Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Математический бой в 8 классе по теме Квадратные уравнения с параметром
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Математический бой в 8 классе по теме Квадратные уравнения с параметром

библиотека
материалов


Секция математики










Математический бой за квадратные уравнения,

содержащие параметр.

(8 класс)






Выполнила: Разумкова А. Ф.











Саров



Тема: Квадратные уравнения с параметрами.


Знание - самое превосходное из

владений. Все стремятся к нему, само

же оно не приходит. ( Ал- Беруни).


Решение уравнений с параметрами – практическое искусство, подобно плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь.

Мышление, как учит психология, начинается там, где нужно решить ту или иную задачу. Умение мыслить последовательно, рассуждать доказательно не приходит само по себе, это умение развивает наука логика. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

Начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.


Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.


Решить уравнение с параметром означает:

1) определить при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений. Существуют и другие формы условий задач с параметрами – исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительные решения и др.






Правила ведения боя

( класс делится на команды)


Команды по очереди вызывают друг друга на решение задач ( задачи за неделю были вывешены в классе на стенде ). Стоимость каждой задачи

оценивается в «денежных единицах» - талантах.


Ход боя.


Например, первая команда вызывает вторую на решение какой-то задачи. На кон ставится стоимость этой задачи. В случае, если вторая команда дает правильное решение, она получает себе стоимость этой задачи и право следующего вызова. В случае, если она задачу не решает, она платит штраф в половину стоимости задачи. В этом случае решение может дать (по ее желанию) третья команда. За правильное решение она получает весь выигрыш и право следующего вызова, если же она решения не знает, то платит штраф в стоимость этой задачи. Решения уравнений все участники записывают в тетрадь.


Задачи, предлагавшиеся на математический бой.


1 (4 таланта). x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0


1. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 не имеет корней.

  1. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 > 0, x2 < 0.

3. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 >1, x2 >1

4. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 >-2, х2hello_html_m53d4ecad.gif < -2

5. При каких a f(x) < 0 для всех 1 < x < 2.

Решение. Найдем дискриминант уравнения: Д = (a-3) ²a – 9 = = a ( a – 7).

1) a ( a – 7) < 0

0 < a < 7.

2) a + 9 < 0

hello_html_6c673ff1.gifa < - 9.

1). f(1) = 1 – 2a + 6 +a +9=16 - a 16 – a > 0,

3) f (1) > 0,hello_html_1acb6ab7.gif (1) 2). -b/ 2a = a – 3 a – 3 >1,

D > 0, (2) 3). D = a (a - 7) a (a – 7) >0;

a (a – 7) >0; (3)

hello_html_m11ec5478.gif

hello_html_mad4b527.gifa > 7,

a < 0, 7 < a < 16.

a < 16,

a > 4;

4) f(- 2) < 0

F(- 2) = 4 + 4a – 12 + a + 9 = 5a + 1

5a + 1 < 0

a <- 0,2 .

hello_html_2678aa68.gifhello_html_2678aa68.gifhello_html_2678aa68.gifhello_html_2678aa68.gif5) f( 1) ≤ 0, f(1) = 16 – a, 16 – a ≤ 0, a ≥ 16, a ≥ 16,

a ≥ 16.

f(2) ≤ 2, f(2) =25 -3a, 25 – 3a ≤ 0, a ≥ 25/3, a ≥ 25/3;

Ответ: при 0 < a < 7;

при a < - 9;

при 7 < a < 16;

при a < - 0,2;

при a ≥ 16.

2 (2таланта).При каких a уравнение ax² + x – 5 = 0 имеет единственное решение?

Решение. 1) Если a = 0, то уравнение является линейным и примет вид: х –5= = 0, х = 5 единственный корень.

2) Если a ≠ 0, то уравнение квадратное и имеет единственное решение, если Д = 0.

Найдем дискриминант: Д = 1 + 20a , 1 + 20a = 0, a = - 0,05.

Ответ: при a = 0, a = -0, 05 уравнение ax² + x – 5 = 0 имеет единственное решение.

3 (4таланта). Найдите все значения параметра а, при которых больший корень уравнения х² – (8а – 7)х + 16а²- - 28а = 0 в 10 раз больше, чем его меньший корень.

Решение. Найдем дискриминант: Д = (8а – 7) ² – 4(16а² – 28а) =64а2 -112а+ +49 -64а² +112а = 49 , 49 > 0

x1 = (8a – 7 + 7): 2 = 4a

x2 = (8a – 7 – 7): 2 =4a -7

По условию х1 = 10х2, 4а = 40а – 70, 36а = 70, а = 35/18;

х2 = 10х 1 ,40а = 4а -7, 36а = - 7, а= – 7/36.

Ответ: при а = - 7/36, а = 35/18 больший корень уравнения

x² – (8а-7)x + 16а² –28а = 0 в 10 раз больше, чем его меньший корень.


4 (5 талантов). Решить уравнение (а² – в²)х² – 2ах + 1 = 0

Решение.

  1. Если а =0, в =0, то уравнение примет вид: 0х + 1 = 0, решений нет;

  2. Если а = в ≠ 0, то уравнение является линейным: -2ах + 1 = 0, х = 1/2а – единственный корень.

  3. Если а² – в² ≠ 0, т. е. а ≠ в, то уравнение квадратное

Найдем дискриминант: Д/4 = а² – (а² – в²) = в²

х1,2 = ( а + в )/ ( а - в )

х1 = 1/(а – в), х2 = 1/(а+в)

4. При в = 0, Д = 0, уравнение имеет один корень х =1/ а (а ≠ 0).

Ответ: при а = в ≠ 0, х = 1/2а;

при а ≠ 0, в = 0, х = 1/а ;

при а = 0, в = 0, решений нет;

при а² ≠ в², в ≠ 0, х1 =1/(а – в), х2 = 1/(а + в).

5.(6 талантов). Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения (х – 2а)2 + (х – 4a )2 = 242 симметричны относительно точки х = - 3.

Решение. Преобразуем уравнение

x2 – 4ах + 4а2 + x2 – 8ах + 16 а2 = 242,

x2 – 6ах + 10 а2 – 121 = 0

Так как х1 = - 3 + t,

х2= - 3 – t,

то х1 + х2= - 6, но по теореме Виета х1 + х2 = 6а.

Значит, – 6 = 6а, т. е. а = - 1

Проверка: при а = -1 уравнение примет вид: x2 + 6х – 111 = 0

Д = 120

х1 = - 3 + √120

х2 = - 3 – √120, значит, корни симметричны относительно числа – 3.

Ответ: при а = - 1 корни уравнения (х – 2а)2 + (х – 4a )2 = 242 симметричны относительно точки х = - 3.

Правильность выполнения заданий учитель оценивает по ходу урока. Результатом оценок могут быть как оценки, выставленные в журнал так и специальные призы (ластик, карандаш и др.).


Домашнее задание: Найдите все значения параметра а, при которых больший корень уравнения х² – (20а – 3)х +100а -30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.

Ответ: при а = - 0, 06, а = 0,36 больший корень уравнения х2 – (20а – 3)х + 100а2 – 30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.




































Автор
Дата добавления 30.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров106
Номер материала ДБ-104490
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх