Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по теме "Графические методы решения задач с параметрами." Содержание.

Методическая разработка по теме "Графические методы решения задач с параметрами." Содержание.

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Вступление



B представленной курсовой работе рассмотрены элементы графического исследования в задачах с параметрами с помощью метода сечения и метода областей.

Возрастающая популярность задач с параметрами объясняется тем, что теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека часто приводят к достаточно сложным уравнениям, неравенствам или их системам, содержащим параметры.

Необходимой частью решения подобных задач является исследование характера и конечного результата процесса в зависимости от значений параметров, причем часто оказывается, что решение зависит не от каждого параметра в отдельности, а от некоторого их характерного комплекса. B подобных случаях становится невозможным разбиение исходной задачи со многими параметрами на совокупность задач с одним из параметров. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими методами и скрупулезного анализа.

Нельзя отрицать, что для того, чтобы успешно решать задачи с параметрами, часто требуется «хотя и не слишком изощренное, но все-таки трюкачество» (Ф. Клейн, немецкий математик), решить задачу с параметрами - это значит установить, при каких значениях параметров задача имеет решения, и найти эти решения в зависимости от параметров, т.е. решение подобного типа задач должно сопровождаться своего рода исследованием. Именно необходимость проводить исследование значительно осложняет решение задач с параметрами, так как требует глубоких знаний различных разделов школьной программы и высокой логической культуры.

Необходимость представленной курсовой работы диктуется современными требованиями ЕГЭ, где задачи с параметрами представляют для выпускников школы наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане.

Задачи с параметрами чрезвычайно многообразны: задачи на исследование квадратичной функции, рациональных уравнений, иррациональных уравнений, логарифмических и показательных неравенств, тригонометрических уравнений, тригонометрических неравенств и т.д. Обычно учебные пособия по решению задач с параметрами строятся именно по категории вида уравнения или неравенства.

Особенность представленной курсовой работы состоит в том, что в ней сделана попытка решать самые разные категории уравнений и неравенств графическими методами. C этой целью проанализировано достаточно большое количество примеров на возможность их решения рассматриваемыми методами. Представленный в курсовой работе материал может быть использован учителем математики, как в кружковой работе, так и при непосредственной подготовке к ЕГЭ.

  1. Постановка задачи решения уравнений, систем уравнений

и неравенств с параметрами.

Пусть дано уравнение F(x, а) = 0. Если ставится задача отыскать все такие пары (x;a), которые удовлетворяют данному уравнению, то это уравнение с двумя переменными x и а .Однако относительно уравнения F(x,a) = 0 можно поставить и другую задачу. Дело в том, что если придать а какое-либо фиксированное значение, то заданное уравнение можно рассматривать как уравнение с одной переменной x. Решения этого уравнения, естественно, определяются выбранным значением а.

Если ставится задача для каждого значения а из некоторого числового множества A решить уравнение F(x, а) = 0 относительно x, то уравнение F(x, а) = 0 называется уравнением с переменной x и параметром a, а множество А-областью изменения параметра.

Уравнение F(x, а) = 0 - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения F(x, а) = 0 при различных конкретных значениях параметра а.

Если под областью изменениях параметра подразумевать (если не сделано специальных оговорок) множество всех действительных чисел, то задачу решения с параметром можно сформулировать следующим образом: решить уравнение F(x, а) = 0 переменной x и параметром а) - это значит, на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения F(x, а) = 0 при всех действительных значениях параметра.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

  1. Получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные и не содержащее параметров.

  2. Получится условие, лишенное смысла.

B первом случае значение параметра называется допустимым, а во втором -недопустимым.

Поэтому решить уравнение или неравенство, содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).

Решение задач с параметрами трудно «загнать» в какую-то одну схему, ибо перечень теоретических вопросов, возникающих при решении задач с параметрами, достаточно широк. Необходимой частью решения задач с параметрами является исследование, что усложняет основную стратегию математического образования в средней школе, которая нацеливает на развитие умений и навыков решения ограниченного ряда типовых задач, как правило, связанных с определённым набором стандартных алгебраических преобразований.

Чаще всего встречаются две постановки задач с параметрами:

  1. Для каждого значения параметра а решить уравнение (неравенство или систему);

  2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых решения уравнения (неравенства или системы) удовлетворяют некоторым заданным условиям.

В этом случае не требуется находить сами решения (в общем случае зависящие от параметра).



Пример 1.1

При всех значениях параметров a и b решить уравнение ax+b=0.

