«Краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка. Примеры»

АОУ ВПО

Ленинградский государственный университет имени А.С.Пушкина

Кафедра высшей математики

Курсовая работа по дифференциальным уравнениям на тему:

«Краевая задача для  дифференциального уравнения 2-го порядка. Примеры»

студентки 3 курса,

дневного отделения

факультета математики,

физики и информатики

Шишикиной Е.А.

Преподаватель

(ФИО, уч степень, уч звание, долж-ть)

Санкт-Петербург, 2010 г.

Предисловие

Цель курсовой работы исследовать дифференциальные уравнения второго порядка, в частности проанализировать решение краевых задач для дифференциального  уравнения второго порядка.

В данной курсовой работе речь пойдет о дифференциальных уравнениях второго порядка и краевых задачах для данного типа уравнений. Мы рассмотрим следующие понятия:

Ø   Дифференциальные уравнения второго порядка;

Ø   Краевая задача;

Ø   Краевые условия;

Ø   Функция Грина.

Так же рассмотрим применение краевых задач в практической жизни человека, на примере уравнения колебаний струны.

Содержание

Предисловие...................................................................................................... стр.2

Содержание........................................................................................................ стр.3

Введение............................................................................................................. стр.4

Глава 1. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. стр.5

§1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях второго порядка.......... стр.5

п.1.1. Общие понятия......................................................................................... стр.5

п.1.2. Механический смысл дифференциального уравнения второго порядка

............................................................................................................................ стр.6

§2. Введение в краевые задачи.......................................................................... стр.8

п.2.1.Определение краевой задачи..................................................................... стр.8

п.2.2.Постановка краевой задачи....................................................................... стр.8

§3. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши................................. стр.11

§4. Функция Грина............................................................................................. стр.14

Глава 2. Применение краевых задач на практике.............................................. стр.15

§1. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, в частных производных...................................................................................................... стр.15

п.1. Дифференциальные уравнения в частных производных ............................ стр.15

п.2. Вывод уравнения колебаний струны. Понятие о граничных и начальных условиях ............................................................................................................................ стр.17

§2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с заданными краевыми условиями....................................................................... стр.20

Заключение........................................................................................................ стр.24

Список литературы............................................................................................ стр.25

Введение

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века, под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным  и дифференциальным исчислением.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И.Ньютона и Г.Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.

Под обыкновенным дифференциальным уравнением понимается равенство, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию от этой переменной и ее производные. Порядком старшей производной, входящей в состав уравнения задается порядок дифференциального уравнения. Функцией, имеющей соответствующие производные и обращающие уравнение в тождество, определяется решение дифференциального уравнения. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называют его интегрированием.

В данной курсовой работе рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, в частности краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка. А так же во второй главе познакомимся с дифференциальными уравнениями в частных производных, на примере уравнения колебания струны.

Для достижения цели, представленной в предисловии необходимо выполнить следующие задачи:

1.     Ознакомиться с дифференциальными уравнениями второго порядка;

2.     Ввести понятие краевой задачи;

3.           Рассмотреть функцию Грина, и метод отыскания периодических решений;

4.     Исследовать применение данных задач к практике.

Глава 1. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

В данной главе, мы познакомимся с обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, рассмотрим общие понятия о дифференциальных уравнения данного порядка (общие понятия и механический смысл). Также введем понятие краевой задачи и краевых условий для дифференциального уравнения второго порядка.

§1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях второго порядка

п.1.1. Общие понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией у=у(х) имеет вид:

где F- данная функция.

Предполагая, что данное уравнение может быть однозначно разрешено относительно производной , получим:

, где f – некоторая функция.

Общее решение этого уравнения  содержит две произвольные постоянные С₁ и С₂. Поэтому через данную точку М₀(х₀,у₀), проходит пучок интегральных кривых, (рис.1) так как одна из произвольных постоянных остается неопределенной.

Рис.1

Чтобы выделить определенную интегральную кривую, кроме точки М₀, достаточно задать направление касательной в точке М₀ к искомой интегральной кривой:

Таким образом, имеем следующие начальные условия:

Из начальных условий вытекает, что постоянные С₁ и С₂ должны удовлетворять системе уравнений:

.

Теорема о существовании и единственности решений:

Если в некоторой области где а, b, с – положительные числа, функция  непрерывна и имеет ограниченные частные производные то существует единственное решение  дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям  и определенное на некотором отрезке .

