Логарифмические уравнения, неравенства и их системы

УЛЬЯНОВСКИЙ ИНСТИТУТ  ПОВЫШЕНИЯ  КВАЛИФИКАЦИИ

 И  ПЕРЕПОДГОТОВКИ     РАБОТНИКОВ    ОБРАЗОВАНИЯ  ПРИ

                  УЛЬЯНОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ  ПЕДАГОГИЧЕСКОМ                         УНИВЕРСИТЕТЕ  ИМЕНИ  И.Н.УЛЬЯНОВА

              КАФЕДРА  ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

Методы  решения  логарифмических

уравнений,  неравенств  и  их  систем.

                                                                      Учитель математики                                                            

                                                                       высшей категории

                                                                      Ярмуллина Р.Г.

УЛЬЯНОВСК   2016 г.

Содержание.

      Введение.                                                                              3

         Цели  и  задачи  обучения  математике  в  школе.   3

         Цели  изучения  алгебры  и  начал  анализа                 

         в  X – XI  классах.                                                               4

1.   Пояснительная  записка.                                                    6

2.   Программа   курса.                                                               8

3.   Учебно-тематический  план.                                              9

4.   Литература.                                                                         10

5.   Приложение.                                                                       12

      5.1.  Уравнения  и неравенства.  Равносильность 

              уравнений  и  неравенств.                                      12

      5.2.  Логарифмические  уравнения   и  неравенства,

              их  равносильность.                                                13

5.3.    Методы  решения  логарифмических                 

уравнений.                                                                  15

5.4.    Решение  систем  логарифмических

уравнений.                                                                  19

5.5.    Решение логарифмических  неравенств.            21

5.6.    Системы  логарифмических неравенств.          24

5.7.    Логарифмические уравнения и неравенства,                             содержащие переменную под знаком модуля.   25

      5.8.  Логарифмические уравнения и неравенства

              с  параметром.                                                          26

      5.9.  Тексты   контрольных   работ.                            28                                                  

                                  Введение.

            Цели  и  задачи  обучения  математике  в  школе.

        В основе характерного  для нашего времени  нового  мировоззрения  лежит  представление о том, что  природу нельзя «покорять», не думая о последствиях своей деятельности, что человеком  нельзя управлять как машиной, и силой принуждать его к чему-либо для его же  блага. Мир, в котором  мы живем , является сложной саморазвивающейся  динамической системой, включаю-щей  в себя  природу и человека. В соответствии с этим в основу  школьного преподавания  должны быть положены  новые  ценност-ные  ориентиры.

        Нельзя думать, что основная  цель преподавания состоит  только в том, чтобы сообщить ученику как можно больше  конкрет-ных  знаний, новых понятий, теорем, теорий. На этом пути мы приходим к разбуханию учебных программ  и к  тому, что значительная часть учащихся,  по существу , плохо  овладевает школьным  материалом. Одна из важнейших целей преподавания  состоит в том, чтобы  воспитать молодого человека, сформировать его мировоззрение, научить  его рациональному мышлению.

         На уроках необходимо формировать систему ценностей, с которой   молодой человек вступает в мир. Для человека, наряду с материальными ценностями, важны ценности интеллектуальные – знания, умение последовательно рассуждать, анализировать  факты, обобщать их. Всему этому школьник  учится на уроках математики. Решая задачи, он тренируется в точности и строгости рассуждений, учится искать различные  пути выхода из создавшегося положения, привыкает преодолевать трудности.  Но чтобы добиться таких  результатов, нужно  разъяснить ученику цели  и задачи  изучаемого предмета.

    Математика играет важную роль  в общей  системе образо-вания. Важнейшей  задачей  обучения  является  обеспечение  некоторого  гарантированного  уровня  математической  подго-товки  всех школьников, независимо от специальности, которую  они изберут  в дальнейшем.

     Математика, давно став  языком  науки и техники, в  настоя-щее время  все  шире  проникает в повседневную  жизнь  и обиходный язык, все более внедряется  в традиционно  далекие  от  нее области. Компьютеризация общества, внедрение  современных  информационных  технологий  требуют  математической грамот-ности  человека  буквально  на каждом рабочем месте.  Это предполагает  и конкретные  математические  знания, и определен-ный  стиль мышления. Роль математической подготовки  в общем  образовании современного  человека  ставит  следующие  цели  обучения  математике в школе:

-   овладение  конкретными математическими знаниями, необхо-димыми  для применения в практической  деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

-   интеллектуальное развитие  учащихся, формирование качеств мышления, характерных  для  математической  деятельности  и необходимых  для продуктивной  жизни  в  обществе;

-   формирование  представлений  об идеях  и методах  матема-тики, о математике  как форме описания   и  методе  познания  действительности;

-   формирование  представлений  о  математике, как части   общечеловеческой  культуры, понимания  значимости  математики  для общественного  прогресса.

Цели  изучения  алгебры  и  начал  анализа в X-XI классах.

