.
Практикум по теме "Задачи на смеси и
сплавы"
Пояснительная записка
Процесс модернизации современной школы и всей
системы образования в целом требует перехода от знаниевого подхода в обучении к
компетентностному подходу.
Проблема состоит в том, что компетентность
приобретается учеником под контролем учителя на уроке, а проявляется в
ситуациях, требующих самостоятельных решений, при оценке возможностей и
реальности происходящего.
Предлагаемый практикум, посвящен одной из тем
математики «Задачи на проценты». В школьном курсе математики рассматриваются
простейшие задачи по данной теме, задачам же на смеси и сплавы не уделяется
должного внимания. В предлагаемых заданиях на экзаменах в 9-х и 11-х классах
присутствует целый блок задач данной тематики.
Особенностью данного практикума является его
межпредметная связь с химией, так как тот тип задач, который рассматривается,
напрямую связан с химическими процессами.
Цель : Научить решать задачи на смеси и сплавы
табличным универсальным способом.
Задачи :
Повторение понятия процента и решение задач по
теме
Решение задач на смеси и сплавы табличным
способом
Создание условий для формирования умения
самостоятельно решать задачи на смеси и сплавы самого разного типа, содержания
и уровня сложности
Прогнозируемые результаты:
Развитие умения учащихся самостоятельно решать
текстовые задачи на смеси и сплавы простейшим табличным способом.
Занятие 1. (2 часа)
Повторение определения процента. Решение
задач на применение данного определения из материалов КИМов ЕГЭ.
Задача 1: Цену данного товара снизили на 15%,
а потом еще на 20%. Найдите общий процент снижения цены.
Решение: Пусть х рублей стоит товар. После
первого снижения цена товара стала стоить 0,85х рублей. Второе снижение на 20%:
0,85х*0,2=0,17х. Тогда стоимость товара стала 0,85х – 0,17х = 0,68х. Значит за
два снижения стоимость товара уменьшилась на 32%.
Ответ: общий процент снижения цены = 32.
Задача 2: Сумма двух чисел равна 1100. Найдите
наибольшее из них, если 6% одного из них равно 5% другого.
Решение: Пусть первое число равно х, тогда
второе равно 1100 – х. Согласно условия составляем уравнение: 0,06х = 0,05(1100
– х). Решая уравнение, получаем:
0,06х = 55 – 0,05х
0,11х = 55
х = 500 первое число. Тогда второе число равно
1100 – 500 = 600.
Ответ: наибольшее из чисел = 600.
Задача 3: Вкладчик положил в банк деньги под
10%. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в
банке. После второго начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на
счету сумма на 1% меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от
исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?
Решение: Пусть х рублей вкладчик положил в
банк. После первого начисления вклад составил 1,1х рублей. Изъятая сумма
составила у рублей, тогда оставшаяся на счету сумма равна 1,1х – у рублей.
После второго начисления процентов вклад составляет 1,1(1,1х – у) = 1,21х –
1,1у. Согласно условию задачи получаем уравнение:
1,21х – 1,1у = 0,99х
1,21х – 0,99х = 1,1у
0,22х = 1,1у
у= 0,2х
Значит изъятая сумма составляет 20% от вклада.
Ответ: 20%
Задача 4: Вкладчик поместил определенную сумму
в банке под проценты. После первого начисления процентов он добавил к
получившемуся вкладу сумму, равную половине исходной. После второго начисления
процентов доход составил 76%. Каков был процент в банке?
Решение: Пусть х рублей вкладчик положил в
банк. Пусть процент вклада в банке составляет у%. После первого начисления
вклад составил х+ 0,01ух= х(1+0,01у) рублей.
Добавим сумму равную половине исходной: х(1+0,01у)
+ 0,5х = х(1,5+0,01у).
Второе начисление процентов: х(1,5+0,01у)
+0,01у(х(1,5+0,01у)) = х(1,5+0,01у)(1+0,01у)
Согласно условию задачи получаем уравнение:
х(1,5+0,01у)(1+0,01у) = 1,76х
(1,5+0,01у)(1+0,01у) = 1,76
1,5 + 0,015у + 0,01у + 0,0001у2=1,76
0,0001у2 +0,025у -0,26 = 0 *10000
у2+250у -2600 =0
Д= 1252 +2600 = 18225 =135
у= -125+135=10%
Ответ: 10%
Задачи для самостоятельного решения:
Цена изделия составляла 1000 рублей и была
снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?
Ответ: 720 рублей
Цену товара повысили сначала на 25%, затем
новую цену повысили еще на 10% и. наконец, после перерасчета произвели
повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену
товара?
Ответ: 54%
Найдите первоначальную сумму вклада в рублях,
если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.
Ответ: 5000 рублей
Цену на некоторый товар сначала снизили на
30%, а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена
товара?
Ответ: 16%
По срочному вкладу банк выплачивает 7% за срок
хранения . На данный вклад был открыт счет, и после первого начисления
процентов к нему была добавлена некоторая сумма. Однако банк понизил ставку до
5% за период хранения, и поэтому после второго начисления процентов доход по
вкладу составил 30,2%. Сколько процентов первоначальной суммы было добавлено к
вкладу?
Ответ: 17%
Занятие 2. (2 часа)
Решение задач на смеси и сплавы первого
типа.
Задача 1: Сплав олова с медью весом 12
кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить
сплав, содержащий 40% меди.
Решение: 1 сплав олово 2
сплав
Масса сплава 12
кг х 12+х
% содержания меди 45% 40%
% содержания олова 55% 100% 60%
Масса олова 12*0,55=6,6 х (12+х)*0,6
6,6 + х = (12+х)*0,6
6,6 + х = 7,2 +0,6х
0,4х = 0,6
х = 1,5
кг
Ответ: 1,5
кг олова нужно добавить
Задача 2: Морская вода содержит 8% по весу
соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30
кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?
Решение: 1 состав Пресная вода 2
состав
Масса морской воды 30
кг х кг 30 +х
% содержания соли 8% 0% 5%
Масса соли 30*0.08 х*0 (30+х)*0,05
30*0,08 = (30+х)*0,05
2,4 = 1,5 + 0,05х
0,05х = 0,9
х = 18
кг
Ответ: 18
кг пресной воды
Задача 3: Из 38 тонн сырья второго сорта,
содержащего 25% примесей. После очистки получается 30 тонн сырья первого сорта.
Каков процент примесей в сырье первого сорта?
Решение: 2 сорт примеси 1 сорт
Масса сырья 38 т 8 т 30 т
% содержания примесей 25% 100% х%
Масса примесей 38*0,25 8 30*0,01х
38*0,25 – 8 = 30*0,01х
9,5 – 8 = 0,3х
0,3х = 1,5
х = 5%
Ответ: 5% примесей
Задача 4: Определить сколько килограммов
сухарей с влажностью 15% можно получить из 255
кг хлеба влажностью 45%?
Решение: хлеб вода сухари
Масса (кг) 255 х 255-х
% влажности 45 100 15
Масса воды 255*0,45 х (255-х)*0,15
255*0,45 – х = (255-х)*0,15
114,75 – х = 38,25 – 0,15х
х – 0,15х = 114,75 – 38,25
0,85х = 76,5
х = 90
кг воды
255 – 90 = 165
кг сухарей
Ответ: 165
кг сухарей
Задача 5: Свежие грибы содержат по массе 90%
воды, а сухие – 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы из них получить 4,5
кг сухих грибов?
Решение: Свежие грибы Вода Сухие
грибы
Масса (кг) х+4,5 х 4,5
% содержание воды 90 100 20
Масса воды (х+4,5)*0,9 х 4,5*0,2
(х+4,5)*0,9 = х + 4,5*0,2
0,9х + 4,05 = х + 0,9
х – 0,9х = 4,05 – 0,9
0,1х = 3,15
х = 3,15 : 0,1
х = 31,5
кг воды
31,5 + 4,5 = 36
кг свежих грибов
Ответ: 36
кг свежих грибов
Задачи для самостоятельного решения:
Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5
тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием
воды 75%? Ответ: 0.2 тонны
Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а
сухие 12% воды. Сколько получиться сухих грибов из 22
кг свежих? Ответ: 2,5 кг
Кусок сплава меди и цинка массой 36
кг содержат 45% меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы
получить сплав, содержащий 60% меди? Ответ: 13.5
кг
Имеется 200
г сплава, содержащего золото и серебро в отношении 2:3. Сколько граммов
серебра надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержит 80% серебра?
Ответ: 200 гр
В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных 20%. На
сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке? Ответ: 75%
Занятие 3 (2 часа)
Решение задач на смеси и сплавы второго
типа.
Задача 1: Имеется два раствора серной кислоты
в воде: первый – сорокапроцентный, второй – шестидесятипроцентный. Эти два
раствора смешали и добавили 5 кг чистой воды и получили двадцатипроцентный
раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5
кг восьмидесятипроцентного раствора, то получился бы семидесятипроцентный
раствор. Сколько было сорокапроцентного и шестидесятипроцентного растворов?
Решение: 1 раствор 2 раствор вода
Масса (кг) х у 5
5% содержание серной кислоты 40 60 0
% содержание воды 60 40 100
Масса воды 0,6х 0,4у 5
1 способ (относительно воды)
0,6х + 0,4у + 5 = 0,8(х + у + 5)
0,6х + 0,4у + 5*0,2 = 0,3(х + у + 5)
0,6х + 0,4у + 5 = 0,8(х + у + 5)
0,6х + 0,4у + 1 = 0,3(х + у + 5)
4 = 0,5(х + у + 5)
х + у + 5 = 8
0,6х + 0,4у + 5 = 0,8*8
0,6х + 0,4у = 6,4 – 5
0,6х + 0,4у = 1,4
6х + 4у = 14
3х + 2у = 7
2у = 7 – 3х
у = (7 – 3х):2
4 = 0,5(х + (7 – 3х):2 + 5)
8 = х + (7 – 3х):2 + 5
3 = х + (7 – 3х):2
6 = 2х + 7 – 3х
х = 1
кг
у = 2
кг
2 способ (относительно серной кислоты)
0,4х + 0,6у + 0 = 0,2(х + у + 5)
0,4х + 0,6у + 5*0,8 = 0,7(х + у + 5)
0,4х + 0,6у = 0,2(х + у + 5)
0,4х + 0,6у + 4 = 0,7(х + у + 5)
4 = 0,5(х + у + 5)
8 = х + у +5
х + у = 3
у = 3 – х
0,4х + 0,6(3 – х)= 0,2*8
0,4х +1,8 – 0,6х = 1,6
0,2х = 0,2
х = 1
кг
у = 3 – 1 = 2
кг
Ответ: 1
кг сорокапроцентного раствора Н2SO4 и 2
кг шестидесятипроцентного раствора Н2SO4.
Задача 2: Сплав меди с серебром содержит
серебра на 1845 г больше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое
количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра,
первоначально содержащегося в сплаве, то получился бы новый сплав. Содержащий
83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное
содержание в нем серебра?
Решение: 1 сплав серебро 2
сплав
Масса меди х - 1845
% содержание серебра 83,5
Масса серебра х х 0,835(2х
– 1845 + х)
х + х = 0,835(2х – 1845 + х )
х = 0,835(х – 1845)
х = 2505
г серебра
2*2505 – 1845 = 3165
г сплава
3165
г ----- 100%
2505
г ----- у%
у = 79,1%
Ответ: 3165
г сплава, в котором первоначально 79,1% серебра.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.