Инфоурок › Алгебра ›Конспекты›Курсовая работа Первообразная и неопределённый интеграл

Курсовая работа Первообразная и неопределённый интеграл

Скачать материал

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ. …………………………………………………………………………….3

I. Первообразная и неопределённый интеграл …………………..4

II. основные свойства неопределённого интеграла…………5

III.ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ……………………………6

IV.МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ…………………………………………………7

1)Непосредственное интегрирование………………………………………………...7 2) Интегрирование рациональных функций…………………………………..........8

3) Интегрирование тригонометрических функций……………………………….10 4). Метод подведения под знак дифференциала…………………………………...13 5) Метод замены переменной………………………………………………………...14

6) Метод интегрирования по частям……………………………………………….15 7) Формулы приведения………………………………………………………………18

V.ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ………………………………………………….19

VI.ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ…23

Список литературы……………………………………………………………27

ВВЕДЕНИЕ

Математика – одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Интеграл (от лат. Integer – целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. П. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления. Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа. Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов. Рассматриваемая в интегральном исчислении математическая операция (обратная к дифференцированию) называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием. При решении тех или иных технико-экономических задач приходится суммировать бесконечно большое число бесконечно малых величин. Это приводит к одному из центральных понятий математики – понятию определенного интеграла В практике экономического анализа с вычислением интегральных сумм мы сталкиваемся чаще, чем это принято считать. Примером могут служить вычисления различных по смыслу величин накопительным итогом при переходе от потоковых (скоростных, темповых) их характеристик к абсолютным (расходование различных видов материалов, энергии, приведенных во времени затрат), при построении интегральных функций распределения как для дискретных (кумулята), так и для непрерывных случайных величин, при вычислении вероятностей и ожидаемых значений.

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого х Х функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Рассмотрим примеры

Пример. Функция F(x) = является первообразной для функции f(x) = на промежутке (-, +), так как при любых х из данного промежутка выполнено равенство ()' =

Пример. Функция F(x) = ln x — первообразная для функции f(x) = 1/x на промежутке (0, +), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство (ln x)' =1/x.

Задача отыскания по заданной функции f(x) еe первообразной неоднозначна; если F(x) — первообразная, то и функции F(x) + С, где С - произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), так как [F(x) + С]' = f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

В этом обозначении называется знаком интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование), f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х — переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Рассмотрим примеры.

Пример. = x² + С; проверка: (x² + С)' = 2х.

Пример. = - cos х + С; проверка: (-cos х + С)' = sin x.

Пример. = е³^x + С; проверка: (+ C)' = е^3x.

Пример. dx=; проверка '= x⁵.

Пример.= ; проверка (= .

Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство

плоских кривых, смещенных друг относительно друга вдоль вертикальной оси.

II. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла:

1)Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

d ò f(x)dx=f(x)dx или

2) Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывной дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого:

ò df(x)=f(x)+C,

3) Отличный от нуля постоянный множитель а можно выносить за знак неопределенного интеграла:

ò af(x)dx=aò f(x)dx (a=const).

4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:

ò(f(x)±g(x))dx= ò f(x)dx± ò g(x)dx.

Свойства 1. и 2. показывают, что символы интеграла и дифференциала, стоящие последовательно, взаимно уничтожают друг друга.

Свойство 4. Справедливо для любого конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.

III. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Рассмотрим таблицу основных неопределенных интегралов, которая представляет собой вычислительный аппарат интегрального исчисления. Часть формул таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

Операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Укажем некоторые из них.

Каждый из этих интегралов есть функция, которая не является элементарной, хотя подынтегральные функции в этих интегралах являются элементарными. Они играют большую роль в прикладных науках; так, интеграл 1 является одним из основных в теории вероятностей и статистике.

Как правило, интегралы, с которыми приходится иметь дело в различных приложениях, не выражаются элементарными функциями (или, как принято говорить, являются «неберущимися»). Тем не менее существуют достаточно хорошо разработанный аппарат приближенных формул с использованием элементарных функций и методы приближенных расчетов, позволяющие с любой степенью точности оценивать и вычислять «неберущиеся» интегралы.

IV. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1)Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших интегралов называется непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах.

2) Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) – полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1)Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение; 2)Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений; 3)Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов; 4)Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби . Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где, - правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициэнтов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , … должно быть равно степени знаменателя Q(x).
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициэнты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициэнтов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , …. Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициэнтов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

2.dx =

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где

Затем применяются следующие формулы:

Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

Пример.

Вычислить интеграл .

Решение.

Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.

Получаем

Пример.

Найти интеграл .

Решение.

Разложим подынтегральное выражение на сумму двух дробей.

Найдем неизвестные коэффициенты.

Отсюда получаем

Подынтегральное выражение представляется в виде

Исходный интеграл равен

3) Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида

вычисляют, используя следующие тригонометрические формулы:

Пример. Вычислить интеграл .

По первой формуле, полагая α = 3x,β = 6x, получим:

Интегралы вида вычисляют, используя формулы

Пример. Вычислить .

Используя первую формулу, получим:

Интегралы вида

вычисляют, используя формулу и метод подведения под знак дифференциала.

Пример. Вычислить .

Преобразуем подынтегральное выражение

Тогда

При интегрировании использованы формулы

Интегралы вида

при вычислении используют тригонометрические формулы

Пример. Вычислить .

Преобразуем подынтегральное выражение

Тогда

При вычислении использованы формулы

4) Метод подведения под знак дифференциала — частный случай метода замены переменной.

Пусть требуется вычислить Предположим, что существуют дифференцируемые функции u = φ(x) и g(u), такие, что f(x)dx = gтогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Пример.

При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:

1.; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7.; 8.;

9. ; 10. ;

11. .

Пример.

5) Метод замены переменной

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Теорема (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X – множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

f(x)dx = f(f (t))f’ (t)dt. (1)

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F(f (t)))' = F'_x(f(t))f '(t) = f(f(t))f '(t).

Таким образом,

f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C.

Так как f(x)dx = F(x)+C, то получим формулу (1).

Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z=g(x) имеет на [a,b] непрерывную производную и a £ g(x) £b, то

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(z) dz,

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(g(x)) dg(x).

Например:

1) ;

2).

6) Метод интегрирования по частям

Пусть u = f(x) и v = g(x) -–функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -–du.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

ò udv = uv - ò vdu.

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

ò x^kln^mx dx, ò x^k sin bx dx, ò x^k cos bx dx, ò x^k e^ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям. При интегрировании по частям к множителю u следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где Р(х) – многочлен, за u следует взять Р(х), оставшееся выражение за dv.

Пример :

–

В интегралах вида

за dv следует взять выражение Р(х)dx, оставшуюся функцию взять за u.

Пример:

При интегрировании по частям несколько раз в процессе вычисления можно получить исходный интеграл как составную часть выражения, поэтому приходится решать линейное уравнение для нахождения этого интеграла. Интересны с этой точки зрения интегралы вида:

$\int e^{ax}\sin bx\,dx,$

где a и b — константы, отличные от нуля.

Найдём их, полагая u = sinbx (соответственно $du=b\cos bx\,dx$ ) и $dv=e^{ax}\,dx$ (соответственно $v=\frac{1}{a}e^{ax}$ ). Тогда интеграл преобразуется к виду:

$\int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}\sin bx-\frac{b}{a}\int e^{ax}\cos bx\,dx.$

Повторное интегрирование по частям с тем же выражением $dv=e^{ax}\,dx$ и u = cosbx (du = − bsinbx) даёт:

$\int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}\sin bx-\frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\cos bx+\frac{b}{a}\int e^{ax}\sin bx\,dx\right).$

Мы получили линейное уравнение относительно интересующего нас интеграла. Раскрывая скобки и перенося интеграл в левую часть, найдём, что:

$\int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{a\sin bx-b\cos bx}{a^2+b^2}e^{ax}+C.$

Таким же образом можно получить:

$\int e^{ax}\cos bx\,dx=\frac{b\sin bx+a\cos bx}{a^2+b^2}e^{ax}+C.$

Пример.

Применим подстановку тогда и

Последний интеграл можно найти, применив формулу интегрирования по частям два раза. Положим , тогда . Поэтому

Для последнего интеграла применим формулу интегрирования по частям, полагая , тогда . Теперь имеем:

Отсюда имеем .

Таким образом .

Окончательно получаем

7) Формулы приведения

Под формулами приведения в интегральном исчислении понимают формулы, позволяющие понизить степень в подынтегральной функции. Например, рассмотрим интеграл

$\int x^\alpha\ln^m x\,dx,$ (*) где $\alpha\in\R,\;m\in\N$ .

Если α = − 1, то интеграл берётся просто: нужно представить $x^{-1}\,dx$ как d(lnx) и взять интеграл от степенной функции. Рассмотрим случай, когда $\alpha\neq -1$ .

Применим интегрирование по частям, приняв u = ln^mx:

$\int x^\alpha\ln^m x\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}\ln^m x-\frac{m}{k+1}\int x^\alpha\ln^{m-1} x\,dx.$

Снова пришли к интегралу того же вида, но со степенью логарифма на единицу ниже. Продолжая , мы в конце концов придём к интегралу, не содержащему lnx.

Если в интеграле сделать замену t = lnx, то интеграл (*) перейдёт в интеграл вида:

и аналогичным образом вывести формулу приведения, полагая u = x^m:

$\int x^m e^{\alpha x}\,dx=\frac{x^m}{\alpha}e^{\alpha x}-\frac{m}{\alpha}\int x^{m-1} e^{\alpha x}\,dx.$

Очень часто формулы приведения используют для интегралов вида:

$\int [f(x)]^n\,dx$

или

$\int [f(x)]^n[\varphi(x)]^m\,dx,$

где $n,\;m\in\Z$ .

Для таких интегралов формулам приведения придают такой вид, чтобы показатели m и n уменьшались или увеличивались таким образом, чтобы получить такой вид подынтегральной функции, интеграл от которой известен.

V.ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x₀< x₁ <...<x_n = b. Из каждого интервала (x_i_-₁, x_i) возьмем произвольную точку x_iи составим сумму f(x_i)Dx_i, где
D x_i = x_i -–x_i_-₁. Сумма вида f(x_i)Dx_i называется интегральной суммой, а ее предел при l = max Dx_i®0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

f(x_i)D x_i.

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, kÎR);

5) ;

6) ;

7) f(x)(b-a) (xÎ[a,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Если F(x ) – одна из первообразных непрерывной на [a; b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона – Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

. Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода -–это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+¥), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+¥). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует, или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(-¥, b] и (-¥, +¥):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

= .

Если функции и непрерывны вместе со своими производными на [a; b], то имеет место формула интегрирования по частям

Если функция f(x) непрерывна на [a; b], а функция непрерывно дифференцируема и строго возрастает на [α;β], φ(α)=a, φ(β)=b, то справедлива формула

называемая формулой замены переменной в определенном интеграле.

При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.

Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

Пример.

Решение. Выполним подстановку t = 1 + х². Тогда dt = 2х dx, t = 1 при х = 0 и t = 2 при х = 1. Поскольку функция х = непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее существует первообразная на этом отрезке. Получаем

= ==

Пример.dx

Решение. Применим здесь подстановку х = a sin t. Тогда dx = a cos t dt, = a cos t, t = arcsin , t = 0 при x = 0, t = при x = а. Подставляя все это в исходный интеграл, получим

Пример: Вычислить интеграл

Пример.

Вычислить интеграл

Решение.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

Пример.

Вычислить интеграл

Решение.

Пример.

Вычислить интеграл

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2 Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

Пример.

Вычислить интеграл .

Решение.

Запишем интеграл в виде

Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет

Следовательно, интеграл равен

Пример. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Но подынтегральная функция f(x) = > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) = имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

VI.ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ

Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в ходе изучения определенного интеграла можно наглядно познакомиться с методами решения экономических задач, связанных с анализом воздействия конкретных мер государственной политики на благосостояние потребителей и

производителей продукции.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих приложение определенного интеграла для решения задач такого типа.

