Материал по геометрии на тему "трапеция и ее свойства"

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

 «___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства»

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и рекомендовано к использованию на заседании ПМО от _______________ Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

     Введение 2

1.     Определения 3

2.     Свойства равнобедренной трапеции 4

3.     Вписанные и описанные окружности 7

4.     Свойства вписанных и описанных трапеций 8

5.     Средние величины в трапеции 12

6.     Свойства  произвольной трапеции 15

7.     Признаки трапеции 18

8.     Дополнительные построения в трапеции 20

9.     Площадь трапеции 25

.   10. Заключение

       . Список используемой литературы

Приложение

1.     Доказательства некоторых свойств трапеции 27

2.     Задачи для самостоятельных работ

3.     Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

4.     Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение    

      Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так.  Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться  и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

      Трапеция - греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо   мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

       В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы.  В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

1.                Определения

       Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

                                                   

2. Свойства равнобедренной трапеции

1.            Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2.            Сумма углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне,  а также противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

3.        Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4.   Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5.              

 Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

6.               В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований,  перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.

7.                 Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.

8.     

 Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

9.  

С

   В равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его боковой стороны плюс произведение оснований:      d² = c² + a• b

10.  Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.

                          3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4. Свойства вписанных и описанных трапеций

1.            Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя линия трапеции равна боковой стороне.

2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.
4. Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.

5.   Если в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее  на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.

         

6.    

Если в равнобокую трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое ее оснований.

7.      Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой стороне и равна средней линии трапеции.

8.      Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой вершины на основание, лежат на одной прямой.

9.     Если диагонали вписанной в окружность трапеции (четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или удвоенному квадрату боковой стороны:       a² + b² = 4R² = 2c²

10. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.  

5.  Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое

1.          

Радиус окружности, вписанной в трапецию, есть среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны трапеции, на которые она разбивается точкой касания.

2.        Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое произведения оснований трапеции

3.       

В любой трапеции с основаниями   a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на  боковых сторонах, равен среднему арифметическому оснований,   если он соединяет середины боковых сторон (т.е. является средней линией трапеции). MN=(a+b)/2.

4.       

В любой трапеции с основаниями   a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на  боковых сторонах, равен среднему гармоническому оснований,  если он проходит через точку пересечения диагоналей KL =2 ab/(a+b)

5.        В любой трапеции с основаниями   a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на  боковых сторонах, равен среднему геометрическому оснований,  если он делит  трапецию на две трапеции, подобные между собой.

6.       

В любой трапеции с основаниями   a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на  боковых сторонах, равен среднему квадратичному оснований,  если он делит трапецию на две трапеции равной площади (равновеликие).

7.        В любой трапеции с основаниями   a и b  для  a > b справедливо неравенство:

                                    b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a       

6.Свойства произвольной трапеции

1. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.

2. Биссектрисы  углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется  прямоугольный треугольник с гипотенузой,  равной боковой стороне.

3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной  диагональю, равны.

4.                 Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6.Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований. 

                               d₁²  +  d₂²  = c² + d² + 2ab
7.    В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований                                 d₁²  - d₂²  = a² – b²

8. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

                  

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.                                           

7.  Признаки трапеции

1.                

Четырехугольник является трапецией тогда и только тогда, когда при его диагональном разбиении ровно два противолежащих треугольника равновелики. При этом квадрат площади каждого из них равен произведению площадей смежных с ним треугольников

2.                 

  Если средняя линия четырехугольника равна полусумме противолежащих ей сторон, то четырехугольник является трапецией (или параллелограммом). Если m= (a+b)/2, то ABCD – трапеция    (или параллелограмм)

3.                 

Трапеция является равнобедренной, если углы при одном из оснований равны.

4.                  Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция  является равнобедренной

8. Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон - средняя линия трапеции.

2. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один  конец  которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.

10. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

11. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

12. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции - среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9.   Площадь трапеции

1.   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b)•h  или

Площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m•h.

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

3.           

Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату средней линии трапеции или квадрату высоты трапеции. S  =h²

4.            Площадь произвольной трапеции со сторонами         a,  b,  c,  d:

5.            Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным   r  и углом при основании   α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

             Трапеция в спорте: Трапеция - безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

               Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

             Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная  мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

              Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

              Трапеция - символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна - это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

               Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей  в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые  солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как  имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

               В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции  и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

1.     Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

2.     Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

3.     Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

4.     Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М : Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN5-89155-188-3

5.     Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

6.     Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента.  М., издательство российского открытого университета 1992. 