Решение: ax+b=0, hello_html_m419a5bae.gif

hello_html_m270508ad.gif

hello_html_739174cb.gif

hello_html_323f16cf.gif

Ответ: при аhello_html_2ff179d5.gif0, bhello_html_4cefa3b2.gifR x1= hello_html_m48b43785.gif;

при a=0, bhello_html_2ff179d5.gif0, xhello_html_2d381e9.gif,

при a=b=0 xhello_html_558c3090.gif;


Пример 1.2.

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 3ax2-2(3a-2)x+3(a-1)=0 имеет хотя бы один положительный корень.

Решение:

1. При a=0 заданное уравнение становится линейным и приобретает вид 4x-3=0hello_html_m71dc9304.gifx=hello_html_m64cdc343.gif, т. е. имеет единственный корень, который оказывается положительным.

2. При аhello_html_2ff179d5.gif0 заданное уравнение является квадратным и имеет корни x1hello_html_5eb9f8d8.gifx2, если его дискриминант неотрицателен:

D1=(3a-2)2-3a3(a-1)=4-3ahello_html_5476786c.gif0hello_html_m71dc9304.gifahello_html_m15bfd775.gif

По теореме Виета:

x1-x2=-p=hello_html_m11dbe4e6.gifx1x2=q=hello_html_acbfad5.gif

Существование двух положительных корней 0<x1<x2 задается системой:


hello_html_m2c06f1ac.gif hello_html_65292083.gif

Существование одного положительного и одного отрицательного корня x1<0<x2 задается системой:

hello_html_3cc03335.gif

Наличие нулевого корня соответствует: x1x2=q=0hello_html_77bc029.gif=0hello_html_m490ca8a3.gif

Для решения имеет объединение hello_html_5877bab8.gif

Ответ: hello_html_m4666d203.gif

Приведённые примеры показывают, что никаких специальных методов и приёмов решения задач с параметрами в них не использовалось, этапы решения не выходят за разделы школьной программы.




2. Метод сечений.



Целью данной работы являются графические исследования в задачах с парамет­рами. Для успешного применения графических методов решения задач необходимо уметь строить графики элементарных функций и выполнять графически простейшие операции над ними.

Основные правила преобразования графиков:

График функции y= f(x)+a получается из графика функции y= f(x) путем парал­лельного переноса на величину а вдоль оси Oy.

График функции y= f(x-a) получается из графика функции y= f(x) путем парал­лельного переноса на величину а вдоль оси Ox.

График функции y= k f(x) получается из графика y= f(x) путем растяжения в k раз по оси у при k>l и путем сжатия в 1/k раз при 0<k<l.

График функции y= f(kx) получается из графика функции y= f(x) путем сжатия в k раз по оси x при k>l и путем растяжения в 1/k раз при 0<k<l.

График функции y= - f(x) получается из графика y= f(x) зеркальным отражением относительно оси x.

График функции y= f(-x) получается из графика y= f(x) зеркальным отражением относительно оси у.

Графики многих функций, в том числе и таких, как y= |f(x)| и y= f(|x|), можно по­строить, последовательно применив изложенные выше правила.

Предположим, что уравнение (или неравенство), содержащее параметр, удалось привести к виду f(x)= g(x,a) (или f(x)> <g(x,a)), где f(x) и g(x,a) - достаточно изучен­ные функции, графики которых легко построить.

Тогда уравнение y1=f(x) определяет на координатной плоскости XOY некоторую кривую, а соотношение y2=g(x,a) - целое семейство кривых, в котором каждому допустимому значению параметра а соответствует одна кривая. При этом в зависимости от величины параметра а кривые семейства y2=g(x,a) могут занимать принципи­ально различные положения относительно кривой y1=f(x). Изучая сечение кривой y1(x) семейством кривых y2=g(x,a) при соответствующих им значениях параметра а, мы получаем возможность исследовать вопрос о количестве решений уравнения f(x)=g(x,a) в зависимости от параметра, правильно выбирать эти решения и исполь­зовать их для нахождения решений неравенств вида f(x)> <g(x,a). Типичными крити­ческими значениями параметров оказываются те, которые соответствуют точкам ка­сания графиков. При этом удобно исходить из соображения, что наклонная прямая y= k x+l касается параболы или гиперболы у=ⱷ(х) (у= ⱷ(х) - соответствующая квад­ратичная или дробно-линейная функция), если уравнение ⱷ(х)= k x+l имеет единст­венное решение (отметим, что полученное уравнение сводится к решению квадрат­ного уравнения).

Рассмотрим применение этого метода к решению конкретных задач, когда сече­ние производится семейством:

  • прямых, ломаных;

  • парабол, гипербол, окружностей.




Пример 2.1

При каких значениях параметра а уравнение х(х2-1)(х2-10)=а имеет три целочис­ленных корня? Найти эти корни. Решение.

Пhello_html_m1d0bad84.jpgри a=0 заданное уравнение имеет три целых корня x1,2=±1, х3=0. Рассмотрим случай, когда a ≠0. Построим график функции у=х(х2-1)(х2-10).




Из рисунка видно, что если заданное уравнение имеет целочисленные корни, от­личные от указанных выше, то либо два из них принадлежат интервалу (1; hello_html_m19ef6508.gif), а третий - интервалу (-∞;hello_html_m48b174e.gif), либо два корня принадлежат интервалу (hello_html_m48b174e.gif; -1), а третий – интервалу (hello_html_m48b174e.gif; +∞). Учитывая нечетность функции у, рассмотрим, напри­мер, только первый из возможных случаев.

B этом случае на интервале (1; hello_html_m19ef6508.gif) имеется два целых числа x=2 и x=3. Тогда y(2)= -36, y(3)= -24, т. е. y(2)≠y(3). Следовательно, в этом случае не может быть трех целочисленных корней.

Ответ: a=0, x1;2=±1, х3=0.

Пример 2.2

B зависимости от значений параметра а определить количество решений системы

hello_html_m64477397.gif

Решение. C геометрической точки зрения количество решений заданной системы - это количество точек пересечения при каждом фиксированном значении параметра а кривых, заданных уравнениями системы. При этом первое уравнение задает квадрат, а второе - семейство окружностей радиуса hello_html_612063ed.gif, (a>0), с центром в начале координат (при a=0 окружность вырождается в точку).

hello_html_m511b543b.jpg



Из рисунка видно, что при a=1, a=1/2 квадрат имеет с окружностью четыре общие точки. При 1/2<a<1 общих точек 8. При a<1/2 и a>l общих точек у квадрата и окружностей нет.

Ответ: a<1/2 и a>1, нет решений;

a<1/2, a=1, четыре решения;

1/2<а<1, восемь решений

.

Из двух рассмотренных примеров следует очевидное преимущество графического решения заданий с параметрами методом сечений. Возможное аналитическое решение приведенных заданий выглядело бы громоздким и затруднительным.

Ниже приводятся примеры решения различных уравнений и неравенств с параметрами методом сечений.





Пример 2.3

Для каждого значения параметра а решить неравенство

х4-ах2+1<0

Рассмотрим функции f(x)= х4+1 и g(xa)= ax2g(xa)>f(x). Построим графики этих функций

hello_html_39ca539b.jpg




Графики f(x) и g(xa) пересекаются в точках А, A1, B1, В.

Найдем эти точки, решив исходное неравенство. Параметр а должен быть

больше нуля, только в этом случае пересекаются графики f(x) и g(xa).

Введем новую переменную y=x2. у2-ау+1=0

hello_html_512eb246.gif



hello_html_m72c6c249.gif



Решения лежат на промежутке:

hello_html_m7c0e9d41.gif

hello_html_7c81dc37.gif


Ответ: при a<2 корней нет, при a>2 hello_html_m66199e48.gif;


Пример 2.4

Haйти все действительные значения k, при каждом из которых уравнение х2(4х+6)-2|х| hello_html_m344ee709.gif-3=3k имеет 2 корня.

Решение. Используя соотношение |x|=hello_html_219ab38d.gif, перепишем исходное уравнение в виде: x2(4x+6)-2 hello_html_m8a39491.gif-3=3k. Пусть

y= hello_html_13e3ca0a.gif. Тогда уравнение примет вид: y2 -2y-(3+3k)=0 Решим полученное квадратное уравнение относительно у: y2-2y-(3+3k)=0,D1=4+3k При k≥4/3 y= 1 ±hello_html_1e19342f.gif. Таким образом уравнение можно переписать в виде: hello_html_m67f558f9.gif=1±hello_html_1e19342f.gif. Пусть f(x)=hello_html_m31fdc548.gif, а g(x,k)=1±hello_html_1e19342f.gif.

Построим график f(x).

1. D(f)={4x3+6x2≥0}, x2(4x+6)≥0

hello_html_m1d02efd9.jpg

Следовательно, D(f)=[-1,5; +∞).

2. E(f)=[0; +∞).

3.Корни: x1=0, x2= -1,5. Т. к. x1- кратный, то кривая касается оси X в точке x=0.

4. Интервалы возрастания и убывания f(x) найдем, вычислив производную: f(х)=(12х2+12х)/(2hello_html_m67f558f9.gif). (12x2+12x)/(2hello_html_m67f558f9.gif)=0, x1=0, x2= -1. Определим знаки производной:

hello_html_4743106c.jpg

f(x)>0 при xhello_html_m1594dbc.gif(-∞; -1)U(0; +∞), следовательно, f(x) возрастает при xϵ[-1,5; -1] U[0; +∞). f(x)<0 при xϵ(-1; 0), следовательно,

f(x) убывает при xϵ[-1; 0].



