Конспекты уроков алгебры в 11 классе по теме: "Логарифмические уравнения"

Урок алгебры в 11 классе по теме: «Решение логарифмических уравнений».

Цель урока: обеспечить закрепление новых понятий логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений.

Задачи урока:

Образовательная: научить учащихся решать логарифмические уравнения методом, основанным на определении логарифма и методом потенцирования.

Развивающая: развивать активную познавательную деятельность обучающихся, интерес к математике, умение преодолевать трудности при решении математических задач.

Воспитательная: воспитывать умение работать в парах; навыки самостоятельной работы.

Планируемые результаты: усвоение учащимися методов решения логарифмических уравнений, в том числе из прототипов ЕГЭ.

Тип урока: урок изучения новой темы.

Технологии обучения: системно-деятельностный подход, развивающее обучение.

Оборудование: мультимедийные средства, презентация по теме урока, карточки с самостоятельной работой, учебник и задачник «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс, профильный уровень, под.ред. А.Г.Мордковича.

Ход урока

I.Организационный момент

II. Проверка домашнего задания: двое учащихся записывают на доске (справа и слева) решение домашней работы, остальные отвечают на вопросы учителя.

№ 16.41 (в, г)

в)  –  =  –

г)  -  -  -  - 1

№ 16.42

а)  +  ·  =  · = 16 + 4 = 20

б)  ·  -  =  · = 3· - 5 = 9 – 5 = 4

в)  +  · = 2⁴ +  = 16 +  = 16 +  = 16 + 0,5 = =16,5

г)  + 14 · = 4 + 14 · = 4 + 14 = 18

Самопроверка домашнего задания.

III. Актуализация знаний учащихся: опрос учащихся у доски.

Вопросы:

- Назовите определение логарифма.

- Запишите основное логарифмическое тождество.

- Перечислите свойства логарифма.

- Запишите формулу перехода к новому основанию.

-Вычислите устно: log ₃81; lg 0,01; 2 log ₂32.

- Найдите х: log₃ x = 4 (х = 81); log₃ (7х-9)=log₃x (х = 1,5)

- Какие уравнения мы решали в последнем задании?

- Значит, сегодня мы изучаем … (логарифмические уравнения).

IV. Изучение новой темы с помощью презентации (слайды 1-4)

Определение

Уравнение вида log_аf(x) = log_аg(x), где а - положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду, называются логарифмическими уравнениями.

- Посмотрим, как вы нашли корень уравнения log₃ x = 4?

- Чем пользовались? (определением)

- Итак, выделим первый метод решения логарифмических уравнений, основанный на определении логарифма.

- Давайте оформим решение второго уравнения

              log₃ (7x – 9) = log₃x

7х – 9 = х

6х = 9

х = 1,5

- Для решения данного уравнения мы использовали метод потенцирования. Этот метод применяется для уравнений вида log _а f(x) = log _а g(x) и сводится к решению уравнения f(x)=g(x). Применение формул потенцирования расширяет область определения уравнения. Поэтому необходима проверка корней. Проверим найденные корни по условиям 7х-9>0 и x>0. Найденный корень х = 1,5 удовлетворяет данным условиям.

- Мы рассмотрели два метода решения логарифмических уравнений. Какие?

(по определению логарифма и метод потенцирования).

V. Формирование умений и навыков по теме урока (опрос учащихся у доски).

№17.1 устно

№ 17.6(а)

Решение: =

                         3х – 6 = 2х – 3

                         х = 3

Проверка:    3·3 – 6 > 0        3 > 0

        2·3 – 3 > 0        3 > 0

Ответ: 3

- При решении логарифмических уравнений можно находить ОДЗ уравнения. Применим этот приём в следующем задании.

№ 17.3(а, в)

а)   = 6    ОДЗ: х > -0,5

     2x + 1 = ( )⁶

     2x + 1 = 8

     x = 3,5 ꞓ ОДЗ

Ответ: 3,5

в)          ОДЗ: х > 0

    16х= (2)⁴

       х= 4 ꞓ ОДЗ

Ответ: 4

№ 17.5(а, б) – решают по вариантам

а)

   = 1

  х₁ = - 7 х₂ = 3

Проверка: х= -7; log _0,1 ( 49 – 28 – 20) = 0                 x = 3; log _0,1 (9+12- 20) = 0

                                                            0 = 0                                                      0 = 0

Ответ: - 7; 3

б)  

  = 7

 

 х₁ = - 4 х₂ = 3

Проверка: х = - 4; log _1/7 (16 – 4 – 5) = -1                 x = 3; log _1/7 (9 + 3 – 5 ) = -1

                                                          -1 = -1                                                    - 1 = - 1

Ответ: - 4; 3

VI. Самостоятельная работа в парах: решают № 17.7(а, б)

Ответы: а) 10   б) 2

Затем получают карточку с логарифмическими уравнениями (прототипы ЕГЭ).

