Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методы решения показательных уравнений
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Методы решения показательных уравнений

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов



Содержание

  1. Методы решения показательных уравнений

  2. Примеры решения заданий ЕГЭ








































Задания на решение показательных уравнений могут

встретиться в любой группе заданий ЕГЭ. В заданиях группы В обычно предлагается непосредственно решить простейшие показательные уравнения или воспользоваться решением показательного уравнения для исследования некоторой функции. В третьей группе можно встретить более сложные показательные уравнения, решение которых обычно является одним из этапов выполнения задания.


Теоретические сведения

Свойства степени положительного числа

Если а >0, b>0, r, s- Действительные числа, то:


hello_html_3d591e0d.png



Методы решения показательных уравнений


При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида:

1. af(x)=ag(x) или 2. af(x)=b.

Очевидно, что уравнение типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного логарифмического тождества:

2! af(x)= hello_html_2547dff8.gif.

Уравнение (1) равносильно уравнению f(x)=g(x) при а > 0, а ¹ 1.

Этот переход называется потенцированием.

Способы решения показательных уравнений

1 тип: приведение к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней:

а) hello_html_48afdeb.gif.

Проверка: hello_html_m648d4621.gif; hello_html_671fdcb2.gif; hello_html_560e332a.gif =hello_html_560e332a.gif;

б) hello_html_2c51640d.gif.

Решение: hello_html_4e1583e4.gif; hello_html_m6c842878.gif; hello_html_6f241518.gif;

hello_html_m603649.gif; hello_html_6f1e4e9.gif; hello_html_m73680f54.gif;

(х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10.

Проверка: х=10. hello_html_6111bb52.gif; hello_html_6b19b614.gifhello_html_32b8cf2c.gif; hello_html_m7c3b9b6a.gif;

hello_html_m1223f657.gif; hello_html_m1fbd6b49.gif=hello_html_m1fbd6b49.gif– верно.

Ответ: х=10;

в) hello_html_3f2a7b23.gif.

Решение: hello_html_m414b8a86.gif; hello_html_m7a12d7b2.gif; hello_html_3a40c00d.gif; hello_html_m68cf966e.gif; hello_html_m374acc57.gif; x=1.

Проверка: hello_html_m3e17fb7b.gif; hello_html_24633d3f.gif; hello_html_25ec57b9.gif=hello_html_25ec57b9.gif– верно.

Ответ: х=1;

г) hello_html_m3d10541c.gif.

Решение: hello_html_41f7f5e6.gif; ½3х–4½=4х–4,

для х ³hello_html_3294b63c.gifимеем ½3х–4½=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде
3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х <hello_html_3294b63c.gifимеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х=hello_html_m4945e5c4.gif.

Проверка: х=0. hello_html_34797e8c.gif; hello_html_m385b50d5.gif; hello_html_m19d03e7c.gif – не верно.

х=hello_html_m4945e5c4.gif. hello_html_m695abe0.gif; hello_html_m457adcd2.gif; hello_html_m13452c51.gifhello_html_527ff2d0.gif – верно.

Ответ: х=hello_html_m4945e5c4.gif.

2 тип – уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi.

Пример: а) hello_html_52909050.gif.

Решение: hello_html_52e00413.gif.

Обозначаем: hello_html_m1ca4d1a3.gif = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2=hello_html_3fd6018b.gif.

Получаем: 1. hello_html_m1ca4d1a3.gif=3; hello_html_md9e2bab.gif; hello_html_75db72e9.gif; х1=2.

 2. hello_html_m1ca4d1a3.gif=hello_html_3fd6018b.gif; hello_html_m64282dec.gif; hello_html_m363ecef3.gif; х2=–2.

Проверка: 1. hello_html_m1a2465e8.gif; 3×9–10×3+3=0 – верно.

2. hello_html_m7c5f3927.gif; hello_html_2b26ba4d.gif; hello_html_m445388ca.gif – верно.

Ответ: х=2; х=–2;

б) hello_html_m544ec4e7.gif.

Решение: hello_html_m69a38a6c.gif. Пусть 4х=y, y2+12y–64=0,

y1,2=–6±hello_html_65feea65.gif=–6±10,

y1=4; y2=–16 (п.к.), т.к. 4х> 0, 4х=4 Þ х=1.