Сhello_html_499cb50f.jpgледовательно, точки, в которых x= -1 и x=0, являются экстремумами функции. При x= -1 y=hello_html_7753eb57.gif. Поэтому точка (-1; hello_html_7753eb57.gif) - точка максимума f(x), а точка (0; 0) - точка минимума. Строим график функции f(x).

Строим линии g(x,k)=1±hello_html_1e19342f.gif. Это линии, параллельные оси X. Примем A=hello_html_1e19342f.gif.

Если A=0, то g(x,k)=1 и заданное уравнение имеет 3 корня.

При 0hello_html_7753eb57.gif-1 g(x,k)=1+A, g(x,k)=1-A. Каждая из этих прямых пересекает f(x) в трех точках, поэтому всего решений 6.

При A=hello_html_7753eb57.gif-1 g(x,k)= hello_html_7753eb57.gif, g(x,k)=2-hello_html_7753eb57.gif. B этом случае пять решений.

При hello_html_7753eb57.gif-1 g(x,k)=1+A, g(x,k)=1-A. Тогда уравнение имеет 4 решения, т. к. g(x,k)=1+A пересекает f(x) в одной точке, а g(x,k)=1-A - в трех.

Если A=1, то g(x,k)=0, g(x,k)=2, поэтому имеем три корня.

При A>1 линия g(x,k)=1-A не пересекает график f(x), а g(x,k)=1+A пересекает f(x) в одной точке, уравнение имеет одно решение.

Таким образом, нет таких А, и, следовательно, таких значений k, при которых исходное уравнение имеет 2 корня.

Ответ: нет решений.


Пример 2.5

Найти все действительные значения с, при каждом из которых уравнение х2(х-3)-2|x|hello_html_5a4b15e7.gif=2(c+1) имеет 2 корня. Решение.

Используя соотношение |x|=hello_html_219ab38d.gif, перепишем исходное уравнение:

х2(х-3)-2 hello_html_m439fbda9.gif=2с+2. Обозначим y= hello_html_4e65b095.gif, тогда уравнение примет вид: у2-2y2-(2c+2)=0. Решим его относительно у: D1=4+2c, y=hello_html_7753eb57.gif+hello_html_m1e3db68a.gif+2c при c≥-2. Первоначальное уравнение переписываем в виде: hello_html_4e65b095.gif=hello_html_7753eb57.gif±hello_html_m1e3db68a.gif+2c. Пусть f(x)=hello_html_4e65b095.gif, g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif+hello_html_m1e3db68a.gif+2c. Построим графики этих функций.

1) D(f)={x2(x-3)≥0}

hello_html_649a45d3.jpg

Следовательно, D(f)=[3; +∞).


2hello_html_m2ef05b6.jpg) E(f) [0; +∞).












Строим график g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif±hello_html_m1e3db68a.gif+2c. Это линии, параллельные оси X. Примем hello_html_m1e3db68a.gif+2c=A. Тогда g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif±A, A>0.

1. При A=0(c=-2) g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif, линия пересекает f(x) в одной точке.

2. При 0<A<hello_html_7753eb57.gif (-2<c<-1) g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif+A, g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif-A. Каждая из этих линий
пересекает
f(x) в одной точке, поэтому уравнение имеет 2 корня.

3. При A=hello_html_7753eb57.gif (c=-1) g(x,c)=2hello_html_7753eb57.gif, g(x,c)=0. Тогда уравнение также имеет 2 корня.

4. При A>hello_html_7753eb57.gif (c>-1) g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif+A, g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif-A, где g(x,c)=hello_html_672bbcda.gif-A не пересекает линию f(x), т. к. лежит ниже оси X. Следовательно, уравнение имеет 1 корень.

Таким образом, исходное уравнение имеет 2 корня при Aϵ(0;hello_html_672bbcda.gif]. Тогда с лежит в промежутке (-2;-1].


Ответ: cϵ(-2;-1].


Пример 2.6

Для каждого значения параметра а решить неравенство: x2 + ах +1 > 0

Для каждого значения параметра а рассмотрим функции f(x) = x2+1 и

g(x,a) = -ах. Графиком функции f(x) является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке с координатами (0;1).Функция g(x,a) порождает семейство прямых, проходящих через точку (0;0), непараллельных оси ОУ.

hello_html_2d3415d2.jpg

B зависимости от значений параметра а возможны три случая:

  • прямая не пересекает параболу.

  • прямая касается параболы.

  • прямая пересекает параболу в двух точках.