1.Найдите корень уравнения .

2.Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения .

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения .

8. Решите уравнение .

9. Решите уравнение .

10. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Самопроверка решений (ответы проецируются на экран с помощью документ-камеры).

Ответы:

1)- 11  2) 125  3) 1   4) 3  5) 26   6) -11  7) - 21   8) 1   9) 0,8   10) – 3

- Оцените свою работу и сделайте вывод об усвоении темы урока.

VII. Домашнее задание: § 17 (учить определение и теорему), № 17.7 (в, г), № 17.13(а, б)

VIII. Подведение итогов урока

Устно вопросы:

1.             Дайте определение логарифмического уравнения.

2.             Какими методами можно решать логарифмические уравнения?

3.             Дайте определение логарифма.

IX. Рефлексия

- Сегодня на уроке я научился(ась) …

- Лучше всего у меня получалось …

- Основные трудности у меня были …

- Материал урока мне был (понятен/непонятен).

Урок алгебры в 11 классе по теме: «Решение логарифмических уравнений».

Цель урока: совершенствовать у учащихся навыки решения логарифмических уравнений.

Задачи урока:

Образовательная: познакомить учащихся с методом введения новой переменной для решения логарифмических уравнений, с функционально-графическим методом, с логарифмированием обеих частей уравнения.

Развивающая: развивать у учащихся навыки решения логарифмических уравнений различными методами, создать условия для подготовки к ЕГЭ по математике.

Воспитательная: воспитывать настойчивость в достижении цели урока, аккуратность и внимательность при записи решений уравнений.

Планируемые результаты: усвоение учащимися методов решения логарифмических уравнений, в том числе из прототипов ЕГЭ.

Тип урока: комбинированный.

Технология обучения: системно-деятельностный подход.

Оборудование: мультимедийные средства, презентация по теме урока, карточки с прототипами заданий ЕГЭ, учебник и задачник «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс, профильный уровень, под.ред. А.Г.Мордковича.

Ход урока

I.                    Организационный момент 

-Изученные нами определение логарифма, его свойства, свойства логарифмической функции позволяют нам решать логарифмические уравнения. Два метода решения логарифмических уравнений мы разобрали на прошлом уроке. Сегодня рассмотрим ещё два способа. Приглашаю всех к сотрудничеству.

II.                 Проверка домашнего задания: сдают тетради на проверку

III. Самостоятельная работа по прототипам ЕГЭ по теме урока. Двое учащихся показывают решения по окончании работы с помощью документ-камеры или на доске. Взаимопроверка.

Вариант 1	Вариант 2

Ответы:

1 вариант

1)- 12   2) – 22   3) – 11  4) 3

2        вариант

1) 5     2) – 8     3)  – 2    4) – 4

IV. Актуализация знаний учащихся: слайды 5-9

1)При каких значениях х имеет смысл функция:

Функции: а) у = б) у= в) у= г) у = lg|x|

Ответы: а) х>0 б) x<0 в) x>3 г) х – любое, кроме нуля

2)Запишите равенства в виде логарифмических равенств: 2³ = 8; 3⁰ = 1; 4^-2 =

3)Запишите числа в виде логарифма с основанием 2:  4; -2; 0; 1

4) Вычислите:

Ответ: 2

V. Изучение новой темы с помощью презентации (слайды 10-13).

-Кроме изученных нами методов при решении логарифмических уравнений применяют следующие методы:

1. По определению логарифма.
2. Потенцирование.
3.  Введение новой переменной.
4. Логарифмирование обеих частей уравнения.
5. Приведение к одному основанию.
6. Функционально-графический метод.

-Рассмотрим  уравнение:   

- Как будем решать данное уравнение?

(это квадратное уравнение относительно . Можно ввести новую переменную).

-Этот метод так и называется – метод введения новой переменной.

Решение:

 Пусть  .
t₁ = 3   t₂ = -1

      или 
                  

Ответ: 1; .

VI. Закрепление темы урока: опрос учащихся у доски (все отвечающие получают оценки)

№ 17.17(а)

 +       ОДЗ: х – 2> 0     

                                                                       x + 2 >0   →   x ꞓ (2; +∞)

                                                                       2x – 1>0

x² – 4 = 2x - 1

x² – 2x - 3 = 0

x₁ = -1 ꞓ ОДЗ    х₂ = 3 ꞓ ОДЗ

Ответ: 3

№ 17.23(в)

2 - 7                             ОДЗ: х>0

Решение: будем использовать метод введения новой переменной

Пусть у = , получим квадратное уравнение:

2у² – 7у – 4 = 0

у₁ = 4                     у₂ = - 

log _0,3 x = 4            log _0,3 x = - 

x = 0,0081ꞓОДЗ    x = (0,3)^-1/2  = ꞓ ОДЗ

Ответ: 0,0081;

№ 17.24(в)

lg²x – lgx +1 =                                               ОДЗ: х>0

Решение: Пусть у = lgx, получим у² – 2у + 4 =

 (у² – 2у + 4)(2 + у) = 9

у³ + 8 = 9

у³ – 1 = 0

у = 1

lgx = 1; x = 10 ꞓ ОДЗ

Ответ: 10

 

VII. Повторение: решение показательного неравенства с целью подготовки к ЕГЭ

Решить неравенство: 

Решение:

Слева и справа в исходном неравенстве вынесем за скобки общий множитель:

                 

Последнее неравенство равносильно неравенству  х + 2 > 2, т.к. основание (Откуда находим: х > 0.

Ответ:

VIII. Домашнее задание: §17 (учить методы решения уравнений), № 17.9(а, б), № 17.17(в, г)

 

IX. Подведение итогов урока

Устно вопросы

- Что нового узнали на уроке?

- Какое уравнение называют логарифмическим?

- Перечислите методы решения логарифмических уравнений.

 

X. Рефлексия

- Сегодня на уроке я смог (ла) …

- У меня получилось …

- Возникли трудности при решении …

- Урок для меня был (полезен/бесполезен)

- Больше всего мне (не) понравилось …

 

Урок алгебры в 11 классе по теме: «Решение логарифмических уравнений».

Цель урока: закрепить умение решать логарифмические уравнения различными методами.

Задачи урока:

Образовательная: отработать умение применять различные методы и свойства логарифмов для решения логарифмических уравнений.

Развивающая: развивать логические способности, активную познавательную деятельность учащихся на уроке.

Воспитательная: воспитывать навыки самостоятельной работы, способность к самоконтролю.

Планируемые результаты: усвоение учащимися методов решения логарифмических уравнений, в том числе из прототипов ЕГЭ.

Тип урока: комбинированный.

Технология обучения: системно-деятельностный подход.

Оборудование: карточки для самостоятельной работы с прототипами заданий ЕГЭ, учебник и задачник «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс, профильный уровень, под.ред. А.Г.Мордковича.

 

Ход урока

 

I.              Организационный момент

 

II.           Проверка домашнего задания: заранее на доске записать решение домашней работы

№ 17.9(а, б)

а) 3^log ₄ ^(-5x) =       ОДЗ: х < 0

     3^log ₄ ^(-5x) = 3¹

      = 1

     -5x = 4

     x = -0,8ꞓОДЗ

Ответ: -0,8

б) 2^log ₃ ^(2x+8) =         ОДЗ: х> -4

    2^log ₃ ^(2x+8) = 4

     = 2

    2x + 8 = 9

    x = 0,5ꞓОДЗ

Ответ: 0,5

№ 17.17(в, г)

в)  +  =    ОДЗ: х+3>0

                                                                                           x - 3>0  →  xꞓ(3;+∞)

x² – 9 = 2x - 1                                                                    2x - 1>0

x² – 2x - 8 = 0

x₁ = 4ꞓОДЗ     х₂ = -2ꞓОДЗ

Ответ: 4

г)  +  =         ОДЗ:  х  + 2>0

                                                                               x + 3 > 0 → xꞓ(-2;0)

x² +5x + 6 = -2x                                                                   x < 0

x² + 7x + 6 = 0

x₁ = -1 ꞓ ОДЗ   х₂ = -6 ꞓ ОДЗ

Ответ: - 1

Самопроверка домашнего задания.

