Рабочая программа и календарно-тематическое планирование факультативного курса по математике «Свойства натуральных чисел, принцип Дирихле, игры, конструкции и раскраски» 6 класс

Îêñàíà‑

Календарно-тематическое планирование

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

6го класса

«Свойства натуральных

чисел, принцип Дирихле,

игры, конструкции и раскраски»

Образовательная область: математика

Разработчик:

Сычёва Оксана Ивановна,

учитель математики,

второй квалификационной категории.

МБОУ «Средняя общеобразовательная

школа №9» г. Усть-Илимска

г. Усть – Илимск, 2013 г.

Пояснительная записка

Программа факультативного курса «Свойства натуральных чисел, принцип Дирихле, игры, конструкции и раскраски», разработана на основе программы факультативного курса «Свойства натуральных чисел, принцип Дирихле, игры, конструкции и раскраски» Быстрова Н.В. и др. Сборник программ элективных курсов по выбору, Иркутск: издательство ГОУ ВПО «ВСГАО», 2010г. рассчитана на 34 часа. Данный курс разработан в рамках концепции развития математического образования и предназначен для обучающихся шестых классов.

Актуальность курса обосновывается необходимостью углубления и расширения программы математического образования инвариантной части учебного плана для обучающихся 6 класса. Углубление математического образования обеспечивает разностороннюю математическую подготовку, основанную на расширении и углублении стандартной программы, дает возможность способным школьникам успешно сдать выпускные экзамены, хорошо выступать на различных олимпиадах и математических турнирах, а также получить некоторый навык научно-исследовательской работы.

Новизна курса отражается в подборке тем и механизме комплектования заданий. Порядок следования тем в курсе определяется эффективностью изучения базовых идей делимости натуральных чисел, структуры доказательства от противного и условий применимости принципа Дирихле, методов поиска выигрышных стратегий, методов нахождения оценок и построения примеров в конструктивных задачах, методов и приемов нахождения инвариантов.

 Комплексное развитие памяти, внимания, речи, нетрадиционного мышления и других способностей учащихся, наблюдаемое в процессе изучения курса, создаёт базу для становления прочных знаний и умений, повышает интерес школьников к процессу познания

Цель курса: дать учащимся знания о законах и логических формах правильного мышления, основ делимости чисел, принципа Дирихле, видов игровых стратегий, структкры конструктивных задач с поиском оптимального варианта, видов раскрасок и покрытий как вспомогательных приёмов для решения задач с инвариатами.

Задачи:

В направлении личностного развития:

·                 формировать активный познавательный интерес к предмету;

·                 выявлять и развивать математические и творческие способности;

·                 воспитывать культуру общения: сотрудничества, сопереживания, само- и взаимоуважения;

·                 формировать культуру труда и совершенствовать трудовые навыки.

В метапредметном направлении:

·                 развивать внимание, память, логическое и абстрактное мышление, пространственное воображение;

·                 формировать общие способы интеллектуальной деятельности, характерные для математики и являющиеся основой познавательной культуры, значимой для  изучения смежных дисциплин.

В предметном направлении:

·                формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе;

·                 закрепление и углубление знаний в области делимости чисел, изучаемых в рамках стандартной программы;

·                  применение принципа Дирихле и его обобщение с дополнительными условиями при решении подходящих задач;

·                  изучение некоторых видов игровых стратегий, связанных с симметрией в игровых ситуациях;

·                  исследование механизмов нахождения оценок и построения примеров в конструктивных задачах;

·                       изучение нахождения методов оценок для наибольших или наименьших значений величин и построения примеров, соответствующих оценкам;

·                       решение задач с помощью шахматной и других видов раскраски;

·                      анализ покрытия площадей прямоугольниками1×2, 1×3, уголками и другими фигурами.

·                 повышение логической  грамотности учащихся, выработка  доказательного мышление и потребности в доказательстве как в математической, так и во вне математической сферах мыслительной деятельности;

·                 совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем развития логического мышления, обогащение математического языка;

Содержание программы факультативного курса составлено с учетом возрастных особенностей, потребностей обучающихся и возможностей материально-технической базы для преподавания курса. Программа построена на современной технологической основе, с учетом необходимости деятельностной организации занятий с учетом принципов доступности, индивидуальности, преемственности, результативности организации познавательного процесса. В основе программы курса лежит идея изучения нового теоретического материала путём последовательного решения задач, приводящих к формулировки (и доказательству) общих утверждений.

Изучение курса предполагает создание на занятиях ситуаций активного поиска, предоставление школьникам возможности сделать собственное «открытие», познакомиться с оригинальными путями рассуждений, овладеть элементарными навыками исследовательской деятельности.

