Методическая разработка по геометрии 10-11 класса на тему "Методика обучения учащихся методу ортогональных проекций при решении задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми"

методическая разработка по геометрии 10-11 класса по теме:

«Методика обучения учащихся методу ортогональных проекций

 при решении задач на нахождение расстояния

между скрещивающимися прямыми»

составитель: Ишенина М.Г., учитель математики

лицей №36 ОАО «РЖД»

г. Иркутск, 2017

Введение

Основные способы решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

Определение: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к этим прямым.

СПОСОБ I.

Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, т.е. отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из этих прямых.

Применение первого способа достаточно ограничено: он хорошо применяется лишь в некоторых задачах, так как достаточно сложно определить и обосновать в простейших задачах точное, а в сложных - ориентировочное местоположение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Кроме того, при нахождении длины этого перпендикуляра в сложных задачах можно столкнуться с непреодолимыми трудностями.

СПОСОБ II.

Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Применение этого способа также ограничено в связи с тем, что если можно быстро построить (или найти уже готовую) проходящую через одну из скрещивающихся прямых плоскость, параллельную другой прямой, то затем построение перпендикуляра из любой точки второй прямой к этой плоскости (внутри многогранника) вызывает трудности. Однако в несложных задачах, где построение (или отыскивание) указанного перпендикуляра трудностей не вызывает, данный способ является самым быстрым и легким, и поэтому доступен.

СПОСОБ III.

Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые.

Применение этого способа крайне ограничено, так как плоскость, параллельную одной из прямых (способ II) строить легче, чем две параллельные плоскости, однако способ III можно использовать в призмах, если скрещивающиеся прямые принадлежат параллельным граням, а также в тех случаях, когда в многограннике несложно построить параллельные сечения, содержащие заданные прямые.

СПОСОБ IV.

Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых, на перпендикулярную ей плоскость (так называемый "экран") до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.

Общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым  хорошо виден лежащим в плоскости,  перпендикулярной к одной из прямых, при условии, что вторая прямая лежит в этой плоскости –  то есть, когда скрещивающиеся прямые перпендикулярны.

Если скрещивающиеся прямые не перпендикулярны, то общий перпендикуляр  к ним заменяют другим, равным ему отрезком – расстоянием между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость, перпендикулярную одной из двух прямых.

Данный способ имеет достаточно широкое применение. Для задач средней и повышенной трудности его можно считать основным. Нет необходимости применять его тогда, когда один из трех предыдущих способов работает проще и быстрее, так как в таких случаях способ IV может только усложнить решение задачи, или сделать его труднодоступным. Данный способ очень выгодно использовать в случае перпендикулярности скрещивающихся прямых, так как нет необходимости построения проекции одной из прямых на "экран".

Наиболее «выгодные» фигуры для быстрого нахождения общего перпендикуляра к перпендикулярным скрещивающимся прямым –  прямые призмы (их боковые рёбра перпендикулярны к плоскости оснований). Плоскость нижнего основания удобна для использования в качестве плоскости проекций.

      Каждый из способов позволяет решить самую главную часть задачи - построение отрезка, перпендикулярного обеим скрещивающимся прямым (для вычислительной же части задач деление на способы не требуется).

Методика обучения учащихся методу ортогональных проекций

 при решении задач на нахождение расстояния

между скрещивающимися прямыми

Теоретической базой является методика обучения решению текстовых задач (по О.И. Плакатиной):

·       методы явно вводятся в содержание обучения;

·       формирование любого метода осуществляется в течение длительного времени поэтапно;

·       целенаправленно формируется ориентировочная основа деятельности по применению метода;

·       при сообщении учащимся сведений о методах каждый описывается по общим параметрам:

- в любом методе выделяются его объективная и субъективная стороны;

- метод характеризуется формой и способом его реализации;

- раскрывается основная идея метода;

·       прежде чем ставить задачу овладения методом в целом, необходимо обеспечить освоение его отдельных компонентов, которые тоже явно вводятся в содержание обучения;

·       при обучении компонентам метода используется методика формирования учебных действий;

·       учащиеся знакомятся с областью применения каждого из изучаемых методов.