Найдём при каких значениях параметра а уравнение f(x) = g(x,а) имеет единственное решение (т.е. прямая касается параболы) Это имеет место тогда, когда дискриминант D уравнения x2+1 = -ах равен нулю.

f(x) = g(x,a)

x2 + 1 = - ах

x 2 + ах + 1 = 0

D = а2 - 4 = 0,

а = ±2

hello_html_m3f10fff3.gif

Следовательно

при |a|=2 прямая касается параболы и неравенство выполняется при всех x, кроме точек касания, x = ±1.

при |a| <2 парабола находится выше прямой g (х,а) и исходное неравенство выполняется при любом x.

при |a|>2 исходное неравенство выполняется при x2и х<x1,


hello_html_m4dbb1ee8.gif hello_html_15b549c1.gif

Ответ: 1) при |a| < 2 x ϵ R,

2) при |a|=2 x ϵ(-∞;-1)hello_html_2d7865cc.gif(-1;1)hello_html_66cbfe98.gif(1;+∞),

3) при |a| > 2 x ϵ (-∞; hello_html_7a955a6.gif)hello_html_2d7865cc.gif(hello_html_m7abfa054.gif; +∞);

Пример 2.7

Найти все с, при которых уравнение имеет 3 корня: 2-1|+|х2-х-2|=х2-3х+с

Для каждого значения параметра с рассмотрим функции

f(x)=|x2-l|+|x2-x-2|-x2 +3x и g=c. Рассматривая функцию f(x), мы находим необходимым раскрыть модули. Раскрывая модули, получаем три выражения:

при x ϵ (-∞ ;-l]U[2;+∞) получаем х2+2х-3

при x ϵ [l;2) получаем 2+4х+1

при x ϵ (-1;1) получаем -3х +4x+3

Графиком первого выражения является часть параболы с вершиной в точке (-1;-4), взятая в промежутке x ϵ (-∞;-1]U[2;+∞). Графиком второго выражения также является часть параболы, но ветви которой направлены вниз и с вершиной в точке (2;5), взятая при x ϵ [1;2). Графиком последнего выражения является часть парабо­лы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (2/3;13/3), взятая при x ϵ(-1;1).

Функция g порождает семейство прямых, параллельных оси OX. B зависимости от значений параметра с возможны несколько случаев: прямая может вообще не пе­ресекать график функции f(x), может пересекать его в одной, двух, трех и четырех точках. Для ответа нам надо найти те значения с, при которых существует три точки пересечения f(x) и g.

Ha рис. 3 хорошо видно, что таких точек две - это вершина параболы у=-3х2+4х+3 c=13/3 и при c=4.


hello_html_m4b83083e.jpg

Рис 3



Ответ: при c=4 и c=13/3 уравнение |x2 -1|+|x2 -x-2|=x2 -3х+с имеет три корня.


Пример 2.8


Найти все значения параметра а, при которых система


hello_html_1db98791.gif

имеет 2 решения.

Графиком функции f(x)= х22=1 является окружность с радиусом r=l и центром в точке (0; 0).

Графиком g(x)=y-|x|=a являются симметричные относительно оси Y лучи, выходящие из вершины (0; а). От а зависит величина сдвига вершины графика по оси yY относительно начала координат (0; 0).

hello_html_m4943bcc1.jpg

Эта система может иметь 3, 2, 1 решения или вообще не иметь решений. Ho, очевидно, что два решения система будет иметь только когда g(x) либо пересекает окружность (причем вершина должна лежать внутри окружности), либо касается ее внешним образом.

Если вершина y=|x|+a лежит на окружности, задаваемой функцией f(x), то система имеет либо три либо одно решение, следовательно, для расположения вершины g(x) нам подходит только внутренняя область окружности - yϵ(l; -1).

График функции g(x) также может единственным образом касаться окружности f(x). Т. к. угол между ветвями графика равен 90°, то угол между осями и отрезком AB графика будет равен 45°, следовательно, треугольник OAB - прямоугольный и равнобедренный. Если достроить данный треугольник до квадрата, то получим, что AB равен диаметру окружности f(x), т. е. равен 2. Очевидно, что по теореме Пифагора катет такого треугольника равен hello_html_7753eb57.gif. Значит, расстояние от вершины g(x) до начала координат равно |a|=hello_html_7753eb57.gif. Т.к. ветви нашего графика будут направлены вверх в любом случае, то вершина должна быть расположена ниже оси X. Следовательно, в данном случае a<0, a=-hello_html_7753eb57.gif.

Oтвет: aϵ{-hello_html_7753eb57.gif}hello_html_2d7865cc.gif(-l; 1).


Пример 2.9




Найти все значения параметра а, при которых система


hello_html_38325177.gif

имеет 3 решения.

Графиком f(x)= х22=2 является окружность с радиусом r= hello_html_7753eb57.gif и центром в точке (0; 0).

