251797
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыМатематический бой в 8 классе по теме Квадратные уравнения с параметром

Математический бой в 8 классе по теме Квадратные уравнения с параметром

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.


Секция математики










Математический бой за квадратные уравнения,

содержащие параметр.

(8 класс)






Выполнила: Разумкова А. Ф.











Саров



Тема: Квадратные уравнения с параметрами.


Знание - самое превосходное из

владений. Все стремятся к нему, само

же оно не приходит. ( Ал- Беруни).


Решение уравнений с параметрами – практическое искусство, подобно плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь.

Мышление, как учит психология, начинается там, где нужно решить ту или иную задачу. Умение мыслить последовательно, рассуждать доказательно не приходит само по себе, это умение развивает наука логика. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

Начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.


Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.


Решить уравнение с параметром означает:

1) определить при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений. Существуют и другие формы условий задач с параметрами – исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительные решения и др.






Правила ведения боя

( класс делится на команды)


Команды по очереди вызывают друг друга на решение задач ( задачи за неделю были вывешены в классе на стенде ). Стоимость каждой задачи

оценивается в «денежных единицах» - талантах.


Ход боя.


Например, первая команда вызывает вторую на решение какой-то задачи. На кон ставится стоимость этой задачи. В случае, если вторая команда дает правильное решение, она получает себе стоимость этой задачи и право следующего вызова. В случае, если она задачу не решает, она платит штраф в половину стоимости задачи. В этом случае решение может дать (по ее желанию) третья команда. За правильное решение она получает весь выигрыш и право следующего вызова, если же она решения не знает, то платит штраф в стоимость этой задачи. Решения уравнений все участники записывают в тетрадь.


Задачи, предлагавшиеся на математический бой.


1 (4 таланта). x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0


1. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 не имеет корней.

  1. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 > 0, x2 < 0.

3. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 >1, x2 >1

4. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 >-2, х2hello_html_m53d4ecad.gif < -2

5. При каких a f(x) < 0 для всех 1 < x < 2.

Решение. Найдем дискриминант уравнения: Д = (a-3) ²a – 9 = = a ( a – 7).

1) a ( a – 7) < 0

0 < a < 7.

2) a + 9 < 0

hello_html_6c673ff1.gifa < - 9.

1). f(1) = 1 – 2a + 6 +a +9=16 - a 16 – a > 0,

3) f (1) > 0,hello_html_1acb6ab7.gif (1) 2). -b/ 2a = a – 3 a – 3 >1,

D > 0, (2) 3). D = a (a - 7) a (a – 7) >0;

a (a – 7) >0; (3)

hello_html_m11ec5478.gif

hello_html_mad4b527.gifa > 7,

a < 0, 7 < a < 16.

a < 16,

a > 4;

4) f(- 2) < 0

F(- 2) = 4 + 4a – 12 + a + 9 = 5a + 1

5a + 1 < 0

a <- 0,2 .

hello_html_2678aa68.gifhello_html_2678aa68.gifhello_html_2678aa68.gifhello_html_2678aa68.gif5) f( 1) ≤ 0, f(1) = 16 – a, 16 – a ≤ 0, a ≥ 16, a ≥ 16,

a ≥ 16.

f(2) ≤ 2, f(2) =25 -3a, 25 – 3a ≤ 0, a ≥ 25/3, a ≥ 25/3;

Ответ: при 0 < a < 7;

при a < - 9;

при 7 < a < 16;

при a < - 0,2;

при a ≥ 16.

2 (2таланта).При каких a уравнение ax² + x – 5 = 0 имеет единственное решение?

Решение. 1) Если a = 0, то уравнение является линейным и примет вид: х –5= = 0, х = 5 единственный корень.

2) Если a ≠ 0, то уравнение квадратное и имеет единственное решение, если Д = 0.

Найдем дискриминант: Д = 1 + 20a , 1 + 20a = 0, a = - 0,05.

Ответ: при a = 0, a = -0, 05 уравнение ax² + x – 5 = 0 имеет единственное решение.

3 (4таланта). Найдите все значения параметра а, при которых больший корень уравнения х² – (8а – 7)х + 16а²- - 28а = 0 в 10 раз больше, чем его меньший корень.

Решение. Найдем дискриминант: Д = (8а – 7) ² – 4(16а² – 28а) =64а2 -112а+ +49 -64а² +112а = 49 , 49 > 0

x1 = (8a – 7 + 7): 2 = 4a

x2 = (8a – 7 – 7): 2 =4a -7

По условию х1 = 10х2, 4а = 40а – 70, 36а = 70, а = 35/18;

х2 = 10х 1 ,40а = 4а -7, 36а = - 7, а= – 7/36.

Ответ: при а = - 7/36, а = 35/18 больший корень уравнения

x² – (8а-7)x + 16а² –28а = 0 в 10 раз больше, чем его меньший корень.


4 (5 талантов). Решить уравнение (а² – в²)х² – 2ах + 1 = 0

Решение.

  1. Если а =0, в =0, то уравнение примет вид: 0х + 1 = 0, решений нет;

  2. Если а = в ≠ 0, то уравнение является линейным: -2ах + 1 = 0, х = 1/2а – единственный корень.

  3. Если а² – в² ≠ 0, т. е. а ≠ в, то уравнение квадратное

Найдем дискриминант: Д/4 = а² – (а² – в²) = в²

х1,2 = ( а + в )/ ( а - в )

х1 = 1/(а – в), х2 = 1/(а+в)

4. При в = 0, Д = 0, уравнение имеет один корень х =1/ а (а ≠ 0).

Ответ: при а = в ≠ 0, х = 1/2а;

при а ≠ 0, в = 0, х = 1/а ;

при а = 0, в = 0, решений нет;

при а² ≠ в², в ≠ 0, х1 =1/(а – в), х2 = 1/(а + в).

5.(6 талантов). Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения (х – 2а)2 + (х – 4a )2 = 242 симметричны относительно точки х = - 3.

Решение. Преобразуем уравнение

x2 – 4ах + 4а2 + x2 – 8ах + 16 а2 = 242,

x2 – 6ах + 10 а2 – 121 = 0

Так как х1 = - 3 + t,

х2= - 3 – t,

то х1 + х2= - 6, но по теореме Виета х1 + х2 = 6а.

Значит, – 6 = 6а, т. е. а = - 1

Проверка: при а = -1 уравнение примет вид: x2 + 6х – 111 = 0

Д = 120

х1 = - 3 + √120

х2 = - 3 – √120, значит, корни симметричны относительно числа – 3.

Ответ: при а = - 1 корни уравнения (х – 2а)2 + (х – 4a )2 = 242 симметричны относительно точки х = - 3.

Правильность выполнения заданий учитель оценивает по ходу урока. Результатом оценок могут быть как оценки, выставленные в журнал так и специальные призы (ластик, карандаш и др.).


Домашнее задание: Найдите все значения параметра а, при которых больший корень уравнения х² – (20а – 3)х +100а -30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.

Ответ: при а = - 0, 06, а = 0,36 больший корень уравнения х2 – (20а – 3)х + 100а2 – 30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.




































Общая информация

Номер материала: ДБ-104490

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.