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые

предельные величины , т.е. для данной величины, представляемой некоторой

функцией y=f(x) , рассматривают её производную f´(x) .Например, если дана

функция издержик С в зависимости от объема q выпускаемого товара С=С(q) , то предельные издержки будут задаваться производной этой функции

МС=С´(q). Её экономический смысл –это издержки на производство

дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится

находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.

Интересной иллюстрацией возможности применения интегралов для

анализа социально- экономического строения общества является так

называемая “диаграмма или кривая Джинна” распределения богатства в

обществе. Рассмотрим функцию d(z) , которая сообщает , что z –я часть

самых бедных людей общества владеет d(z)-й частью всего общественного

богатства. Если бы распределение богатства было равномерным , то график

функции d(z) шел бы по диагонали квадрата. Поэтому чем больше площади

заштрихованной линзы ,тем неравномернее распределено богатство в

обществе. Величина этой площади называется также “коэффициентом

Джинни” .Можно придумать много аналогичных характеристик; например

,для оценки распределения заработной платы в фирме или акций среди

сотрудников и т.п. Соответствующие функции Джинни наверняка будут

довольно сложными и без интегралов не обойтись.

Велика в экономике и роль средних величин. Напомним, что среднее

значение величины x , изменяющейся во времени по закону x(t) на

промежутке[a,b] ,есть [1/(b-a)]·∫x(t)dt. По своему смыслу среднее значение

есть интегральная характеристика поведения величины “в целом”, на всем

промежутке.

Примером использования интегрального исчисления в экономике,

может служить, понятие излишек производителя(PS- producer surplus).Не

вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой

разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать

Q* единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже

этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью

фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой,

параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия. Очевидно, что PS=P*Q*-∫f(Q) dQ.

Рассмотрим примеры использования интегралов в экономических расчетах.

Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой

V =.

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4

Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V =.

Определенный интеграл используется в экономике и для определения объема выпуска продукции.

Считая, что объем продукции, произведенной в единицу времени (производительность), является непрерывной функцией f(t) от времени t, выпуск продукции за промежуток времени [О, Т] можно вычислять по формуле Q =

Пример. Найти дневную выработку Q за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = -0,1t² + 0,8t + 10.

Решение. ₈

Q=) ≈88,53

Одной из важнейших проблем в социальных и экономических

науках является проблема измерения социального неравенства.

Наиболее распространена следующая методика изучения. Сначала по тому или иному критерию (имуществу, количеству земли и т. п.) вся совокупность людей, семей или хозяйств делится на несколько групп, чаще всего на три: богатые, средние, бедные; затем определяется доля каждой группы. Если в соц структуре преобладают «середняки», а крайние группы по численности одинаковы, то делается вывод о том, что данная социальная совокупность более или менее однородна, если же, наоборот, большая часть населения принадлежит к крайним группам, то считается, что налицо сильное расслоение и неравенство. При

изучении социальной структуры в динамике исходят из мысли, что если в интервале времени наблюдалось изменение в соотношении социальных прослоек в пользу крайних за счет средней группы, то дифференциация и неравенство углубились.

Подобную методику измерения социального неравенства называют методикой соотношения имущественных прослоек. Ее недостаток состоит в том, что вынуждает исследователя оценивать неравенство на глаз и только в качественном отношении: уменьшилось—увеличилось, сильное—слабое.

В последнее время в социальных и экономических науках при изучении неравенства все чаще применяется математика.

Разработано несколько видов коэффициентов — коэффициент Лоренца, коэффициент Джини, коэффициент Шютца, коэффициент дифференциации и другие . Преобразование данных в математическую форму дает исследователю много новой ценной информации, которая выражается в концентрированном виде, имеет четкий и ясный смысл.

ЛОРЕНЦ (Lorenz) Макс A876-1959) — американский экономист и статистик. Дал графическую интерпретацию неравенства в распределении дохода в обществе (кривая Лоренца).

ДЖИНИ (ДЖИННИ) (Gini) Каррадо A884-1965) - итальянский экономист, статистик, демограф.

Приведем пример использования коэффициента Джини для определения степени неравенства по кривой Лоренца. Кривая Лоренца выражает график зависимости процента доходов от процента, имеющего их населения. По оси Оу откладывается доля населения, имеющих определенный доход; по оси Ох откладывается доля доходов, приходящийся на определенную долю населения. С помощью кривой Лоренца можно оценить степень неравенства в распределении доходов населения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демедович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М.: Наука, 1974.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах : Учебное пособие для студентов втузов. В 2-х ч. -4-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк., 1986.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. - М.: Наука. 1980

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2 т. - М.: Высшая школа. 1981.

5. Никольский С.М. Курс математического анализа: В 2 т. - М: Наука. 1983.

6. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Краткий курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1978.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т.- М.: Наука, 1969.

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

Пример 3.34. Найти ò arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда ò arctg x dx = x arctg x - ò x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как
ò x dx/(x²+1) = 1/2 ò d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

Пример 3.35. Вычислить ò ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ò ln x dx = x lnx - ò x 1/x dx =
= x lnx - ò dx = x lnx - x + C.

Пример 3.36. Вычислить ò e^xsin x dx.

Решение. Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^xdx, v=ò sin x dx= - cos x Þ ò e^xsin x dx = - e^x cos x + ò e^xcos x dx. Интеграл ò e^xcos x dx также интегрируем по частям: u = e^x, dv = cos x dx Þ du=e^xdx, v=sin x. Имеем:
ò e^xcos x dx = e^x sin x - ò e^xsin x dx. Получили соотношение ò e^xsin x dx = - e^xcos x + e^xsin x - ò e^xsin x dx, откуда 2 ò e^xsin x dx = - e^xcos x + e^xsin x + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ò cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= ò cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J = ò cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример 3.38. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 3.39. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =
=
=.

Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Пример 3.41. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) = += ;

= = .

8.2.Использование интегралов в экономических расчетах

Пример 3.42. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой

V =.

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

Пример 3.43. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V =.

Пример 3.44. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени d _t = f(t), тогда наращенная сумма находится как

S = P exр d _t dt,

а современная величина платежа P = S exр(- d _t dt).

Если, в чаcтности, d _t является линейной функцией времени:
d _t = d _o + at, где d _o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то

d _t dt = (d _o + at)dt = d _on + an²/2;

множитель наращения exр(d _on + an²/2). Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d _t = d _o a^t, где d _o - начальное значение процентной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда

d _t dt = d _o a^t dt = d _o a^t /lna= d _o(aⁿ-1)/lna;

множитель наращения exр(d _o(aⁿ-1) / lna).

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит exр (0,08 (1,2⁵-1) / ln1,2) »
» exр 0,653953 » 1,921397.

Пример 3.45. Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией
R _t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна .

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S = .

Современная величина такого потока равна

A = .

Пусть функция потока платежей является линейной: R_t = R_o + at, где
R_o - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A = = + .

Обозначим A₁ = , A₂ = .

Имеем: A₁ = = - R_o/dê= - R_o/d(-e^o) = - R_o/d(-1) =
= R_o(-1)/d. A₂ = . Вычислим неопределенный интеграл
по частям: u = t, dv = dt Þ du = dt, v = = - /d, тогда = - t/d + 1/d = - t/d (t+1/d) +C. Следовательно,
A₂ = -a t/d (t+1/d)ê= ((1- )/d - n)a/d.

Итак, исходный интеграл

A = A₁+A₂ = R_o(-1)/d + ((1- )/d - n)a/d.

Применение интегрального исчисления

в социально-экономической сфере

13.1. Вычисление объема выпущенной продукции

Как уже отмечалось выше (см. п. 12.4), определенный инте-

интеграл используется в экономике и для определения объема выпуска

продукции.

Считая, что объем продукции, произведенной в единицу

времени (производительность), является непрерывной функ-

функцией f(t) от времени t, выпуск продукции за промежуток

времени [О, Т] можно вычислять по формуле Q =

Пример 1. Найти дневную выработку Q за рабочий

день продолжительностью 8 часов, если производительность

труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = -0,1t² + 0,8t + 10.

Решение. ₈

Q=) ≈88,53

⁰

Задача 1. Найти объем продукции, выпущенной за год

B58 рабочих дней) при 8-часовом рабочем дне, если производи-

производительность задана функцией /(?) = -0,003312 - 0,0891 + 20,96,

0 < t < 8.

Указание. Сначала найти объем продукции за 8 часов, затем

умножить на 258.

Ответ: 42 381 ед.

V Пример 2. Пусть известно, что

в начальный момент времени t = 0 на

предприятии производилось продукции в

количестве ?/о, а скорость роста продук-

продукции, произведенной на предприятии, рав-

равна нулю. Найти какое количество продук-

продукции y(t) производится в каждый момент

времени t.

Решение. Согласно условию задачи

dy(t)

Рис. 13.1. Дневная вы-

выработка

= 0.

Решением этого уравнения является произвольная постоян-

постоянная y(t) = С. Воспользовавшись другим условием задачи,

согласно которому

2/@) = уо,

получим С = уо, откуда имеем

y(t) = г/0,

т. е. предприятие производит продукции в каждый момент вре-

времени столько же сколько и в начальный. А

Задача 2. В условиях предыдущей задачи найти количество

продукции произведенной на предприятии за время [0, 2].

Ответ:

13.2. Степень неравенства в распределении

доходов

Одной из важнейших проблем в социальных и экономических

науках является проблема измерения социального неравенства.

Наиболее распространена следующая методика изучения. Снача-

Сначала по тому или иному критерию (имуществу, количеству земли

и т. п.) вся совокупность людей, семей или хозяйств делится на

несколько групп, чаще всего на три: богатые, средние, бедные;

затем определяется доля каждой группы. Если в соц структуре преобладают «середняки», а крайние группы по чис-

численности одинаковы, то делается вывод о том, что данная соци-

социальная совокупность более или менее однородна, если же, наобо-

наоборот, большая часть населения принадлежит к крайним группам,

то считается, что налицо сильное расслоение и неравенство. При

изучении социальной структуры в динамике исходят из мысли,

что если в интервале времени наблюдалось изменение в соотно-

соотношении социальных прослоек в пользу крайних за счет средней

группы, то дифференциация и неравенство углубились.

Подобную методику измерения социального неравенства на-

называют методикой соотношения имущественных прослоек. Ее

недостаток состоит в том, что вынуждает исследователя оцени-

оценивать неравенство на глаз и только в качественном отношении:

уменьшилось—увеличилось, сильное—слабое, не позволяя коли-

количественно измерить его уровень, скажем, в интервале @, 1).

В последнее время в социальных и экономических науках

при изучении неравенства все чаще применяется математика.

Разработано несколько видов коэффициентов — коэффициент

Лоренца, коэффициент Джини, коэффициент Шютца, коэффи-

коэффициент дифференциации и другие 1) . Преобразование данных в

математическую форму дает исследователю много новой ценной

информации, которая выражается в концентрированном виде,

имеет четкий и ясный смысл.

ЛОРЕНЦ (Lorenz) Макс A876-1959) — американский экономист и

статистик. Дал графическую интерпретацию неравенства в распре-

распределении дохода в обществе (кривая Лоренца).

ДЖИНИ (ДЖИННИ) (Gini) Каррадо A884-1965) - итальянский

экономист, статистик, демограф.

Приведем пример использования коэффициента Джини для

определения степени неравенства по кривой Лоренца. Кривая Ло-

Лоренца (рис. 13.2) выражает график зависимости процента доходов

от процента, имеющего их населения. По оси Оу откладывает-

откладывается доля населения, имеющих определенный доход; по оси Ох

откладывается доля доходов, приходящийся на определенную

долю населения. С помощью кривой Лоренца можно оценить

степень неравенства в распределении доходов населения. При

равномерном распределении доходов кривая Лоренца является иальной

]

L ж

Рис. 13.2. Кривая Лорен-

Лоренца

кривая Лоренца (рис.

ем у = ж2, где х — доля населения, у

Вычислить коэффициент Джини к.

линейной функцией — биссектри-

биссектрисой ОЛ, при неравномерном — кривой

вида ОБА. Коэффициентом Джини

именуют отношение площади фигуры

между биссектрисой ОЛ и кривой Ло-

Лоренца к площади треугольника ОАС.

