Методическая разработка открытого урока по математике "Экстремумы функции. Исследование функции на экстремумы по I производной"

 

Поурочный план № 49

Предмет:  математика

 № урока 49

Дата проведения урока 21.12.2016   Группа  И-61

Тема урока:  Экстремумы функции. Исследование функции на экстремумы по I производной Цели урока: 

Образовательная: определить необходимые и достаточные условия экстремумов функции, вывести алгоритм нахождения максимумов и минимумов функции. Дать понятия стационарной и критической точки.  Научить студентов находить экстремумы функции по первой производной, строить схематически график функции по значениям и знаку производной. Закрепить и проверить знания и умения нахождения производной.

Развивающая:  Развивать навыки самостоятельной работы, речевой культуры студентов, формировать способности анализировать, обобщать полученные знания, логически мыслить, проверять результаты. Воспитательная:  Воспитывать у студентов организованность, уверенность в своих знаниях. активизировать интерес к получению новых знаний; трудолюбие и аккуратность в выполнении работы.

Компетенции: 

Базовые:

БК 2-работать качественно на результат;

БК5 Собирать и систематизировать необходимую информацию; Тип урока  комбинированный

Оборудование интерактивная доска, опорный конспект Межпредметные связи: физика Методы обучения:

Ø  по источникам передачи и приобретения знаний и умений: словесные – беседа; наглядный – демонстрация наглядных пособий (ЦОР); практические (выполнение практических заданий на объяснения);

Ø  по дидактическим задачам:  закрепление, проверка, применение знаний, навыков и умений;

Ø  по характеру познавательной деятельности студентов: репродуктивный (способствует усвоению ЗУН через воспроизведение действий по применению знаний на практике по заданному алгоритму);  

Ø  по        степени           управления    учебной          работой:         под      руководством преподавателя; самостоятельная работа студентов в малых группах;

Структура урока:

1.  Организационный момент 2  мин.

2.  Сообщение темы и  постановка целей урока 3 мин.

3.  Проверка домашнего задания 20 мин.

4.  Актуализация опорных знаний студентов (при необходимости) 5 мин.

5.  Изучение нового материала 20 мин.

6.  Закрепление 25 мин.

7.  Задание на дом 2 мин.

8.  Итоги урока 3 мин.

Ход урока

№ п/п	Этап урока	Содержание этапа
1.	Организационный момент	Приветствие.  Отметка отсутствующих.  Объяснение работы по подгруппам.  Критерий оценивания
2.	Сообщение темы и  постановка целей урока	Разгадка ребусов. Сообщение темы урока: « Экстремумы функции. Исследование функции на экстремумы по I производной» Постановка целей урока: 1.      Закрепить понятия экстремумов функции 2.      Определить необходимое и достаточное условие экстремумов функции 3.      Определить понятие стационарных и критических точек 4.      Научиться решать задачи на отыскания экстремумов функции
3.	Проверка домашнего задания	Закрепление и проверка знаний и умений нахождения производной. (Работа с интерактивной доской) 1.      Таблица производных (заполнение таблицы, проверка результатов) 2.      Правила дифференцирования: Фронтальная работа, сопоставление функции и производных, решение примеров  у доски. 3.      Производная сложной функции (сопоставление функции и производных) 4.      Промежутки возрастания и убывания функции (Определить промежутки возрастания и убывания функции, Указать промежутки в которых производная больше (меньше) нуля). -  работа в группах (Приложение 1) 5.      Определит положение касательной к графику функции  - работа в группах. (Приложение 1)
4.	Актуализация опорных знаний студентов (при необходимости)	Фронтальный опрос:  a.       Что такое точка максимума? b.      Что такое точка минимума? c.       Что называется экстремумами функции?

5.

Изучение нового материала

План 1.      Необходимое условие экстремума функции 2.      Достаточное условие экстремума функции 3.      Алгоритм исследования  функции на экстремумы 4.      Решение прямых и обратных задач 1.    Необходимое условие экстремума функции Если xо – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка). 2.    Достаточное условие экстремума  функции Пусть xо – критическая или стационарная точка.  Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак плюс (+) на минус (-), то xо – точка максимума: xо – точка максимума, y = f(xо) – максимум. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак минус (-) на плюс (+), то xо– точка минимума: xо – точка минимума, y = f(xо) – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет 3.    Алгоритм исследования  функции на экстремумы: 1. Найти область определения 2.                Найти производную f '(х). 3.                Найти стационарные (f '(х)=0) и критические (f '(х) не существует) точки функции у=f(х). 4.                Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. 5.                Вычислить значения функции в точках максимума и минимума 4. Решение прямых и обратных задач Пример 1. Исследовать функцию на экстремумы. Определить промежутки возрастания и убывания. y = x3 – 48x + 17 Пример 2. Исследовать функцию на экстремумы. Определить промежутки возрастания и убывания. Пример 3. Построить эскиз графика функции, зная что:

6.	Закрепление	Работа по группам  (использование опорного конспекта).  Пример задания одной команды: (Приложение 1) 1.      Найдите максимумы и минимумы функции, промежутки возрастания и убывания: 2.      Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами                                                                                           )     (Дополнительное задание) 3.      Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы Индивидуальная работа (использование опорного конспекта). Найти промежутки возрастания  и убывания функции. Точки максимума и минимума. «3» «5» 1.            1. 2.     2. 3.                                                                                                               3. 4.                                                                                                               4.   «4»         5. y6. 1.                                                             . 7. yx 8. 2.                                                             . 3.9.
		5. 6.    Фронтальная работа (соотнесение вопроса и ответа).
7.	Задание на дом	1.                  Базовый опорный конспект (составить конспект) 2.                  Абылкасымова З.Н. Алгебра и начала анализа 10 класс. 2014  §18, № 268, 279, 277 (а,б)
8.	Итоги урока	Подведение итогов и выставление оценок

Преподаватель                              Толпегина Н.Ю.