Проверка: hello_html_619918f1.gif; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно.

Ответ: х=1;

в) hello_html_2d35136a.gif.

Решение: hello_html_5036c600.gif, hello_html_3964d76f.gif.

Пусть hello_html_m6250def6.gif, hello_html_m509beba.gif,hello_html_6ce8e7b5.gif,

hello_html_m351efcf.gif,

hello_html_a8d0ddb.gif; hello_html_m186bfec5.gif; hello_html_6fd5680f.gif; hello_html_4e5c494c.gif; hello_html_3ef1007f.gif; hello_html_m2b8de957.gif; x=20.

Проверка: x=20. hello_html_m1ca5eba5.gif, hello_html_m7998239a.gif – верно.

Ответ: х=20.

г) hello_html_m4977699e.gif.

Решение: hello_html_m1e3dd6f4.gif. Пусть hello_html_m236427fb.gif; тогда уравнение запишем в виде hello_html_39ee74f1.gif; y1,2=2hello_html_m2243feda.gif; y1=3 и y2=1; hello_html_7f5cf512.gif или hello_html_m53966a40.gif; x2–1=1;

x2–1=0; x=hello_html_2548cba7.gif; x=±1.

Проверка: x=hello_html_2548cba7.gif; hello_html_m2c36b951.gif; 9–12+3=0 – верно;

х=±1; hello_html_m5ecffb8d.gif; 1–4+3=0 – верно.

Ответ: x=hello_html_2548cba7.gif; х=±1.


3 тип – метод вынесения общего множителя за скобки:

а) hello_html_7a670b1.gif.

Решение: hello_html_7998ed4c.gif; hello_html_mec73e6e.gif; hello_html_1ec80b52.gif;

hello_html_m766bd17a.gif; hello_html_2232a279.gif; hello_html_23c3ede.gif; х=0.

Проверка: hello_html_62683fb2.gif; hello_html_m623ffe99.gif; 0,992=0,992 – верно.

Ответ: х=0;

б) hello_html_m10687832.gif.

Решение: hello_html_1541240.gif; hello_html_m1a1dd7a9.gif;

hello_html_3f079e5e.gif; hello_html_34ba261d.gif; х=0.

Проверка: hello_html_4e9d7b6e.gif; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно.

Ответ: х=0;

в) hello_html_14af5b16.gif.

Решение: hello_html_176a73a.gif; hello_html_608fef73.gif;

hello_html_m6f39fe9.gif; hello_html_2c7d605b.gif; hello_html_m3c8b35a.gif; hello_html_75db72e9.gif; х=2.

Проверка: hello_html_79912f43.gif; hello_html_m5ecf54e4.gif; 2–8+3=–3;

3=–3 – верно.

Ответ: х=2.



4 тип – уравнения вида hello_html_2bb48aaf.gif решаются путем деления членов на hello_html_m40c7cd0.gif или hello_html_33f88d48.gif.

а) hello_html_30ba12b.gif.

Решение: Делим на hello_html_m67bef6b0.gif.

hello_html_3a780946.gif; hello_html_m67853ed5.gif.

Положим hello_html_4d212d61.gif, тогда имеем hello_html_23a4d2cf.gif; hello_html_m7ba546e0.gif. Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2=hello_html_m59cd3818.gif. следовательно: hello_html_11fb3316.gif; hello_html_ma9056ee.gif.

Проверка: х=0; hello_html_23f1c8ea.gif; 3+2=5 – верно;

х=hello_html_7eb9c800.gif; hello_html_m52aadb44.gif; 12+18=30 – верно.

Ответ: х=0; х=hello_html_7eb9c800.gif.

б) hello_html_m7250d3e6.gif.

Решение: hello_html_261da954.gif; hello_html_1f066302.gif. Разделим обе части данного уравнения на hello_html_29a65714.gif. hello_html_51bf29fd.gif; hello_html_m75881a5c.gif. Пусть hello_html_62a51906.gif, тогда уравнение примет вид: hello_html_m43a3249e.gif; hello_html_6deb0af8.gif, hello_html_1af763c9.gif; hello_html_m6b55ea29.gif; hello_html_m5d3ce28a.gif;

hello_html_3ef245b9.gif; hello_html_1bfe13b3.gif.