              Цель  изучения  курса  алгебры  и  начал  анализа  в X-XI   классах  - систематическое  изучение  функций  как  важнейшего  математического  объекта  средствами  алгебры  и математического анализа,  раскрытие  политехнического  и  прикладного  значений  общих  методов  математики, связанных  с  исследованием функций,  подготовка  необходимого аппарата для изучения  геометрии и физики. Характерной особенностью курса  является  системати-зация  и  обобщение  знаний учащихся, закрепление  и  развитие умений и навыков, полученных в курсе  алгебры  основной школы, что  осуществляется  как при изучении  нового материала, так и при  проведении обобщающего повторения.

     Так,  в курсе  алгебры  и начал анализа в XI  классе  приводятся  в  систему  и обобщаются  имеющиеся  у  школьников  сведения о степенях,  дается  понятие степени  с иррациональным  показателем, изучаются  степенная, показательная и логарифмическая  функции  и их свойства,  кроме этого,  изучаются  методы  решений  неслож-ных  иррациональных, показательных  и логарифмических  уравне-ний, неравенств и их систем.

       В своей педагогической практике  я столкнулась с тем, что   при изучении  логарифмов  у учащихся  сразу появляются затруд-нения  не только в решении  уравнений  и неравенств,  но  даже  само определение  логарифма  вызывает некоторые  трудности  у  старшеклассников. Не сразу приходит понимание   темы  «Преобразования  логарифмических выражений», особенно много сложностей возникает при решении  логарифмических  уравнений, неравенств, а тем более  их систем. Большинство недочетов и ошибок встречается  при   проверке корней уравнения  или  при нахождении ОДЗ (область  допустимых значений)  уравнений и неравенств, ученики зачастую забывают, что проверка решения или  нахождение  ОДЗ  является  неотъемлемой  частью   решения  уравнения  или неравенства . Поэтому становится  ясным, что заострять внимание  школьников на этом аспекте нужно раньше, хотя бы  в  8-м классе  при изучении  дробно-рациональных уравнений, чтобы в старших  классах  у учеников  уже был отработан навык  нахождения  ОДЗ и проверки  корней  уравнения.

       Конечно  же, не все методы  решения  уравнений  вызывают  затруднения  у учащихся, такие методы,  как разложение на множители, введение новой переменной  и сведение  уравнения к квадратному,  практически ,  несложны для старшеклассников, но метод приведения  логарифмов к одному основанию  вызывает сложности в восприятии  и дальнейшем умении  их решать.

   Метод, основанный   на свойстве монотонности функций,  также  вызывает затруднения, но это  связано  еще  и с тем, что подобных задач  очень мало в учебнике  Колмогорова.

     Поэтому  в своей работе  я сделала  попытку описать  наиболее  часто встречающиеся  методы  решения  логарифмических  уравнений, неравенств  и их систем, показала  применение  этих методов на примерах, которые  наиболее  ярко поясняют  каждый  выбранный метод решения.  Мне  кажется целесообразным  разработка  спецкурса  по  данной теме, который поможет более подробно и основательно изучить  одну  из самых  сложных тем учебной программы по алгебре и началам анализа.

1. Пояснительная записка.

1.1.    Целеполагание.

           Основная цель данного спецкурса -  углубление и расширение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и неравенства», повышение уровня их  математической культуры,  подготовка к выбору  учащимися  путей  дальнейшего образования.  Преподавание строится как углубленное  изучение вопросов темы,  предусмотренных программой базового уровня, так и вопросов,  расширяющих кругозор,  формирующих мировоззрение,  раскрывающих прикладной аспект математики.  Углубление реализуется  на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической  и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Уровень предлагаемых и решаемых задач повышенный, существенно превышающий обязательный минимум.  Особое место в спецкурсе занимают задачи,  требующие применения знаний в незнакомой  (нестандартной) ситуации.

          Особая установка спецкурса – целенаправленная подготовка учащихся к конкурсным экзаменам в ВУЗы соответствующего профиля. Поэтому преподавание спецкурса  направлено на систематизацию знаний  и углубление умений учащихся на повышенном уровне и на уровне, предусмотренном программой  вступительных экзаменов в ВУЗы .

          Основная методическая установка спецкурса – организация самостоятельной деятельности учащихся при ведущей и направляющей роли учителя.  Каждый из приведенных вопросов  спецкурса предусматривает возможное распределение часов. В случае необходимости, возможно изменение количества  часов на изучение некоторых вопросов. Порядок изучения спецкурса определяется в соответствии с тематическим планированием  базового курса, целесообразно прохождение данного спецкурса сразу после прохождения соответствующей темы базового курса алгебры и начал анализа  11 класса.  Вполне допустимо, чтобы какой-то вопрос  темы  изучался не подряд, а перемежаясь с другими темами. При необходимости,  возможно  изменение  содержания  спецкурса, перераспределение учебного времени,  придерживаясь при этом основного принципа: содержание спецкурса   в первую очередь должно углублять и дополнять основной базовый курс.

1.2.    Структура программы.

Программа спецкурса состоит из следующих разделов:

          -    Уравнения и неравенства.  Равносильность   уравнений

                и   неравенств.