Графиком функции g(x)= |y|-x=a являются два луча, выходящие из вершины в точке (а; 0), симметричные относительно оси X.

hello_html_2a5d3ba.jpg

B зависимости от значения параметра а система может иметь 3, 2, 1, решение или не иметь решений вообще. B данном случае от а зависит величина сдвига графика |y|=x по оси X, т.е. а - расстояние вершины графика g(x) oт начала координат (0; 0).

Три решения система будет иметь в единственном случае - когда три точки функции g(x) будут лежать на окружности, а это возможно в нашем случае только когда вершина лежит на окружности, т. е. |a|=r=hello_html_7753eb57.gif. Ho так как ветви g(x) направлены вправо, то нам подходит только тот случай, когда a<0, значит, a= hello_html_7753eb57.gif.

Ответ: a=hello_html_7753eb57.gif


3. Метод областей



По-прежнему решим уравнение F(x,a)=0, где x - искомое значение, а -числовой параметр. Может оказаться, что при любом параметре уравнение F(x,a)=0 решений не имеет, либо для некоторых значений параметра уравнение имеет несколько решений, либо - бесконечное множество. Если каждому значению параметра aϵA соответствует только одно значение x, удовлетворяющее при этом а уравнению F(x,a)=0, то говорят, что а является на множестве A функцией переменной x, заданной неявно уравнением A(x,a)=0. Если на координатной плоскости xOa найдено множество упорядоченных пар чисел (x,a), удовлетворяющих уравнению F(x,a)=0, то нетрудно каждому числовому параметру a=const (-∞ поставить в соответствие действительные числа x этого множества, дающие решения уравнения.


Пример 3.1.

B зависимости от значений параметра а решить уравнение hello_html_4f13dd21.gif=2x-1.

Решение. Заданное уравнение равносильно системе

hello_html_m329da16e.gif


Построив в плоскости xOa график функции а(х)=4х2-8х+1 при условии x≥1/2, получаем кривую (часть параболы), которая есть геометрическое место точек (x,a), удовлетворяющих уравнению hello_html_4f13dd21.gif=2x-1 при x≥1/2.



Построив в плоскости xOa график функции а(х)=4х2-8х+1 при условии x≥l/2, получаем кривую (часть параболы), которая есть геометрическое место точек hello_html_m1320610d.gif, удовлетворяющих уравнению hello_html_4f13dd21.gif=2x-1 при x≥l/2.

hello_html_64c0eabb.jpg
























Ответ: a<-3, нет решений; a=-3, x=l;

-3hello_html_26647ce0.gif)/2 a>-2, x=(2+hello_html_m1b0513f5.gif)/2



Для сравнения приведем аналитический способ решения того же задания.


hello_html_m301fb23.gif hello_html_m6485dd52.gif
hello_html_57095b9f.gif


D1=16-4(1-a)=16-4+4a=12+4a

При a=-3, x=1.

При a>-3 заданное уравнение будет иметь два решения x1<x2

При тех а, при которых совместна система

hello_html_526e733b.gif

Решением этой системы является интервал aϵ(-3; -2]. Наконец, заданное уравнение будет иметь только один корень х2, если x1=1/2, а x2=1/2. B этом случае придется решить систему

hello_html_35d977d7.gif


Решением этой системы является интервал aϵ(-2; +∞). Из рассмотренных решений следует явное преимущество графического способа.



Пример 3.2

B зависимости от значений параметра а решить неравенство х+hello_html_m523087.gif>1-x и найти все значения а, при которых оно справедливо для любого x из промежутка [1/4; 1].

Решение: Исходное неравенство равносильно неравенству hello_html_4b2ba18d.gif>1-x, которое равносильно совокупности двух систем:


hello_html_462d790d.gif

hello_html_md8453e2.gif



hello_html_fdf4e68.gif

hello_html_m25e153da.gif

где х≠О (т.к. x=0 не является решением заданного неравенства). Построим в координатной плоскости aOx область, которая является решением первой конъюнкции hello_html_m641766a9.gif


hello_html_3262cc34.jpg


























Из рисунка следует, что при aϵ(-∞; 1/2] решениями системы будут все x>1, а

если aϵ(1/2; +∞), то x≥2a.

Рассмотрим вторую конъюнкцию: hello_html_336ffdf8.gif

Построим в координатной плоскости aOx графики функций x=1, x=-0,5/(a-1), где a≠1.

hello_html_3728a0d7.jpg

Из рисунка следует, если aϵ(-∞;1/2], то 1/(2(1-a)); если aϵ(1/2; 1], то xϵ0; если aϵ(1; +∞), то x<1/(2(1-a)). Прямая x=1/4 пересекается с гиперболой в точке с абсциссой a=-1, следовательно, при a<-1 неравенство x+ hello_html_m5bd1dc1c.gif>1 справедливо для всех xϵ[1/4; 1].