При коэффициенте, равном 0, налицо

полное равенство в доходах населения,

при значении коэффициента менее

0,3 — слабое неравенство, при 0,3-0,7 —

значительное, при 0,7-1 — сильное.

V Пример. Для одной из стран

13.2) может быть описана уравнени-

доля доходов населения.

Решение. Так как Sao ас = -,а

в'

ТО

к =

So А В

SoAC

Поскольку к = - принадлежит интервалу @,3, 0,7), то делаем

вывод о том, что в изучаемой стране наблюдается значительное

неравенство в доходах. А

13.3. Прогнозирование материальных затрат

При прогнозировании материальных затрат часто возникает

необходимость вычисления площадей различных сложных фи-

фигур. Приведем соответствующий пример, для решения которых

используется определенный интеграл.

V Пример. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся

параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если

длина корабля 80 м, ширина в центре — 20 м, а на каждый

квадратный метр необходимо 0,25 кг краски?

Решение. Введем систему координат следующим образом:

начало координат поместим в центре корабля, а ось Ох вдол Рис. 13.3. Палуба корабля

палубы (рис. 13.3). Чтобы найти площадь палубы, определим

уравнение одной из парабол.

Общее уравнение параболы имеет вид у = ах2 + Ьх + с. Так

как точки (—40, 0), D0, 0), @, 10) принадлежат параболе, то они

удовлетворяют уравнению параболы:

а • 402 - b • 40 + с = 0, а • 402 + b • 40 + с = 0, с = 10.

Решением этой системы уравнений являются следующие чис-

числа: а = —1/160, b = 0, с = 10. Таким образом, уравнение искомой

параболы имеет вид

у = -ж2/160+ 10.

Площадь половинки палубы корабля равна

- + Ю • х

S = (-xz/W0 + 10)dx= (--

-40

= -1600

160-3

- 1600

160-3

400 + 400 = 400-4/3.

Для покраски половины палубы необходимо S • 0,25 = 400/3 (кг)

краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется 2 • S =

= 2-400/3 ^266,7 (кг). А

13.4. Прогнозирование объемов потребления

электроэнергии

Потребление энергии каждой лампой или фонарем пропорци-

пропорционально числу часов от захода солнца до его восхода. Чем короче

ночь, тем меньше требуется электроэнергии. Самая короткая

ночь в году приходится на 22 июня. В этот день электроэнергии

потребуется меньше, чем в самую длинную ночь — 22 декабря. ь Таким образом, потребление энергии представляет собой колеба-

колебательный процесс. Этот процесс может быть описан функцией х)

w = b + с cos B тг (t + 0,025)). A3.1)

Здесь, слагаемое 0,025 определяет, что максимум приходится

на t = —0,025, т. е. за 0,025 • 365 = 9 дней до начала каждого года,

т. е. на 22 декабря. Множитель 2тг определяет длину периода,

равную 1 (году).

V Пример 1. Потребление энергии сетью за год от х = 0

до х = 1 описывается уравнением A3.1), где бис — некоторые

числа. Вычислить потребление энергии сетью за год от t = 0

до t = 1.

Решение. Потребление энергии в течение времени dt соста-

составит w dt, а за год

1 1

г г

\wdt = [b + ccosB7r(t + 0,025))] dt =

j j

о о

= b + с cos B тг (t + 0,025)) dt.

Для вычисления второго слагаемого положим 2 тг (t + 0,025) = z,

тогда

если t = 0, то z = 0,05 тг; если t = 1, то z = 2,05 тг

2,05 тг

= 0.

0,05 тг

1 А 1 '

= — cos z dz = — sin z

2тг 2тг

Отсюда следует, что потребление энергии за год составляет b

единиц мощности. А. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого х Х функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Приведем примеры.

Пример 1. Функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на бесконечном промежутке (-, +), так как при любых х выполнено равенство (sin x)' = cos х.

Пример 2. Функция F(x) = ln x — первообразная для функции f(x) = 1/x на промежутке (0, +), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство (ln x)' =1/x.

Заметим, что задача отыскания по заданной функции f(x) еe первообразной неоднозначна; если F(x) — первообразная, то и функции F(x) + С, где С - произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), так как [F(x) + С]' = f(x).

Неопределенный интеграл

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

В этом обозначении называется знаком интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование), f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х — переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Рассмотрим примеры.

Пример 3. = x² + С; проверка: (x² + С)' = 2х.

Пример 4. = - cos х + С; проверка: (-cos х + С)' = sin x.

Пример 5. = е³^x + С; проверка: (+ C)' = е^3x.

6.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Прежде всего укажем свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла.

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.

Заметим, что последнее свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.

6.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Ранее мы получили таблицу основных производных элементарных функций. Приводимая ниже таблица основных неопределенных интегралов представляет собой вычислительный аппарат интегрального исчисления. Часть формул таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

Как было установлено в п. 4.4, операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Укажем некоторые из них.

Как правило, интегралы, с которыми приходится иметь дело в различных приложениях, не выражаются элементарными функциями (или, как принято говорить, являются "неберущимися"). Тем не менее существуют достаточно хорошо разработанный аппарат приближенных формул с использованием элементарных функций и методы приближенных расчетов, позволяющие с любой степенью точности оценивать и вычислять "неберущиеся" интегралы.

6.4. Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших интегралов называется непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах.

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.

6.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется методом подстановки, или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция х = φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х — множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если функция f(x) имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула

Выражение (6.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Рассмотрим применение этого приема на примерах вычисления интегралов.

Решение. Здесь разложение по биному Ньютона представляется весьма сложным. Введем новую переменную t = х — 1. Тогда х = t + 1, dx = dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Сделав обратную замену переменной, получаем окончательный ответ:

Решение. Положим t = 2 - х, тогда х = 2 - t, dx = -dt. Отсюда по формуле (6.1) получаем

Решение. Преобразуем этот интеграл, переписав его в виде

Из вида подынтегральной функции следует, что целесообразно ввести новую переменную t = sin x. Тогда 1 — sin² х = 1 — t², dt = cos x dx; подстановка в интеграл дает

Здесь использован табличный интеграл 10.

Решение. Введем новую переменную t = x⁴ и выполним все необходимые операции: x⁸ + 1 = t² + 1, dt = 4x^зdx, откуда имеем

Решение. Положим t = х² + 1, тогда dt = 2х dx или xdx = , и данный интеграл принимает вид табличного интеграла:

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

6.4. Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Метод подстановки

Сделав обратную замену переменной, получаем окончательный ответ:

Решение. Положим t = 2 - х, тогда х = 2 - t, dx = -dt. Отсюда по формуле (6.1) получаем

Решение. Преобразуем этот интеграл, переписав его в виде

Здесь использован табличный интеграл 10.

Решение. Введем новую переменную t = x⁴ и выполним все необходимые операции: x⁸ + 1 = t² + 1, dt = 4x^зdx, откуда имеем

Решение. Положим t = х² + 1, тогда dt = 2х dx или xdx = , и данный интеграл принимает вид табличного интеграла:

Интегрирование по частям

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем справедлива формула

С учетом вида дифференциалов функций v'(x)dx = dv и u'(x)dx = du равенство (6.2) часто используют в форме

Равенство (6.2) (или (6.3)) называется формулой интегрирования по частям.

В интегрировании по частям самым сложным является выбop в подынтегральном выражении сомножителя v'(x) dx = dv. Под знак дифференциала d можно в принципе внести все что угодно; однако выбор должен быть таким, чтобы интеграл в правой части (6.2) был проще исходного, а не сложнее. В этом смысле метод интегрирования по частям позволяет свести интеграл dv к интегралу du, вычислить который существенно проще. Рассмотрим примеры нахождения интегралов методом интегрирования по частям.

Пример 8. dx.

Решение. Здесь берем и(х) = ln x, dv = dx, т.е. v = х. По формуле (6.2) получаем

В общем случае интегралы вида ln х dx, где п ≠ 1 — целое число, берутся только интегрированием по частям: и = ln x, xⁿdx = dv, т.е. v = хⁿ⁺¹ /(п + 1). Аналогичным образом берутся и интегралы вида arctg x dx.

Пример 9. dx.

Решение. В этом случае и = х, e^хdx = dv = d(e^x), тогда по формуле (6.2) имеем

Интегралы вида dx, где п > 0 — целое число и k ≠ 0 — любое число, берутся n-кратным интегрированием по частям до исчезновения степени х в подынтегральной функции; при этом каждый раз под знак d вносится е^kx, т.е. e^kxdx = dv = d(е^k^x).

Ррешение. Интегралы вида cos kx dx и sin kx dx, где k — любое число и п > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функция, и процедура интегрирования по частям повторяется n раз:

cos kx dx = dv = d (sin kx), затем sin kx dx = -d(cos kx) и т.д.

В данном случае мы имеем

Введем понятие рациональной функции от двух переменных. Это функция, полученная из переменных и и v путем проведения над ними арифметических операций. Например, функция

является рациональной от переменных u и v. В свою очередь переменные и и v также могут являться функциями. Например,

Рациональная функция от sin х и cos х

Рассмотрим интеграл вида

где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой

Действительно,

Подстановка формул (6.5) в интеграл (6.4) дает

где R₁(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рассмотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рациональные функции от sin x и cos x.

Решение. Подставляя сюда формулы (6.5), после очевидных упрощений получаем

Пример 12. dx, т и п — натуральные числа.

Решение. Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной. В зависимости от четности m и п употребимы три следующих варианта.

1) m — четное, n — нечетное, подстановка t = sin x.

2) т — нечетное, n — четное; подстановка t = cos x.

3) m и n — оба нечетные; любая из двух подстановок 1 или 2.

4) m и п — оба четные; понизить степени тригонометрических функций и в полученной сумме проверить каждое слагаемое по пп. 1-3.

Например, найти интеграл dx.

Согласно п. 2 выполним подстановку t = cos x; тогда dt = - sin x dx, sin⁴ x = (1 — t²)²; отсюда имеем

Рациональная функция от е^x

Интеграл вида

рационализируется подстановкой

Пример 13. Найти интеграл . Применяя подстановку (6.6), получим

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования.

Вычислить интегралы методом подстановки.

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1. Условия существования определенного интеграла

Определение определенного интеграла

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками:

Выберем в каждом из частичных отрезков [x_i, x_i₊₁] произвольную точку ξ_i:

Теперь образуем сумму произведений:

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ указан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δx_i и высотами f(ξ_i) (i = 1, 2, ..., п).

Введем еще одну величину. Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:

Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:

Определенный интеграл обозначается символом

Если определенный интеграл (7.2) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.

Величина определенного интеграла, согласно данному выше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Классы интегрируемых функций

Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегрируемыми (т.е. существует определенный интеграл (7.2)), дают следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

7.2. Основные свойства определенного интеграла

1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на другие случаи.

По определению полагаем

как определенный интеграл на отрезке нулевой длины.

Также по определению полагаем, что

поскольку при движении от b к а все длины частичных отрезков Δx_i = x_i_-1 — x_i имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).

2. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Будем полагать далее, что а < b.

5. Если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то

6. Если f(x) ≤ g(х) всюду на отрезке [а, b], то

7. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то

8. Если М и т — соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [а, b], то

7.3. Основная формула интегрального исчисления

ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция

В формуле (7.8) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.

Поскольку всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид

где С — произвольная постоянная.

Согласно теореме 7.4 непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой

где С — некоторая постоянная. Подставляя в (7.9) х = а, с учетом свойства 1 определенного интеграла получаем

Тогда из (7.9) имеем

Полагая х = b, получаем формулу

Равенство (7.10) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b) — F(a) условно записывают символом F(x), т.е.

Формула (7.11) дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной согласно (7.11). Рассмотрим примеры вычисления определенных интегралов.

7.4. Основные правила интегрирования

Замена переменной в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на отрезке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непрерывна на [α, β] и множеством значений функции φ(t) является отрезок [а, b], 3) φ(α) = а, φ(β) = b. Тогда справедлива формула

Формула (7.12) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.

Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.5, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).

Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

Решение. Выполним подстановку t = 1 + х². Тогда dt = 2х dx, t = 1 при х = 0 и t = 2 при х = 1. Поскольку функция х = непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее в силу теоремы 7.5 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Вычислим этот интеграл при помощи замены переменной t = tg х. Тогда t = 0 при х = 0 и t = 0 при х = π, х = arctg t, т.е. dx = dt / (l + t²). Подстановка в исходный интеграл дает

Полученное противоречие объясняется тем, что функция замены переменной t = tg x имеет разрыв при х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула

Равенство (7.13) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов методом интегрирования по частям.

Решение. Положим здесь и = х, v = e^-x, тогда dv = -e^-xdx и

Решение. Здесь и = х, sin x dx = dv или v = - cos x; далее по формуле (7.13) имеем

7.5. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b] и вертикальными прямыми х = а и х = b (рис. 7.2). Эту фигуру будем называть криволинейной трапецией.

Величина площади криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f(x) на отрезке [а, b]:

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(х) соответственно, непрерывными на отрезке [а, b], то площадь S криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(х):

Рассмотрим задачи на вычисление площадей фигур.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = ln x ≥ 0, осью Ох и прямой х = 2.

Решение. Отрезок интегрирования: 1 ≤ х ≤ 2 (рис. 7.3), так что искомая площадь согласно формуле (7.14) равна:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = х².

Решение. Вычислим абсциссы точек пересечения указанных кривых, для чего приравняем правые части этих уравнений: х² = . Корни этого уравнения суть x₁ = 0, x₂ = 1. Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху функцией у = и снизу функцией у = x² (рис. 7.4), дается определенным интегралом на отрезке [0,1]:

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функцией f(x) (рис. 7.5). Объем этого тела вращения определяется формулой

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оу, то, выражая х через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объема тела вращения:

где [c, d] — область изменения функции у = f(x).

Рассмотрим примеры вычисления объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.

Пример 3. у = х², у = вокруг оси Ох.

Решение. Искомый объем вращения равен разности объемов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно у = и у = х². Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых: а = 0 и b = 1. По формуле (7.15) получаем

Пример 4. у = e^х, х = 0, х = 1, у = 0 вокруг оси Оу.

Ррешение. Выражаем х через у: х = ln у; промежуток интегрирования [1, е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.6) равен разности объемов соответственно цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой х = ln у. Согласно формуле (7.15) получаем

7.6. Некоторые приложения в экономике

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмотрим соответствующие примеры.

Дневная выработка

Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжительностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле

где t — время в часах, р₀ — размерность производительности (объем продукции в час), t₀ — размерность времени (ч). Эта формула вполне отражает реальный процесс работы (рис. 7.7): производительность сначала растет, достигая максимума в середине рабочего дня при t = 4 ч, а затем падает.

Решение. Полагая, что производительность меняется в течение дня непрерывно, т.е. р является непрерывной функцией аргумента t на отрезке [0, 8], дневную выработку Р можно выразить определенным интегралом:

где а₀ — множитель, имеющий размерность единицы продукции. Если бы в течение всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью р_тах = 6,2р₀, то дневная выработка составила бы Р_mах = 49,6а₀, или примерно на 21% больше. Рис. 7.7 иллюстрирует решение задачи: дневная выработка численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой f(t); вторая кривая показывает рост выпуска продукции во времени (график первообразной F(t) соответствует правой оси ординат Р). Значение Т = 4 ч соответствует точке перегиба кривой F(t): в первой половине рабочего дня интенсивность выработки продукции выше, чем во второй. Штрихпунктирная прямая Р = р_mахt соответствует выпуску продукции с равномерной производительностью р_mах.

Выпуск оборудования при постоянном темпе роста

Производство оборудования некоторого вида характеризуется темпом роста его выпуска

где Δу — прирост выпуска этого оборудования за промежуток времени Δt, а у — уровень его производства за единицу времени на момент времени t. Найти общее количество оборудования, произведенного к моменту времени t, полагая, что К — известная постоянная величина, единицей времени является год, а в начальный момент времени t = 0 уровень ежегодного производства оборудования составлял у₀.

Решение. Перейдем к пределу при Δt → 0, полагая, что он существует. Будем также полагать, что у является непрерывной функцией от времени t. Согласно определению производной функции

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до t, получаем

Суммарное количество оборудования, выпущенного за промежуток времени t, дается определенным интегралом

Например, при К = 0,05 (5% ежегодного темпа роста) общее количество оборудования, выпущенного за 10 лет, составит

причем уровень производства за указанный период времени увеличится почти на 65%.

7.7. Несобственные интегралы

При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном отрезке и, во-вторых, ограничена. Данное выше определение определенного интеграла не имеет смысла при невыполнении хотя бы одного из этих условий. Нельзя разбить бесконечный интервал на конечное число отрезков конечной длины; при неограниченной функции интегральная сумма не имеет предела. Тем не менее возможно обобщить понятие определенного интеграла и на эти случаи, с чем и связано понятие несобственного интеграла.

Определение. Пусть функция f(x) определена на промежутке [а, +) и интегрируема на любом отрезке [a, R], R > 0, так что интеграл

имеет смысл. Предел этого интеграла при R называется несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования:

Если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл (7.16) сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а, ); если же предел в (7.16) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогичным образом вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-, b]:

Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов (7.16) и (7.17):

где с — любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода заключается в следующем: это площадь бесконечной области (рис. 7.8), ограниченной сверху неотрицательной функцией f(x), снизу — осью Оx, слева — прямой х = а.

Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов.

Здесь пришлось разделить исходный интеграл на два и к каждому из них применить определение несобственного интеграла.

Пример 4. , где α — некоторое положительное число.

Решение. Рассмотрим разные случаи для числа α.

1. При α = 1 для любого R > 0 имеем

т.е. конечного предела не существует и несобственный интеграл расходится.

2. При α ≠ 1 для любого R > 0 получаем

Следовательно, данный интеграл сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.

В приведенных выше примерах сначала с помощью первообразной вычислялся интеграл по конечному промежутку, а затем осуществлялся переход к пределу. Между тем если для функции f(x) существует первообразная F(x) на всем промежутке интегрирования [а,), то по формуле Ньютона-Лейбница

Отсюда следует, что несобственный интеграл существует (сходится) в том и только в том случае, когда существует конечный предел

и тогда можно записать:

Аналогичный вывод справедлив и для несобственных интегралов вида (7.17) и (7.18):

Иными словами, формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления) применима и в случае, когда пределы интегрирования бесконечны.

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить определенные интегралы.

Найти площади фигур, ограниченных следующими линиями.

Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной следующими линиями.

Вычислить несобственные интегралы в случае их сходимости.

7.32. Найти площадь, заключенную между кривой у = и ее асимптотой при х ≥ 0.

7.33. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох дуги кривой у = e^-x от х = 0 до х = +.

Решить задачи с экономическим содержанием.

7.34. Найти стоимость перевозки М т груза по железной дороге на расстояние 1 км при условии, что тариф у перевозки одной тонны убывает на а р. на каждом последующем километре.

7.35. Мощность у потребляемой городом электроэнергии выражается формулой

где t — текущее время суток. Найти суточное потребление электроэнергии при а = 15000 кВт, b

= 12000

х>

с.

3. Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по

частям основан на использовании формулы дифференцирования

произведения двух функций.

Теорема 7.3. Пусть функции и(х) и и (х) определены и

дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция

и' (х) v (х) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на

промежутке X функция u(x)v'(x) также имеет первообразную

и справедлива формула

(j и (х) v' {x) dx= и (х) v (х) — J v (х) и' (х) dx. B)

Доказательство. Из равенства

[ и (х) v (х)}' = и' (х) v (х) + и (х) и' (х)

следует, что

и (х) v' О) = [ и (х) v {х)\' - и' (х) v (jc).

Первообразной функции | и (х) v (х)\' на промежутке X является

функция u(x)v(x). Функция и'(х) v (х) имеет первообразную на X

по условию теоремы. Следовательно, и функция и (х) v' (x) имеет

первообразную на промежутке X. Интегрируя последнее равенство,

получаем формулу B). ¦

Формула B) называется формулой интегрирования по частям

в неопределенном интеграле.

Так как v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то ее можно записать

в виде

и dv = и • v — [ v du.

Эта формула позволяет свести вычисление \udv к вычислению

и du, который может оказаться более простым.

Интегральное исчисление/Методы интегрирования

Материал из Викиучебника

< Интегральное исчисление

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

[убрать]

4 Примечания

В предыдущей главе были приведены основные свойства интегралов, которые позволяют непосредственно брать некоторые виды интегралов. Знание этих свойств и овладение навыками анализа подынтегрального выражения, выявление его структуры и перспектив того или иного подхода, позволяют находить интегралы от сложных функций. Но хочется подчеркнуть ещё раз, что процесс интегрирования является в некотором смысле искусством, так как, в отличие от дифференцирования, не существует чёткой последовательности действий, которые бы всегда приводили бы к успеху. В этом проявляется особенность интегрирования, как действия обратного по отношению к дифференцированию.

В первую очередь для решения интегралов необходимо хорошо знать правила дифференцирования, табличные значения производных и интегралов и уметь их распознавать в различной записи. Важно владеть навыками алгебраических преобразований, связями между основными математическими функциями, например, знать формулы приведения или кратных и дольных аргументов тригонометрических функций, свойства степенных, показательных и логарифмических функций.

Теорема Лиувилля об интегрировании в элементарных функциях, являясь основой для создания алгоритмов символьного интегрирования, тем не менее не освобождает от вычислительной сложности.

На рассмотренных в главе 4 свойствах основан тот или иной метод интегрирования.

О вынесении постоянного множителя из-под знака интеграла можно сказать лишь то, что это фактически не изменяет сложности интеграла.

Разбиение подынтегрального выражения, представляющего собой сумму, на слагаемые позволяет разбить интеграл на более простые (если это необходимо) и находить интегралы уже от отдельных частей. Но при этом нужно быть внимательным, так как может получиться так, что сумму интегрировалась бы проще, чем каждый из слагаемых. Например, рассмотрим следующий пример.

Пример 5.1. Найти интеграл

$\int(x\ln^2 x+x\ln x)\,dx.$ (5.1)

Решение. С первого взгляда для решения интеграл (5.1) нужно разбить на два слагаемых и каждое проинтегрировать по частям, но если обратить внимание на тот факт, что подынтегральное выражение $(x\ln^2 x+x\ln x)\,dx=x\ln x(\ln x+1)\,dx$ , а выражение в скобках к тому же является производной от xlnx, то (5.1) можно найти так:

$\int(x\ln^2 x+x\ln x)\,dx=\int x\ln x(\ln x+1)\,dx=\int x\ln x\,d(x\ln x)=\frac{1}{2}(x\ln x)^2+C.$ (5.2)

Особенно часто при символьном интегрировании используются методы подстановки и интегрирования по частям.

[править] Метод подстановки

Для успешного использования метода замены переменной необходимо наперёд продумывать все перспективы и опасности выбранной замены, ибо неудачная подстановка может сильно усложнить интеграл или сделать его вообще неинтегрируемым в замкнутой форме.

Рассмотрим пару примеров на использование метода замены переменной.

