Методическая разработка по теме "Логарифмическая и показательная функции"

                                МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ   РТ

ГБПОУ «СПАССКИЙ ТЕХНИКУМ ОТРАСЛЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

Одобрено на заседании цикловой комиссии                                                Протокол №       от «    »       _     20__г. Председатель цикловой комиссии ____________ /В.Л.Захарова/

УТВЕРЖДАЮ                                                                           Зам. директора по ТО _______Н.А.Рачкова «       »                 20__ г

                            Методическая разработка

Изучение темы «Степенная, показательная, логарифмическая функции»

 в группах 1 курса

 Содержание

1.     Введение

2.     Основная часть

2.1  Историческая справка

2.2  Примерный тематический план для студентов 1 курса специальностей «механизация сельского хозяйства», «экономика и бухгалтерский учёт», «туризм», «гостиничный сервис».

2.3  Содержание темы, её дидактические единицы

2.4  Перечень практических работ

2.5  Внеаудиторная самостоятельная работа студентов

2.6  Итоговая аттестация: примерные варианты экзаменационных билетов

3.     Заключение

4.     Список литературы

5.     Приложения

6.     Рецензии

Пояснительная записка

   Данная методическая разработка составлена в соответствии с государственным стандартом для групп базового уровня (1 курс).

   В разработке приводится примерная почасовка изучения темы «Степенная, показательная и логарифмическая функции», содержание и дидактические единицы, перечень практических работ, примерные варианты экзаменационных билетов.

      Имеются приложения:

·       Практические работы

·       Поурочные планы

·       Примерные варианты экзаменационных билетов

·       Рецензии (внутренняя, внешняя)

   Разработка рекомендована преподавателям математики, ведущим данную дисциплину, студентам 1 курса для подготовки к занятиям.

1.Введение

  Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны.

   На всём протяжении XVI в. быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчётов. Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчётах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

   В результате появилось новое понятие в математике – логарифм. Понятие логарифма помогает установить обратную связь со степенью, построить единую теорию математики.

2. Основная часть

2.1 Историческая справка

   В наше время прогресс науки неотделим от достижений  талантливых математиков-прикладников.  Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец.  Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание  предмета прикладного исследования.        Б. В. Гнеденко

   Истоки понятия степени находятся в глубокой древности; дошедшие до нас глиняные плитки древних вавилонян содержат записи таблиц квадратов, кубов и их обратных значений.

   Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей. Способы записи степеней и связанных с ними обратных величин – корней из числа менялись с течением времени, пока не приняли современную форму.

   Дальнейшее развитие науки вызвало необходимость расширения степени. В XIV в. Французский епископ города Лизье в Нормандии Н. Орем (1323-1382гг.) впервые стал заменять в отдельных случаях корни из чисел дробными показателями степени и ввёл символические обозначения степени с дробными показателями. Например, 8 как 4^1,5. Показатели, введённые Оремом, по существу выступают в виде логарифмов чисел. Орем словесно сформулировал правила для выполнения  различных операций со степенями.

   Значительно позднее бухгалтер из Брюгге, а впоследствии военный инженер С. Стевин (1548-1620) вновь открыл дробные показатели и указал в более общем виде, что корень энной степени из числа а можно выразить как а^1/n, где а>0.

   Степенью с нулевым показателем первым стал пользоваться самаркандский учёный ал-Каши в начале XV в. Независимо от него Н. Шюке в работе «Наука о числах в трёх книгах» в 1484 г. применял нулевой и отрицательный показатели.

   Завершили введение современного изображения степени англичане Джон Валлис и Исаак Ньютон.

   Обобщение понятия степени аⁿ, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y=a^x) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y=xⁿ) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x<0.

      «Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу XVI века свойства прогрессий, - пишут М.В. Чириков и А.П. Юшкевич. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные  и дробные показатели.

   Логарифмы изобрели независимо друг от друга шотландский любитель математики Джон Непер (1550-1617) и также любитель математики – часовщик и мастер астрономических приборов швейцарец И. Бюрги (1552-1632), работавший вычислителем с астрономом И. Кеплером. Их цель была одна – желание дать новое средство арифметических вычислений.

