Конспект урока "Случайные события и вероятность"

Тема урока: Случайные события и их вероятности.

Ход урока

I.                   Приветствие: Здравствуйте, ребята. Меня зовут Наталья Николаевна. Я надеюсь, что наш урок пройдет плодотворно и для вас и для меня.

II.                Мотивация Когда я готовилась к сегодняшнему  уроку мне на глаза попалась заметка из «Петербургских ведомостей».

«Недавно шел я на Садовую, прошел мимо Апраксина двора и … наткнулся на лохотронщиков. Как будто не было посвященного  им губернаторского гнева – снова преграждают путь, хватают за рукава, ничего не боятся.

И что самое ужасное, некоторые соглашаются сыграть!

А предлагают сыграть в такую игру: кидают 6 карандашей, на каждой грани – числа от 1 до 6. Почему карандаши? К кубикам меньше доверия у игроков. Сумма выпавших чисел суммируется. Если выпадет от 6 очков до 15 или от 30 до 36 очков – большой выигрыш, а если от 15 до 30 очков – проигрыш. Как утверждается, вероятность выигрыша 50 на 50.»

Подумайте, стали бы вы играть в эту игру? А поменяв условия выигрыша и проигрыша наоборот? В первом случае математики откажутся играть, а во втором – охотно согласятся, т.к. сумма очков из середины ряда 6-36 выпадает чаще.

III Организационный момент. Вводная беседа.

В повседневной жизни нам приходится  встречаться с некоторыми случайными событиями, то есть такими, которые могут произойти или не произойти. Например, купив лотерейный билет можно выиграть или не выиграть; завтра на уроке математике вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать; при встрече с соперником команда может выиграть, проиграть или сыграть в ничью.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Тема нашего урока «События и их вероятности». Мы изучим два подхода в теории вероятности: статистический (экспериментальный) и классический. У каждого из вас на столе лежит опорный конспект этого урока, поэтому записывать теоретический материал вы не будете. Нужно внимательно слушать меня и смотреть в конспект. Также у каждого из вас есть сигнальная карта, зеленым цветом вы будете соглашаться со мной или одноклассниками, а красной не соглашаться.

Каждый из нас не отделен от окружающего мира глухой стеной, мы ежедневно сталкиваемся с вероятностными ситуациями.

Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: "Это возможно", "Это непременно произойдет", "Это маловероятно", "Это никогда не случится".

IV Новый материал

Под    СОБЫТИЕМ   понимается явление, которое происходит в результате   осуществления какого-либо   определенного комплекса   условий.

- Определим виды событий.

Достоверное событие, которое происходит при каждом исходе.

Невозможное событие, которое никогда не может произойти.

Случайное событие, вероятность которого выясняется после эксперимента.

Приведем примеры, я буду называть события, а вы определять их вид.

1. БУТЕРБРОД  УПАДЕТ МАСЛОМ ВНИЗ.

2. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА.

3. З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ.

4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ

5. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ.

6. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.

События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, D,….

ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик.

    Определим события:

    А {выпало четное число очков};

    В {выпало число очков, кратное 3};

    С {выпало более 4 очков}.

ЭКСПЕРИМЕНТ (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений).

·         сдача экзамена,

·         выстрел из винтовки,

·         бросание игрального кубика,

Эксперимент называют СТАТИСТИЧЕСКИМ, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.

Вы можете сейчас провести статистический эксперимент. Перед вами лежит игральный кубик, подбросив его,  вы совершите эксперимент, а  результат – это и есть событие или исход эксперимента.

Рассмотрим два наиболее «излюбленных» эксперимента в теории вероятностей.  

Подбрасывание монеты. 2 события (2 исхода): «орел», «решка».

Подбрасывание кубика. 6 событий (6 исходов): выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 1:
Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит.

Например: Вероятность попасть под дождь  в Лондоне гораздо выше, чем в пустыне Сахара.

Значит, вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой.

Можно ли вычислить вероятность события с помощью ряда экспериментов?

Действительно, может достаточно провести эксперимент и посчитать, сколько раз в данной серии испытаний произошло интересующее нас событие. Это и есть статистический (экспериментальный) подход в теории вероятности.

Частота случайного события

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события в серии испытаний, к общему числу проведенных экспериментов:

W(A)=                0W(A) 1

Частота невозможного события = 0; достоверного события = 1; случайное событие имеет частоту от 0 до 1.

V Первичное закрепление

Задание  1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения девочки  в такой серии наблюдений?