Пример 5.2. Найти интеграл

$\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$ (5.3)

Решение. Сделаем следующую замену x = sint (можно также использовать подстановку x = cost), отсюда $dx=\cos t\,dt$ . Подставляем в исходное выражение:

$\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\int\sqrt{1-\sin^2 t}\cos t\,dt.$ (5.4)

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством 1 − sin²t = cos²t, получим:

$\int\sqrt{1-\sin^2 t}\cos t\,dt=\int\sqrt{\cos^2 t}\cos t\,dt=\int\cos^2 t\,dt.$ (5.5)

Понизим степень косинуса:

$\int\cos^2 t\,dt=\int\frac{1+\cos 2t}{2}\,dt.$ (5.6)

Разбиваем интеграл на два:

$\int\frac{1+\cos 2t}{2}\,dt=\frac{1}{2}\int dt+\frac{1}{2}\int\cos 2t\,dt.$ (5.7)

Дальнейшие выкладки элементарны:

$\frac{1}{2}\int dt+\frac{1}{2}\int\cos 2t\,dt=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int\cos 2t\,d(2t)=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t+C.$ (5.8)

Теперь нужно снова вернуться к переменной x, для этого выразим t из подстановки:

$x=\sin t\Rightarrow t=\arcsin x.$ (5.9)

Значит исходный интеграл равен:

$\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\arcsin x+\frac{1}{4}\sin(2\arcsin x)+C.$ (5.10)

Преобразуем синус двойного аргумента:

$\frac{1}{2}\arcsin x+\frac{1}{4}\sin(2\arcsin x)+C=\frac{1}{2}\arcsin x+\frac{1}{4}\cdot 2\sin(\arcsin x)\cos(\arcsin x)+C.$ (5.11)

Воспользовавшись связью прямых и обратных тригонометрических функций, окончательно получим:

$\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\arcsin x+\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+C.$ (5.12)

Пример 5.3. Найти интеграл

$\int\sqrt{\frac{x-3}{x+7}}\,dx.$ (5.13)

Решение. В этом интеграле произведём следующую подстановку $t=\sqrt{\frac{x-3}{x+7}}$ и выразим из неё исходную переменную:

$t=\sqrt{\frac{x-3}{x+7}}\Rightarrow t^2=\frac{x-3}{x+7}\Rightarrow x=-\frac{7t^2+3}{t^2-1}$ (5.14)

Получив выражения x(t) , можно найти значение dx:

$dx=d\left(-\frac{7t^2+3}{t^2-1}\right)=\frac{20t\,dt}{(t^2-1)^2}.$ (5.15)

Имея теперь все необходимые соотношения, подставим их в исходный интеграл:

$\int\sqrt{\frac{x-3}{x+7}}\,dx=\int t\cdot\frac{20t\,dt}{(t^2-1)^2}.$ (5.16)

Преобразуем интеграл следующим образом:

$\int t\cdot\frac{20t\,dt}{(t^2-1)^2}=20\int\frac{t^2-1+1}{(t^2-1)^2}\,dt=20\int\frac{dt}{t^2-1}+20\int\frac{dt}{(t^2-1)^2}.$ (5.17)

Интеграл от первого слагаемого известен (это так называемый «толстый» логарифм):

$20\int\frac{dt}{t^2-1}=\frac{20}{2\cdot 1}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C=10\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.$ (5.18)

Второе слагаемое можно вычислить методом разбиения на простые дроби (ему будет посвящена отдельная глава), но мы здесь пойдём другим путём и преобразуем этот интеграл к виду:

$20\int\frac{dt}{(t^2-1)^2}=-20\int\frac{t^2-1-t^2}{(t^2-1)^2}=-20\int\frac{dt}{t^2-1}+20\int\frac{t^2\,dt}{(t^2-1)^2}.$ (5.19)

Первый интеграл нам уже известен (только с противоположным знаком):

$-20\int\frac{dt}{t^2-1}=-10\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C,$ (5.20)

а второй интеграл мы возьмём по частям, используя формулу (4.42):

$20\int\frac{t^2\,dt}{(t^2-1)^2} \left[\begin{array}{ll}u=t & du=dt \\ dv=\dfrac{20t\,dt}{(t^2-1)^2} & v=\displaystyle{10\int\frac{d(t^2-1)}{(t^2-1)^2}=} \\ & =-\dfrac{10}{t^2-1}\end{array}\right]=$ (5.21)

$=-\frac{10t}{t^2-1}+10\int\frac{dt}{t^2-1}=-\frac{10t}{t^2-1}+5\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.$

Найденные выражения подставим в левую часть (5.17):

$\int\frac{20t^2\,dt}{(t^2-1)^2}=10\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-10\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{10t}{t^2-1}+5\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C,$ (5.22)

после приведения подобных имеем:

$\int\frac{20t^2\,dt}{(t^2-1)^2}=-\frac{10t}{t^2-1}+5\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.$ (5.23)

Теперь остаётся только вернуться к исходному x:

$\int\sqrt{\frac{x-3}{x+7}}\,dx=-\frac{10\sqrt{\dfrac{x-3}{x+7}}}{\left(\sqrt{\dfrac{x-3}{x+7}}\right)^2-1}+5\ln\left|\frac{\sqrt{\dfrac{x-3}{x+7}}-1}{\sqrt{\dfrac{x-3}{x+7}}+1}\right|+C.$ (5.24)

Произведя несложные упрощения, в итоге будем иметь:

$\int\sqrt{\frac{x-3}{x+7}}\,dx=(x+7)\sqrt{\frac{x-3}{x+7}}+5\ln\left|\frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{x+7}}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x+7}}\right|+C.$ (5.25)

[править] Заведение под дифференциал

Из свойства 4.3 также вытекает метод занесения (заведения) под дифференциал — частный случай метода замены переменной, когда явно имеется выражение вида $\int f(x)\cdot f'(x)\,dx$ , которое в свою очередь равно $\int f(x)\,d[f(x)]$ .

Пример 5.1 наглядно показывает, как важно уметь выявлять скрытые зависимости между функцией и её производной в подынтегральном выражении — в большинстве случаев этот навык позволяет находить решения для большого класса выражений.

Приведём несколько примеров.

Пример 5.4. Взять интеграл

$\int\mathrm{th}\,x\,dx.$ (5.26)

Решение. Раскроем гиперболический тангенс через его определение:

$\mathrm{th}\,x=\frac{\mathrm{sh}\,x}{\mathrm{ch}\,x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$ (5.27)

Следовательно

$\int\mathrm{th}\,x\,dx=\int\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\,dx.$ (5.28)

Занося под дифференциал e^x − e ^{− x}, получаем:

$\int\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\,dx=\int\frac{d(e^x+e^{-x})}{e^x+e^{-x}}=\ln(e^x+e^{-x})+C.$ (5.29)

Последнее выражение можно записать по-другому:

$\int\mathrm{th}\,x\,dx=\ln\mathrm{ch}\,x+C'.$ (5.30)

где C' = C + ln2.

Пример 5.5. Взять интеграл

$\int\sec x\,dx.$ (5.31)

Решение. Чтобы произвести вычисление интеграла предварительно преобразуем его так, чтобы можно было выполнить заведение под дифференциал:

$\int\sec x\,dx=\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{\cos x}{\cos^2 x}\,dx=\int\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\,dx=\int\frac{d(\sin x)}{1-\sin^2 x}.$ (5.32)

Сейчас интеграл уже можно взять как табличный:

$\int\frac{d(\sin x)}{1-\sin^2 x}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C=\ln\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}+C.$ (5.33)

Теперь выражение, стоящее под логарифмом, преобразуем к более простому виду. Из курса тригонометрии известно, что:

$\left|\mathrm{tg}\,\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.$ (5.34)

Заменим x на $\frac{\pi}{2}+x$ и применим формулу приведения:

$\left|\mathrm{tg}\,\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right|=\sqrt{\frac{1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}},$ (5.35)

$\left|\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\right|=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}.$ (5.36)

Можно получить и другое эквивалентное выражение. Для этого преобразуем $\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ вот так:

$\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}=\sqrt{\frac{(1+\sin x)(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}}=\sqrt{\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}}=$ (5.37)

$=\sqrt{\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}}=\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x+\mathrm{tg}\,x.$

С учётом этого мы получаем следующий ответ:

$\int\sec x\,dx=\int\frac{dx}{\cos x}=\ln\left|\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\right|+C=\ln|\sec x+\mathrm{tg}\,x|+C.$ (5.38)

Аналогично можно найти, что:

$\int\mathrm{cosec}\,x\,dx=\int\frac{dx}{\sin x}=\ln\left|\mathrm{tg}\,\frac{x}{2}\right|+C.$ (5.39)

Иногда под дифференциал приходится заводить несколько раз, так как производная функции может сразу не угадываться. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5.6. Взять интеграл

$\int\frac{4x}{x^2+1}\ln(x^2+1)\,dx.$ (5.40)

Решение. Завёдем первоначально под дифференциал 2x как d(x² + 1):

$\int\frac{4x}{x^2+1}\ln(x^2+1)\,dx=2\int\frac{\ln(x^2+1)}{x^2+1}\,d(x^2+1).$ (5.41)

Теперь можно видеть, что под дифференциал можно завести $\frac{1}{x^2+1}$ ^[1], получая при этом:

$2\int\frac{\ln(x^2+1)}{x^2+1}\,d(x^2+1)=2\int\ln(x^2+1)\,d[\ln(x^2+1)].$ (5.42)

Теперь интеграл можно взять:

$2\int\ln(x^2+1)\,d[\ln(x^2+1)]=2\cdot\frac{1}{2}\ln^2(x^2+1)+C.$ (5.43)

Ответ.

$\int\frac{4x}{x^2+1}\ln(x^2+1)\,dx=\ln^2(x^2+1)+C.$ (5.44)

[править] Метод интегрирования по частям

Не менее распространённым, чем ранее рассмотренный метод, является метод интегрирования по частям. Очень часто удачное разделение подынтегрального выражения на u и dv (в обозначениях свойства 4.4) позволяет получить решение интеграла в виде квадратур. Ясно, что этот выбор должен быть обоснованным, так как от его правильности зависит вычислительная сложность задачи символьного интегрирования.

Этот метод хорошо подходит для нахождения интегралов вида:

$\int x^k\ln^m x,dx;$
$\int x^k\sin ax\,dx,\;\int x^k\cos ax\,dx;$
$\int x^k e^{ax}\,dx$

и других.

Здесь $k,\;m\in\N,\;a\neq 0$ .

Он же позволяет найти интегралы:

$\int\arcsin x\,dx,\;\int\arccos x\,dx;$
$\int\mathrm{arctg}\,x\,dx,\;\int\mathrm{arcctg}\,x\,dx;$
$\int\ln x\,dx.$

Основной рекомендацией для использования этого метода является, пожалуй, совет выбирать за u такое выражение, которое бы позволило упростить выражение, но при этом важно, чтобы интеграл от dv можно было найти известным способом. Важно заметить: может оказаться, что нужно будет выбрать функцию интеграл, от которой трудно найти, но при этом исходный интеграл может быть решён. В подтверждение этих слов рассмотрим следующий пример.

Пример 5.7. Найти интеграл

$\int x\sin^2 x\,dx.$ (5.45)

Решение. Здесь мы имеем произведение двух функций f(x) = x, производная и интеграл которой известны, и $\varphi(x)=\sin^2 x$ , производную которой можно легко найти, а интеграл также найти, применяя специальные методы интегрирования тригонометрических функций (см. соответствующую главу). Из-за того, что производную от $\varphi(x)$ найти легче, чем интеграл, казалось бы нужно разыскивать именно её:

$\varphi'(x)=(\sin^2 x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x.$ (5.46)

Но при этом $\int f(x)\,dx=\int x\,dx=\frac{x}{2}$ , как мы видим, усложняется и не приближает нас к решению поставленной задачи.

Таким образом, для взятия интеграла нужно искать интеграл от более сложной функции sin²x. Именно так мы и поступим:

$\int x\sin^2 x\,dx\left[\begin{array}{ll}u=x & du=dx \\ dv=\sin^2 x\,dx & \displaystyle{v=\int\sin^2 x\,dx=\int\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=} \\ & \displaystyle{=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin 2x}\end{array}\right]=$ (5.47)

$=\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin 2x\right)x-\int\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin 2x\right)\,dx=$

$=\frac{x^2}{2}-\frac{x}{4}\sin 2x-\frac{1}{2}\int x\,dx+\frac{1}{4}\int\sin 2x\,dx=$

$=\frac{x^2}{2}-\frac{x}{4}\sin 2x-\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cos 2x+C=$

$=\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4}\sin 2x-\frac{1}{8}\cos 2x+C.$

Рассмотрим другой пример.