		Команда «Треугольники»
		I      Повторение изученного раннее 1.      Определите промежутки убывания функции:   2.      В каких точках графика функции касательная к нему  1) горизонтальна ? 2)  образует с осью Ох острый угол? 3)  Образует с осью Ох тупой угол?   II   Закрепление нового материала Работа в группе 4.      Найдите максимумы и минимумы функции, промежутки возрастания и убывания:   5.      Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами                                                                                           )     Дополнительное задание 6.      *Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы  Индивидуальная работа Выполнить индивидуальное задание под номером указанным на листке ответа

		Команда «Квадраты»
		I      Повторение изученного раннее 1.        Определите промежутки возрастания функции:   2.        В каких точках графика функции касательная к нему  1) горизонтальна ? 2)  образует с осью Ох острый угол? 3)  Образует с осью Ох тупой угол?   II   Закрепление нового материала Работа в группе 1.        Найдите максимумы и минимумы функции, промежутки возрастания и убывания:   2.        Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами Дополнительное задание 3.        *Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы Индивидуальная работа Выполнить индивидуальное задание под номером указанным на листке ответа

		Команда «Круги»
		I      Повторение изученного раннее 1.      Укажите промежутки в которых производная функции > 0   2.      В каких точках графика функции касательная к нему  1) горизонтальна ? 2)  образует с осью Ох острый угол? 3)  Образует с осью Ох тупой угол?   II   Закрепление нового материала Работа в группе 1.      Найдите максимумы и минимумы функции, промежутки возрастания и убывания:   2.      Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами                                                                       Дополнительное задание 3.      *Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы Индивидуальная работа Выполнить индивидуальное задание под номером указанным на листке ответа

		Команда «Ромбы»
		I      Повторение изученного раннее 1.        Укажите промежутки в которых производная функции > 0   2.        В каких точках графика функции касательная к нему  1) горизонтальна ? 2)  образует с осью Ох острый угол? 3)  Образует с осью Ох тупой угол?   II   Закрепление нового материала Работа в группе 1.        Найдите максимумы и минимумы функции, промежутки возрастания и убывания:   2.        Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами Дополнительное задание 3.        *Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы Индивидуальная работа Выполнить индивидуальное задание под номером указанным на листке ответа

Тема: «Экстремумы функции. Исследование функции на экстремумы по I производной»

Экстремумы функции

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x₀) > f(x).

 

Рис 1 Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x₀) < f(x).

 

Рис 2

Точки максимума и минимума – называются точками экстремума функции

1.                      Необходимое условие экстремума функции Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная f´, то она равна 0: f´(x₀) = 0.

Если x_о – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

На рисунки 1 производная функции равно нулю f ‘(x₀)=0. А на рисунке 2 производная функции в точке x₀ не существует, так как невозможно провести касательную к графику функции в этой точке.

2.                      Достаточное условие экстремума функции Пусть x_о – критическая или стационарная точка. 

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку x_о меняет знак плюс (+) на минус (), то x_о – точка максимума: x_о – точка максимума, y = f(x_о) – максимум.

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку x_о меняет знак минус (-) на плюс (+), то x_о– точка минимума:

x_о – точка минимума, y = f(x_о) – минимум.

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

 

3. Алгоритм исследования  функции на экстремумы:

1.  Найти область определения

2.  Найти производную f '(х).

3.  Найти стационарные (f '(х)=0) и критические (f '(х) не существует) точки функции у=f(х).

4.  Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

5.  Вычислить значения функции в точках максимума и минимума

Пример 1. Исследовать функцию на экстремумы. Определить промежутки возрастания и убывания. y = x³ – 48x + 17  Решение:

1.      Найдем область определения  

2.      Найдем производную функцию 

 

3.      Найдем стационарные точки  

;

;

;

. Критических точек нет. 

4.  

Проверим знак производной на интервале:

 

  

5.  

Ответ: Максимум функции в точке (-4;273) Минимум функции в точке (4;-111)

Функция возрастает:  

Функция убывает:  

Пример 2. Исследовать функцию на экстремумы. Определить промежутки возрастания и убывания.

 

Решение:

1.      Найдем область определения  

2.      Найдем производную функцию 

 

3.      Найдем стационарные и критические точки . Стационарных точек нет, так как производная никогда не обратится в 0. 

Найдем критические точки в которых производная не существует это x=0 x=0 – критическая точка

4.      Проверим знак производной на интервале:

 

 

      5.                   

Ответ: Минимум функции в точке (0;0) Функция возрастает:  Функция убывает:  

Пример 3. Построить эскиз графика функции, зная что:

 

Решение:

 

Пример 4. Исследовать функцию на экстремумы. Определить промежутки возрастания и убывания.

 

Решение:

1.      Найдем область определения  

2.      Найдем производную функцию 

 

3.      Найдем стационарные точки  и критические точки . Стационарные точки:

;

. 

Критическая точка x=0. 

4.  

Проверим знак производной на интервале:

 

 

      5.                                  

 

Ответ: Максимум функции в точке (-5;-2) Минимум функции в точке (5;2)

Функция возрастает:  Функция убывает:  

Практические задания

1.      По графику определить промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума.

 

2.      Найти промежутки возрастания  и убывания функции. Точки максимума и минимума.

«3»

5.

6.

7.

8.

«4»

y

9.        . yx

10.     .

                           

14.  

«5»

10. .