-    Логарифмические уравнения и неравенства,

      их равносильность.

-    Методы решения логарифмических уравнений.

-    Решение систем логарифмических уравнений.

-    Решение логарифмических неравенств.

-    Системы логарифмических неравенств.

-    Логарифмические уравнения и неравенства, содержа-

      щие  переменную  под знаком модуля.

-    Уравнения и неравенства с параметром.

По сравнению с государственной базовой программой в спецкурс включены такие вопросы,  как равносильность логарифмических уравнений и неравенств, подробно рассматривается вопрос потери  корня уравнения  и  приобретения   постороннего корня.  Также включены вопросы решения уравнений с модулем и с параметром,  которые в школьном учебнике « Алгебра и начала анализа»  под редакцией Колмогорова А.Н.   просто   отсутствуют.

          Данные вопросы включены в спецкурс по той причине, что  уравнения  и неравенства  с модулем и с   параметром  часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы , и  абитуриенты   должны уметь их решать, чтобы составить достойную  конкурен-цию на вступительных испытаниях.

                            

 

2. Программа курса.

1. Логарифмические уравнения и неравенства, их равносильность.

       Определение уравнения, неравенства, корня уравнения. Равносильность уравнений и неравенств. Определения логарифмического уравнения и неравенства. Равносильность логарифмических уравнений и неравенств. Посторонний корень, потеря корня. Формулы логарифмирования, потенцирования.

2.    Методы решения логарифмических уравнений и их систем.

         Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. Метод логарифмирования. Функционально-графический метод. Метод введения вспомогательной переменной. Метод алгебраи-ческого сложения.

3.    Методы решения логарифмических неравенств и их систем.

          Основные теоремы. Переход от неравенства к равносильной системе неравенств. Метод введения вспомогательной переменной. Переход от старого основания логарифма к новому основанию. Метод интервалов.

4.    Логарифмические уравнения и неравенства с модулем.

            Основные приемы решения уравнений и неравенств с модулем.

5.    Уравнения и неравенства с параметром.

            Основные приемы решения уравнений и неравенств с параметром.

6.    Обобщение и систематизация знаний по теме  «Логарифмические уравнения, неравенства и их системы».

             Контроль знаний: тематический зачет.

3.   Учебно – тематический  план.

4.  Литература.

1.                       Виленкин  Н.Я.  Алгебра и математический  анализ  для  11 класса:   Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным   изучением  математики.

             М.: Просвещение, 2000г.

2.                      В помощь учителю, работающему по базисному  учебному  плану. Сборник вариативных спецкурсов: Программы по математике. 5 – 11 классы. Выпуск 2. Часть 1\ Составители:  Ф.С. Мухаметзянова и др.

             Ульяновск: ИПК ПРО, 1997г.

3.                      Галицкий М.Л. и др.  Углубленное изучение курса  алгебры  и   математического анализа:  Метод. рекомендации  и дидакт.  материалы:

            Пособие для учителя.

            М.: Просвещение, 2000г.

4.                      Денищева Л.О.  Зачеты  в  системе  дифференцированного  обучения    математике.

           М.: Просвещение, 1993г.

5.                      Дорофеев Г.В. Сборник  заданий  для  подготовки и про-ведения  письменного  экзамена по математике (курс А)  и алгебре и началам анализа (курс В)  за курс средней школы .11 класс.

           М.: Дрофа, 2003г.

6.                      Дорофеева А.В. Гуманитарные  аспекты  преподавания  математики.

           МШ, №6, 1990г.

7.                      Дорофеев Г.В. и др.  Математика 11 кл. Подготовка к письменному  экзамену за курс средней школы: Решение задач с методическими рекомендациями.

           М.: Дрофа, 2000г.

8.                      Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса.

           М.: Просвещение, 2000г.

9.                      Крамор В.С. и др. Математика: Типовые примеры на вступительных экзаменах. Пособие для старшеклассников и абитуриентов.

           М.: АРКТИ,2000г.

10.                 Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа, учебник для 10 -11 классов средней школы.

           М.: Просвещение, 2003г.

11.                 Лаппо Л.Д. и др. Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Методические указания по подготовке. Тестовые задания: Учебно-методическое пособие.

           М.: Экзамен, 2004г.

12.                 Мухаметзянова  Ф.С. Рекомендации  по  реализации  нового  содержания  образования.//Методические рекомендации по внедрению  стандарта общего образования по математике/Составители                         Ф.С. Мухаметзянова и др., под редакцией Т.Ф.Есенковой, В.В.Зарубиной.

           Ульяновск: ИПК ПРО,2004г.

13.                 Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: В двух частях.

           Для общеобразовательных учреждений. – 5 –е издание.

           М.: Мнемозина,2004г.

14.                 Программы  для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5 – 11 кл.\ Сост. Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк.

           М.: Дрофа, 2002г.

15.                 Рекомендации по организации и содержанию методической работы и образовательного процесса на 2000\2001 учебный год.  Начальное, основное и среднее (неполное)  общее  образование \Под редакцией Есенковой Т.Ф.

