Конспект урока "Применение различных способов разложения на множители"

Тема урока: Применение различных способов для разложения на множители.

  Цель урока: научить учащихся разложить многочлен на множители,                   применив последовательно несколько способов разложения (вынесение общего множителя за скобки, группировка членов, формулы сокращенного умножения); развивать логическое мышление, самостоятельность, умение рассуждать.

  Оборудование:

1.                      Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных  организаций / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – стр. 186 – 190.

2.                      Электронное приложение к учебнику «Алгебра - 7»

                          3.         Таблицы 20 – 22.

                          № 20. Формулы сокращенного умножения.

                          № 21. Разложение на множители (лист 1).

                          № 22. Разложение на множители (лист 2).

   Литература:

1. Звавич Л. И. и  др. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса /Л. И. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – стр. 43 – 44.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Сборник задач и контрольных работ по алгебре для 7 класса. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999. стр. 37.

План урока

I.                  Повторение

1)   формулы сокращенного умножения:

 a² + 2ab +b² = (a + b)²;

 a² – 2ab + b² = (a – b)²;

 a² – b² = (a – b)(a +b);

 a³ + b³ = (a +b)(a²– ab +b²);

 a³ – b³ = (a – b)(a² +ab +b²).

2)   Вынесите общий множитель за скобки:

а) 7a +7b;    б)16y³ – 12y²;   в) - 3b(b – 2) + 7(b -2)².

3) Разложите на множители многочлен:

 ab – 2b + 3a – 6.

4) Представьте трехчлен в виде квадрата трехчлена:                               4х² + 12х + 9

II.              Объяснение нового материала.

Пример 1.

              Разложить на множители многочлен 10а³ - 40а.

Пример 2.

              Разложить на множители многочлен                                      18 х³ + 12 х² + 2х.

III.           Закрепление. № 934, 937, 939, 940, 949.

IV.          Подведение итогов урока.

V.              Домашнее задание: п. 38, № 936, 938, 941.

Ход урока.

   Учитель. Ребята, давайте повторим пройденный материал. Вспомните, пожалуйста, формулы сокращенного умножения. (Ученики по очереди записывают на доске формулы).

 a² + 2ab +b² = (a + b)²;

 a² – 2ab + b² = (a – b)²;

 a² – b² = (a – b)(a +b);

 a³ + b³ = (a +b)(a²– ab +b²);

 a³ – b³ = (a – b)(a² +ab +b²).

Задание 1. Вынесите общий множитель за скобки:

а) 7a +7b;    б)16y³ – 12y²;   в) - 3b(b – 2) + 7(b -2)².

Решения: а) 7a + 7b = 7(a + b);

                 б) 16y³ – 12y² = 4y²(4y – 3);

                 в) – 3b(b – 2) + 7(b – 2) = (b - 2)(- 3b + 7).

Задание 2. Разложите на множители многочлен:

                                      ab – 2b + 3a – 6. 

Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:

ab – 2b + 3a – 6 = (ab – 2b) +( 3a – 6).

В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй множитель 3:

(ab – 2b) + (3a – 6) = b(a – 2) + 3(a – 2).

Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель а – 2,

вынесем этот общий множитель за скобки:

 b(a – 2) + 3(a – 2) = (a – 2)(b +3).

                 Итак,  ab – 2b + 3a – 6 = (a – 2)(b +3).

Задание 3. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

                              4х² + 12х + 9.

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения 2х, третье – квадрат числа 3. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению 2х и 3, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы 2х и 3:                         

             4х² + 12х + 9 = (2х)² + 2·2х·3 + 3² = (2х + 3)².

Учитель.  Для разложения многочленов на множители мы применяли  вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения. Сегодняшняя тема является обобщающей. Откройте тетради, записывайте число и тему урока. Иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. Заметим, что начать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 10а³ - 40а. члены этого многочлена имеют общий множитель 10а. вынесем этот множитель за скобки:

10а³ - 40а = 10а(а² – 4).

Разложение на множители можно продолжить, применив к выражению а² – 4 формулу разности квадратов. В результате получим в качестве множителей многочлены более низких степеней.