Отличительными особенностями курса являются нестандартные приёмы проведения занятий, активные формы и методы работы с обучающимися, среди которых:

·                 учебное исследование;

·                 игра;

·                 соревнования, конкурсы;

·                 тесты;

Особенностью курса является рефлексивный подход при его изучении в процессе самооценки и самоанализа обучающимися своей деятельности.

Домашние задания творческого характера предлагаются по желанию.

Занятия организуются в индивидуальном и групповом режиме.

Планируемые результаты изучения факультативного курса

Личностными результаты:

·                      сохранение и развитие познавательного интереса к математике;

·                      представление о математике не только как о науке, но и как о сфере человеческой деятельности  и этапах её развития;

·                      инициатива, находчивость и активность при решении логических задач и игр – головоломок;

·                      внимательность, настойчивость, целеустремленность, умения преодолевать трудности;

·                      самостоятельность суждений, независимость и нестандартность мышления;

·                  перенос эмоционального благополучия ребёнка с занятий  на учебную деятельность;

·                      творческая самореализация ребёнка (проверяется через участие в предметных конкурсах, олимпиадах, индивидуальных творческих проектах);

Метапредметные результаты

·                      умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;

·                      умение использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии, с целью поиска необходимой информации, а также её представление  в понятной форме;

·                      понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

·                      умение самостоятельно ставить цели, планировать деятельность для решения учебных и практических задач;

·                      проведение доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;

·                      сопоставление полученных (промежуточный, итоговый) результатов с заданным условием;

·                      умение анализировать предложенные возможные варианты верного решения;

·                      умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи, понимать смысл поставленной задачи, приводить примеры и контрпримеры;

·                      осуществлять развернутые действия контроля и самоконтроля: сравнивать результат своей деятельности с планируемым результатом;

Предметные результаты

·       владение понятийным аппаратом курса (теорема, утверждение, условие, вывод, индукция, схема доказательства, свойства остатков, свойства наибольшего общего делителя, механизм решения линейных уравнений, схема алгоритма Евклида, принцип Дирихле, игровая стратегия, нижняя и верхняя граница значений конструктивных задач)

·          умение сравнивать различные признаки делимости и анализировать общий метод их доказательства. 

·          знание остатков квадратов и кубов натуральных чисел при делении на 3, 4, 7, 8 и 9.

·          знание механизма решения линейных уравнений в целых числах и его применение на практике;

·          уметь излагать схему алгоритма Евклида.

·          знать логическую структуру принципа Дирихле и его обобщения.

·            уметь  устанавливать отличия  интуитивных соображений от строгого доказательства;

·          знать, что принцип Дирихле приводит к логическому противоречию и уметь решать задачи  с  применением принцип Дирихле как средство получения логического противоречия;

·          уметь четко строить доказательство по схеме от противного.

·          уметь находить выигрышную стратегию для какого-то игрока, основанную на возможности симметричного повтора ходов или передачи хода.

·            уметь  делать оценки в соответствующих конструктивных задачах и строить необходимые примеры

·            уметь определять наибольшее или наименьшее возможное значение искомой величины;

·          уметь понимать принцип использования раскрасок, научиться выбирать подходящую раскраску в задачах с инвариантами, а также анализировать особенности  различных покрытий;

·            использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;

Универсальные учебные действия

·                      сравнивать разные приемы действий, выбирать удобные способы для выполнения конкретного задания;

·                      моделировать в процессе совместного обсуждения алгоритм решения задач и  использовать его в ходе самостоятельной работы;

·                      применять изученные способы учебной работы и приёмы рассуждений для работы с головоломками;

·                      анализировать правила игры, действовать в соответствии с заданными правилами;

·                      включаться в групповую работу, участвовать в обсуждении проблемных вопросов, высказывать собственное мнение и аргументировать его;

·                      выполнять пробное учебное действие, фиксировать индивидуальное затруднение в пробном действии;

·                      сопоставлять полученный (промежуточный, итоговый) результат с заданным условием;

·                      контролировать свою деятельность: обнаруживать и исправлять ошибки.

Оценивание результатов освоения курса осуществляется через творческие и контрольные работы учащихся.

Рубежный контроль осуществляется по полугодиям по зачётной системе оценивания. Ученик получает положительную отметку при  успешном выполнении практического задания по разделу программы.

Критерии оценки качества выполнения контрольных работ:

Отметка «5». Работа выполнена в полном объеме с соблюдением необходимой последовательности. Учащиеся работают полностью самостоятельно: подбирают необходимые для решения теоретические знания, практические умения и навыки.
Работа оформляется аккуратно, в наиболее оптимальной для фиксации результатов форме.

Отметка «4». Контрольная  работа выполняется учащимися в объеме 75% и самостоятельно. Допускаются отклонения от необходимой последовательности выполнения, не влияющие на правильность конечного результата. Учащиеся действуют согласно представленному алгоритму. Работа показывает знание учащихся основного теоретического материала и овладение умениями, необходимыми для самостоятельного выполнения работы. Могут быть неточности и небрежности в оформлении результатов работы.