           Ульяновск: ИПК ПРО, 2000г.

5.  Приложение.

5.1. Уравнения и неравенства. Равносильность уравнений  и неравенств. 

Опр.1:Равенство  вида  f(x)=g(x),  где   f(x) и   g(x)  -функции  от  x,  называют  уравнением с переменной  х. Множество  Х  значений  х, при подстановке которых  в уравнение получается  истинное  числовое равенство, называют  решением  данного  уравнения, а каждое  такое значение  переменной – корнем уравнения.

Понятие неравенства с одной переменной  определяется  аналогично  понятию уравнения.

Опр.2: Соотношения  вида  f(x) >g(x),  f(x) <g(x),  f(x) ≤g(x),  f(x) ≥g(x),    где   f(x) и   g(x)  -функции  от  x,  называют неравенствами с переменной  х. Множество  Х  значений  х, при подстановке которых  в  неравенство получается  верное  числовое неравенство, называют  решением  данного  неравенства.

      В отличие  от  уравнений  понятие  корня  для  неравенства  не  вводится.

      В процессе  решения уравнений и неравенств их заменяют другими, имеющими  те же решения, что и исходные. Получаемые таким путем  уравнения  и неравенства  называют равносильными данным.

       Опр.3:Уравнение f₁(x)=g₁(x) равносильно уравнению   f(x)=g(x), если  их решения  совпадают ( каждый корень первого  уравнения  является  корнем  второго и, наоборот, каждый  корень второго уравнения является корнем первого).

      Понятие равносильности неравенств определяется аналогично. Чтобы установить, какие уравнения (соответственно  неравенства) равносильны друг другу, используют теоремы о  равносильности  уравнений и неравенств, вытекающие из известных свойств числовых равенств и неравенств.

5.2. Логарифмические уравнения,  неравенства  и их равносильность.

      Опр.4:Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

log_а f(x) = log_а g(x),

где  а -  положительное число, отличное от 1, и  уравнения, сводящиеся к этому виду.

               Остановимся   на некоторых вопросах, связанных с равносильностью уравнений, источниками потери и приобретения корней при решении логарифмических уравнений.

        При преобразовании логарифмических выражений часто используются формулы:

a ^log a^x = x,                                     (1)

log_a (xy) = log_a x + log_a y,            (2)

                             log_a  (x\y) = log_a x – log_a y,           (3)

                              log_a xⁿ = n log_a x,                           (4)

где а > 0,   a ≠ 1.

      Особенность  данных  формул заключается в следующем: если их левую и правую части рассматривать независимо друг от друга, то замечаем, что они определены  на  разных множествах  значений  переменных. Например, в формуле  (1) левая часть определена при х>0, а правая при любом значении х. Во второй и третьей формулах левые части определены для всех пар чисел х  и  у  одного знака, а правые лишь для положительных  х  и  у.  В четвертой формуле при n = 2к, где к - целые числа, неравные нулю левая часть определена для всех  ненулевых  значениях  х,  правая же только  при  х > 0.

       Отмеченное обстоятельство означает, что применение  этих формул  может изменить  область определения  уравнения, т. е.  привести  к неравносильным   уравнениям.

       Так,  замена  выражения  _a ^log a^f(x)                                                   выражением   f(x),  так  же  как и применение формул  потенцирования:

log_a f(x) + log_a g(x) = log_a (f(x) g(x)),

                      log_a f(x) - log_a g(x) = log_a (f(x)\ g(x)),                  (I)

2k log_a f(x) = log_a (f(x))^2k   ,(k   Z, k≠  0),                                          

вообще говоря, расширяет  область определения уравнения, что  может привести  к появлению  посторонних корней. Применение же формул логарифмирования:

log_a (f(x) g(x)) = log_a f(x) + log_a g(x),

                        log_a (f(x)\ g(x)) = log_a f(x) - log_a g(x),                  (II)

     log_a (f(x))^2k   = 2k log_a f(x)   ,(k   Z, k ≠0).                                         

Наоборот, может привести к потере корней ввиду возможного сужения  области определения  уравнения.

        Появляющиеся при потенцировании посторонние корни устанавливают обычно с помощью  проверки (подстановки в исходное уравнение). В случае, когда такая проверка затруднительна,  целесообразнее  заменить  исходное уравнение равносильной системой, состоящей из данного уравнения и необ-ходимых неравенств. В полученной смешанной  системе уравнения решают, а неравенства проверяют. При этом иногда удается заменить систему более простой и облегчить необходимую проверку.

   Пример 1.  ₃ ^log 3 ^{(x – 2x – 1)}    + x  =  2.                                     (5)         

Решение. Применив формулу  (1),  получим уравнение

                   x² – 2x – 1 + x = 2,                  (6)

корни  которого

                                                  x₁= (1 +  √13) \ 2,

                                                  x₂ = (1 -  √13) \ 2.

Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел  удовлетворяет неравенству

                        x² – 2x – 1 > 0.                     (7)

Однако проверку корней можно упростить следующим образом. Переписав уравнение (6) в виде

x² – 2x – 1 = 2 – x,

Видим, что выражение       x² – 2x – 1    положительно тогда и только тогда, когда х <  2. Таким образом, вместо проверки неравенства (7) можно осуществить проверку  условия   х  <  2. Теперь легко видеть, что только

x =  (1 – √13) \2     является корнем исходного  уравнения.

       Решение уравнения (5)  можно оформить следующим образом:

 

                                              x² – 2x – 1 > 0,                   x² – 2x – 1 > 0   ₃ ^log 3 ^{(x – 2x – 1)} + x =2          

                                           x² – 2x – 1 +x = 2               x² – 2x – 1 = 2 – x

2 – x > 0,                       x < 2,                   

                                      x₁= (1 +  √13) \ 2,                     x =  (1 – √13) \2.    

 x²– x – 3 = 0                 x₂ = (1 - √13) \ 2

Ответ:  (1 – √13) \2. 

Применение же формул логарифмирования (II) может привести к потере корней, чего,  естественно, допускать не следует.  Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере корней ими, ими пользуются в виде:

                    log_a (f(x) g(x)) = log_a │f(x)│+ log_a │g(x)│,

                    log_a (f(x)\ g(x)) = log_a │f(x)│ - log_a │g(x)│,                  (III)

                    log_a (f(x))^2k   = 2k log_a │f(x)│   ,(k   Z, k ≠0).

Отметим, что первые две формулы группы (III)  также  не   являются универсальными, так как они могут привести к расширению области определения уравнения  и, следовательно, появлению посторонних корней. Но это не так опасно, как сужение области  определения  и потеря корня. Как уже отмечалось,  посторонние корни  могут быть установлены с помощью проверки.

В отличие  от  уравнений, в случае  решения  неравенств   про- верка, как правило,  неосуществима, поэтому  необходимо выпол-нять лишь равносильные  преобразования.

5.3 Методы решения логарифмических уравнений.

 Можно выделить несколько  основных методов  решения логарифмических уравнений.

1)   Метод потенцирования.

2)   Метод введения новой переменной.

3)   Метод логарифмирования.

4)   Функционально-графический метод.

Рассмотрим каждый их них более подробно на примерах.

5.3.1.Метод  потенцирования.

         Данный метод является основным при решении логарифмических уравнений,  он основан на  следующем  утверждении.

         Теорема.   Если   f(x)>0  и  g(x)>0 , то логарифмическое уравнение

log_a f(x)=log_a g(x),

  (где  a>0, a ≠ 1)  равносильно  уравнению

f(x) = g(x).

Пример 2. Решить уравнение

log₃ (x² – 3x – 5) = log₃ (7 – 2x).

Решение. Потенцируя, получаем

x² – 3x – 5 = 7 – 2x;

x² – x – 12 = 0;

x₁ = 4,  x₂ = -3.

Проверим найденные корни по условиям

 

x²- 3x - 5 > 0,

7 – 2x > 0.

Значение  х = 4  не  удовлетворяет этой системе неравенств,  т.е.

 х = 4 – посторонний корень для заданного уравнения. Значение

 х = - 3  удовлетворяет  обоим неравенствам системы, а потому

  х = - 3 – корень заданного уравнения.

Ответ: -3.

Пример 3. Решить уравнение

log₂ (x + 4) + log₂ (2x + 3) = log₂ (1 – 2x).

Решение. Преобразуем  уравнение, применив правило  преобразования  логарифмов, получим уравнение:

log₂ (x + 4)(2x + 3) = log₂ (1 – 2x).

Потенцируя,  получаем

(х + 4)(2х + 3) = (1 – 2х);

2х² + 11х + 12 = 1 – 2х;

2х² + 13х + 11 = 0;

x₁ = -1,  х₂ = 5,5.

Проверим найденные корни по условиям  

х + 4 > 0,

2x + 3 > 0,

1 – 2x > 0.

Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств,  а значение

 х = - 5,5  не удовлетворяет - это посторонний корень.

Ответ: -1.

5.3.2. Метод введения новой переменной.

          Этот метод применяется  к  уравнениям    вида :   f ( g(x)) = 0.

Рассмотрим его на примере.

Пример 4.  Решите уравнение

lg² x +  lg x + 1 = 7 ∕ lg (x ∕ 10).

Решение.  Перепишем уравнение в виде:

lg² x +  lg x + 1 = 7 ∕ (lg x - 1).

Введем новую переменную  y = lg x; тогда уравнение примет вид

y² + y + 1 = 7 ∕ (y – 1).

Далее находим:

(y – 1 )( y² + y + 1) = 7;

у³ = 8;

у = 2.

Это значение удовлетворяет условию у ≠ 1, которое вытекает из условия   lg x – 1 ≠ 0.

Итак, у = 2. Но у = lg x, значит, нам осталось решить простейшее   логарифмическое уравнение  lg x = 2, откуда находим х = 100.

Ответ: 100.    

