Материал по математике "Решение задач по планиметрии"

ШХема 1. ‘Удлинение медианы

Пример 1. В трапеции АВСД (ВС//АД) М и N - середины ВС и

АД, АС - л/15, ВД = 1, MN = 2. Найти S трапеции.

У'чражнения

1.      Построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей.

2.       Построить треугольник по трем медианам.

3.       В равнобедренном треугольнике с боковой стороной равной 4 проведена медиана боковой стороны, равная 3. Найти основание треугольника.

4.       Стороны АВ и АС ААВС равны 8 и 6. В каких пределах изменяется медиана AM?

5.       Внутри угла взята точка М, провести через точку М прямую так, чтобы отрезок, заключенный между сторонами угла, делился точкой Мпополам.

6.       В трапеции АВСД основание АД в 3 раза больше основания ВС=а. Биссектриса ZA=45° проходит через середину боковой стороны СД. Найти площадь трапеции.

7.       В прямоугольном ДABC ZB=90°, ВН - высота, AM - медиана, они пересекаются в точке Р. Найти длину катета АВ, если ВР=Ю,РН=2.

8.       Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит ее на части 4 и 9 см. Из вершины большего острого угла треугольника проведена прямая, проходящая через середину высоты. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри данного треугольника.

9.       а, Ъ, с - стороны треугольника, т_с - медиана к стороне, раиной с. Установить связь между а, Ь, с, т_с. (Иначе, доказать:

2т ² - а² +Ь²

10.     В AABC на продолжении медианы ВМ выбрана точка К так, 410 МК:ВМ=\-.2, АВ=5, ВС=3, СК=4. Найти АК.

ЛТема 2. Метод вспомогательной площади

Задача. В прямоугольном AABC (ZC=90°), СД - высота.

Радиусы окружностей, вписанных в ААСД и АДСВ соответственно

равны г 1 и г2. Найти радиус окружности, вписанной в AABC.

Упражнения

1.      По данным катетам а и Ъ определите высоту, проведённую к гипотенузе.

2.       Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не за зисит от выбора этой точки.

3.       Если БД - биссектриса ААВС, то

АД АВ

ДС~ ВС

4.       В треугольник со сторонами а, Ъ и с вписан полукруг с диаметром, лежащим на стороне с. Найги радиус полукруга.

5.       Определить острый угол ромба, в котором сторона есть срзднее пропорциональное между диагоналями.

6.       В /SABC радиус вписанной окружности равен S, расстояние от её центра до вершины С равно 5, сторона АВ=4-Js . Найти АС и СВ.

7.       Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, а катет, лежащий против этого угла, равен а. Через вершину прямого угла проведена окружность, касающаяся гипотенузы и отсекающая от катетов хорды равной длины. Найти её радиус.

8.       В прямоугольник со сторонами 6 и 8 вписан ромб площади 36 так, что на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине ромба. Найти длины диагоналей ромба.

9.       Дан ромб ABC Д. На сторонах АВ взяты точки М и N так, что отрезки МС и NC делят ромб на три равновеликие части. Найти отрезок МЛ^Г, если диагональ ВД= 6.

10.   В AABC вписана окружность, которая касается сторон АС и ВС в точках К и Д соответственно. Найти cosZABK, если КС=20, ВД= 10, cosZBCA- 3.

4

11.   В AABC АС=СВ=10, АВ=\2. Окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, пересекает остальные стороны в точках Н и Р. Найти Sahpc-

Ш’ема 3. Медиана, проведенная ^гипотенузе

Теорема. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Верно и обратное утверждение.

Следствие. Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.

Упражнения

1.      Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника.

2.       В треугольнике ABC медианы ВВ_} и СС. пересекаются в точке М и взаимно перпендикулярны. Найти МА, если BBj=36, ССу=15..

3.       Доказать, что высота и медиана, проведенные к гипотенузе образуют угол, равный разности острых углов треугольника.

4.       Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше проведенной к ней высоты. Найти острый угол треугольника.

5.       Окружности касаются внешним образом в точке С, в которую проведены хорды С А и СВ, где А В - внешняя касательная. Найти угол АС В.

6.       В трапеции АВСД, вписанной в окружность радиуса 2 см, диагональ АС является биссектрисой Z-ВАД, а АД больше основания ВС в 2 раза. Найти площадь трапеции.

7.       В трапеции АВСД основания АВ и СД имеют длины 5 и 3, соответственно, боковая сторона АД перпендикулярна основаниям. На основании СД как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагонали АС и ВД в точках F и Е. Известно, что Е - середина ВД. Найти в каком отношении точка F делит отрезок АС.

8.       Через вершину А некоторого угла проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках В и Д, а его биссектрису в точке С. Найти величину угла В АД, если 3_АВСД = Зл/З, и АВ+АД=6.

