Материалы общественного смотра знаний по геометрии по теме "Четырехугольники" в 8 классе.

                   Общественный смотр знаний по теме «Четырехугольники», 8 класс

Вопросы:

1.      Многоугольник.

2.      Выпуклый многоугольник.

3.      Сумма углов выпуклого многоугольника.

4.      Правильный многоугольник.

5.      Задача на нахождение угла правильного многоугольника.

6.      Четырехугольник.

7.      Диагональ четырехугольника.

8.      Периметр четырехугольника.

9.      Сумма углов четырехугольника.

10.  Параллелограмм.

11.  Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма.

12.  Свойство диагоналей параллелограмма.

13.  Первый признак параллелограмма.

14.  Второй признак параллелограмма.

15.  Третий признак параллелограмма.

16.  Прямоугольник.

17.  Свойство диагоналей прямоугольника.

18.  Признак прямоугольника.

19.  Ромб.

20.  Свойство диагоналей ромба.

21.  Первый признак ромба.

22.  Второй признак ромба.

23.  Квадрат (через прямоугольник)

24.  Квадрат (через ромб)

25.  Свойства квадрата.

26.  Трапеция.

27.  Виды трапеции.

28.  Свойства равнобедренной трапеции.

29.  Площадь прямоугольника.

30.  Площадь квадрата. (по стороне)

31.  Площадь квадрата. (по диагонали)

32.  Площадь параллелограмма.

33.  Площадь ромба.(по стороне и высоте)

34.  Площадь ромба. (по диагоналям)

35.  Площадь трапеции.

36.  Площадь выпуклого многоугольника с взаимно-перпендикулярными диагоналями.

Дополнительные вопросы:

1.      Треугольник.

2.      Равные треугольники.

3.      Сумма углов треугольника.

4.      Первый признак равенства треугольников.

5.      Второй признак равенства треугольников.

6.      Третий признак равенства  треугольников.

7.      Равнобедренный треугольник.

8.      Медиана треугольника.

9.      Биссектриса треугольника.

10.  Высота треугольника.

11.  Свойство медианы равнобедренного треугольника.

12.  Свойство углов в равнобедренном треугольнике.

13.  Признак равнобедренного треугольника.

14.  Теорема Пифагора.

15.  Вертикальные углы.

16.  Свойство вертикальных углов.

17.  Смежные углы.

18.  Свойство смежных углов

19.  Параллельные прямые.

20.  Свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей.

21.  Свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.

22.  Свойство соответственных углов при параллельных прямых и секущей.

23.  Признак параллельности прямых.

24.  Признак параллельности прямых.

25.  Признак параллельности прямых.

26.  Площадь произвольного треугольника.

27.  Площадь прямоугольного треугольника.

28.  Свойство медианы  прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

29.  Свойство медианы треугольника. (о площадях)

30.  Свойство острых углов  прямоугольного треугольника.

31.  Свойство прямоугольного треугольника.

32.  Свойство прямоугольного треугольника.

33.  1 признак равенства прямоугольных треугольников.

34.  2 признак равенства прямоугольных треугольников.

35.  3 признак равенства прямоугольных треугольников.

36.  4 признак равенства прямоугольных треугольников.

№9. Многоугольники

1. Сумма трех углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 300°. Най­ди­те чет­вер­тый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD , , , . Най­ди­те угол A. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Углы вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1:2:3:4. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. ABCDEFGH — пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. Най­ди­те угол EFG. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Параллелограмм

1. Диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

2. Раз­ность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна 40°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Один угол па­рал­ле­ло­грам­ма в два раза боль­ше дру­го­го. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. Диа­го­наль  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

5. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD за точ­кой D от­ме­че­на точка E так, что DC = DE. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если ∠DEC = 53°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

6. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Най­ди­те пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма, если BK = 7, CK = 12.

7. Най­ди­те ве­ли­чи­ну остро­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если бис­сек­три­са угла A об­ра­зу­ет со сто­ро­ной BC угол, рав­ный 15°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

8. В па­рал­ле­ло­грам­ме  диа­го­наль  в 2 раза боль­ше сто­ро­ны  и . Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

9. В па­рал­ле­ло­грам­ме  диа­го­наль  в 2 раза боль­ше сто­ро­ны  и . Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ромб

1. Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

 Пе­ре­чис­ли­те эти длины в от­ве­те через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

2. Пло­щадь ромба равна 27, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

3. Рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба до одной из его сто­рон равно 19, а одна из диа­го­на­лей ромба равна 76. Най­ди­те углы ромба.

В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ны раз­лич­ных углов в по­ряд­ке воз­рас­та­ния через точку с за­пя­той.

4. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 44 и HD = 11. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Трапеция

1. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной AB углы, рав­ные 30° и 45° со­от­вет­ствен­но.

2. Най­ди­те угол АDС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 30° и 50° со­от­вет­ствен­но.

3. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 140°. Най­ди­те боль­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 220°. Най­ди­те мень­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

5. Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, если два ее угла от­но­сят­ся как 1:2. Ответ дайте в гра­ду­сах.

6. Най­ди­те угол  ABC  рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  AD и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 80° со­от­вет­ствен­но.

7. Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  BC  и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 105° со­от­вет­ствен­но.

8. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 25° и 40° со­от­вет­ствен­но.

9. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та, мень­шее ос­но­ва­ние и угол при ос­но­ва­нии. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

10. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 50 и 104, бо­ко­вая сто­ро­на 45. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

11. Бис­сек­три­сы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 32.

12. В тра­пе­ции ABCD AB = CD, ∠BDA = 49° и ∠BDC = 13°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

13. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 1 и 5. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

                                                                                   №11. Площади.

Квадрат

1. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

2. Пе­ри­метр квад­ра­та равен 40. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та.

3. Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

4. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 1.

Прямоугольник

1. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 10, дру­гая сто­ро­на равна 12. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

2. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

3. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны . Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

4. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 44 и одна сто­ро­на на 2 боль­ше дру­гой.

5. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

6. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 96, а диа­го­наль равна 100. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

7. На сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, у ко­то­ро­го AB = 12 и AD = 17, от­ме­че­на точка E так, что ∠EAB = 45°. Най­ди­те ED.

Трапеция

1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

3. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

4. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

5. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

6. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 5 и 17, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

7. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 1 и 13, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

8. В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

9. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 2 и 9. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

10. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 4 и 14, бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

Параллелограмм

1. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

2. Сто­ро­на ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те пло­щадь ромба.

3. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, а опу­щен­ная на нее вы­со­та равна 10. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

4. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — 45°. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, делённую на .

5. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 56. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AECB.

6. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 14 и 6.

7. Сто­ро­на ромба равна 9, а рас­сто­я­ние от цен­тра ромба до неё равно 1. Най­ди­те пло­щадь ромба.

8. Сто­ро­на ромба равна 50, а диа­го­наль равна 80. Най­ди­те пло­щадь ромба.

9. Вы­со­та BH па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 1 и HD = 28. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма BD равна 53. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

10. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 5 и HD = 8. Най­ди­те пло­щадь ромба.

11. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45° . Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

12. Пло­щадь ромба равна 54, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

Часть 2.

№ 24. Задачи на вычисление.

 Четырёхугольники

1. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 18, а пе­ри­метр равен 56.              

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

2. Вы­со­та AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 12 и CH = 3. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

3. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

4. Сто­ро­на ромба равна 36, а ост­рый угол равен 60°. Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

5. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма  пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну  в точке  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма  если   а 

6. Бис­сек­три­сы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 10.

7. Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те AB, если BC = 34.

8. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

9. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну AB тра­пе­ции ABCD, если углы ABC и BCD равны со­от­вет­ствен­но 30° и 120°, а CD = 25.

№ 25. Задачи на доказательство.

Четырёхугольники и их элементы

1. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что ВFDЕ — па­рал­ле­ло­грамм.

2. Сто­ро­на BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка L — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что DL — бис­сек­три­са угла CDA.

3. Сто­ро­на AB па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны BC. Точка N — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. До­ка­жи­те, что CN — бис­сек­три­са угла BCD.

4. Точка K — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка KAB равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

5. До­ка­жи­те, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции, делит её на две рав­ные по пло­ща­ди части.

6. Сто­ро­на AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. До­ка­жи­те, что CM — бис­сек­три­са угла BCD.

7. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

8. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

9. Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

10. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что EC=ED. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

12. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны бис­сек­три­сы про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что от­рез­ки бис­сек­трис, за­клю­чен­ные внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма, равны.

13. Се­ре­ди­ны сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся вер­ши­на­ми ромба. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

14. Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция . Точка  лежит на ос­но­ва­нии  и рав­но­уда­ле­на от кон­цов дру­го­го ос­но­ва­ния. До­ка­жи­те, что  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния .

15. Три сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. До­ка­жи­те, что от­ре­зок с кон­ца­ми в се­ре­ди­нах про­ти­во­по­лож­ных сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равен чет­вер­ти его пе­ри­мет­ра.

16. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­ны вы­со­ты BH и BE к сто­ро­нам AD и CD со­от­вет­ствен­но, при этом BH = BE. До­ка­жи­те, что ABCD — ромб.

17. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKD.

18. Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

24. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

19. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник.

20. Точка E — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB тра­пе­ции ABCD. До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ECD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

21. Внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BEC и AED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма.

22. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и CD в точ­ках P и T со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что BP = DT.

23. До­ка­жи­те, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции, делит её на две рав­ные по пло­ща­ди части.

№26.Задачи повышенной сложности.

 Четырёхугольники

1. Вы­со­та AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 21 и CH = 8. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

2. Бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 20 и 25, а ос­но­ва­ние BCравно 5. Бис­сек­три­са угла ADC про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

3. Бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 28 и 35, а ос­но­ва­ние BCравно 7. Бис­сек­три­са угла ADC про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

4. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60° , сто­ро­на AB равна 4. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

5. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

№9. Многоугольники

 (Задачи взяты из открытого банка заданий ОГЭ по математике. Жирным выделены те задачи, которые оценены в 2 балла, невыделенные задачи оцениваются в1 балл)

1. Сумма трех углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 300°. Най­ди­те чет­вер­тый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD , , , . Най­ди­те угол A. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Углы вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1:2:3:4. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. ABCDEFGH — пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. Най­ди­те угол EFG. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Параллелограмм

1. Диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

2. Раз­ность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна 40°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Один угол па­рал­ле­ло­грам­ма в два раза боль­ше дру­го­го. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. Диа­го­наль  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

5. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD за точ­кой D от­ме­че­на точка E так, что DC = DE. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если ∠DEC = 53°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

6. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Най­ди­те пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма, если BK = 7, CK = 12.

7. Най­ди­те ве­ли­чи­ну остро­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если бис­сек­три­са угла A об­ра­зу­ет со сто­ро­ной BC угол, рав­ный 15°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ромб

1. Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

 Пе­ре­чис­ли­те эти длины в от­ве­те через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

2. Пло­щадь ромба равна 27, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

3. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 44 и HD = 11. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Трапеция

1. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной AB углы, рав­ные 30° и 45° со­от­вет­ствен­но.

2. Най­ди­те угол АDС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 30° и 50° со­от­вет­ствен­но.

3. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 140°. Най­ди­те боль­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 220°. Най­ди­те мень­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

5. Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, если два ее угла от­но­сят­ся как 1:2. Ответ дайте в гра­ду­сах.

6. Най­ди­те угол  ABC  рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  AD и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 80° со­от­вет­ствен­но.

7. Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  BC  и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 105° со­от­вет­ствен­но.

8. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 25° и 40° со­от­вет­ствен­но.

9. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та, мень­шее ос­но­ва­ние и угол при ос­но­ва­нии. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

11. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 1 и 5. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

                                                                                   №11. Площади.

Квадрат

1. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

2. Пе­ри­метр квад­ра­та равен 40. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та.

3. Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

4. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 1.

Прямоугольник

1. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 10, дру­гая сто­ро­на равна 12. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

2. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

3. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны . Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

4. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 44 и одна сто­ро­на на 2 боль­ше дру­гой.

5. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

6. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 96, а диа­го­наль равна 100. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Трапеция

1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

3. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

4. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

5. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 2 и 9. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

Параллелограмм

1. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

2. Сто­ро­на ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те пло­щадь ромба.

3. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, а опу­щен­ная на нее вы­со­та равна 10. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

4. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — 45°. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

5. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 14 и 6.

6. Сто­ро­на ромба равна 9, а рас­сто­я­ние от цен­тра ромба до неё равно 1. Най­ди­те пло­щадь ромба.

8. Сто­ро­на ромба равна 50, а диа­го­наль равна 80. Най­ди­те пло­щадь ромба.

9. Вы­со­та BH па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 1 и HD = 28. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма BD равна 53. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

10. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 5 и HD = 8. Най­ди­те пло­щадь ромба.

11. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45° . Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

12. Пло­щадь ромба равна 54, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

На 2 балла.

1. В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD , , , . Най­ди­те угол A. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. Углы вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1:2:3:4. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. ABCDEFGH — пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. Най­ди­те угол EFG. Ответ дайте в гра­ду­сах.

1. Раз­ность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна 40°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. Один угол па­рал­ле­ло­грам­ма в два раза боль­ше дру­го­го. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD за точ­кой D от­ме­че­на точка E так, что DC = DE. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если ∠DEC = 53°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Най­ди­те пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма, если BK = 7, CK = 12.

5. Най­ди­те ве­ли­чи­ну остро­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если бис­сек­три­са угла A об­ра­зу­ет со сто­ро­ной BC угол, рав­ный 15°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

1. Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

 Пе­ре­чис­ли­те эти длины в от­ве­те через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

2. Пло­щадь ромба равна 27, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

3. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 44 и HD = 11. Най­ди­те пло­щадь ромба.

1. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 140°. Най­ди­те боль­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 220°. Най­ди­те мень­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, если два ее угла от­но­сят­ся как 1:2. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та, мень­шее ос­но­ва­ние и угол при ос­но­ва­нии. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

1. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

2. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 44 и одна сто­ро­на на 2 боль­ше дру­гой.

3. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

4. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 96, а диа­го­наль равна 100. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

1. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

2. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

3. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 2 и 9. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

1. Сто­ро­на ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те пло­щадь ромба.

2. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — 45°. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

3. Сто­ро­на ромба равна 50, а диа­го­наль равна 80. Най­ди­те пло­щадь ромба.

4. Вы­со­та BH па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 1 и HD = 28. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма BD равна 53. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

5. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 5 и HD = 8. Най­ди­те пло­щадь ромба.

6. Пло­щадь ромба равна 54, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

На «3» балла.

1. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны . Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

2. В па­рал­ле­ло­грам­ме  диа­го­наль  в 2 раза боль­ше сто­ро­ны  и . Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 50 и 104, бо­ко­вая сто­ро­на 45. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

4. Бис­сек­три­сы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 32.

5. В тра­пе­ции ABCD AB = CD, ∠BDA = 49° и ∠BDC = 13°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

6. На сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, у ко­то­ро­го AB = 12 и AD = 17, от­ме­че­на точка E так, что ∠EAB = 45°. Най­ди­те ED.

7. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

8. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 5 и 17, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

9. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 1 и 13, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

10. В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

11. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 4 и 14, бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

12. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 56. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AECB.

13. Вы­со­та AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 12 и CH = 3. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

14. Сто­ро­на ромба равна 36, а ост­рый угол равен 60°. Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

15. Вы­со­та AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 21 и CH = 8. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

16. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 18, а пе­ри­метр равен 56.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

                                               На 4 балла.

1. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

2. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма  пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну  в точке  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма  если   а 

3. Бис­сек­три­сы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 10.

4. Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те AB, если BC = 34.

5. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

6. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну AB тра­пе­ции ABCD, если углы ABC и BCD равны со­от­вет­ствен­но 30° и 120°, а CD = 25.

7. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60° , сто­ро­на AB равна 4. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

8. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

1. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

2. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма  пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну  в точке  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма  если   а 

3. Бис­сек­три­сы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 10.

4. Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те AB, если BC = 34.

5. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

6. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну AB тра­пе­ции ABCD, если углы ABC и BCD равны со­от­вет­ствен­но 30° и 120°, а CD = 25.

7. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60° , сто­ро­на AB равна 4. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

8. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

На 5 баллов.

№ 25. Задачи на доказательство.

1. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что ВFDЕ — па­рал­ле­ло­грамм.

2. Сто­ро­на BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка L — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что DL — бис­сек­три­са угла CDA.

3. Сто­ро­на AB па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны BC. Точка N — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. До­ка­жи­те, что CN — бис­сек­три­са угла BCD.

4. До­ка­жи­те, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции, делит её на две рав­ные по пло­ща­ди части.

5. Сто­ро­на AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. До­ка­жи­те, что CM — бис­сек­три­са угла BCD.

6. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

7. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

8. Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

9. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что EC=ED. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

10. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны бис­сек­три­сы про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что от­рез­ки бис­сек­трис, за­клю­чен­ные внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма, равны.

11. Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

12. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

13. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник.

14. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и CD в точ­ках P и T со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что BP = DT.

15. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­ны вы­со­ты BH и BE к сто­ро­нам AD и CD со­от­вет­ствен­но, при этом BH = BE. До­ка­жи­те, что ABCD — ромб.

Краткое описание документа:

Общественный смотр знаний по геометрии проводился в 8-ых классах. Задачи для ОСЗ взяты из Открытого банка заданий ОГЭ по математике https://math-oge.sdamgia.ru/test?a=catlistwstat,

задачи дифференцированы по баллам. Вопросы, выставленные для устного опроса, охватывают весь материал, изученный на данный момент по теме "Четырехугольники" и дополнительные вопросы по геометрии 7 класса. Вопросы также дифференцированы, т.е., те ученики, которые оценивают себя на оценки "4" и "5", обязательно доказывают свойства и признаки четырехугольников, выводят формулы площадей четырехугольников. Надеюсь, представленный материал будет полезен для коллег. Материалы о применении технологии уровневой дифференциации на основе обязательных результатов обучения и о подготовке к общественному смотру знаний можно посмотреть также на этой странице.