п.1.2. Механический смысл дифференциального уравнения второго порядка

Пусть по оси Ох движется материальная точка массы m (рис.2), причем действующая сила зависит от времени t, координаты точки x и ее скорости .  На основании закона Ньютона имеем дифференциальное уравнение движения:

Рис.2

Следовательно, всякое дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно рассматривать как дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки. Начальные условия принимают следующий вид:

 ,

т.е. в начальный момент t₀ задаются: х₀ – начальное положение точки и  - ее начальная скорость.

§2. Введение в краевые задачи

п.2.1. Определение краевой задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее вид:

   , (1)

где                     .

Уравнение такого вида могут иметь бесконечное множество решений. Но на практике необходимо из множества решений выделять только одно. Для этого задают дополнительные условия на концах некоторого отрезка и получают задачу, которую называют краевой задачей.

Условия, которые задаются на концах отрезка называются краевыми условиями. Будем задавать линейные краевые условия вида:

 

                                                                                                 (2)

Решением краевой задачи называется такое решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям.

Однородная краевая задача всегда имеет решение: y≡0 (тривиальное решение).

п.2.2. Постановка краевой задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка: (3)

где у - искомая функция; х - независимая переменная; f - функция, определенная и непрерывная в некоторой замкнутой области D изменения своих аргументов.

Общее решение такого дифференциального уравнения содержит две произвольные постоянные. Если для их нахождения задать при х=x₀ значения у(х₀) искомой функции у(х) и ее производной у'(х₀), то придем к постановке задачи Коши для дифференциального уравнения (3) с двумя начальными условиями. Если же потребовать, чтобы искомое решение у(х) удовлетворяло также двум условиям:

 (4),

но в двух различных точках х=а и х=b, то получим одну из возможных постановок краевой задачи, называемую двухточечной. Соотношения вида (4) называют краевыми условиями данной задачи. Геометрически постановка задачи с краевыми условиями (4) означает, что требуется найти такую интегральную кривую у(х) дифференциального уравнения (3), которая проходит через точки А(а,у_а) и В(b,у_b) (рис. 3).

Рис.3

Возможно видоизменение постановки краевой задачи: найти такое решение y=y(x) дифференциального уравнения (3), чтобы в точках х=а и х=b были выполнены краевые условия для производной функции у(х):

 (5)

где  и  

Такая постановка краевой задачи с геометрической точки зрения соответствует поиску интегральной кривой у(х) дифференциального уравнения (1), пересекающей прямые х=а и х=b под заданными углами  и  (рис.4), где, согласно геометрическому смыслу производной функции у(х),  и .

Рис.4

Условия (4) и (5) принято называть краевыми условиями первого и второго рода соответственно. Очевидно, имеет смысл и постановка смешанной двухточечной краевой задачи, когда в точках х=а и х=b заданы краевые условия разного рода.

Необходимо отметить, что в отличие от задачи Коши, для которой теорема Коши гарантирует при выполнении определенных условий существование и единственность решения дифференциального уравнения, краевая задача для того же дифференциального уравнения может не иметь решения или иметь несколько решений (в том числе и бесконечное множество решений).

§3. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши

Рассмотрим линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

 (6)

Функции p(x), q(x), f(x) предполагаем непрерывными на отрезке [a,b]. Требуется найти на этом отрезке решение y(x) дифференциального уравнения (6), удовлетворяющее краевым условиям:

  (7)

где , В – постоянные, причем  такой вариант краевых условий является линейной комбинацией краевых условий первого и второго рода,  его называют краевыми условиями третьего рода. В частном случае  и  соотношения (7) переходят в краевые условия (4) первого рода, а при ,  - в краевые условия (5) второго рода.

Постановка двухточечной краевой задачи в виде (6), (7) включает линейное дифференциальное уравнение второго порядка и линейные относительно значений искомой функции и ее производных краевые условия. В таком случае говорят о линейной двухточечной краевой задаче. Ее называют однородной, если f(x)=0 и А=В=0, и неоднородной - в противном случае.

Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение у(х)≡0. Однако в прикладных исследованиях часто для однородной задачи представляют интерес решения у(х)0. В этом случае в дифференциальных уравнениях или краевые условия (7) вводят параметр, изменяя который можно добиться, чтобы при некоторых его значениях однородная краевая задача помимо тривиального имела решение, отличное от тождественно нулевого. В некоторых случаях такой параметр уже присутствует в исходной формулировке краевой задачи и имеет вполне определенный физический, механический или геометрический смысл. Эти исключительные значения параметра, при которых однородная краевая задача имеет решение, отличное от тривиального, называют собственными значениями, а отвечающие им решения — собственными функциями этой задачи.

Нахождение собственных значений и собственных функций составляет содержание так называемой задачи на собственные значения, или задачи Штурма - Лиувилля.