     Кратко, рассматриваемый метод можно изложить в виде утверждения:

     Если а – один из корней уравнения f(z) = 0, а в – один из корней уравнения   g(x) = a,  то в является одним из корней уравнения  f(g(x)) = 0 .  Обратно  если в – корень уравнения  f(g(x)) = 0,   то      а =g (в) – один из корней уравнения  f(z) = 0.

5.3.3. Метод логарифмирования.

      Этот метод применим к уравнениям вида   x  ^log _a ^f(x)  =  aⁿ  .

Пример 5. Решить уравнение

 x  ^{1 -  lg x} = 0,01.

Решение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10;

Это равносильное преобразование уравнения, поскольку обе его части принимают только положительные значения. Получим

lg x  ^{1 -  lg x} =lg 0,01.

Учтем, что  lg x^r = r lg x  и что  lg 0,01= -2.   Это позволяет переписать исходное уравнение  в виде   (1 -  lg x  ) lg x  = - 2.  Введем новую переменную  у = lg x  , тогда уравнение примет вид:

(1 – у ) у = - 2,

у² – у – 2 = 0 ,

у₁= 2, у₂ = -1.

Но у= lg x  , значит, необходимо решить два уравнения:

lg x  = 2;                lg x  = - 1;

                                    х = 100;                   х = 0,1.

Ответ: 100;  0,1.

5.3.4.  Функционально – графический   метод.

           При решении уравнений этим методом используются следующие теоремы:

а) Если функция    f  возрастает (убывает)  на множестве  Х, то уравнение   f(х) = a  не может иметь на этом множестве  более  одного корня.

б) Если на множестве   Х   функция  f    возрастает, а функция   g  убывает,  то  уравнение   f(x) = g(x)    не может иметь на множестве  Х  более одного корня.

Пример 6. Решить уравнение

log₂ x + 3 log₂ (x + 3) = 6.

Решение.   Воспользуемся тем, что сумма двух  возрастающих функций  есть  функция,  возрастающая  на их общей области  определения, теперь ясно,  что данное уравнение не может иметь  более  одного корня. Легко заметить, что  х = 1 – корень данного уравнения.  Ясно, что он единственный.

Ответ. 1.

5.4..   Решение   систем   логарифмических уравнений.

               При решении систем логарифмических уравнений  используются традиционные  методы:  метод  введения вспомогательных переменных  и метод алгебраического  сложения уравнений.  Кроме этого, используются  все вышеизложенные  методы  для решения  логарифмических уравнений.

 5.4.1. Метод  введения вспомогательной переменной.

Пример 7.  Решите систему уравнений

 

log² (x + y) + log² (x – y) = 13,

      2 log₂ (x + y) + 3 log₂ (x – y) = 12.

Решение.  Введем замену,   а = log₂ (x + y),   в = log₂ (x + y)  и  получим новую систему уравнений:

                                 а² + в² = 13,

                                2а + 3в = 12;

                                а = 6 – 1,5в,

                               (6 – 1,5в)² + в² = 13;

Решим второе уравнение системы отдельно. Преобразуя  его, получим   уравнение

                                13в² – 72в + 92 = 0,

                                 в₁ = 2,  в₂ = 46/13.

Найдем значение переменной а:   а₁ = 3,    а₂ = 9\13.

Возвращаясь к переменным   х  и  у,   мы должны решить  две новых системы   уравнений.

 

log₂ (x + y) = 3,                       log₂ (x + y) = 46\13,

log₂ (x - y)  = 2;                       log₂ (x - y)  = 9\13;

 

х + у = 8,                                 х + у =2 ^46\13,                            

х – у = 4;                                 х – у =2 ^9\13;

х = 6,                                      х = 2 ^33\13  +   2 ^-4\13,     

у = 2;                                      у = 2 ^33\13  -  2 ^-4\13 .

Ответ:  (6;2);   (2 ^33\13  +   2 ^-4\13  ;    2 ^33\13  -  2 ^-4\13  ) 

5.4.2. Метод  алгебраического  сложения.

       Стандартный метод алгебраического сложения уравнений  системы применяется и при решении логарифмических систем.

Пример 8.  Решите  систему  уравнений.

                          log₇ (x +  y)  - 4log₇ (x – y) = 0,                         

                          log₇ (x +  y)  = 5log₇ 3 - log₇ (x – y).

Решение.  Вычтем из первого уравнения системы  второе, получим :

 

                          log₇ (x +  y)  - 4log₇ (x – y) = 0,

                         5log₇ (x – y) = 5log₇ 3;

После преобразования получаем линейную систему:

                          х – у  =  3,

                          х + у = 81;

                          х = 42, у = 39. 

Очевидно, что найденная пара чисел является единственным решением системы уравнений.

Ответ .   (42; 39).

5.5.    Решение логарифмических неравенств.

        При решении логарифмических неравенств пользуются уже известными утверждениями:

-решение неравенства не изменится, если перенести какое-нибудь слагаемое в другую часть, изменив его знак  на  противоположный;

-решение неравенства не изменится, если умножить обе части неравенства  на одно и то же положительное число; при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число,  необходимо изменить знак неравенства на противоположный.