Характеристика метода ортогональных проекций при решении задач

на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

Суть метода: метод используется для отыскания расстояния между скрещивающимися прямыми.

Идея нахождения расстояния методом проекций:

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от  точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость до проекции другой прямой на эту плоскость.

Объективная сторона метода (теоретическая основа):

- понятие скрещивающихся прямых;

-  понятие расстояния между скрещивающимися прямыми;

-  понятие расстояния от точки до прямой на плоскости и в пространстве;

-  понятие ортогональной проекции точки на плоскость, ортогональной проекции прямой на плоскость;

- понятие плоскости, перпендикулярной к данной прямой, как следствия понятия прямой, перпендикулярной плоскости;

- признак перпендикулярности прямой и плоскости;

-  способы вычисления сторон и длины высоты в прямоугольном  и равнобедренном и произвольном треугольниках.

 Субъективная сторона метода (компоненты метода):

1.     Выполнение анализа задачи, обоснование целесообразности применения метода проекций как возможного или оптимального метода решения:

Ø наличие скрещивающихся прямых;

Ø выявление особенностей данной фигуры – установление  перпендикулярности всевозможных отрезков в фигуре;

Ø затруднение или невозможность найти в пределах фигуры отрезок, непосредственно являющийся моделью расстояния между данными скрещивающимися прямыми;

2.     Выявление возможности  и построение плоскости, перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых:

·       нахождение прямой, перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых;

·       нахождение или построение второй прямой перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых, не параллельной первой найденной прямой;

·       в случае скрещивания найденных прямых  -  замена одной из найденных прямых другой,  параллельной ей прямой, пересекающейся со второй найденной прямой;

·       построение через две найденные пересекающиеся прямые искомой плоскости (экрана) проекций;

3. Построение ортогональных проекций скрещивающихся прямых на плоскость проекций;

4. Построение на плоскости проекций расстояния от точки до прямой;

5. Анализ числовых данных задачи, выбор способа вычисления длины требуемого отрезка и  вычисление искомого расстояния.

Методика обучения учащихся методу ортогональных проекций при решении задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

                                                                                                                                      I.            Подготовительный этап

Цель: создание базы для освоения метода ортогональных проекций.

Упражнения на данном этапе на систематизацию знаний, умений и навыков учащихся по данному вопросу.

Понятие скрещивающихся  прямых:

Учащиеся должны уметь распознавать на чертежах и моделях скрещивающиеся прямые, и доказывать их скрещивание, используя определение и признак.

Определение: Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости.

Иначе говоря, скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести плоскость.               

Признак скрещивающихся прямых: Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Упражнение 1. Укажите взаимное расположение двух выделенных на рисунке прямых.

                                  

       

               

                                                                     

Понятие расстояния между скрещивающимися прямыми

Учащиеся должны иметь понятие о расстоянии между двумя точками, расстояния от точки до прямой, расстояния между параллельными прямыми, так как на этих понятиях основывается понятие расстояния между скрещивающимися прямыми. В перечень простейших задач о нахождении расстояния полезно включать параллельные прямые и пересекающиеся прямые.

Определение: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к этим прямым.

Общий перпендикуляр
к скрещивающимся прямым
 хорошо виден лежащим в плоскости,  перпендикулярной к одной из прямых, при условии, что вторая прямая лежит в этой плоскости –  то есть, когда скрещивающиеся прямые перпендикулярны

Наиболее «выгодные» фигуры для быстрого нахождения общего перпендикуляра к перпендикулярным скрещивающимся прямым  –  прямые призмы (их боковые рёбра перпендикулярны к плоскости оснований).

Упражнение 1. Нахождение расстояния по определению.

1. Указать для прямой AA₁ скрещивающиеся прямые.

2. Найти общий перпендикуляр и дать этому обоснование для прямых: а) AA₁ и BC; б) AA₁ и BD; в) AB и DD₁; г) AB и DC₁.

3. Найти расстояние от прямой AA₁ до прямой: а) CD; б) C₁D₁; в) B₁C₁; г) DC₁; д) D₁C; е) BD.