Проверка: hello_html_54a7a78.gif; hello_html_5dd75ce6.gif. Делим на hello_html_3246a20f.gif.

hello_html_m2d47a47a.gif; hello_html_m7c72841e.gif; hello_html_md81b0d0.gif;

6=6 – верно;

hello_html_m53ee8eaf.gif; hello_html_afdac9e.gif. Делим на hello_html_m5f530a8f.gif;

hello_html_67d44273.gif; hello_html_4d801171.gif; 6=6 – верно.

Ответ: hello_html_54a7a78.gif; hello_html_m53ee8eaf.gif.

Решение типовых заданий

hello_html_6301a845.png

Решение. 1-й способ. Представим правую и левую части уравнения в виде

степени с основанием 3 и от равенства степеней с одинаковым основанием

hello_html_m7a5701f5.png

2-й способ. Это простейшее показательное уравнение, значит

hello_html_m288111f7.png

hello_html_m53d4ecad.gif

Задание 2. Решите уравнение hello_html_meb6f4de.gif = hello_html_m3e60016.gif

Решение. Преобразуем правую часть уравнения с помощью свойства (7).

Получим hello_html_meb6f4de.gif = hello_html_61e5f2d6.gif. Применяя теорему 1, получим уравнение, равносильное данному: 3x – 7 = -7x + 3, 10x = 10, x = 1.

Ответ: 1.

Задание 3. Решите уравнение 0,04 ∙ hello_html_m689edbcc.gif = hello_html_mc7ce3ee.gif.

Решение. Преобразуем уравнение к виду hello_html_422e3e61.gifhello_html_m689edbcc.gif = hello_html_mc7ce3ee.gif.

Применяя свойства (1) и (7) степени с одинаковым основанием, получаем

hello_html_m48d0ce6c.gif= hello_html_197ea69a.gif. Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей степеней: x – 2 = -x , 2x = 2, x = 1.

Ответ: 1.

Если в показательном уравнении несколько показательных выражений

с одинаковым основанием, то выражения можно преобразовать с помощью

свойств степени (1) и (2): hello_html_617239ed.gif= hello_html_1bff7314.gif hello_html_7301788d.gif и hello_html_m1b053804.gif = hello_html_1bff7314.gif: hello_html_7301788d.gif ( a > 0). После таких

преобразований уравнение обычно решается методом введения новой переменной или разложением на множители.


Задание 4. Решите уравнение hello_html_18d6a27f.gif + hello_html_m81df034.gif = 250.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения с помощью свойств степени (1) и (2):

hello_html_m227338a8.gifhello_html_m546a08c1.gif+ 5 ∙ hello_html_mc7ce3ee.gif = 250,

hello_html_59f000e1.gifhello_html_m546a08c1.gif+ 5 ∙ hello_html_mc7ce3ee.gif = 250,


hello_html_m546a08c1.gif+ 25 ∙ hello_html_mc7ce3ee.gif- 1250 = 0.

Введем замену hello_html_mc7ce3ee.gif = a , a > 0. Уравнение принимает вид hello_html_m68395a4a.gif + 25a

- 1250 = 0. Решая уравнение, находим его корни: a = 25 или a = -50.

Учитывая условие a > 0, отбросим a = -50. Переходя к прежней переменной x, остается решить уравнение hello_html_mc7ce3ee.gif= 25. Оно имеет корень x=2.

Ответ: 2.


Задание 5. Решите уравнение hello_html_m2e74bae4.gif −2 ∙ hello_html_323e62f1.gif = 124.


Решение. Преобразуем левую часть уравнения с помощью свойств (1), (2) и вынесем за скобки степень с наименьшим показателем hello_html_m5dd71e15.gif:

hello_html_2e4b9a3e.gif= 124,

hello_html_323e62f1.gif62 = 124,

hello_html_323e62f1.gif= 2,

hello_html_323e62f1.gif= hello_html_m38cb12a7.gif,

x2 = 0,5,

x=2,5.

Ответ: 2,5.


Рассмотрим уравнения (неравенства), идея решения которых состоит в делении обеих частей уравнения на некоторое показательное выражение.

