Конспект урока: "Решение логарифмических уравнений"

Урок 47-48

Тема: « Решение логарифмических уравнений» .

Цели урока:

1. Обучающие цели:

 повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений».

2. Развивающие цели: способствование формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развитие математического мышления и речи, развитие навыков использования мультимедиа.

3. Воспитывающие цели: воспитание интереса к математике и мультимедиа, активности, мобильности  инструмента обучения. Формирование навыков адекватной самооценки деятельности.

Тип урока:

систематизация и обобщение знаний умений и навыков.

Задачи урока:

 - учить применять полученные теоретические знания для решения задач;

- учить анализировать условие задачи с тем, чтобы выбрать оптимальный вариант решения;

- осуществлять контроль своих знаний с помощью компьютерных тестов.

- развивать творческую сторону мышления

Ход урока:

 1. Организационный момент

Постановка целей, задач и  основных моментов урока.

2. Кросс – опрос (1-2 минуты) с целью активизации учебной деятельности, концентрации внимания, воспитание интереса к математике. ( На ЕГЭ даётся 3мин. для выполнения заданий В)

1. Числа, расположенные правее нуля.(положительные)

2. Одно из решений уравнения. (корень)

3. Результат умножения. (произведение)

4. Выражение, находящееся под дробной чертой. (знаменатель)

5. Число не являющееся ни отрицательным, ни положительным. (нуль)

6. Логарифм произведения равен …(сумме логарифмов)

7. Число, содержащее в записи запятую.(десятичная дробь)

8. Сотая часть числа. (процент)

9. Расстояние, делённое на время.(скорость)

10. Из двух чисел, расположенных на координатной прямой то число меньше, которое расположено …(левее)

11. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели …(складываются)

12. Логарифм частного равен …( разности логарифмов)

13.Приделении степеней с одинаковыми основаниями показатели …(вычитаются)

1.Актуализация знаний учащихся. ( Презентация).

Фронтальный опрос: (вопросы на слайдах)

1. Дайте определение логарифма (  log_а b=c)

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени в которую нужно возвести число а, чтобы получилось число b,

 где b>0;  a>0;  a≠1,

 т.е. a^с=b

2.  Сформулируйте основные логарифмические тождества

3.   Сформулируйте основные свойства логарифмов

4. Свойства функции у = log_а x, a > 1. (по рис. на слайде)

    1. D(f) – множество всех положительных чисел R+.

2. E(f) - множество всех действительных чисел R.

3. Функция является ни четной, ни нечетной

4. При всех значениях а график функции пересекает ось абсцисс в точке х = 1.

5. Промежутки знакопостоянства:

у > 0 при x € (1; +∞)

у < 0 при х € (0; 1).

6. Функция возрастает при

x € (0; +∞).

7. Функция непрерывна

5. Свойства функции у = log_а x, 0 < a < 1 . (по рис. на слайде)

1. D (f) – множество всех положительных чисел R+.

2. E (f) - множество всех действительных чисел R.

3. Функция является ни четной, ни нечетной

4. При всех значениях а график функции пересекает ось абсцисс в точке х = 1.

5. Промежутки знакопостоянства:

у > 0 при x € (0; 1)

у < 0 при х € (1; +∞).

6. Функция убывает при

x € (0; +∞).

7. Функция непрерывна.

6. Какие уравнения называются логарифмическими?

     Уравнение вида

Log_аf(x) = log_а g(x)

(или сводящееся к этому виду)

называют логарифмическим

7. Методы решения логарифмических уравнений:

1. Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение  log_а х = в (а > 0, а≠ 1, в>0 ) имеет решение  х = а^в. (Пример1)

2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
если , log_а f(х) = log_а g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1. (Пример2)

 3. Метод введение новой переменной. (Пример3)

 4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

                                                                       (Пример4)

5. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (Пример5)

 6. Функционально – графический метод. (Пример6)

- Нужна ли проверка полученных корней при решении логарифмических уравнений? Почему?

- Сформулируйте свойства, которые «работают» при решении логарифмических неравенств.

8. Закрепление навыков решения логарифмических уравнений.

Этапы решения уравнения:( проговорить )

  а) Найти область допустимых значений (ОДЗ)  переменной

  б) Решить уравнение, выбрав метод решения

 в) Проверить найденные корни  непосредственной             

 подстановкой в исходное уравнение или     

 выяснить, удовлетворяют  ли они условиям ОДЗ

 (По каждому методу решаем уравнения у доски с пояснениями- 5 человек) Условия на слайдах

Решение уравнений разными методами  (Работа на доске)

1.log _х+1(2x²+1)=2

   По определению логарифма имеем:  2х²+1=(х+1)²,

    X² -2x=0

    x=2 или x=0.

    Проверка:

    х=0 не может быть корнем данного уравнения, так как основание логарифма х+1≠1. 

 При х=2     log ₂₊₁( 2•2² +1)=_log39=2.

      Ответ: 2.

2. log ₅ x=log ₅ (6-x² )

  Из равенства логарифмов  следует:

  x= 6- x²

   x²-x-6=0;   D=25

  x=-3 или  x=2.

  Проверка:

  x=-3 корнем уравнения быть не может,  так как

 логарифмы отрицательных чисел не существуют.                       

 Log₅ x=_log52,

  Log₅(6-x²) = log₅ (6-2²)=log₅ 2. 

  Ответ: 2.

3. lg² x³ - 10lgx + 1=0

Приведём уравнение к квадратному:

  Т.к.  lg² x³=(lgx³)2=(3lgx)²= 9lg² x, то

   9lg² x - 10lgx+1=0.

   Пусть lg x=y, тогда 9y²- 10y+1=0;  D=64

    y=1 или y=1/9

   lgx=1 или lgx=1/9

   x=10 или   х=10 1/9.

   Проверкой подтверждаем, что оба числа  являются

   корнями.

Ответ: 10; 10 1/9

           4. X ^lgх+2= 1000

Логарифмируя обе части уравнения ( x > 0), получим:

   ( lgx+2)•lgx=lg1000

    Lg² x+ 2lgx- 3=0

    lgx=y

   у²+ 2у- 3=0

   y=- 3, у=1.

  lgx=- 3, x=10-3=0,001;

  lgx=1, x=10

   Выполнив проверку, убедимся, что оба найденных значения переменной являются корнями данного уравнения.

Ответ: 0,001; 10.

Log₁₆ x+log₄ x+ log₂ x=7

  (1/4)log ₂x+ (1/2)log ₂x+ log ₂x=7

  (7/4)log ₂x=7

  Log ₂x=4

  x=16.

Ответ: 16.

Найти корни уравнения

                Log ₃x=4-x

Так как функция у= log ₃ х возрастающая, а функция у =4-х убывающая на (0; + ∞ ),то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Ответ: 3

9. Сообщение о логарифмах.

Послушаем сообщение, посмотрим музыкальный ролик.(в презентации)

10. Итоговый тест. Каждый садится за компьютер и тестируется. Оценку выдает компьютер. ( тест прилагается).

11. Итог урока.

1.  Какие уравнения мы сегодня решали на уроке?

    Какие знания нам помогали их решать?

2.  Открыли дневники, записали домашнее задание (карточки)

3.      Выставление оценок.