9.       Две окружности радиусов 3 и 2 касаются друг друга внешним образом. Трапеция АВСД расположена так, что ее основания АВ и СД являются диаметрами этих окружностей. Площадь

трапеции . Найти ВС и АД.

2

Шема 4. Свойства пересевающихся хррЬ. касательная и секущая

Ключевая задача №1. Произведение отрезков хорды есть величина постоянная, равная R~d, где d - расстояние от центра до точки пересечения хорд.

Ключевая задача №2. Пусть к окружности проведены касательная и секущая, тогда квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Учрсщнения

1.      Задан равнобедренный ЬЛВС с основанием АС. Окружность радиуса 2^5 касается прямой АС в точке А, боковой стороны ВС в точке D и пересекает боковую сторону АВ в точкг М. Найти периметр ААБС, если известно, что АМ:МВ~5:4.

2.       В равнобедренном ЛABC. с основанием АС вписа-шая окружность касается боковой стороны ВС в точке Q, а отрезок AQ пересекает вписанную окружность в точке Р. Ншти площадь AABC, если АС= 12, PQ=5.

3.       Вершины М.ВС лежат на окружности, АВ:ВС=2:3. Точка D делиг дугу АС пополам, BD пересекает АС в точке Е. Через точку Е проведена хорда КМ, КЕ~4, МЕ=6. Найти АС.

4.       На диаметре CD окружности выбрана точка Е. Через эту точку проведена хорда АВ, АЕ=4, ВЕ=3, AD=6,5; ZABC=60°. Найти СЕ и ED.

5.       В AABC ZB - тупой. Постройте на основании АС точку D такую, что BA²-AD р(С.

6.       В параллелограмме ABCD сторона ВС в два раза больше стороны АВ. Окружность, проходящая через вершины А, В и С, пересекает продолжение стороны CD в точке К, продолжение стороны AD в точке М. АМ= 15, СК--Х2. Найти площадь параллелограмма.

7.       В AABC сторона АВ-15. Окружность, проходящая чгрез вершину С, касается стороны АВ в точке L и пересекает стороны АС и ВС в точках Р и Q, соответственно. Найти АС и ВС, если известно, что АР=3, В0=2 и CL - биссектриса Z.C.

8.       В остроугольном равнобедренном AABC с основанием АС проведена высота АН, продолжением которой пересехает описанную около треугольника окружность в точке D. Найти площадь ААВС, если АН= 9, AD= 13.

91Тема S. (Вписанный угол. Угол мелфу касательной и гордой

Теорема. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Следствие. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половину дуги, заключенной между ними.

<Упрояснения

1.      Дана окружность с центром в точке О. Провести касательную из точки Мвне окружности.

2.       Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три дуги. Найти градусные меры этих дуг.

3.       Через точку касания двух окружностей проведены две секущие, концы которых соединены хордами. Доказать, что эти хорды параллельны.

4.       Из точки С окружности на хорду АВ опущен перпендикуляр СД. Из концов хорды опущены перпендикуляры АЕ и BF на касательную к окружности в точке С. АЕ = 9, BF = 4. Найти СД. (Или доказать, что СД² = AE BF).

5.       Две окружности, касающиеся друг друга внешним образом в точке Д. Прямая касается одной из них в точке А, а другую пересекает в точках В и С. Докажите, что точка А равноудалена от прямых ДВ и СД.

6.       Пользуясь одной линейкой проведите перпендикуляр из заданной точки А, лежащей вне окружности на заданный диаметр СД.

7.       Шар радиуса 2 касается конуса в точке М, высоту конуса КС (К - вершина) надо найти, если А - точка касания шара плоскости основания конуса, Д - её диаметрально противоположная точка, Д-М-С - прямая, АС = 1.

8.      В прямоугольной трапеции АВСД большее основание АД в 3 раза меньше высоты АВ. Через точки А, В и С проведена окружность. Найти острый угол трапеции, если площадь круга в 71 раз больше площади трапеции.

9.       Дан ромб АВСД. Окружность радиуса R описана около ДАВД и проходит через центр окружности, вписанной в ДСВД. Найти площадь ромба.

10.   В прямоугольном треугольнике ABC, ZB=90°, биссектриса BE прямого угла делится центром О вписанной окружности в отношении ВО : ОЕ = %/з : -Jl. Найти острые углы треугольника.

11.   Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности - 3, а описанной - 8.

12.   Пятиугольник АВСДЕ вписан в окружность радиуса 1. Известно, что ZBCE = 75°, ZCEA = 90°, ВС = Л, ДС - АЕ. Найти площадь пятиугольника.