Упражнение 2. Назовите все пары скрещивающихся (т.е. принадлежащих скрещивающимся прямым) рёбер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар рёбер имеет тетраэдр?

 Понятие расстояния от точки до прямой

Определение: Расстоянием от данной точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной прямой.

Упражнение 1. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки А до прямой BC_.          

 Здесь учащиеся должны увидеть и обосновать то, что отрезок АВ является перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую  ВС и, следовательно, его длина является искомым расстоянием от точки А до прямой ВС.

Например, можно сказать, что грань ABCD является квадратом. Следовательно,  АВ является перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую ВС. Искомое расстояние равно длине этого перпендикуляра и равно 1. 

Если мы ограничимся решением только этой задачи, то этого будет недостаточно для формирования у всех учащихся устойчивых представлений о нахождении расстояния от точки до прямой в пространстве. Необходимо предложить учащимся серию подобных задач.

Упражнения. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки А до прямой: а) CD; б) BB₁;  в)DD₁; г) А₁В₁; д) A₁D_1.          

Серия упражнений. Вместо точки А можно выбирать любую другую вершину куба.

Хорошо, если учащиеся сами увидят, что все эти задачи аналогичны и отличаются только расположением букв, обозначающих вершины куба.

Отметим, что особенностью предлагаемых задач является то, что они хорошо клонируются. Мы рассматриваем точки и прямые на примере куба, но вместо куба можно взять прямоугольный параллелепипед, правильную треугольную или шестиугольную призму, пирамиды и т.д. Каждый учитель, по аналогии с предложенными задачами, может придумывать свои задачи.

Упражнение 3. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки А  до прямой:  а) CD₁; б) B₁D₁; в) BD; г) BA₁; д) DA_1.

Понятие плоскости, перпендикулярной данной прямой

как следствие понятия прямой, перпендикулярной данной плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Определение: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следствие: Плоскость будет перпендикулярна к прямой, если в этой плоскости найдутся две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной прямой.

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна самой наклонной.

 Для решения задач на доказательство перпендикулярности плоскости и прямой  от учащихся требуется умение объяснения (по необходимости) перпендикулярности прямой и плоскости, а также знание и применение свойств конкретных фигур (например, свойств диагоналей и сторон квадрата) и конкретных отрезков (бокового ребра прямой призмы, высоты фигуры, апофемы грани, свойство медианы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию).

Упражнение 1. В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90⁰. Прямая BD перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что CD   AC.

Упражнение 2. Прямая MB перпендикулярна сторонам АВ и ВC треугольника АВС. Определите вид треугольника MBD, если D – произвольная точка прямой АС.

Упражнение 3. Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости

АМО; б) МО    BD.                                                                                                                                                                                              

Упражнение 4. Из точки М проведён перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD  и MCD прямоугольные.

Упражнение 5. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки А до прямой BC_1.

Здесь для доказательства перпендикулярности прямых АВ и BC₁ можно воспользоваться признаком перпендикулярности прямой и плоскости (тем, что прямая АВ перпендикулярна плоскости BСC₁ и, значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости). Искомое расстояние равно длине отрезка АВ и равно 1.

    Упражнения. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки  А  до     прямой  a) DC₁б) A₁C₁.

Серия упражнений. Вместо точки А можно брать любую другую вершину куба.

Упражнение 4. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки А  до прямой:  а) DB₁; б) CA_1.

Упражнение 5. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки А  до прямой СB₁. 

В этой задаче требуется изобразить (построить) искомое расстояние (перпендикуляр).

Заметим, что треугольник  ACB₁ равносторонний и, следовательно, его медиана АМ будет высотой. Таким образом, для построения искомого перпендикуляра достаточно отметить середину М отрезка CB₁ и соединить её с точкой А.

Вычисление длины отрезка АМ: дважды  применить теорему Пифагора. Так как стороны треугольника ACB₁  равны         , то искомое расстояние будет равно         .

Способы вычисления сторон и длины высоты в прямоугольном  и равнобедренном и произвольном треугольниках.

Упражнение 1.

			122

 

    Вычислите высоту треугольника по данным рисунков.