   Они занимались вычислением логарифмических таблиц. При их составлении они руководствовались идеей, высказанной Архимедом, а затем более подробно исследованной М. Штифелем в работе «Общая арифметика» (1544 г.).

    Таблицы логарифмов и логарифмическая линейка свыше 350 лет оставались надёжным аппаратом для приближённых, но быстрых вычислений. Они в значительной мере содействовали ускорению научного и технического прогресса. Однако с появлением ЭВМ, а особенно с изобретением портативных микрокалькуляторов логарифмические таблицы практически потеряли своё значение вычислительного аппарата.

   Натуральные логарифмы имели и продолжают иметь не только практическое значение, но и чисто теоретическое в математическом анализе.

2.2 Тематический план

Наименование тем	Макс.количе-ство часов	Всего по учеб.плану	Теоретич. (по уч.пл.)	Практич. (по уч.пл.)	Самостоятельное изучение
Раздел 3. Степенная, показательная и логарифмическая функции	21	16	10	6	5
1.Определение логарифма, тождества. Свойства и виды логарифмов.			2
2.Логарифмирование, потенцирование.			2
3. Решение упражнений				2
4. Степенная, показательная и логарифмическая функции, их графики			2
5. Показательные уравнения, способы их решения.			2
6. Логарифмические уравнения, способы их решения.			2
7.     Решение упражнений				2
8.     Решение упражнений				2

2.3 Содержание и его дидактические единицы.

   Тема 3. Степенная, показательная и логарифмическая функции.

Студент должен

знать:

ü Понятие степени с действительным показателем и егё свойства

ü Определение логарифма числа и его свойства

ü Графики и свойства степенной, показательной и логарифмической функций

ü Способы решения показательных и логарифмических уравнений.

уметь:

ü Строить графики степенной, показательной и логарифмической функций, преобразовывать их

ü Вычислять значения показательных и логарифмических выражений

ü Решать несложные показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

   Степень с произвольным действительным показателем и её свойства. Определение логарифма и его свойства. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмирование и потенцирование. Степенная, показательная и логарифмическая функция, их свойства и графики. Решение простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

2.4 Практические работы

1. Вычисление выражений, содержащих степени, логарифмы.

2. Решение показательных уравнений и неравенств.

3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

2.5 Внеаудиторная самостоятельна работа студентов

Вид работы	Содержание	Литература
1.     Доклад	Обобщение понятия степени (историческая справка)	Г.И. Глейзер «История математики в школе 9-10 класс» М., «Просвещение», 1983 г.
2.     Доклад	Логарифмическая функция. Число е.	Г.И. Глейзер «История математики в школе 9-10 класс» М., «Просвещение», 1983 г.
3.     Доклад	Биография математиков (Джон Непер, И. Бюрги)	Д.К. Самин «100 великих научных открытий» М., «ВЕЧЕ», 2002 г.

2.6 Итоговая аттестация

   Итоговой аттестацией является:

1 семестр – экзамен

2 семестр – зачёт

   Тема «Степенная, показательная и логарифмическая функции» входит в перечень вопросов для экзамена, так как изучается в первом семестре.

   В экзамен входит теоретическая часть, вычисление выражений, содержащих степени и логарифмы, решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

3.   Заключение

Данная тема изучалась на первом курсе отделения «Туризм».

Студенты показали удовлетворительные знания. Они овладели понятием степени и её свойств, знают понятие логарифма, умеют оперировать с логарифмами, приводить их к другому основанию, решают простейшие показательные и логарифмические уравнения различными методами.

   Занятия в 16 т группе показали, что нужно больше внимания уделять школьному материалу 7-9 классов, так как именно там давалось понятие степени числа и её свойств.

4.   Список литературы

1.     Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988

2.     Г. И. Глейзер «История математики в школе 9-10 класс» М, «Просвещение», 1983

3.     Д. К. Самин «Сто великих научных открытий» М., «ВЕЧЕ», 2002

4.     Ю. М Колягин «Математика» 1 книга М., «

5.     В. С. Шипачёв « Высшая математика» М., «Высшая школа», 2002

Рецензия

на методическую разработку

«Изучение темы «Степенная, показательная, логарифмическая функции»

в группах 1 курса ФГОУ СПО СТОТ.