Ответ:

1) ahello_html_5eb9f8d8.gif1/2, x>1/(2(1-a)); 1/2hello_html_5eb9f8d8.gif 1, xhello_html_5476786c.gif2a; a>1, x<1/(2(1-a)), xhello_html_5476786c.gif2a;

2) a<-1, xϵ[1/4; 1];

Пример 3.3

Найти все значения параметра q, при каждом из которых число целочисленных решений неравенства х2-5-1)+3 |х - q| -q<0 максимально.

Исходное неравенство равносильно совокупности систем:


hello_html_m6a33c6f3.gif

hello_html_m4cd4ab55.gif


hello_html_m4edd1be5.gif

hello_html_5279bd7c.gif


Нa координатной плоскости xOq эти две системы задают область, ограниченную частями двух парабол. Построим графики: q=x, q=-0,5x2+4x-2,5, q=0,25x2-0,5x+l,25 хв=4 qв=5,5 хв=1 qв=l

Найдем точки пересечения парабол: A(1;1), B(5;5).

hello_html_2a1cecbb.jpg


Решения расположены на отрезке хϵ[1;5]. Подставляем в уравнения q=-0,5x2+4x-2,5 и

q=0,25x2-0,5x+l,25 решения из этого промежутка.

Получаем:

  1. x=l,q=l

  2. x=2, qϵ[l,25;3,5]

  3. x=3,qϵ[2;5]

  4. x=4,qϵ[3,25;5,5]

  5. x=5, q=5


Отметим на оси q полученные значения параметра q и соединим концы соответствующих отрезков:

1 1,25 2 3,25 3,5 5 5,5

hello_html_7f584afa.jpg



Получаем, что заданное неравенство не имеет целочисленных решений при qϵ(1;1,25), имеет одно целочисленное решение при qϵ{l}U[l,25;2)U(5;5,5]; два решения при qϵ[2;3,25)U(3,5;5) и три решения при qϵ[3,25;3,5]U{5}.

Ответ: qϵ[3,25:3,5]U{5}.





Пример 3.4

При каком значении параметра а минимум функции f(x)=x2+2|x+a-1|+(a+1)2

меньше 3?

При x+a-1 ≥0, f(x1)2+2х+2а-2+(а+1)2при x+a-1 <0, f2)=х2-2х-2а+2+(а+1)2

Функции f(x1) и f(x2) сводятся к функциям окружности и принимают вид, соответственно:

(х+1)2+(а+2)2<9 (х-1)22<1

hello_html_203a0d0b.jpg



Найдем точки пересечения f(x1) и прямой 1-х, для этого в формулу окружности вместо а подставим 1-х, преобразовав, получаем:

2-4х+2=0

x=(2±hello_html_1b32f9c0.gif)/2, тогда ahello_html_1b32f9c0.gif/2

Аналогично со второй функцией.

hello_html_m43aeca8a.jpg




Получаем такое же уравнение, но т. к. минимум этой функции равен (-1), тогда минимум заданной функции (-1; hello_html_7753eb57.gif/2)




Ответ: (-l;hello_html_1b32f9c0.gif/2).



Пример 3.5

Для каждого aϵR решить уравнение a|x+3|+2|x+4|=2.

Решение: Перепишем уравнение в виде: a|x+3|=2-2|x+4|. Построим график f(x)=2-2|x+4|. График g(x;a)=a|x+3| - это два симметричных луча с началом в точке (-3;0) с различным углом между ними в зависимости от а.

hello_html_m579b3464.jpg

Найдем, при каком а совпадают на определенном участке два графика. Для этого решим уравнение a(-x-3)=2-2(x+4). Отсюда a=2 и xϵ[-4; -3]. Если a=-2, то график отражается симметрично относительно оси X и xϵ[-3; +∞).

При a>2 или a<-2 угол между лучами уменьшается, решением неравенства будет только точка x=-3.

При a<2 или a>-2 графики пересекаются, помимо точки x=-3, в точке, которую узнаем из уравнения a(-x-3)=2-2(-x-4). Отсюда x=(-3a-10)/(2+a).

Ответ: при a=2 xϵ[-4; -3], при a=-2 xϵ[-3; +∞), при |a|>2 х=-3,

при |a|<2 x=(-3a-10)/(2+a), x=-3.



Пример. 3.6.


Для всех aϵR решить неравенство: x+2a-hello_html_m7d5c445f.gif+4a2>0.

Решение. Данное выражение равносильно системе:

hello_html_m53d5725e.gif

После преобразований система принимает вид:


hello_html_m3bd88aa5.gif

Рассматривая различные варианты знаков множителей в неравенствах, получим дизъюнкцию:

hello_html_m1fd6a18b.jpg


Построим прямые a= -x, a= -3/4x, a= -x/2 и отметим на плоскости области, являющиеся решениями каждой конъюнкции. Решением первой из них является I координатная четверть за исключением положительного направления оси Y и точки (0;0). Изображением решения второй конъюнкции будет область во II четверти между прямыми a=-x и a=-3/4x. Третья и четвертая конъюнкции решений не имеют.

При a<0 xϵhello_html_1c3d3914.gif Если a=0, то xϵ(0; +∞ ). При a>0 xϵ[-4/3a; -a)U(0; +∞ ).

Ответ: при a<0 xϵǾ, при a=0 xϵ(0; +), при a>0 xϵ[-4/3a; -a)U(0; +).

Пример 3.7


Решить неравенство с параметром:

3 - | x - а | > x2.

Перепишем неравенство в виде:

hello_html_5aec0c7f.gif

hello_html_441e3273.gif

Вершиной графика f(x)=x2 + x - 3 является (- 0,5; — 3,25), а g(x)= -x2 + х+3 (0,5; 3,25). Изобразим графическое решение этой системы в плоскости xOa:

hello_html_98b6c23.jpg

Вершиной графика f(x)— x + x - 3 является (- 0,5; — 3,25), аg(x)= -x + х+3 (0,5; 3,25). Изобразим графическое решение этой системы в плоскости xOa:


Решением является часть фигуры, образованной двумя параболами, заключённая между двумя прямыми a= -3,25 и a= 3.

Ответ: а ϵ (-3,25; 3).


Заключение


Решение задач с параметрами представляет собой весьма широкое поле для полноценной математической деятельности, во всяком случае, более широкое, чем многочисленные и, зачастую, вполне алгоритмические задачи на вычисление пределов, производных и интегралов, которыми наполнены практические занятия студентов по «высшей математике».

Решение уравнений и неравенств с параметрами открывает значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Это касается и идеи симметрии аналитических выражений и применения свойств функций в неожиданных ситуациях, и освоения геометрических приемов решения задач как равноправных, по существу, с аналитическими методами.

Графические методы делают решение наглядным и позволяют в ряде случаев с большей, по сравнению с аналитическими методами, легкостью, отсортировать правильные пути, ведущие к решению задачи, от тупиковых, которые приводят к посторонним решениям или вовсе не дают решения. Часто это избавляет от необходимости выполнения определенного объема вычислений при исследовании тех возможностей, которые, в конечном счете, все равно не дадут положительного ответа.

Однако ссылки на «картинки», используемые при графических методах решения, должны быть подкреплены вычислениями и явной формулировкой соответствую­щих теорем и свойств графиков используемых функций. Без этого одни «картинки» решением являться не будут.



Например, при решении уравнения (1/16)x=log1/16x даже очень тщательно выполненная «картинка» с вероятностью, близкой к единице, дает одну общую точку, лежащую на биссектрисе первого координатного угла. Однако при аналитическом уточнении оказывается, что это уравнение имеет еще два решения

х=0,5 и х=0,25.

hello_html_m72f684e8.jpg

Из приведенного примера следует, что нарисовать правильную «картинку» можно, лишь зная верный ответ.

Очевидно, что подобных примеров, когда графические методы могут привести к ошибкам, можно привести достаточно много. Поэтому для уверенности в правильности выводов, полученных из «картинки», необходимо эти выводы подтверждать аналитически.



Список литературы.


  1. В. H. Литвиненко, A Г. Мордкович. Практикум по элементарной математике. Москва, Просвещение, 2001.

  2. В. В. Ткачук. Математика абитуриенту. МУНМО, 2003.

  3. M. Шабунин. Математика для поступающих в вузы. Москва, БИНОМ, 2004.

  4. С. В. Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре. Москва, Экзамен, 2005.

  5. В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами. Минск, Агар, 2002.

  6. В. П. Моденов. Математика. Москва, ФМ, 2002.

  7. В. Л. Натяганов, Л. M. Лужина. Методы решения задач с параметрами. Московский университет, 2003.

  8. П. И. Горнштейн и др. Задачи с параметрами. Москва, Илекса, 2005.

  9. В. С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, 2005.

  10. H. Ш. Кремер и др. Математика для поступающих в экономические вузы. Москва, Единство, 2004.

  11. E. M. Родионов. Решение задач с параметрами. Москва, 1995.

  12. А. Б. Будак, Б. M. Щедрин. Элементарная математика. Москва, Физматлит, 2002.

  13. МГУ им. M. В. Ломоносова. Задачи вступительных экзаменов по математике(2004г.), Москва, 2004.




3


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 10.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров430
Номер материала ДВ-324632
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх