Математика пәнінен дайындық "Олимпиада есептер"

Олимпиада есептері

8-сынып І тур
1. Бірдей әріптерге бірдей цифрлар сәйкес болатын КИС+КСИ=ИСК ребусын шешу керек.
Шешуі: С+И саны К-ға бітіп, ал И+С саны С-ға бітіп тұрғандықтан С+И екі орынды сан. Екі цифр қосылғанда тек 0-дік немесе 1-лік ондық болғандықтан С=К+1 болады. И+С саны С цифрымен біткендіктен және оған ойдағы 1 қосылғандықтан И=9 болуы керек. Олай болса, К+К саны И-мен аяқталғандықтан және оған ойдағы бір қосылып 9 болғандықтан К=4 болады. Сонда КИС=495 болады.
2. AD=AB+CD шартымен ABCD дөңес төртбұрышы берілген. А бұрышының биссектрисасы ВС қабырғасының ортасынан өтеді. D бұрышының биссектрисасы да ВС қабырғасының ортасынан өтетінін дәлелдеңдер.
Шешуі: АК=АВ болатындай AD-дан К нүктесін аламыз. Сонда ВК АО болады. Ендеше ВО=OC=KO болады. Енді KD=AD–AK=AD–AB=CD. Олай болса OCDK – дельтоид. Осыдан OD KDC бұрышының биссектрисасы екендігі шығады.
3. Үймекте 20 тас жатыр. Екі ойыншы кезегімен үймектен тастарды алып отыр. Бір жүргенде 1-ден 3-ке дейін тас алуға болады. Тас жетпеген ойыншы ойыннан қалады. Ойыншының қайсысы (1-ші ме, 2-ші ме), қарсыласының қалай ойнағанына қарамастан, ойынды жеңіп алады?
Шешуі: Әрбір ойында төрт тастан кетіп отырғанда, ең соңғы ойында төрт тас қалады және бірінші ойыншы жүру керек болады. Сонда екінші ойыншыға тас қалады да, бірінші ойыншыға тас қалмайды.