 

III.       Актуализация знаний учащихся

Устно отвечают на вопросы:

- Назовите определение логарифмического уравнения.

- Какие методы применяют для решения логарифмических уравнений?

- Для чего необходимо выполнять проверку найденных корней при решении логарифмических уравнений?

- Найдите ошибки:

 ;

х = 16²               х² = 9                х = 0,3²           х = 7 ^-2

х = 256            х =  3              х = 0,009         х = -49

 

IV. Закрепление темы урока: опрос учащихся у доски

№ 17.23(г)

3 + 5 - 2 = 0                             ОДЗ: х > 0

Пусть у =

3у² + 5у – 2 = 0

у₁ = -2               у₂ =

Вернёмся к переменной х:

log_0,5x = -2        log_0,5x =

x = 4                 x =  =  

Оба корня удовлетворяют условию х>0

Ответ: 4;

№ 17.29(а)

а)                                         ОДЗ: х > 0, х≠1

Для решения данного уравнения используем формулу перехода к новому основанию:

 + 1 = 2

Введём новую переменную у = , у≠0

Получим уравнение:

 + 1 = 2у

 = 0

                               у₁ = 1        у₂ = -

Вернёмся к переменной х:

                                 -

                            х=3ꞓОДЗ      х^-1/2 = 3;  х =  ꞓОДЗ

Ответ:

V. Углубление в тему урока

1.Решить уравнение  .

Решение.  Обозначим , тогда уравнение примет вид

Решим полученное дробно-рациональное уравнение

                

 Найдем значения старой переменной, решив совокупность уравнений:

          х₁=10,  х₂ =

Ответ: х₁=10,  х₂ = .

- Запишем, что уравнение вида  , можно заменить одной из равносильных ему систем:  или 

- Рассмотрим пример.

2. Решить уравнение  .

Решение. Найдем область допустимых значений данного уравнения, для чего решим систему неравенств:  . Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при  . Поэтому система имеет решение при.

Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов получаем:   

             .

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: ,  ,  . Из найденных значений только  входит в область допустимых значений уравнения.

Ответ: .

VI Самостоятельная работа: учащиеся получают карточки с заданиями по прототипам ЕГЭ, по окончании урока сдают тетради на проверку.

1 вариант 1.Найдите корень уравнения . 2. Найдите корень уравнения . 3. Найдите корень уравнения . 4. Найдите корень уравнения . 5. Найдите корень уравнения . 6. Найдите корень уравнения . 7. Найдите корень уравнения . 8. Решите уравнение . 9. Решите уравнение . 10. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. Ответы: 1 вариант 1)- 57  2) 29  3) 9  4) -4  5) 5   6) 0   7) – 614  8) -0,75   9) 1   10) -2 2 вариант 1) - 5  2) 1  3) 5  4) -6  5) 3   6) -51   7) -10,5  8) -9   9) 1   10) 6

2 вариант 1.Найдите корень уравнения . 2.Найдите корень уравнения . 3. Найдите корень уравнения . 4. Найдите корень уравнения . 5. Найдите корень уравнения . 6. Найдите корень уравнения . 7. Найдите корень уравнения . 8. Решите уравнение . 9. Решите уравнение . 10. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

VII Домашнее задание: § 17 (повторять), № 17.24(г), № 17.31(а), творческое задание: выполнить классификацию методов решения логарифмических уравнений и привести примеры на каждый метод.

VIII Подведение итогов урока

Устно вопросы:

- Какое уравнение называется логарифмическим?

- Назовите методы решения логарифмических уравнений.

- Вычислите:  5^log ₂₅⁴⁹ ;  log₅ 60 – log₅12;  log_0,252; 36^log₆⁵.

IX Рефлексия

- Что нового узнали на уроке?

- Какие трудности возникли во время урока?

- Какие умения и навыки отрабатывали на уроке?

 

 

 

Краткое описание документа:

Разработка содержит три урока алгебры в 11 классе по теме: "Логарифмические уравнения". На первом и втором уроках идёт объяснение нового материала, на третьем уроке - обобщение и систематизация знаний по изученной теме. В конспекты уроков включены карточки для самостоятельной работы, задания повышенной степени сложности по теме урока. Уроки ориентированы на профильный учебник по алгебре под ред. Мордковича А.Г.