      Методическая разработка составлена в соответствии с рекомендациями Учебно-методического центра среднего специального образования по составлению методических разработок. Тема «Степенная, показательная и логарифмическая функции» разработана в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта, рабочей программой. Включает теоретические и практические занятия, внеаудиторную самостоятельную работу студентов. В разработке приводятся примерные темы докладов для студентов.

      Структура методической разработки включает все необходимые элементы: титульный лист, пояснительную записку, основную часть, заключение, список литературы и приложения. В качестве приложения предложены примерные поурочные планы занятий, разработан тест по типу ЕГЭ, примерные варианты экзаменационных билетов. Язык и стиль изложения доступен для преподавателей. Поэтому данная методическая разработка может быть рекомендована к использованию при изложении темы «Степенная, показательная и логарифмическая функции».

Рецензент:

Рецензия

на методическую разработку

«Изучение темы «Степенная, показательная, логарифмическая функции» в группах 1 курса

Автор: преподаватель ФГОУ СПО СТОТ Субботкина И.П.

      Методическая разработка составлена в соответствии с учебным планом образовательного учреждения, рекомендациями Учебно-методического кабинета среднего специального образования по составлению методических разработок. Предназначена для изучения темы «Степенная, показательная, логарифмическая функции» в группах 1 курса на отделениях «Механизация сельского хозяйства», «Экономика и бухгалтерский учёт», «Туризм», «Гостиничный сервис».

      Структура разработки выдержана, есть пояснительная записка, план, содержание, которое включает введение, основную часть и заключение. В качестве приложения взяты примерные планы теоретического и практического занятия, предложен тест и примерные варианты экзаменационных билетов.

      Данная разработка может быть рекомендована к использованию при изложении темы  «Степенная, показательная, логарифмическая функции» в группах 1 курса.

Рецензент: 

Приложение

Поурочный план

Урок №8 . Урок – сообщение новых знаний.

Тема: Определение логарифма, тождества. Свойства и виды логарифмов.

Цель:

1.     Вспомнить определение степени и её свойства

2.     Ввести понятие логарифма и его свойств

3.     Познакомить учащихся с  ОЛТ и видами логарифмов

4.     Научить вычислять выражения, содержащие степени и логарифмы.

5.     Развитие математического аппарата

6.     Развитие логического мышления, памяти, внимания.

Этапы занятия:

1.     Орг. Момент (вводная беседа).

2.     Опрос (фронтальная беседа):

·       Что такое степень с натуральным показателем?

Степенью числа а с натуральным показателем n, n>1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

а – основание степени, n – показатель степени.

·       Какие свойства степени вы знаете?

1.    а⁰=1, а≠0

2.    а¹=а

3.    а ^в/с=^в

4.    а ^-в=_в

5.    а^в*а^с=а^в+с

6.    а^в/а^с=а^в-с, а≠0

7.    (ав)^с=а^в*а^с

8.    (а/в)^с=а^с/в^с, в≠0

9.    (а^в)^с=а^в*с

3.     Актуализация опорных знаний (беседа).

Учитель: «Мы с вами вспомнили понятие степени и её свойства. Сегодня мы познакомимся с новым для вас понятием, которое будет связано со степенью.»

4.     Изложение нового материала (выдвижение проблемной ситуации).

План:

1)     Понятие логарифма, его свойства.

2)     ОЛТ, формула перехода логарифма к другому основанию.

3)     Виды логарифмов.

1)     Во многих задачах требуется решить уравнение вида а^x=b. Для этого надо найти показатель степени по данным значениям степени и её основания. В связи с этим рассмотрим поняитие логарифма числа.

Логарифмом числа b>0 по основанию а>0, а≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b. Обозначается b.

Свойства:

Log_aa=1

Log_a1 = 0

Log_a(x*y)=log_ax+log_ay

Log_a(x/y)=log_ax - log_ay

Log_ax^c=с log_ax

2)     По определению а^log_a^b=b. Это равенство называется ОЛТ.

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Существует формула, которая позволяет находить логарифмы чисел по основанию а, если известны логарифмы по основанию b.

. Эту формулу называют формулой перехода к другому основанию.