Отметка «3». Контрольная  работа выполняется и оформляется учащимися от 50% до 75%. На выполнение работы затрачивается много. Учащиеся показывают знания теоретического материала, но испытывают затруднение при самостоятельной работе.

Отметка «2» выставляется в том случае, когда учащиеся не подготовлены к выполнению этой работы. Показывается плохое знание теоретического материала и отсутствие необходимых умений. Руководство и помощь со стороны учителя и хорошо подготовленных учащихся неэффективны по причине плохой подготовки.

Примерные критерии оценивания реферата:

Оценка: оформление + содержание + представление

5 – «отлично»
Работа выполнена творчески.

В ней использовано 2 или более источника.

Используется разнообразная информация.

Материал понятен, интересен, может пригодиться в повседневной жизни.

Ученик интересно и полно презентовал свой реферат.

4 – «хорошо»

Работа выполнена творчески.

В ней использован 1 источник.

Используется разнообразная информация.

Материал понятен, интересен, но в жизни не пригодится.

3 – «удовлетворительно»

Работа включает 1 или источников, но они не соответствуют содержанию.

Информация однообразная.

Материал понятен, но не интересен.

2 - «плохо»
В работе содержится только текст 1 источника.

Информация однообразная.

Материал не понятен и не интересен.

Программа состоит из 5 разделов, с описанием содержания каждого из них и указанием форм и методов их усвоения обучающимися. При изучении каждого раздела данного курса предполагается знакомство обучающихся с основными математическими понятиями курса математики по программе 5го и частично 6го класса.

К каждому разделу подготовлены наборы заданий и краткий теоретический материал, достаточный для решения задач. Задания по всем разделам разделены по уровням сложности. Возможны различные варианты решения заданий. При разборе решений устанавливается соотношение между разными заданиями, выделяются ключевые методы и подходы к анализу содержания заданий. Рассматриваются варианты изменения условий задач.

На изучение курса отводится 34 часа (1 час в неделю).

Содержание курса (34 часа)

Раздел 1. Признаки делимости натуральных чисел. Делимость натуральных чисел с остатком (7 часов).

В данном разделе более широко по сравнению с соответствующими темами учебников по математике для 6го класса изучаются признаки делимости. На основе техники разложения числа в десятичной записи рассматривается общая схема доказательства свойств делимости натуральных чисел. Обобщение признаков делимости на 4 и 8 даёт метод доказательства делимости на 2 в степени п. Рассматриваются признаки делимости на 37, 7 и 13ти. Проводятся сравнения различных признаков делимости и анализируется общий метод их доказательства.  Попутно проводится анализ логических оснований механизма доказательства. Используются термины теорема, утверждение, условие, вывод, индукция. В каждом случае значение понятия поясняется на примерах.

Далее рассматривается деление натуральных чисел с остатком. По сравнению с материалом школьных учебников, более основательно представлены свойства остатков, свойства наибольшего общего делителя, механизм решения линейных уравнений в целых числах. Излагается схема алгоритма Евклида. Рассматриваются остатки квадратов и кубов натуральных чисел при делении на 3, 4, 7, 8 и 9. Для этой темы подготовлено много содержательных заданий, входивших в задания на занятиях математических кружков, использовавшихся на олимпиадах и турнирах.

Освоение материала раздела осуществляется посредством решения задач на доказательство признаков делимости и вычисление остатков, нахождение решений простейших уравнений в целых числах. Основные рассматриваемые идеи и методы: цикличность остатков, алгоритм Евклида, разложение на множители, делимость на простые числа при решении уравнений в целых числах.

Раздел 2. Принцип Дирихле и его применение для решения задач (5 часов).

Принцип Дирихле указывает границу (верхнюю или нижнюю) на количе­ство элементов в некотором множестве. В задачах, решение которых построено на основании доказательства от противного, применение принципа Дирихле приводит к логическому противоречию. При обучении построению строгих доказательств математических утверждений принцип Дирихле довольно полезен.

В данном разделе на ряде примеров изучается логическая структура принципа Дирихле и его обобщения. Важным аспектом в рассмотрении принципа Дирихле является установление отличий интуитивных соображений от строгого доказательства. Логическая схема доказательства требует тщательного анализа, а для ее усвоения нужно решить довольно много задач, начиная с са­мых простых.  

Задачи в разделе подбираются так, чтобы в них принцип Дирихле в качестве логического метода сочетался с другими идеями. В частности, в некоторых задачах дополнительные условия, приводящие к применению принципа Дирихле, связаны с признаками делимости, свойствами остатков, элементами комбинаторики.

В некоторых задачах проявляется еще одна интерпретация принципа Дирихле, сводящая его к сложению неравенств.