Краевую задачу (6), (7) можно свести к задачам Коши для того же дифференциального уравнения (6) второго порядка и соответствующего ему однородного дифференциального уравнения:

 (8)

Для этого решение краевой задачи будем искать в виде

 (9)

где u=u(x) - нетривиальное решение однородного дифференциального уравнения (8), a v(x) - решение неоднородного дифференциального уравнения (6). Ясно, что (9) как линейная комбинация решений неоднородного дифференциального уравнения и соответствующего ему однородного уравнения также является решением дифференциального уравнения (6).

Потребуем, чтобы первое из краевых условий (7) было выполнено для у(х) при любом значении μ. Подставив (9) в это краевое условие, запишем

 

Это равенство будет выполнено при любом значении μ, если приравнять нулю коэффициент при μ, что приведет к двум равенствам

для выполнения которых достаточно, например, положить:

 (10)

 (11)

В случае a₀=0 вместо (11) положим

v(a)=0,  (12)

Таким образом, u(х) есть решение задачи Коши для однородного дифференциального уравнения (8), удовлетворяющее начальным условиям (10), а v(x)- решение задачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям (11) или (12). При этом для любого μ функция у(х)=μu(x) + v(x) удовлетворяет первому из краевых условий (7) (при х=а). Постоянную μ выбирают так, чтобы функция у(х) удовлетворяла второму из краевых условий (7) (при х=b), т.е.

 (13)

Если выполнено неравенство

 (14)

то из (13) находим

 (15)

Следовательно, краевая задача (6), (7) сведена к двум задачам Коши относительно функций u(х) и v(x) для однородного (8) и неоднородного (6) дифференциальных уравнений соответственно. Эти дифференциальные уравнения удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о существовании и единственности решения задачи Коши, т.е. существует единственное решение u(х) дифференциального уравнения (8), удовлетворяющее начальным условиям (10), и единственное решение v(x) дифференциального уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям (11) или (12). Поэтому при выполнении неравенства (14) существует решение рассматриваемой линейной краевой задачи (7), (8).

Отметим, что если исходное дифференциальное уравнение (6) будет однородным, т.е. f(x)=0, и в (7) А=0, то в силу начальных условий (11) или (12) имеем v(a)=0 и v'(a)=0, и поэтому v(x)=0. Тогда при выполнении неравенства (14) получим где u(х)- решение дифференциального уравнения (8), удовлетворяющее начальным условиям (10).

Сведение задачи с краевыми условиями к задаче Коши рассмотрим на примере 7, главы 2, §2.

§4. Функция Грина

Определение: Функцией Грина называется функция G(x,s), определенная при и при каждом фиксированном  обладающая свойствами:

1. при функция G(x,s) удовлетворяет уравнению:

                                                                                                             (16)

2. при x=a и x=b функция G(x,s) удовлетворяет краевым условиям (2);

3. при x=s функция G(x,s) непрерывна по x, а ее производная по x терпит разрыв первого рода со скачком, равным 1/а(s), т.е. G(s+0,s)=G(s-0,s),  (17)

Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (16) с краевыми условиями (2), необходимо найти два решения y₁(x) и y₂(х), отличные от y(x)≡0, уравнение (16), удовлетворяет соответственно первому и второму из краевых условий (2).

Если y₁(x) не удовлетворяет одновременно обоим краевым условиям, то функция Грина G(x,s) существует и ее можно представить в виде:

                                                                 (18)

где функции  и  подбираются так, чтобы функция (18) удовлетворяла условиям (17), т.е. чтобы  

Если найдена функция Грина G(x,s), то решение краевой задачи (16), с краевыми условиями (2) выражается формулой:

Замечание: Из определения функции Грина еще не следует ее существование для каждой краевой задачи.

Глава 2. Применение краевых задач на практике

Краевые задачи на практике применяются:

ü   в изучении течения жидкостей в каналах;

ü   уравнение колебаний струны;

ü   рассеяние волн областью с неровной поверхностью

ü   и т.д.

В данной главе мы рассмотрим, как можно физическую задачу свести к математической задаче.

А так же рассмотрим примеры решения уравнений для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

§1. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных

п.1. Дифференциальные уравнения в частных производных

В главе 1 данной курсовой работы были рассмотрены дифференциальные уравнения, в которых участвовали искомые функции от одной независимой переменной, вместе с их производными. Эти уравнения носят названия обыкновенные дифференциальные уравнения.