Решение W(A)=  = 0,485

Задание  2 Согласно исследованиям в художественных  классических текстах буквы кириллицы появляются с разной частотой. Например относительная частота  появления буквы «в» = 0,038, буквы «м» - 0,026.

 Проверим? На ваших столах лежит стихотворение  А. С. Пушкина  «Я вас любил…». Первый вариант посчитает частоту появления буквы «м», второй – «в». Общее количество букв уже посчитано.

Я вас любил: любовь еще быть может, В душе моей угасла не совсем; Но пусть она вас больше не тревожит; Я не хочу печалить вас ничем.

Я вас любил, безмолвно, безнадежно, То po6ocтью, то ревностью томим; Я вас любил так искренно, так нежно, Как дай вам Бог любимой быть другим

n= 213

Проверка работы с помощью сигнальных карт: зеленая – верно, красная неверно.

VI Новый материал

Мы рассмотрели подход экспериментальный, перейдем к классическому.

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 2:
   Может быть, относительную частоту и нужно принять за вероятность?

Фундаментальным свойством относительных частот является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать его вероятностью.

 Рассмотрим опыт: подбрасывается монета. Событие А – выпадает «орел».

Французский естествоиспытатель Бюффон  (XVIII в.) бросил монету 4040 раз,  и при этом орел  выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

 Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем орел выпал 12012 раз. Следовательно, частота равна

W(A) =  =0,5005

Эти примеры подтверждают естественное предположение о том, что вероятность выпадения орла при одном бросании монеты равна 0,5. Всего исходов – 2, благоприятный для нашего события А – 1.

Классическое определение вероятности

вероятностью события называется отношение числа  m благоприятных исходов события к числу n всех равновозможных  исходов события: р = m/n.

m - число исходов испытания , благоприятствующих наступлению  события А,

n -  общее  число всех  равновозможных несовместных исходов

  Равновозможными называются события, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Обозначение P  происходит от французского слова «probabilite», что означает «вероятность, правдоподобие».

Формула классической вероятности дает очень простой способ вычисления вероятностей.

Но так ли все просто?

Ошибка Даламбера.

      Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера: Опыт имеет три равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) одна из монет упадет на «орла», другая на  «решку». Из них благоприятными будут два исхода.

Правильное решение: Опыт имеет четыре  равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»; 4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла». Из них благоприятными будут два исхода.

Правило: природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

Вывод: Формула классической вероятности дает очень простой способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы обманчива. При ее использовании возникают два очень непростых вопроса:

1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможными, и можно ли это сделать вообще?
2. Как найти числа т и n и убедиться в том, что они найдены верно?

VII Первичное закрепление

Задача 3: В вашем классе 26 человек. Какова вероятность, что случайно вызванный к доске человек окажется мальчиком? Девочкой?

Решение А к доске вызовут мальчика

                  В

Задача 4: Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов?

Решение A {родятся близнецы}

P(A) = 0,012

n= 10000, m-?

Задача 5: Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5?

Решение:

Сколько вариантов нам подходит? 1+4, 2+3, 3+2, 4+1, т.е. 4 варианта.

Сколько всего вариантов выпадения очков на 2 кубиках возможно? На первом – 6. И для каждого из них – любой из 6 способов на втором. Значит, всего – 36.

Т.о., подходит – 4 способа, всего – 36 способов. Значит, вероятность того, что выпадет 5 очков… (пишем на доске) Р = 4/36 = 1/9.

А теперь ответьте на вопрос: какая сумма очков наиболее вероятно выпадет при бросании 2 игральных кубиков?”

1;1	2;1	3;1	4;1	5;1	6;1
1;2	2;2	3;2	4;2	5;2	6;2
1;3	2;3	3;3	4;3	5;3	6;3
1;4	2;4	3;4	4;4	5;4	6;4
1;5	2;5	3;5	4;5	5;5	6;5
1;6	2;6	3;6	4;6	5;6	6;6

Проверка работы с помощью сигнальных карт: зеленая – верно, красная неверно.

IX Рефлексия

·         С какими двумя подходами в теории вероятности мы с вами познакомились? Чем они отличаются друг от друга?

·         Что представляет собой вероятность с точки зрения статистического подхода?

·         … с точки зрения классического подхода?

X Домашнее задание

В качестве домашнего задания я предлагаю вам посетить «Открытый банк заданий ГИА 2012» по ссылке http://mathgia.ru и составить свою подборку задания № 5. На ГИА по математике вы встретитесь с заданием из теории вероятности.

Благодарю за урок. Мне было приятно с вами работать.