Способы вычисления:                  где                   или

 

    Для прямоугольного треугольника

	14

 

Понятие ортогональной проекции прямой на плоскость

Ортогональное проектирование точек на плоскость – это проектирование, при котором проекционные линии перпендикулярны плоскости проекций.

Точка А₁       плоскости α  называется проекцией точки  А на плоскость α, если  AA₁ -перпендикуляр к плоскости α, (особый случай - если точка лежит  в плоскости α, то она сама  является своей проекцией на плоскость α).

Ортогональное проектирование прямой на плоскость α.

Отметим, что при ортогональном проектировании прямой на плоскость достаточно спроецировать на эту плоскость две её точки.

1 случай: прямая, не параллельная плоскости проекций (пересекающая плоскость проекции), пересекает свою проекцию в точке пересечения с плоскостью.

При этом  чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно спроецировать любую точку прямой на плоскость, а затем провести прямую через проекцию этой точки и точку пересечения прямой с плоскостью. Полученная прямая и будет проекцией данной прямой на плоскость.

2 случай:  прямая, параллельная плоскости проекции, параллельна своей проекции;

Особый случай: прямая, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется в точку  своего пересечения с данной плоскостью;

Особый случай: прямая, лежащая в плоскости проекций, проецируется сама в себя.

Предписание

     Чтобы построить ортогональную проекцию прямой  a  на плоскость α, нужно:

1.     Спроецировать любые две  точки прямой a на плоскость α;

2.     Провести прямую через проекции этих точек на плоскость α.

Чтобы построить ортогональную проекцию прямой  a, пересекающую плоскость α на   плоскость α, нужно:

1.     Спроецировать любую  точку  прямой  a  на плоскость α;

2.     Провести прямую через проекцию этой точки и точку пересечения прямой  a с плоскостью α.

Упражнение 1. Постройте проекции прямой a на плоскость α, если:

а)  α  - плоскость нижнего основания;

б)  α - плоскость сечения

 

 

 

                                                                                                                                      II.            Мотивационный этап

Цель: убедить учащихся в необходимости овладения методом проекций.

На данном этапе начинается процесс введения метода. Учащимся необходимо предложить задачу, сводящуюся к затруднительному  применению метода параллельных плоскостей на «неудобной» фигуре, например, пирамиде. Потом показать целесообразность применения метода проекций.

Задача. Все рёбра треугольной пирамиды SABC равны а.

Найдите расстояние между боковым ребром SC и скрещивающимся с ним ребром основания AB.

Анализ условия задачи: В треугольной пирамиде боковые рёбра не перпендикулярны к плоскости основания. В задании представляется затруднительным построение параллельной плоскости, так как она будет выходить за пределы фигуры. Проблематично будет указать и отрезок, являющийся общим перпендикуляром к обеим прямым. Поэтому целесообразно попробовать решить задачу новым способом – способом проекций.

Мотивация к применению метода проекций: фигура не имеет перпендикулярных граней.                                Суть метода:

1.    Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся   прямых;

2.    Проецируем каждую прямую на эту плоскость;

3.    Расстояние между проекциями будет расстоянием между                                                       скрещивающимися прямыми.

Алгоритм  решения

1.     Поиск и построение плоскости, перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых;

2.     Построение проекций прямых на плоскость;

3.     Проведение перпендикуляра от точки к прямой в плоскости проекций;

4.      Вычисление  длины построенного перпендикуляра.

РАБОТА ПО АЛГОРИТМУ

1 шаг: поиск и построение  плоскости, перпендикулярной к одной из прямых

1.     Ищем две непараллельные прямые, перпендикулярные к одной из двух скрещивающихся прямых;

2.     Через две пересекающиеся прямые проводим плоскость α - это и есть искомая плоскость проекций.

 В нашем случае:

1.     Выбираем одну из прямых, например, AC;

2.     CH       AC (высота пирамиды)

3.     BE     AC (высота основания)

CH      BE             = (ESB),

AC         (признак      -  сти прямой и плоскости)

2 шаг: построение проекций скрещивающихся прямых на плоскость

3 шаг: проведение перпендикуляра от точки к прямой в плоскости проекций

                  В нашем случае:

                  EM        SB

4 шаг: вычисление длины полученного перпендикуляра

                                                                                                                              III.            Ориентировочный этап

Цель: формирование ориентировочной основы деятельности по применению метода ортогональных проекций, то есть разъяснение алгоритма данного метода, его компонентов.