Однако, в различных технических вопросах наиболее часто встречается искомой функция, u, от двух независимых переменных, x и t:

причем условия поставленного вопроса дают для ее определения некоторое соотношение, связывающее не только величины x, t, y, но и частные производные:

т.е. соотношение вида:

. (1)

Такое соотношение называется дифференциальным уравнением в частных производных; порядок его определяется порядком наивысшей встречающейся в нем производной. Число независимых переменных может оказаться более двух. Для техники наибольшую важность представляют линейные уравнения в частных производных второго или высшего порядка.

Уравнение (1) называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех производных и не содержит их произведений, т.е. это уравнение может быть записано в виде

 

Причем коэффициенты A, B, C, a, b, c зависят только от x и y.

Если эти коэффициенты не зависят от x и y, то уравнение (2) представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Пусть D = B²-4AC – дискриминант уравнения. В зависимости от значения D уравнение (2) относится к одному из следующих типов:

 D > 0 – эллиптический тип;

 D = 0 – параболический тип;

 D < 0  - гиперболический тип;

D не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.

Дифференциальное уравнение с частными производными имеет  в общем случае бесчисленное множество решений. Для конкретного решения уравнения нужны дополнительные условия – начальные или краевые условия. Начальные условия характеризуют процесс в начальный момент времени. Краевые условия описывают состояние физического процесса в граничных (краевых) областях (точках).

Краевые задачи ставятся следующим образом: найти функция u, которая удовлетворяет уравнению Лапласа:

Во всех внутренних точках области S, а на границе области  - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие краевые задачи:

 - задача Дирихле;

 - задача Неймана.

В следующем пункте представлена краевая задача для  дифференциального уравнения второго порядка в частных производных, на примере уравнения колебания струны. 

п.2. Вывод уравнения колебаний струны. Понятие о граничных и начальных условиях

Рассмотрим натянутую струны, т.е. тонкую гибкую упругую нить, расположенную в плоскости Oxu, которая в результате известного возмущения была выведена из положения равновесия Ox. Изучим поперечные колебания струны, полагая, что при таком колебании струны ее  точки движутся перпендикулярно оси Ox.

Обозначим через u=u(x,t) – смещение точки струны с абсциссой х в момент времени t относительно оси Ох (рис.5).

Тогда функцией u(x,t) при  опишется процесс колебаний струны: для любого фиксированного момента времени t=t₁ выражением u=u(x,t₁) определяется мгновенной профиль струны.

Сделаем следующие допущения:

1.           Предположим, что струна совершает малые колебания, т.е. ее форма в процессе колебаний незначительно отличается от прямой u=0. Будем предполагать, что наклон касательной к графику функции u(x,t), t=const, т.е. , есть малая по модулю величина по сравнению с единицей. Отсюда получаем, что  и

2.           К концам участка струны приложены направленные по касательной упругие силы натяжения (рис.5), модули которых равны:  и являются практически постоянными, т.е. Т₀  не зависит от х и t.

3.           На струну действуют непрерывно распределенные внешние силы, перпендикулярные оси Ox, с плотностью (нагрузкой) p(x,t), рассчитанной на единицу длины.

Вырежем из струны бесконечно малый элемент , абсциссами которого являются х и х+dx. Воздействие отброшенной левой и правой частей струны заменим соответствующими силами натяжения. Тогда элемент  можно рассматривать, как свободную материальную точку, находящуюся под действием упругих сил  и внешней силы  - орт оси Оu.

Пусть  - линейная плотность струны в точке х. Так в положении равновесия масса элемента равна , то в силу сохранения массы, элемент   имеет ту же массу. Обозначим через  и  углы, образованные с осью Ох касательными к профилю струны в момент времени t в точках М  и  соответственно. Проектируя на ось Ou силы, приложенные к элементу , в силу закона Ньютона и предположения 2) получим:

 (1)

Согласно предположению 1) углы  и  малы, поэтому:

 (2)

и

 (2*).

Для подсчета (2*) используем следующую формулу: , справедливую с точностью до бесконечно малых высших порядков.

Получаем:

 (3)

Подставляя выражение (2) и (3) в формулу (1), получим:

 (4)

Мы получили искомое уравнение малых вынужденных поперечных колебаний струны.

В случае постоянной плотности () это уравнение принимает вид:

. (5),

где , а  - плотность силы, отнесенная к единице массы.

При отсутствии внешней силы (P(x,t)=0) мы получаем уравнение малых свободных колебаний струны:

 (6)

Уравнение (4), как показано выше, имеет бесчисленное множество решений. Поэтому для однозначной характеристики процесса колебаний необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия, вытекающие их физического смысла данной задачи. Эти условия могут быть весьма разнообразными. В простейшем случае, как и в динамике точки, задается положение и скорость точек струны в начальный момент времени:

 (7)

Эти условия, которым должно удовлетворять решение u(x,t) при t=0,  называются начальными условиями.