Такая операция не приводит к потере корней (решений), потому что показательные выражения больше нуля ( см. область значений функции y=hello_html_m3f444ce3.gif).

Задание 6. Решите уравнение hello_html_m504f54bb.gif+ hello_html_m2478a4d6.gif= hello_html_m6e1509ec.gif.

Решение. Подбором устанавливаем, что корнем уравнения является x=1. Докажем, что других корней нет. Так как hello_html_m6e1509ec.gif > 0, разделим обе части уравнения на выражение hello_html_m6e1509ec.gif.

Получим уравнение hello_html_59750318.gif+ hello_html_75f9e4c9.gif= 1.

В левой части уравнения − сумма монотонных функций − монотонная функция ( убывающая ), поэтому любое свое значение эта функция принимает только один раз, в том числе и значение, равное 1. Значит, уравнение имеет единственный корень, который уже найден.

Ответ: 1.


Замечание. Уравнение hello_html_m504f54bb.gif+ hello_html_m2478a4d6.gif = hello_html_m6e1509ec.gif также решается функционально-графическим методом, но без деления: в левой части − возрастающая функция, которая принимает значение 7 только в одной точке x = 1.

Используем прием деления на показательное выражение при решении однородных показательных уравнений ( неравенств ).

Если при замене показательных выражений, входящих в показательное уравнение, новыми переменными, получается однородное уравнение, то этот тип показательных уравнений называют однородными показательными уравнениями. Например, если в уравнении 3 ∙ hello_html_m2478a4d6.gifhello_html_569d2032.gif −2∙hello_html_4c5bd1fa.gif = 0 заменить hello_html_m42bdb835.gif новой переменной a , а hello_html_m504f54bb.gif− новой переменной b, то получим однородное уравнение второй степени hello_html_3e6f3414.gifhello_html_6473e7d6.gifhello_html_m6bb9b00f.gif = 0 ( сумма показателей степеней каждого члена равна двум ).

Однородное показательное уравнение решаются путем деления обеих частей уравнения на входящее в уравнение показательное выражение с наибольшим основанием и сведением данного уравнения к квадратному hello_html_m53d4ecad.gif( можно делить и на любое показательное выражение, входящее в уравнение ).


Задание 8. Решите уравнение 2 ∙ hello_html_m2478a4d6.gif− 3 ∙ hello_html_m63f9303b.gif = 5 ∙ hello_html_572e3b57.gif.

Решение. Данное уравнение является однородным ( почему?). Разделим hello_html_m53d4ecad.gifобе части уравнения на выражение hello_html_572e3b57.gif, большее нуля для любых x.

2∙ hello_html_3554a31c.gif− 3∙ hello_html_c9cb61d.gif = 5, 2∙ hello_html_b90d64c.gif− 3∙ hello_html_5126f993.gif = 5.

Введем новую переменную t = hello_html_5126f993.gif, t > 0.

Уравнение hello_html_m9010f82.gif− 3t − 5 = 0 имеет два корня hello_html_7ac94dcc.gif = -1 и hello_html_m465e5e5b.gif = hello_html_6a81be73.gif. С учетом условия t > 0 отбрасываем hello_html_108e64f7.gif = − 1. Остается решить уравнение hello_html_6faa3faa.gif = hello_html_6a81be73.gif, x = −1.

Ответ: − 1.

Рассмотрим более сложные задания.


Задание 9. Решите уравнение (hello_html_16feb3e6.gif − 81) ∙ hello_html_40ab3ee4.gif = 0.

hello_html_m78774d40.gif

Решение. 1-й способ. В основе решения уравнения лежит условие равенства произведения двух выражений нулю: произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысл.

1) hello_html_16feb3e6.gif − 81 = 0, hello_html_16feb3e6.gif = hello_html_f395a4.gif, hello_html_m4d1d4174.gif = 4, x = 2 или x = − 2. При x =2 подкоренное выражение отрицательно, значит, число 2 не является корнем уравнения.

2) hello_html_40ab3ee4.gif = 0 при x=1. Это число является корнем данного уравнения, так

как выражение hello_html_16feb3e6.gif − 81 имеет смысл при любом x.

Ответ: 1, -2.