     С помощью этих утверждений происходит переход к более простым равносильным неравенствам. Но при решении логарифмических неравенств  применяются и другие, характерные только для этого вида неравенств,

утверждения.

    Теорема. Если  f(x) > 0  и    g(x) > 0,  то

       при а > 1  логарифмическое неравенство   log_a f(x) > log_a g(x) равносильно неравенству того же смысла    f(x) > g(x);

       при  0 < a < 1  логарифмическое неравенство  log_a f(x) > log_a g(x) равносильно неравенству противоположного  смысла   f(x) < g(x).

     На практике эту теорему применяют таким образом:  переходят от неравенства    log_a f(x) > log_a g(x)   при а > 1    к равносильной ему системе неравенств 

                                                         f(x) > 0,

                                                         g(x) > 0,

               f(x) > g(x),

а при  0 < a < 1  к равносильной системе неравенств

                                                         f(x) > 0,

                                                         g(x) > 0,

               f(x) < g(x).

Первые два неравенства каждой из этих систем определяют область допустимых значений переменной для исходного неравенства, а знак последнего неравенства каждой системы либо совпадает со знаком исходного неравенства  - в случае,  когда  а > 1,  - либо противоположен знаку исходного неравенства   -  в случае, когда  0  < a < 1.

Пример 9. Решите неравенство

log_2,5 (6 – x)≥  log_2,5 (4 – 3x).

Решение.  Составим систему неравенств, учитывая тот факт,  что 2,5 > 0

                                                       6 – x > 0,

                                                       4 – 3x > 0,

                6 – x ≥ 4 – 3x;

                                                       x < 6,

                                                       x < 4\3,

                                                       x ≥ -1;

Ответ.    [-1; 4\3 ).

Пример 10. Решите неравенство

lg²  x  >  4 lg x  -  3.

Решение.   Очевидно, что   необходимо ввести замену   у = lg x, получим  неравенство,    у²  -  4у   +  3 > 0,   которое решается методом интервалов.

После несложных вычислений,  разложим левую часть на множители:

(у – 3)(у – 1) > 0, получаем

                                             y₁  < 1;   y₂ > 3.

Но  у = lg x, решим два неравенства:

                                             lg x < 1;              lg x > 3;

                0 < x < 10;           x > 1000.

Ответ.  (0 ; 10)    (1000; ∞  )

        Особое место в изучаемой теме занимают неравенства, которые в своем решении требуют перейти от одного основания логарифма к другому.

Теоретической основой для решения такого типа задач  является  следующая теорема.

 Теорема. Если  а,  в,  с – положительные числа, причем а  и  с  отличны  от  1, то имеет место  равенство

                                                                     log_c b                                                   

                                                      log_а b                                                 

                                                                    log_c a

  Рассмотрим один из подобных примеров.

Пример 11.  Решите неравенство

log _{x + 2} 4  >  log_x 2.

Решение.   Воспользуемся  теоремой  и перейдем к новому основанию:

2                  1

log₂  (х +2) > log₂ х

2 log₂ х - log₂  (х +2)

             log₂  (х +2) log₂ х          >  0

Так как по условию   х  >  0, то   log₂  (х +2)  >  1. Следовательно, последнее неравенство  равносильно неравенству:

2 log₂ х - log₂  (х +2)

                            log₂ х              >  0,

Получаем две несложных системы неравенств:

1)              2 log₂ х  > log₂  (х +2)         2)              2 log₂ х  <  log₂  (х +2),           

                      log₂ х    >   0;                                     log₂ х     <    0;    

                          x  >  2;                                             0  <  x  <  1.

Ответ.   (0;  1)     (2;  ∞ ).

5.6.  Системы  логарифмических  неравенств.

      При решении систем логарифмических неравенств используется уже известный метод интервалов и методы, применяемые при решении логарифмических неравенств.

Пример 12. Решите систему неравенств:

 

                                            log₂ (2х + 3) > log₂ (x – 2),

                 log₆ (3x – 1) < log₆ (9x + 4).

Решение.   Составим систему неравенств:

2х + 3  > 0,

                                                   x – 2 > 0,

3x – 1 > 0,

9x + 4 > 0,

                                                  2х + 3 > x – 2,

                                                  3x – 1 < 9x + 4;

                                                          x > 2,

                                                          x > -5,

                                                          6x > -5;

                                                              x > 2.                  

Ответ.  х > 2.

Пример 13.  Решите систему неравенств:

log_0,5 x² > log_0,5 28 – log_0,5 7,

                                   log₃ (4x – 1) > 0.

                                                         x² ≠ 0,

                                                         x²  < 4,

              4х – 1 > 1;

                                                         -2 < x < 2,

                                                          x > 0,5;

                                                      0,5 < x < 2 ;

Ответ.  ( 0,5 ;  2 ).