Имеем: 10а(а² – 4) = 10а(а + 2)(а – 2).

Значит, 10а³ - 40а = 10а(а + 2)(а – 2).

Пример 2. Разложить на множители многочлен

   18 х³ + 12 х² + 2х.

  Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. вынесем его за скобки:   18 х³ + 12 х² + 2х = 2х (9х² + 6х + 1).

  Трехчлен 9х² + 6х +1 можно представить в виде квадрата двучлена:

         9х² + 6х +1 = (3х + 1)².

  Итак, 18 х³ + 12 х² + 2х = 2х(3х + 1)².

     Открыли учебники, решаем № 934.

(Ученики по очереди выполняют задание на доске)

a)    5x² – 5y² = 5( x² – y²) = 5( x – y)(x + y);

б) am² – an² = a(m² – n²) = a(m – n)(m + n);

в) 2ax² - 2ay² = 2a(x² – y²) = 2a(x –y)(x +y) и т.д.

    № 937. Докажите тождество:

                           a³ – b³ =  (a – b)(a +b)(a² +b²)(a¹ + b¹).

Решение:           a³ – b³ = (a¹)² – (b¹)² = (a¹ – b¹)(a¹ + b¹) =

                    = ((a²)² – (b²)²)(a¹ +b¹) = (a² – b²)(a² + b²)(a¹ + b¹) =

                    = (a – b)(a + b)(a² +b²)(a¹ +b¹).

№ 939. Чтобы разложить на множители сначала надо выносить общий множитель за скобки, затем применить формулы сокращенного умножения.

а) 3х² + 6ху + 3у² = 3(х² + 2ху + у²) = 3( х + у)²;

б) – m² + 2m – 1 =  –  (m²  – 2m + 1²) =  – (m – 1)²;

в) – 4x – 4 – x² = – (2² + 2·2x + x²) = – ( 2 + x)² ;

г) 6p² + 24q² + 24 pq = 6(p² + 4q² + 4pq) = 6(p² + 2p·2q + (2q)²) =

= 6(p +2q)²;

д) 45x + 30 ax + 5a²x = 5x(9 + 6a +a²) = 5x(3² + 2·3a + a²) = 5x(3 +a)²;

е) 18 cx² – 24cx + 8c = 2c( 9x² – 12x + 4) = 2c((3x)² – 2·3x·2 + 2²) =

= 2c(3x – 2)².

№ 940. Разложить на множители выражение  х⁶ – у⁶, представив его в виде:

а) разности квадратов; б) разности кубов.

     а) х⁶ – у⁶ = (х³)² – (у³)²=((х³) – (у³))((х³) + (у³));

     б) х⁶ – у⁶ = (х²)³ – (у²)³ = (х – у)(х² +ху +у²).

     № 949. Решить уравнение:

      а) х³ – х = 0, выносим за скобки общий множитель х,

          х·(х² – 1) = 0, применяем формулу разности квадратов,

          х·(х – 1)·(х + 1) = 0 , произведение равно нулю тогда и только  

          тогда, когда равно нулю один из множителей,

          х = 0,       х – 1 = 0,       х + 1 = 0,

                              х = 1,          х = – 1.       

           Ответ:  0;   1;  –1.

     Пункт б) (учащиеся)  решение  у доски с комментированием 

     9х – х³ = 0,

     х·( 9 – х²) =0,

      х·(3 – х)·(3 + х) = 0,

     х = 0,    3 – х = 0,     3 + х = 0,

                   х = 3,          х = – 3,

      Ответ :   0;  3;   –3.

Учитель: пункт в) решаем вместе  х³ + х² = 0,

Выносим за скобки общий множитель х², получим:

      х²( х + 1) = 0,

      х² = 0,         х + 1 = 0

      х = 0,          х = –1.

       Ответ: 0;     –1.

      Пункт г) решите самостоятельно.

Учитель: (Выставляю оценки особо отличившимся учащимся). Откройте дневники, пишите домашнее задание п. 38, № 936, 938, 941.

      Урок окончен, отдыхайте.