13.   Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, которая пересекает окружность в точках С и Д. (С-В-Д), СД=8. Найти Б_мсд .

14.   Около прямоугольного треугольника ABC с катетами АС—5, ВС= 12 описана окружность. Точки Ми N- середины меньших дуг АС и ВС этой окружности, К - середина дуги АВ, не содержащей точки С. Найти S_AMNK .

‘ЛГема 6. УТараллельные прямые, пересекающие стороны угла

В‘лючевая задача. Если A/Bjj\A2В2, то ОА, _ ОВ, _ А, В, и ОАг ОВ2 А2В2

О

⁽Упр<щнен1ш.

1.      В равнобедренном треугольнике ABC (АС=СВ) проведена медиана CCi и биссектриса АА,. Найти ZACB, если AAj=2

2.       В равнобедренном треугольнике АБС (АС=СВ) отношение ьысоты AD к основанию ВС равно V3- Точка М взята на

стороне АВ так, что i . Найти величину у1'ла МСВ.

AM = —АВ 3

3.       Высота ВК ромба ABCD, опущенная на сторону AD, пересекает диагональ АС в точке М. Найти MD, если ВК=4, AK:KD=1:2.

4.       Постройте отрезок _Х-°Ь, где а, Ь, с - данные отрезки. Почему

с

х называют четвертым пропорциональным?

5.       Е>ысота CD треугольника ABC делит медиану ВМ в отношении 3:1, считая от вершины В. В каком отношении CD делит сторону АВ, считая от вершины А.

6.       В треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на боковых сторонах, а две - на основании.

Диагонали прямоугольника параллельны боковым сторонам. В каком отношении вершины прямоугольника делят боковые стороны.

7.       В остроугольном треугольнике ABC длины медиан ВМ, CN и высоты АН равны, соответственно, 4, 5 и 6 см. Найти площадь треугольника ABC.

8.       D - середина стороны АС треугольника ABC. Q - точка пересечения медиан треугольника DBC. AQl DC=M. Найти ВМ.МС.

9.       Вершины правильного треугольника расположены на трёх параллельных прям ых. Расстояние от средней прямой до двух крайних V2T и V84 • Найдите стороны треугольника.

10.   В треугольнике ABC на стороне А В выбрана точка D так, что BD:AD=4:1. Точки O_t и 0₂ - центры окружностей, описанных около треугольника ACD и BCD. Известно, что прямая 0/0₂\\ВС. Определить, в каком отношении прямая OjOj делит площадь треугольника ABC.

0.ТГема 7. формула a-2^ina

Ключевая задача. Хорда окружности равна произведению

диаметра на синус вписгнного угла, опирающегося на эту хорду.

{Упрсщнения

1.      Основания равнобедренной трапеции равны 36 и 12. Определить радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна 16.

2.       В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°. Найти его площадь.

3.       В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки 5 и 3, считая от вершины. Найти радиус описанной окружности.

4.       Радиус окружности, описанной около треугольника, равен R, его углы а, [3. у. Найти площадь треугольника.

5.       В равнобедренной трапеции основания равны 21 и 9, высота 8. Найдите радиус описанного круга.

6.       Из точки М на окружности проведены три хорды: MN-1, МР=6, MQ= 2. При этом Z.MNP-Z. PMQ. Найти радиус окружности.

7.       В трапеции ABCD, вписанной в окружность радиуса 2 см, диагональ АС является биссектрисой угла BAD, а длина основания AD в два раза больше длины основания ВС. Найти площадь трапеции.

8.       Точка А внутри круга радиуса R удалена от центра О круга на расстояние, равное а. Через точку А проведены две хорды, образующие углы в 30° с диаметром АО. Найти площадь вписанного в круг четырехугольника, диагонали которого совпадают с проведенными хордами.

9.       В ААВС АВ>ВС, АС= 5л/3 . На АВ выбрана точка М так, что ВМ=ВС. Радиус окружности, описанной около ААМС, равен 2л/5 .Найти радиус окружности, описанной около ААВС.

10.  Через вершины А и В ААВС проведена окружность радиуса 4, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и Е, соответственно. Найти радиус окружности, описанной около ACDE, если BD=5, CD=.2.

11.   В ААВС проведена высота ВН, основание которой лежит на стороне АС. АВ=8, ВС=4, АН=5НС. Найти радиус описанной окружности.

12.   В треугольнике один из углов 60^е, радиус описанной окружности равен _7_, а радиус вписанной окружности \3.

Я

Найти площадь треугольника.

13.  Около равнобедренного ААВС (АВ=ВС) с углом 30° описана окружность S радиуса R, AD - её диамегр, проведённый из А. Найти радиус окружности, касающейся стороны АС данного треугольника, диаметра AD и окружности S.