Решение задач данного раздела позволит обучающимся применять принцип Дирихле как средство получения логического противоречия, четко строить доказательство по схеме от противного.

Освоение материала раздела осуществляется посредством решения задач на применение принципа Дирихле в комбинации с числовыми, алгебраически­ми и логическими методами. Основные рассматриваемые идеи и методы: доказательство от противного, принцип Дирихле.

Раздел 3. Игровые стратегии (5 часов).

Изучение даже самых простых игровых стратегий не входит в обязательную школьную программу. Однако в теории игр содержится много содержательных и интересных задач, решение которых не требует специальных вычислительных навыков и сводится к нахождению выигрышной стратегии для какого-то игрока, основанной на возможности симметричного повтора ходов или передачи хода.

Изучение материала данного раздела начинается с понятий игры как математической задачи, выигрышной позиции и выигрышной стратегии. Проводится разбор нескольких задач с различными методами поиска выигрышных позиций. Выигрышная стратегия может быть построена на дополнении, разбиении на пары, использовании центральной, осевой или более сложной симметрии. Каждый метод обсуждается при разборе нескольких задач.

Обучающиеся должны научиться находить выигрышные стратегии, используя различные методы.

Освоение материала раздела осуществляется посредством анализа выигрышных и проигрышных ситуаций в различных видах игровых задач. Основные рассматриваемые идеи и методы: выигрышная стратегия, симметричная позиция, передача хода.

Раздел 4. Конструктивные задачи с поиском оптимального варианта (9 часов).

В таких задачах должна быть сделана оценка, определяющая наибольшее или наименьшее возможное значение искомой величины. Если оценка достигается, то это подтверждается соответствующим примером. Задачи подобного вида совершенно не характерны для стандартной школьной программы, однако они довольно часто встречаются на математических олимпиадах и турнирах.

В разделе изучаются некоторые методы нахождения оценок и построения примеров. Сложность указанной темы, приводит к необходимости решения большого количества задач, в том числе самостоятельно, а также основательного разбора этих задач.

Обучающиеся должны научиться делать оценки в соответствующих конструктивных задачах и строить необходимые примеры.

Основные рассматриваемые идеи и методы: оценка, определяющая нижнюю или верхнюю границу значений, конструкция примеров, соответствующих оценке.

Раздел 5. Решение задач с помощью раскрасок и покрытий (8 часов).

 Во многих случаях использование раскраски позволяет решить определенного вида задачи, не прибегая к расчетам. Как правило, в таких задачах требуется доказать, что нельзя получить одну ситуацию из другой последовательным применением заданных операций. Часто при различных операциях сохраняется некоторая величина (инвариант), далеко не всегда очевидная. Раскраска показывает, что в конечном положении значение соответствующей величины не сохраняется. Отдельная проблема - выбор подходящей раскраски. Часто нужна раскраска находится несложным перебором.

В задачах на покрытие ответ во многих случаях оказывается отрицательным. Некоторую поверхность не удается покрыть (без наложений) фигурами заданного вида (например, доминошками или уголками из трех клеток).

В разделе рассматриваются задачи, в которых решение находится с помощью шахматной, диагональной и других видах раскраски.

Обучающиеся должны понимать принцип использования раскрасок, научиться выбирать подходящую раскраску в задачах с инвариантами, а также анализировать особенности  различных покрытий.

Основные рассматриваемые идеи и методы: инвариант как вид ограничения, раскраска как форма инварианта.

Список литературы

1.       Воробьев Н.Н. Признаки делимости («Популярные лекции по ма­тематике. Вып.39) - М.: Наука, 1963.

2.       Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах («Популярные лекции по математике.   Вып.8) -М.: Наука, 1983.

3.       Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математи­ческие     кружки. Киров, АСА, 1994.

4.       Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. М.: МЦНМО, 2004.

5.       Козлова Е.Г. Сказки и подсказки. М.: МЦНМО, 2004.

6.       Снивак А.В. Тысяча и одна задача по математике. - М.: Просвещение. 2002.

7.      Мерзляков А.С. Факультативный курс по математике (первый год обучения). Ижевск, 2002.

8.      Оре О. Приглашение в теорию чисел. (Библиотечка «Квант») - М.: Наука, 1980.

9.      Штыков Н.Н. Иркутские математические олимпиады и турниры. Иркутск. 2003.

9.       11. Штыков Н.Н. Математические олимпиады в Иркутске. Иркутск. 2006.

10.  Ященко И.В. Математический праздник. - М.: МЦНМО, 2005.

Перечень сайтов

http://knowledge.allbest.ru

http://www.g_5.edu54.ru/

http://studentbank.ru

http://www.prosv.ru - сайт издательства «Просвещение» (рубрика «Математика»)

http://www.internet-scool.ru - сайт Интернет – школы издательства Просвещение.

www.festival.1september.ru