Материал к неделе точных наук "Математическая мозаика"

В 7-м классе изучая умножение многочленов на многочлены мы выводили формулы квадрата суммы двух многочленов, квадрат разности, куб разности и суммы двух выражений, разность кубов, сумма кубов. Попытаемся восстановить вывод некоторых из них. Выведем формулу квадрата суммы

(а+в)²=(а+в)(а-в) =аа+ав+ва+вв =а²+2ав+в^2.

 Итак,(а+в)²=а²+2ав+в^2.

Чтобы вывести квадрат разности надо поступить аналогично

(а-в)²=(а-в)(а-в)=аа-ав-

                  2                    2.

ва+вв=а +2ав+в

Таким же способом можно вывести формулы куба суммы

(а+в)³=а³+3а²в+3ав²+в³

Куб разности

(а-в)³=а³-3а²в+3ав²-в³ Напоминаем, что к формулам сокращенного              умножения относятся:

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)²=a²+2ab+b²

  2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)²=a²-2ab+b²

  3.Произведение суммы двух величин на разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a²-b²

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

 5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

Немного истории

Найденные древневави-            нашем символическом лонские клинописные          виде, а словесно, или - тексты свидетельствуют,    как, например, у древних что некоторые формулы          греков - в геометричеумножения (квадрат сум-                ской форме. 

мы, квадрат разности,

произведение суммы на             разность) были известны ещѐ около 4000 лет назад. Их знали, кроме вавилонян, и другие народы древности, конечно не в

Изучаем тождества      

ние) не меняется. Символически: а + b = b + a, ab = ba. В школьном курсе к пе-       ния. реместительному закону вскоре добавляется сочета-

тельный, выражаемый соответственно формулами (a +

b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc). Позднее констатируется так называемый распределительный закон, в котором участвуют оба упомянутых действия над числами: а (b + c) = ab + ac. В ходе дальнейПростейший пример тожде-    шего изучения указанные заства доставляет то свойство       коны распространяются на сложения (и, аналогично,      все более широкие числовые умножения) натуральных чи-        области: на целые числа, расел, которое в школе принято     циональные, действительназывать переместительным ные. Что объединяет такие законом и которое гласит, что      свойства действий? Воот перемены мест слагаемых   первых, каждое из них выра(множителей) сумма        жается равенством, обе части (соответственно произведе-   которого - буквенные выраже-

Как возникли скобки       

друг над другом чертами; наприКруглые скобки появились в XV        мер: y-4xy+5xy-12xy+17=0 ознав. в трудах Штифеля, Тартальи и             чало у него {[(y-4)y+5]yдругих. В конце того же века по-     12}y+17=0.Широкое примене^{являются и фигурные}              ние скобки получили лишь в ^{скобки в книга Весета,}            первой половине XVIII века бла^{однако в течение почти}      годаря Лейбницу и ещѐ больше всего XVII века упо-           Эйлеру. Само название "скобки" треблялись не скобки, а горизон-  произошло от введѐнного Эйлетальная черта, проводимая над             ром немецкого термина Klammer ^{выражением, подлежащим}             - скобки.Косой крест x употребвключению в скобки. Так посту-              ляется как знак умножения с ^{пают Декарт, Гиппократ и дру-}             1631 года. В XIV - XVI вв. он ^{гие. Ньютон пользовался даже} применялся как подсобный знак ^{несколькими надписанными}            при решении самых разнообразвенства верны при любых значениях входящих в них букв. Эти два атрибута и характеризуют общее понятие тождества как равенства с переменными, верного при любых значениях входящих в него переменных.  В общем виде можно сказать, что в

тождестве f = g выражения f и

g , где f и g –

выражения .Приведѐм пример тождества: ных задач. Чтобы не смешивать косой крест с буквой x, которой обозначают обычно неизвестное, Лейбниц в конце XVII века стал обозначать умножение при помощи точки. Запись умножения без всякого знака между множителями встречается уже у Диофанта при употреблении числового коэффициента, а также индийской Бахмалийской рукописи

Краткое описание документа:

Данный бюллетень есть результат совместного труда учеников и учителей на предметной неделе. Такая работа позволяет укрепить межпредметные связи между информатикой и математикой. А весь процесс создания бюллетеня активизирует познавательную деятельность учеников, воспитывает любознательность и интерес к предметам : информатике и математике, развивает логическое мышление. Бюллетень является результатом проектной деятельности.