2-й способ. Если решать уравнение с помощью равносильности, то решение

основано на применении следующего утверждения:

hello_html_364f95bd.png


Уравнение равносильно системе:

hello_html_48de0384.png

Задание 10. Решите систему уравнений

hello_html_5642a339.png


Решение. Преобразуем первое уравнение системы, получим hello_html_75f37472.gif + hello_html_41dfcd28.gif − 6 = 0. Введем новую переменную hello_html_41dfcd28.gif = t, t < 0.

Решениями уравнения hello_html_m1f1e259.gif являются числа t = 2 или t = −3. С учетом ограничения, накладываемого на t, оставляем только значение

t = 2.

Возвращаясь к неизвестным x и y, получим hello_html_mcfb8e3f.gifhello_html_m7d4107c1.gif

Преобразуем второе уравнение системы к виду:

hello_html_m4b37988f.gif

hello_html_5edab082.png

Ответ: (1; − 2).

Задание 11. При каких значениях m уравнение hello_html_18635f4d.gifhello_html_6c3b8994.gif

имеет единственный корень?

Решение. Введем новую переменную hello_html_6f7dfdb2.gif тогда уравнение примет вид: hello_html_m2c8b3686.gif Это квадратное уравнение при t > 0 имеет единственный корень в двух случаях:

1) если его дискриминант D = 0 и корень квадратного уравнения положительный;

2) если дискриминант D > 0 и только один корень квадратного уравнения положительный. В этом случае квадратное уравнение имеет два корня, но показательное уравнение имеет единственный корень.

Рассмотрим первый случай. Найдем дискриминант:

D = hello_html_m3001be7f.gif

Решим квадратное уравнение hello_html_m40da2594.gif получим, что m = 4 или

m = − 1. При каких значениях параметра m квадратное уравнение имеет единственный корень t = 2 > 0, следовательно, первоначальное показательное уравнение также будет иметь единственный корень.

Рассматривая второй случай, решим квадратное неравенство

( D > 0 ) : hello_html_36b44e93.gifhello_html_m70716727.gif

Для того чтобы один корень квадратного уравнения был положительным (при условии существования двух корней), второй должен быть отрицательным или равным нулю. Рассмотрим отдельно каждый из случаев.

Если корни имеют разные знаки, значит, их произведение отрицательно, поэтому, применяя теорему Виета, получим hello_html_m26f4f765.gifhello_html_6fd21b7c.gifРешая последнее неравенство, получим 0 < m < 3.

Если один из корней равен нулю, то, подставив его в квадратное уравнение, получим, что второй может быть найден из условия hello_html_m3489ebe1.gifhello_html_m7682bd8f.gif или hello_html_m681d33c0.gif

Объединяя все возможные значения параметра m, получим, что данное показательное уравнение имеет единственный корень при hello_html_m641d71e5.gif

Ответ: [0; 3] hello_html_m1892df5d.gif {-1; 4}.


Задание 12.

Решите неравенство hello_html_m1ab84e32.gif.

Решение. По правилу 2:

hello_html_m1ab84e32.gifhello_html_m22abdbdb.gif


hello_html_m6ab5703a.gif

hello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m2abbad26.gifhello_html_5f0e03ae.gif

hello_html_m22abdbdb.gifhello_html_103f5462.gif.





Ответ: hello_html_m5d6baf75.gif







Используемая литература

  1. А.Г. Мордкович. Алгебра – 10-11: Часть I учебник. / М. Мнемозина, 2009.

  2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра –10-11: Часть II задачник. / М. Мнемозина, 2009.

  3. Алгебра. 10-11 класс. Методическое пособие для учителя.  Мордкович А.Г. М.: 2008.

  4. Алгебра. 10-11 класс. Самостоятельные работы.  Александрова Л.А. 9-е изд., М. :2008.

  5. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2013г.

  6. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г.

  7. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2015г.

  8. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2014г.

  9. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2015г.

  10. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2016г.

  11. Журнал математика в школе. М.: 2013

  12. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике «Решение показательных уравнений». С.С.Самарова.М.:2014.

  13. Математика для учителей и учащихся. Показательные уравнения и неравенства.В.И.Тишин.М.:2013

  14. http://fipi.ru/

  15. http://alexlarin.net/








Общая информация

Номер материала: ДВ-194902

Похожие материалы