На данном этапе необходимо сообщить основные сведения о применении данного метода. 

Задача

Ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся апофема и ребро основания.

Анализ условия задачи: фигура не имеет перпендикулярных граней. Поэтому целесообразно попробовать решить задачу методом проекций. При этом можно рассматривать два случая расположения скрещивающихся рёбер (задача  имеет два решения).

Алгоритм  решения

1.     Поиск и построение плоскости, перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых;

2.     Построение проекций прямых на плоскость;

3.     Проведение перпендикуляра от точки к прямой в плоскости проекций;

4.      Вычисление  длины построенного перпендикуляра.

Задача (1-й случай)

РАБОТА ПО АЛГОРИТМУ

1 шаг: поиск и построение  плоскости, перпендикулярной к одной из прямых

1.     Ищем две непараллельные прямые, перпендикулярные к одной (AD) из двух скрещивающихся прямых – SO и DC;

2.     Через две пересекающиеся прямые проводим плоскость α - это и есть искомая плоскость проекций;

3.     Примечание: для проведения плоскости одну из прямых заменили ей параллельной (DC на HO);

2 шаг: построение проекций скрещивающихся прямых на плоскость(H и SO);

3 шаг: проведение перпендикуляра от точки к прямой в плоскости проекций (ОН);

4 шаг: вычисление длины полученного перпендикуляра.

Задача (2-й случай)

Ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся апофема и ребро основания.

Анализ условия задачи: фигура не имеет перпендикулярных граней. Поэтому целесообразно попробовать решить задачу методом проекций.

РАБОТА ПО АЛГОРИТМУ

1        шаг: поиск и построение  плоскости, перпендикулярной к одной из прямых

1.     Ищем две непараллельные прямые, перпендикулярные к одной из двух скрещивающихся прямых;

2        Через две пересекающиеся прямые проводим плоскость α - это и есть искомая плоскость проекций

3        Примечание: для проведения плоскости одну из прямых заменили ей параллельной!

2 шаг: построение проекций скрещивающихся прямых на плоскость

3 шаг: проведение перпендикуляра от точки к прямой в плоскости

проекций (РК).

4 шаг: вычисление длины полученного перпендикуляра.

                                           IV.            Этап первоначального  освоения метода учащимися

Цель: формирование отдельных компонентов метода ортогональных проекций для отыскания расстояния между скрещивающимися прямыми (выделенных, как субъективная сторона метода):

Задача:  Ребро куба равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба.

Анализ условия задачи: скрещивающиеся прямые не перпендикулярны  - мотивация к применению метода проекций.

      Проблема построения плоскости ортогональной проекции существует. Поиск   положения плоскости можно осуществить, руководствуясь предписанием:

Предписание для построения плоскости проекций

Выявление возможности  и построение плоскости, перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых:

·       нахождение прямой, перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых;

·       нахождение или построение второй прямой перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых, не параллельной первой найденной прямой;

·       в случае скрещивания найденных прямых  -  замена одной из найденных прямых другой,  параллельной ей прямой, пересекающейся со второй найденной прямой;

·       построение через две найденные пересекающиеся прямые искомой плоскости (экрана) проекций;

Примечание:

Рекомендуется проецировать прямые на плоскости сечения;

Плоскость сечения рекомендуется начинать строить с прямой, перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых, а затем строить проекцию на эту плоскость другой прямой, не параллельной первой;

Хорошо получаются случаи, когда одна из скрещивающихся прямых лежит в плоскости проекций, а вторая перпендикулярна этой плоскости.

ПРИМЕР: Случай, когда одна из прямых перпендикулярна плоскости основания.

      Пусть даны две скрещивающиеся прямые а и b. Прямая а перпендикулярна плоскости α. Найдем расстояние между этими прямыми.

Порядок выполнения работы.

1.     Так как плоскость α перпендикулярна прямой а, то ортогональная проекция последней на α есть точка В₁ пересечения α и а.

