной функции (переложив на отношения человека: исходная функция - «мама», её производная «дочь»). Производная - часть математической науки, одно из её звеньев. Нет этого звена - прерваны связи между многими понятиями.

2 ученик. Актуальность темы “Производная в школьном курсе математики” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная и ее применения” является одним из основных разделов начал математического анализа. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

3 ученик. Оказывается также, что с помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства и, даже, решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения.

На практике часто приходится решать так называемые задачи на оптимизацию (optimum-наилучший) . Инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так , чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д.

- Можно сделать вывод, что производная – одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной.

В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике (физике) – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции. А знаете кто ввел термин «производная»--- Жозеф Луи Лагранж (25.01.1976 – 10.04.1813 )Французский математик, астроном и механик. В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

3.Устная работа.

-На доске написаны все формулы и правила для вычисления производных. Надо заполнить пропуски.

1 (lnx)^/=…, (sinx)^/=…, (log_ax)^/=…,  (cosx)^/= …, (e^x)¹=…,(cu)^/=…, ( x ⁿ) ^/ =…,( tgx)^/ =…,(u+v)^/=…, (ctgx)^/=…, (uv)^/=…, (u/v)^/=…, ( a^x)^/ =…,(f(g(x))^/=…, c^/=…

4. РАБОТА по карточкам «Проверь себя и своего соседа»

Ученикам предложено найти производные функций.

Вариант 1.                                                           Вариант 2.

1) f(x) = 2x – 31                                              1)  f(x) = 3x– 78 2) f(x) = x3 + 2                                                2) f(x) = x4+5 3) f(x) = х3 –2x2                                                                      3) f(x) = x3+2x2 4) f(x) = 2 sinx                                               4) f(x) = 3 cosx

5) f(x) = ln (5+x)                                           5) f(x) = ln (7+x)

5.Закрепление навыков.

1.Исследуйте функцию на возрастание и убывание, на экстремумы:

а)у = 4х – 5; б) у = 3х³ + 5х

2.а) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = 14х - х² + 5 в точке с абсциссой х₀ = 3. 

б) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2х²+ 12х -3 в точке с абсциссой х₀ = 2.

3. При движении тела по прямой расстояние S (в метраx) от начальной точки изменяется по закону S(t) =  t³ - 4t² + 15t + 2 (t - время движения в секундах). Найти скорость (м/с) тела через 2 секунды после начала движения.

6 . Найдите:наименьшее значение функции: y=на отрезке [-20;3]

7. Физкультминутка

8. Решение заданий из ЕГЭ

-При выполнении заданий из ЕГЭ мы должны отвечать на вопросы, используя график производной некоторой функции.

·         Сколько промежутков убывания имеет функция?

·         Назовите наибольшую из длин промежутков возрастания функции.

·         Назовите точки минимума, точки максимума.

·         Назовите точку, в которой функция имеет наибольший угловой коэффициент касательной.

·         Назовите количество точек, в которых касательная к графику функции наклонена под углом 45º к оси Х.

9. Решение самостоятельной работы  с сайта «Решу ЕГЭ»

Работа №36016334

10. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Учитель: Давайте вспомним, какова была цель нашего занятия.

Ученики: Закрепить умения находить производную и ее применение при исследовании функции.

Учитель: Как вы думаете, мы достигли этой цели?

Ученики: Да.

Учащиеся сами выставляют себе оценки, исходя из листов самооценивания.

От 15-20 баллов – оценка 5; от 10-14 – оценка 4; от 5-9 – оценка 3.

11. Рефлексия.

«АНКЕТА»

1. На уроке я работал

2. Своей работой на уроке я

3. Урок для меня показался

4. За урок я

5. Мое настроение

6. Материал урока мне был

y=

Опорный конспект

Тема урока:__________________________________________

1.     Устная работа.                                                     _______________балл

2.     Самостоятельная работа                                     _______________балл

1 вариант

1) f(x) = 2x – 31 ________________________________ 2) f(x) = x3 + 2__________________________________ 3) f(x) = х3 –2x2  ________________________________           4) f(x) = 2 sinx __________________________________

5)  f(x) = ln (5+x)_________________________________

3.Закрепление навыков.

1.Исследуйте функцию на возрастание и убывание, на экстремумы:

а) ; б) у = 3х³ + 5х ______________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

2.а) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = 14х - х² + 5 в точке с абсциссой

х₀ = 3. ____________________________________________

б) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2х²+ 12х -3 в точке с абсциссой х₀ =2.________________________________________

3. При движении тела по прямой расстояние S (в метраx) от начальной точки изменяется по закону S(t) =  t³ - 4t² + 15t + 2 (t - время движения в секундах). Найти скорость (м/с) тела через 2 секунды после начала движения.

____________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Найдите:наименьшее значение функции: y=на отрезке [-2;3]______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________балл

8. Решение заданий из ЕГЭ

_______________балл

Итого баллов:

Опорный конспект

Тема урока:__________________________________________

1.     Устная работа.                                                     _______________балл

2.     Самостоятельная работа                                     _______________балл

1 вариант

1)  f(x) = 3x– 78________________________________                                       2) f(x) = x4+5__________________________________ 3) f(x) = x3+2x2 ________________________________           4) 4) f(x) = 3 cosx ______________________________

5) f(x) = ln (7+x) =_____________________________

3.Закрепление навыков.

1.Исследуйте функцию на возрастание и убывание, на экстремумы:

а) ; б) у = 3х³ + 5х ______________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

2.а) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = 14х - х² + 5 в точке с абсциссой

х₀ = 3. ____________________________________________

б) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2х²+ 12х -3 в точке с абсциссой х₀ =2.________________________________________

3. При движении тела по прямой расстояние S (в метраx) от начальной точки изменяется по закону S(t) =  t³ - 4t² + 15t + 2 (t - время движения в секундах). Найти скорость (м/с) тела через 2 секунды после начала движения.

____________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Найдите:наименьшее значение функции: y=x² -4 x +5 на отрезке [-2;3]______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________балл

8. Решение заданий из ЕГЭ

_______________балл

Итого баллов:

1 ученик. Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной - это мгновенная скорость.Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

2 ученик Слова «производная» и «произошло» имеют похожие части слова, да и смысл похож: производная происходит от исходной функции (переложив на отношения человека: исходная функция - «мама», её производная «дочь»). Производная - часть математической науки, одно из её звеньев. Нет этого звена - прерваны связи между многими понятиями.

3 ученик. Актуальность темы “Производная в школьном курсе математики” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная и ее применения” является одним из основных разделов начал математического анализа. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

4 ученик. Оказывается также, что с помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства и, даже, решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения.

Исходное положение – стойка ноги врозь, руки за голову.

1–2. Поднять правую руку на пояс, левую руку на пояс.

3–4. Правую руку на плечо, левую руку на плечо.

5–6. Правую руку вверх, левую руку вверх.

7–8. Сделать два хлопка руками над головой.

9–10. Опустить левую руку на плечо, правую руку на плечо.

11–12. Левую руку на пояс, правую руку на пояс.

13–14. Сделать два хлопка руками по бедрам.

Повторить 4–6 раз. Темп в первый раз медленный, во второй и третий раз средний, в четвертый и пятый раз быстрый, в шестой раз медленный.

Опорный конспект

Тема урока:__________________________________________

1.     Устная работа.                                                     _______________балл

2.     Самостоятельная работа                                     _______________балл

1 вариант

1)  f(x) = 3x– 78________________________________                                       2) f(x) = x4+5__________________________________ 3) f(x) = x3+2x2 ________________________________           4) 4) f(x) = 3 cosx ______________________________

5) f(x) = ln (7+x) =_____________________________

3.Закрепление навыков.

1)Исследуйте функцию на возрастание и убывание, на экстремумы:

а) ; б) у = 3х³ + 5х ______________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) .а) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = 14х - х² + 5 в точке с абсциссой х₀ = 3.