Пример 5.8. Найти интеграл

$\int x^2\sin x\,dx.$ (5.48)

Решение. В этом случае дифференцирование sinx и интегрирование x² также не позволит разыскать ответ. Здесь мы поступим так:

$\int x^2\sin x\,dx\left[\begin{array}{ll}u=x^2 & du=2x\,dx \\ dv=\sin x\,dx & \displaystyle{v=\int\sin x\,dx=-\cos x}\end{array}\right]=$ (5.49)

$=-x^2\cos x+\int 2x\cos x\,dx.$

Повторно применив интегрирования по частям ко второму слагаемому, имеем:

$\int 2x\cos x\,dx\left[\begin{array}{ll}u=2x & du=2\,dx \\ dv=\cos x\,dx & \displaystyle{v=\int\cos x\,dx=\sin x}\end{array}\right]=$ (5.50)

$=2x\sin x-2\int\sin x\,dx=2x\sin x+2\cos x+C.$

Значит в итоге получаем ответ:

$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$ (5.51)

При интегрировании по частям несколько раз в процессе вычисления можно получить исходный интеграл как составную часть выражения, поэтому приходится решать линейное уравнение для нахождения этого интеграла. Любопытны с этой точки зрения интегралы вида:

$\int e^{ax}\sin bx\,dx,$ (5.52)

где a и b — константы, отличные от нуля.

$\int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}\sin bx-\frac{b}{a}\int e^{ax}\cos bx\,dx.$ (5.53)

Повторное интегрирование по частям с тем же выражением $dv=e^{ax}\,dx$ и u = cosbx (du = − bsinbx) даёт:

$\int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}\sin bx-\frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\cos bx+\frac{b}{a}\int e^{ax}\sin bx\,dx\right).$ (5.54)

$\int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{a\sin bx-b\cos bx}{a^2+b^2}e^{ax}+C.$ (5.55)

Таким же образом можно получить:

$\int e^{ax}\cos bx\,dx=\frac{b\sin bx+a\cos bx}{a^2+b^2}e^{ax}+C.$ (5.56)

[править] Обобщённая формула интегрирования по частям

Повторное применение правила интегрирования по частям приводит к так называемой обобщенной формуле интегрирования по частям.

Предположим, что функции u и v в рассматриваемом промежутке $\mathcal{X}$ обладают непрерывными производными всех порядков, до (n + 1)-го включительно, то есть все функции $u,\;v,\;u',\;v',\;\ldots,\;u^{(n)},\;v^{(n)},\;u^{(n+1)},\;v^{(n+1)}$ непрерывны. Тогда имеет место следующая формула:

$\int uv^{(n+1)}\,dx=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+u''v^{(n-2)}-\ldots+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\,dx.$ (5.57)

Доказательство формулы (5.57)[показать]

Возьмём основную формулу интегрирования по частям (4.42) и заменим в ней v на производную n-го порядка v⁽ⁿ⁾:

$\int u\,dv^{(n)}=\int uv^{(n+1)}\,dx=uv^{(n)}-\int v^{(n)}\,du=uv^{(n)}-\int u'v^{(n)}\,dx.$ (5.58)

Аналогично поступим также для всех производных v меньшего порядка:

$\begin{array}{l}\displaystyle{\int uv^{(n)}\,dx=u'v^{(n-1)}-\int u''v^{(n-1)}\,dx,} \\ \displaystyle{\int u''v^{(n-1)}\,dx=u''v^{(n-2)}-\int u'''v^{(n-2)}\,dx,} \\ \displaystyle{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots} \\ \displaystyle{\int u^{(n)}v'\,dx=u^{(n)}v-\int u^{(n-1)}v\,dx.} \end{array}$ (5.59)

Умножая эти равенства поочередно на +1 или на -1, а потом складывая их почленно, после уничтожении одинаковых интегралов в правой и левой частях мы получим формулу (5.57).

$\int u\,dv^{(n)}=\int uv^{(n+1)}\,dx=uv^{(n)}-\int v^{(n)}\,du=uv^{(n)}-\int u'v^{(n)}\,dx.$ (5.58)

Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из множителей подынтегральной функции служит многочлен целой степени: если u представляет собой многочлен n-й степени, то u^{(n + 1)} тождественно равно нулю, и интеграл в правой части исчезает, тем самым мы получаем уже готовый ответ.

Рассмотрим применение формулы (5.57) к следующим интегралам:

$\int P_n(x)e^{ax}\,dx,\quad\int P_n(x)\sin ax\,dx,\quad\int P_n(x)\cos ax\,dx,$ (5.60)

где P_n(x) — многочлен n-ой степени от x, $a\neq 0$ .

Полагая v^{(n
+ 1)} = e^ax и последовательно интегрируя, будем иметь:

$v^{(n)}=\frac{e^{ax}}{a},\quad v^{(n-1)}=\frac{e^{ax}}{a^2},\quad v^{(n-2)}=\frac{e^{ax}}{a^3}$ и так далее.(5.61)

В результате применения формулы (5.57) получаем:

$\int P_n(x)e^{ax}\,dx=e^{ax}\left(\frac{P(x)}{a}-\frac{P'(x)}{a^2}+\frac{P''(x)}{a^3}-\ldots\right)+C.$ (5.62)

Теперь положим v^{(n
+ 1)} = sinax, следовательно

$v^{(n)}=-\frac{\cos ax}{a},\quad v^{(n-1)}=-\frac{\sin ax}{a^2},\quad v^{(n-2)}=\frac{\cos ax}{a^3}$ и так далее.(5.63)

$\int P_n(x)\sin ax\,dx=\sin ax\cdot\left(\frac{P'(x)}{a^2}-\frac{P'''(x)}{a^4}+\ldots\right)-\cos ax\cdot\left(\frac{P(x)}{a}-\frac{P''(x)}{a^3}+\ldots\right)+C.$ (5.64)

Аналогичные выкладки для третьего интеграла дают:

$\int P_n(x)\cos ax\,dx=\sin ax\cdot\left(\frac{P(x)}{a}-\frac{P''(x)}{a^3}+\ldots\right)+\cos ax\cdot\left(\frac{P'(x)}{a^2}-\frac{P'''(x)}{a^4}+\ldots\right)+C.$ (5.65)

[править] Формулы приведения

Под формулами приведения в интегральном исчислении понимают формулы, позволяющие понизить степень в подынтегральной функции. Например, рассмотрим интеграл

$\int x^\alpha\ln^m x\,dx,$ (5.66)

где $\alpha\in\R,\;m\in\N$ .

Если α = − 1, то интеграл берётся просто: нужно представить $x^{-1}\,dx$ как d(lnx) и взять интеграл от степенной функции. Нас больше будет интересовать случай, когда $\alpha\neq -1$ .

Применим интегрирование по частям, приняв u = ln^mx:

$\int x^\alpha\ln^m x\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}\ln^m x-\frac{m}{k+1}\int x^\alpha\ln^{m-1} x\,dx.$ (5.67)

Как мы видим, мы снова пришли к интегралу того же вида, но со степенью логарифма на единицу ниже. Продолжая в том же духе, мы в конце концов придём к интегралу, не содержащему lnx.

Если в интеграле сделать замену t = lnx, то интеграл (5.66) перейдёт в интеграл вида:

$\int x^m e^{\alpha x}\,dx$ (5.68)

и аналогичным образом вывести формулу приведения, полагая u = x^m:

$\int x^m e^{\alpha x}\,dx=\frac{x^m}{\alpha}e^{\alpha x}-\frac{m}{\alpha}\int x^{m-1} e^{\alpha x}\,dx.$ (5.69)

Также для интеграла (5.68) можно было сразу воспользоваться формулой (5.62), где P(x) = x^m.

Очень часто формулы приведения используют для интегралов вида:

$\int [f(x)]^n\,dx$

или

$\int [f(x)]^n[\varphi(x)]^m\,dx,$

где $n,\;m\in\Z$ .

[править] Рекуррентные соотношения

Как мы видели выше формулы приведения позволяют понизить или повысить степень подынтегральной функции и последовательно свести интеграл к известному. Этот процесс можно рассматривать как задание рекуррентной функции, то есть такой функции, вид которой определяется через её значения при меньшем значении некоторого параметра. В нашем случае этим параметром будет показатель степени.

Рассмотрим интеграл вида:

$\int[f(x)]^n\,dx,$ (5.70)

где $n\in\N$ .

Применим к нему интегрирование по частям, полагая u = [f(x)]ⁿ, тогда:

$\int[f(x)]^n\,dx=x[f(x)]^n-n\int[f(x)]^{n-1}x f'(x)\,dx.$ (5.71)

Если удастся каким-либо способом представить интеграл $\int[f(x)]^{n-1}x f'(x)\,dx=\varphi(x)+C\int[f(x)]^{n-1}\,dx$ , где $\varphi(x)$ — некоторая функция (возможно содержащая какой-то интеграл функции от x и f'(x), но не содержащая в явной форме интеграл от $[f(x)]^k,\;k\in\N$ ), C = const, то мы можем выразить интеграл (5.70) через интеграл с меньшей степенью:

$\int[f(x)]^n\,dx=\varphi(x)+C\int[f(x)]^{n-1}\,dx$ (5.72)

или, если рассматривать интеграл как функцию параметра n:

$I_n=\varphi(x)+CI_{n-1}.$ (5.73)

Заменяя n на n + 1, будем иметь выражение, связывающее последующее значение с предыдущим:

$I_{n+1}=\varphi(x)+CI_n.$ (5.74)

В общем случае:

$I_{n+1}=\varphi(x)+C_1I_n+C_2I_{n-1}+\ldots$ (5.75)

Рассмотрим пример.

Пример 5.9. Найти интеграл

$\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n},$ (5.76)

где $n\in\N$ .

Решение. Если n = 1, то интеграл $\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\,\frac{x}{a}+C$ . Теперь в предположении, что n > 1, воспользуемся формулой интегрирования по частям:

$I_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\left[\begin{array}{ll}u=\dfrac{1}{(x^2+a^2)^n} & du=-\dfrac{2nx\,dx}{(x^2+a^2)^{n+1}} \\ dv=dx & v=x\end{array}\right]=$ (5.77)

$=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}-2n\int\frac{x^2\,dx}{(x^2+a^2)^{n+1}}.$

Преобразуем интеграл в правой части:

$\int\frac{x^2\,dx}{(x^2+a^2)^{n+1}}=\int\frac{x^2+a^2-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}\,dx=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}-a^2\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n+1}}=I_n-a^2I_{n+1}.$ (5.78)

Подставляя (5.78) в (5.77), получаем:

$I_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1},$ (5.79)

откуда

$I_{n+1}=\frac{1}{2na^2}\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n.$ (5.80)

Теперь задаваясь различными натуральными n, можно последовательно получать интегралы I_n. Так при n = 1:

$I_2=\frac{1}{2a^2}\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2a^2}\cdot\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\,\frac{x}{a}=\frac{1}{2a^2}\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2a^3}\mathrm{arctg}\,\frac{x}{a}+C.$ (5.81)

При n = 2

$I_3=\frac{1}{4a^2}\frac{x}{(x^2+a^2)^2}+\frac{3}{4a^2}I_2=\frac{1}{4a^2}\frac{x}{(x^2+a^2)^2}+\frac{3}{8a^4}\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{3}{8a^5}\mathrm{arctg}\,\frac{x}{a}+C.$ (5.82)

И так далее.

[править] Примечания

↑ Более наглядно это можно увидеть, если ввести обозначение $\scriptstyle{t=x^2+1}$ , тогда интеграл примет вид:

$\scriptstyle{\int\frac{\ln t}{t}\,dt.}$

Раздел 2.5. Случайные процессы и элементы теории массового обслуживания.
Тема 2.5.1. Элементы теории случайных процессов.
Случайные процессы. Классификация случайных процессов. Потоки событий. Пуассоновский поток, его применение при моделировании экономических задач. Дискретные цепи Маркова. Граф состояний. Вероятности состояний. Стационарный режим для цепи Маркова. Моделирование экономических процессов с использованием цепей Маркова. Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем. Стационарный режим. Экономические модели, основанные на непрерывных Марковских процессах.

Раздел 1.3. Интегральное исчисление.
Тема 1.3.1. Неопределенный интеграл.
Первообразная. Основная лемма интегрального исчисления. Неопределенный интеграл. Равенство, содержащее знак интеграла. Свойства неопределенного интеграла (линейность, последовательное действие операций дифференцирования и интегрирования).