Если струна ограничена, то необходимо задать условия на ее концах. В частности, для струны, концы которой x=0 и x=l закреплены,

 (8)

при всяком . Условия (8) – граничные (краевые) условия.

Таким образом, физическая задача о колебаниях струны, закрепленной на концах, свелась к следующей математической задаче: найти решение u(x,t) уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (7) и граничным условиям (8). Такая задача называется смешанной краевой задачей для уравнения колебания. К ней также можно прийти при изучении одномерных колебаний идеального газа или одномерных продольных колебаний стержня.

§2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с заданными краевыми условиями

Пример 1. Найти решение уравнения , удовлетворяющее краевым условиям y(0)=3,  

Решение:

Все решения данного дифференциального уравнения выражаются формулой , где C₁, C₂ – произвольные постоянные. Подберем C₁ и C₂ так, чтобы удовлетворялись заданные краевые условия, т.е. определим постоянные C₁ и C₂ из уравнений C₁ +C₂=3, C₁ +C₂e - C₂e=1. Отсюда С₁=1, С₂=2. Таким образом, решением краевой задачи является функция

Пример 2. Найти решение уравнения  удовлетворяющее краевым условиям  

Решение: Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид  Условие y(0)=0 удовлетворяется при С₁=0, при этом y=C₂sinx. Если , где n – целое число, то из второго граничного условия находим: , .

Следовательно, в этом случае существует единственное решение данной краевой задачи:

.

Если , то из второго краевого условия имеет бесконечное множество решений: , где С₂ может принимать любые значения.

В случае, если , а  указанным краевым условиям не удовлетворяет ни одно решение данного дифференциального уравнения, т.е. краевая задача решений не имеет.

Пример 3: Решить краевую задачу:

Решение: Общее решение данного уравнения имеет вид:

Подставим общее решение в заданные краевые условия, получим систему уравнений относительно постоянных C₁ и C₂:

Отсюда находим: C₁=-2, C₂=1.

Следовательно,  

Пример 4: Решить краевую задачу

Решение: Общее решение данного уравнения имеет вид:

Так как  то из общего решения следует, что  Из краевого условия  следует, что

В результате получаем:

Пример 5: Построить функцию Грина для краевой задачи

Решение: Общее решение уравнения  есть  Условию y(-1)=0 удовлетворяет, например, решение , а второму краевому условию – решение

Функцию Грина для указанной краевой задачи ищем в виде:

где функции  и  определяются из условий  Отсюда

Таким образом, искомая функция Грина имеет вид:

Построив функцию Грина G(x,s), запишем решение данной краевой задачи:

Пример 6: Решить краевую задачу  ограничена при

Решение: Построим функцию Грина для этой задачи. Общее решение уравнения  есть  Решение  удовлетворяет первому краевому условию, а решение  удовлетворяет второму краевому условию, поэтому функцию Грина ищем в виде:

Функции  и  определяем из условий

, т.е.  Отсюда получаем:

Искомое решение имеет вид:

Пример 7: Решить краевую задачу

На примере этой краевой задачи проиллюстрируем метод приведения краевых задач к задачам Коши. В данном случае такое приведение не эффективно, но во многих случаях, особенно в связи с методами численного решения, этот прием оказывается полезным. Найдем решение указанной краевой задачи в виде:

 где  соответственно решения таких задач Коши:  Решив каждую из этих задач Коши, находим:

 Подберем в выражении

коэффициенты a и b так, чтобы это выражение удовлетворяло краевым условиям. Подставляя в  краевые условия, получаем уравнения для определения a и b: a=b, 6a+b=7.

Отсюда a=b=1. Таким образом, искомое решение имеет вид:

Заключение

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Важная особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.

В данной курсовой работе мы познакомились с понятиями дифференциального уравнения, краевых условий; рассмотрели применение дифференциальных уравнений второго порядка к практике.

Список литературы

1.           Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Диффенциальные уравнения. Математика в техническом университете. Выпуск 8. Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2003 – 348.

2.           Демидович Б.П., Моденов В.П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. 3-е изд.,стер. – Спб.: Издательство «Лань», 2008. – 288 с.

3.           Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. – М.: Физматлит, 2005. – 384 с.

4.           Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнения. М., 1965. – 704 с.

5.           Кисилев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным уравнениям.  – М.: Изд-во «Высшая школа», 1965. – 235 с.

6.           Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176 с.

7.           Фихтенгольц Г.М. Математика для инженеров, часть вторая, выпуск второй. Государственное технико-теоретическое издательство Ленинград, Москва 1933 г.