5.7.    Логарифмические уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

          Особое место в рассматриваемой теме занимают логарифмические уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

           При решении таких уравнений и неравенств используется традиционный метод промежутков, суть которого состоит в том, что  числовая ось  разбивается корнями уравнения   │ f(x) │ = 0    на промежутки, затем исходное  уравнение или неравенство  рассматривается  в каждом  из полученных промежутков.

         Рассмотрим  примеры.

Пример 14.  Решите уравнение

│log₂ x – 1│ = (4 – 8x)(log₂ x – 1).

Решение.  Найдем корень уравнения    log₂ x – 1 = 0,  ясно что это число 2, также очевидно что х = 2 – корень исходного  уравнения.

Рассмотрим исходное уравнение на двух промежутках:

1)  0 < х ≤ 2;                                               2)    х > 2;

 получим  две  смешанные системы :

0 < х ≤ 2,                                                     х > 2,          

1 -   log₂ x  =  (4 – 8x)(log₂ x – 1);           log₂ x – 1 = (4 – 8x)(log₂ x – 1).

После несложных преобразований видно, что  системы преобразуются к виду:

0 < х ≤ 2,                                                           х > 2,

(log₂ x – 1)(8х – 5) = 0;                                     (log₂ x – 1)(8х – 3) = 0; 

 х₁ = 2, х₂ = 5\8;                                              нет корней.

Ответ. 2;   5\8.

Пример 15.   Решите  неравенство  

│log₂ x² + 2│ > │log₂ x + 4│.

Решение.   При  х > 0   (это  ОДЗ  для логарифма)   имеем

log₂ x² = 2 log₂ x.

Обозначим  у =  log₂ x  и  решим  неравенство  │ 2у + 2│ > у + 4 │ . Оно равносильно неравенству     (2у + 2)²  > ( у + 4)² . Получаем

                                    у < -2,    у  >  2 .

Из неравенства      log₂ x  <  -2   получаем  0 <  х  <  0,25,  а  из  неравенства     log₂ x  >  2  получаем    х  >   4.

Ответ.   ( 0;  0,25 )         ( 4; ∞ ).

5.8   Логарифмические  уравнения  и  неравенства  с  параметром.

        В  последнее время  большое  место  в школьном  курсе  математики  занимают  задачи  с  параметром.  Все  чаще  такой  тип  задач  встречается  в  экзаменационных  работах  за  курс  средней  школы  и   на конкурсных  испытаниях в ВУЗы.  Рассмотрим  несколько примеров типичных задач с параметром по изучаемой теме.

Пример 16.  Найдите,  при  каких  значениях  а   уравнение

х  - log₃ (2а  -  9^х)  =  0  не  имеет  корней.

Решение.   Преобразуем уравнение к виду   log₃ (2а  -  9^х)  =  х,

                                                                           2а  -  9^х  =  3^х.

Введем замену   у  = 3^х ,   где  у   >  0,  получим уравнение

                                                                            у²  +  у  -  2а  =  0.

            Очевидно, что  значение  а  будет  решением  исходной  задачи  в  том  случае , если полученное квадратное уравнение  либо не будет иметь корней,   либо  будет  иметь  два  неположительных корня, возможно равных  друг другу.

          Рассмотрим  оба эти  случая.

               1).   D  <  0,                                    2).    0   ≤  D  ≤  1,

                       1  +  8a  <  0,                                   0   ≤  1  +  8a  ≤  1,

                       a  <  - 1\8.                                        -1\8  ≤  a  ≤   0.

Таким образом, решение задачи   -  множество  значений  a  ≤   0.

Ответ.    a  ≤   0.

Пример 17.  Найдите   все  значения а, при которых  область определения  функции   f(x) = √ a – x  log₂ (2x – a) log₂ x   содержит  четыре целых числа.

Решение.   Воспользуемся  областью определения  функций             у = √ х    и    у =  log_в x    и составим систему неравенств:

а – х  ≥ 0,

                                                    х  > 0,

                                                    2x – a  > 0.

Находим, что решением данной системы будет промежуток

                                                      ( а\2;  а ]

Очевидно, что  число 7  будет удовлетворять  решению исходной задачи.

Ответ.  7.

Краткое описание документа:

Нельзя думать, что основная цель преподавания состоит только в том, чтобы сообщить ученику как можно больше конкретных знаний, новых понятий, теорем, теорий. На этом пути мы приходим к разбуханию учебных программ и к тому, что значительная часть учащихся,по существу , плохо овладевает школьным материалом. Одна из важнейших целей преподавания состоит в том, чтобы воспитать молодого человека, сформировать его мировоззрение, научить его рациональному мышлению.

На уроках необходимо формировать систему ценностей, с которой молодой человек вступает в мир. Для человека, наряду с материальными ценностями, важны ценности интеллектуальные – знания, умение последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их. Всему этому школьник учится на уроках математики. Решая задачи, он тренируется в точности и строгости рассуждений, учится искать различные пути выхода из создавшегося положения, привыкает преодолевать трудности.Но чтобы добиться таких результатов, нужно разъяснить ученику цели и задачи изучаемого предмета.