Тема 1.3.2. Методы интегрирования.
Таблица интегралов. Формула замены переменной под знаком неопределенного интеграла (две формы записи). Замена в интегралах Интегралы Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Основные типы интегрируемых по частям функций. Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен. Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный корень из квадратного трехчлена. Пример: . Интегралы от дробно-рациональных функций (различные случаи разложения знаменателя на простейшие множители). Примеры. Понятие о неберущихся интегралах. Примеры.

Тема 1.3.3. Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции; вычисление работы переменной силы на прямолинейном участке пути. Разбиение отрезка, диаметр разбиения, интегральная сумма. Понятие определенного интеграла. Теорема его существования. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона — Лейбница. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула замены переменной в определенном интеграле. Свойства определенного интеграла (линейность, интеграл от единицы, интеграл по объединению отрезков, интегрирование неравенства, оценка интеграла). Теорема о среднем значении интеграла, ее геометрический смысл. Связь интегралов по отрезкам [b, a], [a, b]. Вычисление площадей фигур. Вычисление объема тела при известной площади поперечного сечения. Вычисление объема тела вращения. Численное интегрирование (формулы прямоугольников, трапеций, формула Симпсона).

Тема 1.3.4. Несобственный интеграл.
Несобственный интеграл от разрывной (неограниченной) функции. Понятие сходящегося и расходящегося интеграла. Исследование сходимости интеграла . Теоремы сравнения для интеграла от разрывной функции. Абсолютная сходимость. Признак абсолютной сходимости интеграла от знакопеременной функции. Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Сходимость и расходимость интеграла. Исследование сходимости интеграла . Теоремы сравнения для интеграла с бесконечными пределами. Абсолютная сходимость. Признак абсолютной сходимости интеграла от знакопеременной функции.

Тема 1.3.5. Использование определенного интеграла в экономике.
Экономический смысл определенного интеграла. Нахождение объема произведенной продукции. Коэффициент Джини. Вычисление дисконтированного дохода.

Интегрирование в экономических задачах. При решении тех или иных технико-экономических задач приходится суммировать бесконечно большое число бесконечно малых величин. Это приводит к одному из центральных понятий математики - понятию определенного интеграла.

Для раскрытия смысла определенного интеграла обычно используют его геометрическую интерпретацию как площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у = f(x) > 0, осью абсцисс и прямыми х = а, х = b
Определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего "элементарного" отрезка

В практике экономического анализа с вычислением интегральных сумм мы сталкиваемся чаще, чем это принято считать. Примером могут служить вычисления различных по смыслу величин накопительным итогом при переходе от потоковых (скоростных, темповых) их характеристик к абсолютным (расходование различных видов материалов, энергии, приведенных во времени затрат), при построении интегральных функций распределения как для дискретных (кумулята), так и для непрерывных случайных величин, при вычислении вероятностей и ожидаемых значений.

Основным (аналитическим) способом вычисления определенного интеграла как процедуры, обратной дифференцированию, является нахождение по соответствующим правилам первообразной для подынтегральной функции. Однако эта процедура может быть довольно сложной и не всегда реализуемой.
Из других приближенных формул, используемых в программных продуктах, назовем еще формулу трапеций и формулу парабол (Симпсона). Точность вычислений определенного интеграла по этим формулам тем выше, чем больше число разбиений (п) отрезка интегрирования.

Процедуру численного интегрирования, основанного на операции суммирования, довольно просто организовать в среде любой электронной таблицы. Покажем это на двух простейших моделях управления запасами - задачах, которые довольно часто приходится решать как производственным, так и маркетинговым службам фирм.

Содержание

Оглавление

Введение 3

1.Первообразная и неопределенный интеграл 5

2.Таблица интегралов 9

3.Некоторые свойства неопределенного интеграла 11

4.Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки 14

5.Интегрирование по частям 18

6.Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование 20

Заключение 29

Библиографический список 30

Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование.

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача.

Интеграл (от лат. integer - целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Цель работы: рассмотреть методы интегрирования, метод замены переменной.

Задачи работы:

" Рассмотреть первообразную и неопределённый интеграл;

" Рассмотреть таблицу интегралов;

" Рассмотреть некоторые свойства неопределённого интеграла;

" Рассмотреть интегрирование методом замены переменной или способом подстановки;

" Рассмотреть интегрирование по частям;

" Рассмотреть рациональные дроби, интегртрование рациональных дробей.

Объект исследования: методы интегрирования.

Предмет исследования: неопределённый интеграл.

Список литературы

Библиографический список

1. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешкова К.И., Суворова С.Б.- М.: Просвещение, 2006.- 215 с.

2. Баварин И.И. Высшая математика. - М.: Просвещение, 2003.-450 с.

3. Ильин В. А. , Куркина А.В. Высшая математика, 2 изд.. -М.: Высшая школа, 2006.-390 с.

4. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов, 2 изд. - М. : Наука, 2003.- 300 с.

5. Кудрявцев Л.Д, Математический анализ. - М.: Высшая школа, 2004.- 400 с.

6. Методика преподавания математики в школе: Частная методика. / Сост. Мишин В.И. - М.: Просвещение, 1997.- 348 с.

7. Мордкович А.Г. Алгебра и начало анализа. - М.: Высшая школа, 2006.- 230 с.

8. Никольский С.М. Курс математического анализа. - М.: Наука, 2003. - 470 с.

9. Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра. - М.: Наука, 2005.- 265 с.

10. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Издательство МГУ, 2003.- 500 с.

Поиск: Численное интегрирование определённых интегралов в статье Численное интегрирование определённых интегралов АННОТАЦИЯ
В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы.

Введение…………………………………………………………3
Основная часть………………………………………………....4
-формула прямоугольников………………………………....6
-формула трапеций…………………………………………..8
-формула Симпсона…………………………………………10
Практика……………………………………………………….15
Заключение…………………………………………………….19
Список литературы…………………………………………….20
ВВЕДЕНИЕ
Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций [pic] интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная [pic] может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией [pic]). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
I.Определение интеграла и его геометрический смысл.
В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функцийF(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается [pic].
Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:
[pic] (1) это формула Ньютона-Лейбница.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:
[pic]Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что ?=max?xi>0 (n>?) и при любом выборе точек[pic] интегральная сумма?k=[pic]f(?i) ?xi стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е.[pic] limn>? ?k = lim?>0 [pic]f(?i) ?xi=A(2).
Где ?хi=xi-xi-1 (i=1,2,…,n) ?=max?xi – начало разбиения [pic] произвольная точка из отрезка[xi-1;xi]
сумма всех произведений f(?i)?xi(i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:
[pic]Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл [pic] численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=[pic]f(x)dx.
II.Приближённые методы вычисления.
Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.
Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями.Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.
Например следующие интегралы: ?e-xdx; ?[pic]; ?dx/ln|x|; ?(ex/x)dx;?sinx2dx; ?ln|x|sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.
Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования.
В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.
Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.
1. Формула прямоугольников
Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: [pic].
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0,x1,x2,…,xn=b на n равных частей длины ?х, где ?х=(b-a)/n.
[pic]Обозначим через y0,y1,y2,…,yn-1,yn значение функции f(x) в точках x0, x1, x2…,xn, то есть, если записать в наглядной формуле:
Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).
В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).Составим суммы: y0?x+ y1?x1+ y2?x2…+yn-1?x; Y1?x+ y2?x+…+yn?x
Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием ?х, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через yi: Sпр=a*b=yi?x.
Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке[a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем ?x=(b-a)/n из каждой суммы, получим:
[pic]f(x)dx??x(y0+y1+…+yn-1);
[pic]f(x)dx??x(y1+y2+…+yn).Выразив x, получим окончательно:
[pic]f(x)dx?((b-a)/n)(y0+y1+…+yn-1);(3)
[pic]f(x)dx?((b-a)/n)(y1+y2+…+yn);(3*)
Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает S фигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления)[pic].Для вычисления погрешности этого метода используется формула:Pnp=[pic], где [pic] Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников:[pic] (3**)
2.Формула трапеций.
Возьмём определённый интеграл ?f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат yi-1 и yi (i=1,2,…,n).[pic]Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это ?x,a ?x=(b-a)/n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0=a

Используемая литература

1. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. – СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 960с.

2. Высшая математика для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471с.

3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х т.: Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. – Висагинас: «Alfa», 1998. – 384с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1. – М.: Наука, 2002. – 456с.

5. Практикум по высшей математике для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 423с. Выдержка из работы Введение

-Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу [1-4].

Составим и решим задачу, раскрывающую экономический смысл определенного интеграла [2]. Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0; T].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) – постоянная функция), то объем продукции Δu, произведенной за некоторый промежуток времени [t, t+Δt], задается формулой Δu= f(t) Δt. В общем случае справедливо приближенное равенство Δu= f(ξ) Δt, где ξ [t, t+Δt], которое оказывается тем более точным, чем меньше Δt.

Разобьем отрезок [0; T] на промежутки времени точками: 0=t0 Дополнительная информация Курсовая работа выполнена преподавателем ВУЗа, стаж 9 лет. Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x Î X справедливо равенство:

F¢ (x) = f(x). (8.1)

1) d ò f(x)=f(x)dx,

2) ò df(x)=f(x)+C,

3) ò af(x)dx=aò f(x)dx (a=const),

4) ò(f(x)+g(x))dx= ò f(x)dx+ ò g(x)dx.

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z=g(x) имеет на [a,b] непрерывную производную и a £ g(x) £b, то

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(z) dz, (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(g(x)) dg(x).

Например:

1) ;

2).

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

ò udv = uv - ò vdu. (8.4)

Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

ò x^kln^mx dx, ò x^k sin bx dx, ò x^k cos bx dx, ò x^k e^ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x₀< x₁ <...<x_n = b. Из каждого интервала (x_i_-₁, x_i) возьмем произвольную точку x_iи составим сумму f(x_i)D x_i, где
D x_i = x_i - x_i_-₁. Сумма вида f(x_i)D x_i называется интегральной суммой, а ее предел при l = max D x_i ®0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

f(x_i)D x_i_. (8.5)

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, kÎR);

5) ;

6) ;

7) f(x)(b-a) (xÎ[a,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

ò f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

. (8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+¥), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+¥). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует, или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(-¥, b] и (-¥, +¥):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

= . (8.8)

Пример 3.30. Вычислить ò dx/(x+2).

Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt, ò dx/(x+2) = ò dt/t = lnïtï+C =
= lnïx+2ï+C.

Пример 3.31. Найти ò tg x dx.

Решение. ò tg x dx = ò sin x/cos x dx = - ò d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда ò tg x dx = - ò dt/t = - lnïtï+C = - lnïcos xï+C.

Пример 3.32. Найти ò dx/sin x.

Решение.

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

Пример 3.34. Найти ò arctg x dx.

Пример 3.35. Вычислить ò ln x dx.

Пример 3.36. Вычислить ò e^xsin x dx.

Пример 3.37. Вычислить J = ò cos(ln x)dx/x.

Пример 3.38. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 3.39. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =
=
=.

Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Пример 3.41. Вычислить интеграл .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) = += ;

= = .

. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Глава 5.1. Неопределённый интеграл.

5.1.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.

5.1.2. Свойства неопределённого интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.

5.1.3. Метод замены переменой.

5.1.4. Метод интегрирования по частям.

5.1.5. Интегрирование простейших рациональных дробей.

5.1.6. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

5.1.7. Интегрирование тригонометрических функций.

5.1.8. Интегралы, «неберущиеся» в элементарных функциях.

Глава 5.2. Определённый интеграл.

5.2.1. Понятие определённого интеграла, его геометрический и экономический смысл.

5.2.2. Свойства определённого интеграла.

5.2.3. Определённый интеграл, как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

5.2.4. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле.

5.2.5. Геометрические приложения определённого интеграла.

5.2.6. Несобственные интегралы.

5.2.7. Использование понятия определённого интеграла в экономике.

Приложение определенного интеграла в экономике

В последнее время появилось большое количество школ и классов, учащиеся которых выбирают экономические специальности в качестве своей дальнейшей деятельности. Как правило, учителя, работающие в таких классах, дают учащимся более глубокие знания по обычным темам школьного курса математики, зачастую ориентируясь на программы для школ и классов с углубленным изучением математики. Но при такой организации обучения практически не рассматриваются экономические приложения той или иной темы, мало времени уделяется применению математического моделирования к решению экономических задач. Не является исключением и тема, посвященная приложениям определенного интеграла в других областях знаний.

Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Зачастую об экономических приложениях интеграла не идет речи и в классах экономического направления. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике. Начнем с широко используемого в рыночной экономике понятия потребительского излишка¹ (CS–consumer’s surplus). Для этого введем несколько экономических понятий и обозначений.

Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической теории – предложение (S–supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.

Отметим, что экономисты сочли удобным изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом (рис. 1).

И, наконец, введем еще одно понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (рис. 2), E*(p*; q*) – точка равновесия².

В дальнейшем для удобства анализа мы будем рассматривать не зависимость Q = f(P), а обратные функции спроса и предложения, характеризующие зависимость P = f(Q), тогда аргумент и значение функции графически будут изображаться привычным для нас образом.

Перейдем теперь к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка. Для этого изобразим на графике обратную функцию спроса P = f(Q). Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E*(q*; p*) (кривая предложения на графике отсутствует для удобства дальнейшего анализа, рис. 3).

Если покупатель приобретает товар в количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят P*Q*, что равно площади заштрихованной фигуры A (рис. 4).

Но предположим теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями њ Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка (см. [2–4]). Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.

Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Q₁ = D Q (рис. 5), который продается по цене P₁ = f(Q1). Так как по предположению величина њ Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P₁, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P₁D Q, что соответствует площади заштрихованного прямоугольника S₁ (рис. 5).

Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене P₂ = f(Q₂), где Q₂ = Q₁ + D Q – общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P₂D Q, что соответствует площади прямоугольника S₂.

Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q* = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина D Q для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q*:

В результате получим, что цена n-й партии товара Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят PnD Q, или площадь прямоугольника Sn.

Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями D Q равны

Так как величина D Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что приблизительно равна площади фигуры B (рис. 6), которая, как известно, при малых приращениях аргумента D Q равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Q*, т. е. в итоге получим, что

Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7).

Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

Далее рассмотрим несколько задач на определение излишка потребителя.

Задача 1. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q², где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребитеоьского излишка

Решение.

Задача 2. Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией а предложение данного товара характеризуется функцией q = 500p. Найдите величину излишка потребителя при покупке данного товара.

Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия (p*; q*). Для этого решим систему уравнений

Таким образом, p* = 2, q* = 1000.

Запишем формулу для вычисления потребительского излишка (1), где f(q) – функция, обратная функции

Отсюда

Задача 3. Известно, что спрос на некоторый товар задается функциейпредложение – функцией p = q + 11. Определите величину выигрыша потребителя при покупке данного товара.

Решение. Выигрыш потребителя есть не что иное, как потребительский излишек. Для того, чтобы найти его, определим сначала равновесные значения количества товара и его цены, решив для этого систему

Решим первое уравнение системы.

(q + 1)(q + 11) = 231,

q² + 12q – 220 = 0,

(q + 22)(q – 10) = 0.

Учитывая, что q ³ 0, получим q* = 10. Следовательно, p* = 10 + 11 = 21. Тогда

Подобно излишку потребителя определяется и излишек производителя (PS–producer surplus). Не вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать Q* единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия (рис. 8).

Очевидно, что (2)

Рассмотрим, как полученная формула может быть применена при решении задач.

Задача 4. Известно, что кривая предложения некоторого товара имеет вид p = 4q³ + 2, а равновесие на рынке данного товара достигается при объеме продаж Q* = 3. Определите добавочную выгоду производителя при продаже такого количества продукции.

Решение. Сначала из функции предложения найдем равновесное значение цены P* = f(q*) = f(3) = 4*3³ + 2 = 110.

Подставим полученное значение в формулу (2)

Мы рассмотрели, как определяются излишки потребителя и производителя. Отметим, что сумма этих двух излишков – площадь заштрихованной фигуры на рисунке 9 – характеризует общий эффект производства и потребления на рассматриваемом рынке.

Однако абсолютные значения PS и CS представляют небольшой интерес для экономистов. Экономистов больше волнует ответ на вопрос, как и на сколько изменится излишек потребителя в результате проведения того или иного мероприятия государственной политики, оказывающей влияние на равновесие на рынке, в частности, при установлении налогов, введении субсидий и т. п.

Допустим, например, что товар облагается налогом в размере t на единицу товара (такой налог экономисты называют потоварным налогом), тогда его цена увеличится с P₁ до P₂ (P₂ = P₁ + t).

Влияние данного налога на благосостояние потребителя характеризует ситуация, представленная на рисунке 10.

Таким образом, получаем, что D CS – уменьшение благосостояния потребителя, оцениваемое с помощью потребительского излишка, есть разница площадей двух фигур, соответствующих CS₁ и CS₂, и по форме напоминает трапецию, площадь которой, в свою очередь, равна сумме площадей фигур T₁ и T₂, т. е. D CS =S_T1 +S_T2 , S_T1 где измеряет потери излишка потребителя, вызванные увеличением цены единицы товара на размер налога и равна tQ₂, а S_T1 измеряет потери благосостояния потребителя, связанные с уменьшением количества потребляемого товара (Q₂ < Q₁), и равна

Таким образом, для случая введения потоварного налога в размере t имеем

В общем же случае результат изменения потребительского излишка вследствие увеличения цены на товар может быть записан, например, в следующем виде

Рассмотрим пример оценки последствий введения потоварного налога.

Задача 5. Дана кривая спроса . Каковы денежные потери потребителя при введении на данный товар налога с единицы продаж в размере 1 руб., если известно, что первоначально рыночное равновесие на данном рынке наблюдалось при цене P* = 2 руб.?

Решение. Данную задачу можно решать разными способами. Проанализируем основные из них.

1-й способ основан на использовании формулы (3) для вычисления D CS.

Для определения потребительских потерь при увеличении равновесной цены товара с 2 руб. до 3 руб. посмотрим, как при этом меняется объем продаж. Если P₁ = 2, то Q₁ = 16, при P₂ = 3 Q₂ = 14. Следовательно,

2-й способ. Так как в данном случае функция спроса линейна, то рассматриваемую ситуацию легко представить графически (рис. 11).

Получим, что

Несмотря на то, что второй способ проще первого и не требует знаний математического анализа, тем не менее учащиеся должны быть знакомы и с общим методом нахождения изменения потребительского излишка при помощи определенного интеграла, так как часто функции спроса и предложения не линейны и имеют более сложный вид.

Рассмотренный нами способ оценки последствий мер экономической политики широко применяется на практике. Так, при подготовке налоговых реформ экономисты рассчитывают изменения потребительских излишков в зависимости от различных вариантов налогообложения и, анализируя полученные результаты с учетом необходимого размера налоговых поступлений, останавливаются на тех вариантах, которые вызывают наименьшее сокращение потребительских выгод.

Для иллюстрации практического использования данного анализа рассмотрим пример, который приводит в своей работе «Анализ воздействия налоговых реформ на благосостояние с использованием данных по домохозяйствам» современный английский экономист М. Кинг [1], исследуя последствия проводимой в Великобритании в 1983 г. реформы налогообложения жилищных услуг.

Суть данной реформы сводилась к отмене налоговых скидок при уплате налога на проживание для владельцев собственных домов с одновременным увеличением арендной платы за проживание в муниципальных домах. Дополнительные средства, полученные в результате такого мероприятия, подлежали возврату домохозяйствам в форме безвозмездных социальных выплат, пропорциональных доходу домохозяйства.

Исследовав расходы на жилищные услуги по 5895 домохозяйствам, Кинг вывел функцию спроса на жилищные услуги. В итоге им было установлено, что данная налоговая реформа оказала бы положительное воздействие на благосостояние 4888 из 5895 домохозяйств. Более того, он смог точно идентифицировать те домохозяйства, которые понесли бы наибольшие потери от такой реформы. Он обнаружил, что от реформы выиграли бы 94% домохозяйств, имеющих самые высокие доходы, и лишь 58% лиц с наименьшими доходами. Полученные им результаты оказали огромное влияние на концепцию разрабатываемых реформ. В результате намечавшиеся изменения в реформировании системы налогообложения жилищной сферы были кардинально пересмотрены и изменены для более полного соответствия поставленным целям.

¹ Понятие потребительского излишка впервые использовал в 1844 г. французский инженер и экономист Ж. Дюпюи (1804–1866).
² Впервые графический метод для определения равновесных объемов продаж и цен применил в 1870 г. английский экономист Ф. Дженкин (1833–1885).

Литература

1. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. – М., ЮНИТИ, 1997.
2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М., Инфра-М, 1998.
3. Anthony M. and Biggs N. Mathematics for economics and finance. Methods and modeling. – Cambridge University Press, 1996.
4. Dowling. Introduction to mathematical economics. – McGraw-Hill, 1992.

Метод замены переменной интегрирования 000281

Автор Administrator

29.06.2008 г.

Найти интеграл

Решение

Тогда

Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл

Определение 16 (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XÍ R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x²/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x²/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xÎ X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Справедлива

Теорема 14. Если F₁(x), F₂(x) - первообразные для функции f(x) на некотором множестве X, то найдется такое число C, что справедливо равенство F₂(x) = F₁(x)+C.

Доказательство. Так как (F₂(x)-F₁(x))' = F'₂(x)-F'₁(x) = f(x)-f(x) = 0, xÎ X, то F₂(x)-F₁(x) = C, то есть F₂(x) = F₁(x)+C.

Определение 17 (неопределенный интеграл). Совокупность
всех первообразных функций для функции f(x), определенных на множестве X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на множестве X и обозначается

f(x)dx.

Если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то пишут

f(x)dx = F(x)+C.

Основные свойства неопределенного интеграла

dF(x) = F(x)+C. Справедливость этого равенства следует из очевидной цепочки равенств

dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx = F(x)+C.

d f(x)dx = f(x)dx. Данная формула следует из равенства

d f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Если функции f₁(x), f₂(x) имеют первообразные, то функция f₁(x)+f₂(x) тоже имеет первообразную, причем

(f₁(x)+f₂ (x))dx = f₁(x)dx+ f₂(x)dx.

Если функция f(x) имеет первообразную и k– постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при k¹ 0 справедливо равенство

kf(x)dx = k f(x)dx.

Заметим, что свойства 3 и 4 следуют из свойств производной.

Таблица интегралов

Ранее была указана таблица производных от основных элементарных функций (см. 1.6). Приведем таблицу основных интегралов. Справедливость ниже указанных формул легко проверить

дифференцированием.

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

f(x)dx = f(f (t))f' (t)dt.

(13)

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F(f (t)))' = F'_x(f(t))f '(t) = f(f(t))f '(t).

Таким образом,

f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C.

Так как f(x)dx = F(x)+C, то получим формулу (13).

Методы интегрирования

Этот раздел находится по адресу www.baikal.ru/do/integral.

Научный потенциал студенчества - будущему России / Материалы Всероссийской

научной студенческой конференции. Ставрополь: СевКавГТУ, 2006. 212 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ЭКОНОМИКЕ

Арефьева И.Е. (СевКавГТУ, г. Ставрополь)

Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется

вычислением площадей различных фигур ,нахождением объемов тел и

некоторыми приложениями в науке и технике. Интегральное исчисление дает

богатый математический аппарат для моделирования и исследования

процессов, происходящих в экономике. Так, в ходе изучения определенного

интеграла студент может наглядно познакомиться с методами решения

экономических задач, связанных с анализом воздействия конкретных мер

государственной политики на благосостояние потребителей и

производителей продукции. Приведем несколько примеров,

иллюстрирующих приложение определенного интеграла для решения задач

такого типа.

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые

предельные величины , т.е. для данной величины, представляемой некоторой

функцией y=f(x) , рассматривают её производную f´(x) .Например, если дана

функция издержик С в зависимости от объема q выпускаемого товара С=С(q)

, о предельные издержки будут задаваться производной этой функции