2.     Искомое расстояние между а и b равно расстоянию от В₁ до прямой с, где с – ортогональная проекция b на α.

3.     Пусть В₁В₂ -   перпендикуляр, опущенный в плоскости α из точки В₁ на прямую с. Этот отрезок и является расстоянием между скрещивающимися прямыми a  и b.

Решение задачи по алгоритму

РАБОТА ПО АЛГОРИТМУ

1       шаг: поиск и построение  плоскости, перпендикулярной к одной из прямых

1.     Ищем две непараллельные прямые, перпендикулярные к одной из двух скрещивающихся прямых (DC, AD  к DC₁);

2.     Через две пересекающиеся прямые проводим плоскость α - это и есть искомая плоскость проекций

3.     Примечание: для проведения плоскости одну из прямых заменили ей параллельной (AD заменили на A₁D₁).

2 шаг: построение проекций скрещивающихся прямых на плоскость (Z и YD₁);

3 шаг: проведение перпендикуляра от точки к прямой в плоскости

проекций (KZ);

4 шаг: вычисление длины полученного перпендикуляра:

                                                                                                      V.            Этап формирования метода в целом

Цель: синтезирование отдельных умений, сформированных на предшествующих этапах, в целостный метод ортогональных проекций для отыскания расстояния между скрещивающимися прямыми.

На данном этапе возрастает доля самостоятельно решенных учащимися задач, так как они могут на всех этапах решения и особенно при поиске решения руководствоваться предписанием и знаниями о методе, а учитель побуждает их к этому (задает вопросы: «Можно ли применить здесь данный метод?», «Почему?», «Какие вы знаете компоненты метода?» и другие).

Задача 1. В кубе с ребром а найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней.

Решение: Обозначим через АВСDА₁В₁С₁D₁ куб. Нужно найти расстояние между диагональю основания АС и диагональю боковой грани С₁D.                                                

                 Новый способ (по алгоритму).

1. Выбрав две прямые (СD₁ и BC, BC  заменяем на параллельную ей прямую B₁C₁) строим плоскость π, перпендикулярную DС₁.

2. Проекция DC₁ на π – С′, АС – А′С, где АА′ – перпендикуляр к π.

3. Из точки С′ восстанавливаем перпендикуляр к  А′C, C′K – искомое расстояние.                                                               

   Из                     найдем                                                       

                                                                       

Задача 2. 

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания а и высотой  h. Найти расстояние между высотой основания и непересекающейся с ней апофемой боковой грани.

Решение:

 Пусть SABC – данная пирамида. Найдем расстояние между высотой основания BL и апофемой SD боковой грани SBC.

Новый способ (по алгоритму)

1. Из точки S восстановим перпендикуляр SO  к плоскости (АВС).

2. Через точку О проведем прямую а, параллельную АС.

3. Поскольку BL перпендикулярно АС, то она перпендикулярна и а. Через точку S и прямую а построим плоскость, перпендикулярную BL.

4. Точка О – проекция BL на эту плоскость, SD′ – проекция SD на эту плоскость.

5. Из точки О опустим перпендикуляр на SD′, OH – искомое расстояние.

Отрезок  OH  находится из треугольника SOD′:

              

Серия упражнений:

При отработке метода полезно менять фигуры, в которых требуется найти расстояние между скрещивающимися отрезками прямых. Можно предложить серию задач на шестиугольную прямую призму. Перед этим целесообразно повторить свойства правильного шестиугольника, в частности обратить внимание на перпендикулярность некоторых отрезков,  диагоналей).

    

Задачи для тренировки:

1.     В четырехугольной пирамиде ABCDM, каждое ребро которой равно a, найдите расстояние между боковым ребром и непересекающейся с ним диагональю основания.

2.     В четырехугольной пирамиде ABCDM, каждое ребро которой равно a, найдите расстояние между апофемой и непересекающейся с ней стороной основания.

3.     В кубе с ребром a найти расстояние между непересекающимися диагоналями смежных граней.

V I. Контролирующий этап

Цель: контроль знаний по усвоению метода ортогональных проекций для отыскания расстояния между скрещивающимися прямыми.