3)     Наиболее употребительными на практике являются десятичные логарифмы lgx (в качестве основания берут число 10) и натуральные логарифмы lnx(в качестве основания берут число е≈2,71).

Применяя формулу перехода, можно свести вычисление логарифма по любому основанию к вычислениям десятичных или натуральных логарифмов с помощью специальных таблиц или микрокалькуляторов.

5.     Закрепление.

Вычислить

а) 14

b)

c) lg 1000

d) lg 0,00001

e) 10^lg100

f)

e)

k)

l)

6. Подведение итогов (беседа).

Что нового вы сегодня узнали?

Для чего ввели это новое понятие?

7. Постановка домашней работы.

1)  7 ^-3log₇²

2) log₈16+log₈4

3) log₅375-log₅3

4) ₃36+log₃2-log₃-log₃8

Урок №13 . Урок – практическое занятие.

Тема: Решение уравнений.

Цель:

1.     Выяснить, как учащиеся усвоили понятие логарифма и его свойств

2.     Закрепить формулы: ОЛТ, формулу перехода логарифма к другому основанию.

3.     Углубить знания учащихся по теме «Логарифм. Логарифмические уравнения».

4.     Развитие наблюдательности, логического мышления, памяти.

Этапы занятия:

1.     Орг. момент (вводная беседа).

2.     Повторение необходимого теоретического материала, проверка готовности на каждом рабочем месте (индивидуальная беседа).

·       Дать понятие логарифма и его свойств.

·       Записать на доске основные формулы.

·       Перечислить виды логарифмов.

3.     Определение задач и целей выполнения данной работы. Проведение инструктажа (беседа).

4.     Самостоятельная работа (выполнение теста).

5.     Оформление отчётов студентов (самостоятельная работа студентов).

6.     Подведение итогов.

7.     Постановка домашнего задания.

ТЕСТ

по теме «Логарифмическая функция»

Пояснительная записка

Цель данного теста закрепить и проверить знания учащихся по теме «Логарифмическая функция».

Тест рекомендован студентам 1, 3, 4 курсов средних специальных учебных заведений как тренировочный материал для самостоятельной работы, на выполнение данной работы даётся 45 минут.

Состоит из трёх частей. Часть 1 содержит задания А1, А2, А3, А4, В1, В2. Часть 2 содержит задания В3, В4, С1. Часть 3 содержит задание С2. Задания А – базовый уровень, к ним приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. Задания В – повышенный уровень сложности, ответом на задание типа В должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Задания части С имеют высокий уровень сложности. Их надо решить с обоснованием.

За верное выполнение задания из группы А или В студент получает 1 балл. За верное выполнение задания из группы С – максимально 2 балла.

Текст теста

Часть 1

А1. Вычислить      

1)      0  

2)      8  

3)      -   

4)      – 8

А2. Решить уравнение ²+х-6)² = 4

1)      -7

2)     

3)      2

4)      -1

А3. Найти сумму корней уравнения   ( ²-5х+6) = 0

1)     10

2)     11

3)     2

4)     15

А4. Решить неравенство <3

1)     (-∞; -57)

2)     (-57;7)

3)     (-57;+∞)

4)     (-57;0)

В1. Найти произведение корней уравнения ()² = 1

В2. Решить уравнение

Часть 2

В3. Найти сумму решений системы    

В4. Определить наименьшее целое значение решения уравнения

 ²-2х-8) -      

С1. Найти сумму корней уравнения

Часть 3.

С2. Решить уравнение ²+4х+4) = 1

Ответы

А1 – 3         А2 – 1         А3 – 4

В1 – 729      В2 – 5      В3 – 1        В4 – 20

С1 – решений нет           С2 -  -1,5; 2

Варианты экзаменационных билетов:

1.     Определение логарифма.

 Примеры. Свойства логарифма.

2.     Решить уравнение

Log₇(4*x-3) = 2

3.     Решить уравнение

4^2x+5=4^3x

4.     Решить уравнение

Log₇(4*x-19) = 0

5.     Найти производную

У = ln-ln2

6.     Решить уравнение

2^х+2 + 3*2^x+1+7*2^x = 68

7.     Вычислить

4^log₅⁵+log₂₅