7.     Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов  в ВУЗЫ (1987-1990) Львов   Журнал «Квантор» 1991.

8.     Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1.  Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L. Доказать, что если основания трапеции равны а и  b, то  длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О - точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b. Пря­мая KL  параллельна основанию AD, следовательно, KО║ AD, треугольники ВKО и BAD подобны, поэтому

                                 
                                              ( 1 )

1. AD ║ BC, ∆AOD  ~ ∆COB по двум углам. тогда:   т.е.

2. BD = DO + OD, следовательно  

                       ( 2 )    

Подставим ( 2 ) в ( 1 ),  получим KO =

Аналогично   LO =    Тогда K L= KO + LO =

2.     Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

□   Доказательство:  Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

K

Докажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим  ВМ = х,   МС = у,   AN = и,   ND = v.  Имеем:

 

    ∆ВКМ ~ ∆AKN   →  

M

x

 

B

C

Y

  ∆MКC ~ ∆NKD  → →

v

u

O

       

A

N

 

D

         ∆BMO ∆DNO 

∆CMO ∆ANO     поэтому  .

Перемножая полученные равенства, получим  ,  откуда следует 

 x=y,    но тогда  и            u = v.

1.  дачи для самостоятельных работ и их решения

3.  Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности.

Садовничий Ю.В. «Математика. Подготовка к ЕГЭ»,  Москва, ИЛЕКСА, 2011, стр. 252.

 1  . В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий сере­дины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Ответ:         S       = 6.

      2. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р. Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ɑ.

      psina

      3. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в тра­пецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины основа­ний трапеции.

Ответ:         1и 7.

3.       Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

Ответ:         S=  3ab

  В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагона­ли QS равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выяснить, что больше, длина основания QR или длина стороны RS.

Ответ:         RS     >       QR.

4.       В трапеции ABCD сторона АВ параллельна CD. Диагонали BD и АС трапеции пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС явля­ется равносторонним. Найти длину стороны ВС, если АВ = 5 и CD-3.

5.       В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей АС и BD равна 36, угол CAD равен 60°. Отношение площадей тре­угольников AOD и ВОС, где О — точка пересечения диагоналей, рав­но 4. Найти площадь трапеции.

Ответ:         S=90√3.

Иванов А.А., Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. – М.: Издательство МФТИ, 2003, стр. 238..

12. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему оснозанию.        [√2Sctg а]

12.   Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым утлом а при основании. Найти периметр этой трапеции.  [8.R: sin а]

13. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к. Найти углы трапеции и допустимые значения к.  

[arccos(l - 1/к), π - arccos(l - 1/к), к > 1]

14. На меньшем основании равнобедренной трапеции построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при большем основании трапе­ции.       [30°]

15. Основания равнобедренной трапеции равны а и 6 (а > 6), угол при боольшем основании равен а. Найти радиус окружности, описанной около грапеции.     [(√/а²+Ь²+2аbcos2а):(2sin2а)].

16. Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее диагонапями, противолежащий боковой стороне, равен ɑ.  Найти высоту трапе­ции... 

[√Stg(½ ɑ)]

17.           Равнобедренная трапеция описана около окружности. Ее диагональ равна d, а острый угол при основании равен а. Найти радиус окружности.    

18.           В равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 6 и углом arccos(—⅔)- найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и боль­шего основания трапеции.

19.           Отношение радиуса круга, описанного около трапеции, к радиусу круга, вписанного в нее, равно к (к > √2). Найти углы трапеции.

4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

В трапеции, имеющей прямой угол, основания равны 5 и 11, а большая диагональ  √185. Площадь трапеции составляет

 

В трапеции боковые стороны и меньшее основание равны Ь, а острый угол вдвое меньше тупого. Площадь трапеции равна

151 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности ради­уса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно

Меньшее основание трапеции, вписанной в окружность, втрое меньше большего, которое является диаметром окружности. Синус угла трапеции равен

20] Основания равнобочной трапеции относятся как 3 : 7, а диагональ делит острый угол пополам. Тангенс этого угла равен

2з| В трапеции с основаниями 10 и 30, высотой 12 и боковой стороной З√41 другая боковая сторона равна

^25j      В трапеции с диагональю 20, высотой 12 и площадью 150 вторая

диагональ равна

29j Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- ности. Отношение ее большего основания к меньшему равно

Зо| В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближ­ней. Тангенс острого угла трапецииравен